ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ:
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਹਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ, ਆਵਰਤੀ ਕੱਕੇ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਹ ਲਗਾਤਾਰ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਸਹੀ ਸਥਿਤੀ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪਲ ਲਈ ਹੀ ਜਾਇਜ਼ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ (r,θ) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ r ਨੂੰ ਸੂਰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਅਤੇ θ ਨੂੰ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਕੋਣੀ ਬੇਅਰਿੰਗ, ਜਾਂ ਸੂਰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਜੋਂ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਸਿੱਧੇ ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਤਿਆਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਗ੍ਰਹਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮਾਰਗਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: NASA/JPL-Caltech ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਪਰਖ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ y = x² ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ x ਅਤੇ y ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਧਰੁਵੀ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ r ਅਤੇ θ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (r,θ) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ (ਧਨ x-ਧੁਰੇ) ਤੋਂ θ ਦੇ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਧਰੁਵ (ਮੂਲ) ਤੋਂ θ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ r ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਫੈਲਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਇੱਕ ਗੁਣ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਅਤੇ ਪਲੌਟ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉਸ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਅੱਧਾ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਵੇਗਾ। ਤਿੰਨ ਪਰਖਾਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ (ਕੁੰਜੀ ਬਿੰਦੂਆਂ, ਜ਼ੀਰੋ, ਅਤੇ r ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਲੌਟ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪਹਿਲੀ ਪਰਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ θ = π/2 (y-ਧੁਰੇ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ (r,θ) ਨੂੰ (−r,−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਨਵੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ r = 2sinθ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ;
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ θ = π/2 ਦੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਦੂਜੀ ਪਰਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ (x-ਧੁਰੇ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਰਖੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮਾਨਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ (r,θ) ਨੂੰ (r,−θ) ਜਾਂ (−r, π−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ r = 1−2cosθ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਤੀਜੀ ਪਰਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਧਰੁਵ (ਮੂਲ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ (r,θ) ਨੂੰ (−r,θ) ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਪਰਖੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ r = 2sin(3θ) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪਰਖ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਜਾਂ ਵੱਧ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪਰਖਾਂ ਪਾਸ ਕਰਨਾ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇਗੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਪਰਖਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲਤਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ θ = π/2 ਦੀ ਰੇਖਾ, ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ, ਜਾਂ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਧੁਰੇ ਜਾਂ ਧਰੁਵ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕਰਕੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰਨਾ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦਾ ਉਪਯੋਗ ਸੰਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਪਰਖਾਂ
ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਧਰੁਵੀ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: (a) ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ θ = π/2 (y-ਧੁਰੇ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ (r,θ) ਨੂੰ (−r,−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (b) ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ (x-ਧੁਰੇ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ (r,θ) ਨੂੰ (r,−θ) ਜਾਂ (−r, π−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (c) ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਧਰੁਵ (ਮੂਲ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ (r,θ) ਨੂੰ (−r,θ) ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰੋ।
(r,θ) ਲਈ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਉਚਿਤ ਸੰਯੋਜਨ ਨੂੰ ਬਦਲੋ: θ = π/2 ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ (−r,−θ); ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ (r,−θ); ਅਤੇ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ (−r,θ)।
ਜੇਕਰ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਵੱਧ ਪਰਖਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉਮੀਦ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਪਰਖ ਕਰਨਾ
ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ r=2sinθ ਦੀ ਪਰਖ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਿੰਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: 1) (r,θ) ਨੂੰ (−r,−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਨਤੀਜਾ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਰੇਖਾ θ= π/2 ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। −r=2sin(−θ) −r=−2sinθ ਸਮ-ਵਿਸ਼ਮ ਪਛਾਣ r=2sinθ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਪਾਸ
ਸਤਰ: 2) θ ਨੂੰ −θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਉਹੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਪਰਖ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੋ ਵੀ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਹੀਂ ਵੀ। r=2sin(−θ) r=−2sinθ ਸਮ-ਵਿਸ਼ਮ ਪਛਾਣ r=−2sinθ ≠ 2sinθ ਅਸਫਲ
ਸਤਰ: 3) r ਨੂੰ –r ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਖ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੋ ਵੀ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਹੀਂ ਵੀ। −r=2sinθ r=−2sinθ ≠ 2sinθ ਅਸਫਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ r=2sinθ ਕੇਂਦਰ (0,1) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r=1 ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ θ= π/2 ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਜਾਂ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰੋ: r=−2cosθ।
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ θ ਅਤੇ r ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ θ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ r ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ θ ਅਤੇ r ਦੇ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਘੱਟ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ θ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ r=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ। r=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੇ ਰੂਪਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤਿਆਂ ਲਈ, ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਹਨਾਂ θ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। r=5cosθ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ; ਧਰੁਵ ਅਤੇ ਵਕਰ ਵਿਚਕਾਰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰੀ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ=0, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡਾ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ 5cosθ ਹੈ, ਅਤੇ θ=0 ਮੁੱਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ |r| ਦੇਵੇਗਾ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ= π/2, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਾਡਾ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ r=5sinθ ਹੈ, ਤਾਂ θ= π/2 ਮੁੱਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ |r| ਦੇਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ r ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਵਾਧੂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ θ=0। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੋਣਗੇ, ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਕਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, r=2sinθ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ |r| ਲੱਭੋ ਅਤੇ, ਜੇਕਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, r ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
θ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ 0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਿੰਦੂ (0,0) ਅਤੇ (0,±nπ) ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਰੇ ਇੱਕੋ ਥਾਂ 'ਤੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਇਕਲੌਤਾ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦਾ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਵੀ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ sinθ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੇਖੋ, ਜੋ ਕਿ θ= π/2 ±2kπ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ sin(π/2)=1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। θ ਲਈ π/2 ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
Analysis
The point ( 2, π 2 ) ( 2, π 2 ) will be the maximum value on the graph. Let’s plot a few more points to verify the graph of a circle. See Table 2 and Figure 4.
row: θ θ | r=2sinθ r=2sinθ | r r
row: 0 | r=2sin(0)=0 r=2sin(0)=0 | 0 0
row: π 6 π 6 | r=2sin( π 6 )=1 r=2sin( π 6 )=1 | 1 1
row: π 3 π 3 | r=2sin( π 3 )≈1.73 r=2sin( π 3 )≈1.73 | 1.73 1.73
row: π 2 π 2 | r=2sin( π 2 )=2 r=2sin( π 2 )=2 | 2 2
row: 2π 3 2π 3 | r=2sin( 2π 3 )≈1.73 r=2sin( 2π 3 )≈1.73 | 1.73 1.73
row: 5π 6 5π 6 | r=2sin( 5π 6 )=1 r=2sin( 5π 6 )=1 | 1 1
row: π π | r=2sin( π )=0 r=2sin( π )=0 | 0 0
Try It #2
Without converting to Cartesian coordinates, test the given equation for symmetry and find the zeros and maximum values of | r |: | r |: r=3cosθ. r=3cosθ.
Investigating Circles
Now we have seen the equation of a circle in the polar coordinate system. In the last two examples, the same equation was used to illustrate the properties of symmetry and demonstrate how to find the zeros, maximum values, and plotted points that produced the graphs. However, the circle is only one of many shapes in the set of polar curves.
There are five classic polar curves: cardioids, limaҫons, lemniscates, rose curves, and Archimedes’ spirals. We will briefly touch on the polar formulas for the circle before moving on to the classic curves and their variations.
Formulas for the Equation of a Circle
Some of the formulas that produce the graph of a circle in polar coordinates are given by r=acosθ r=acosθ and r=asinθ, r=asinθ, where a a is the diameter of the circle or the distance from the pole to the farthest point on the circumference. The radius is | a | 2 , | a | 2 , or one-half the diameter. For r=acosθ, r=acosθ, the center is ( a 2 ,0 ). ( a 2 ,0 ). For r=asinθ, r=asinθ, the center is ( a 2 ,π2 ). ( a 2 ,π2 ). Figure 5 shows the graphs of these four circles.
Example 3
Sketching the Graph of a Polar Equation for a Circle
Sketch the graph of r=4cosθ. r=4cosθ.
Solution
First, testing the equation for symmetry, we find that the graph is symmetric about the polar axis. Next, we find the zeros and maximum | r | | r | for r=4cosθ. r=4cosθ. First, set r=0, r=0, and solve for θ θ. Thus, a zero occurs at θ= π 2 ±kπ. θ= π 2 ±kπ. A key point to plot is ( 0, π 2 ). ( 0, π 2 ).
To find the maximum value of r, r, note that the maximum value of the cosine function is 1 when θ=0±2kπ. θ=0±2kπ. Substitute θ=0 θ=0 into the equation:
The maximum value of the equation is 4. A key point to plot is (4,0). (4,0).
1. ਜਿਵੇਂ ਕਿ r=4cosθ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ [0, π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ θ ਲਈ r-ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉੱਪਰਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਹੇਠਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 3 ਵਰਗੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
2. ਸਾਰਣੀ: θ | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π
3. ਸਾਰਣੀ: r | 4 | 3.46 | 2.83 | 2 | 0 | −2 | −2.83 | −3.46 | −4
4. ਕਾਰਡੀਓਇਡਜ਼ ਦੀ ਪੜਚੋਲ
5. ਜਦੋਂ ਕਿ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨਾ ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਰਲ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਲਾਸਿਕ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਪੋਲਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਅਗਲੀ ਵਕਰ ਨੂੰ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦਿਲ ਵਰਗਾ ਦਿਸਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਆਕਾਰ ਅਕਸਰ ਲਿਮਾਸਨ ਨਾਮਕ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਨਾਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਬਾਰੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
6. ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
7. ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a>0, b>0, ਅਤੇ a=b। ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੋਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
8. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
9. ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
10. ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
11. ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭੋ। r=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
12. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
13. r ਅਤੇ θ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
14. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 4
16. ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਣਾ
17. r=2+2cosθ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
18. ਹੱਲ
19. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। r=0 ਸੈੱਟ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ θ=π+2kπ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਜ਼ੀਰੋ (0, π) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
20. r=2+2cosθ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ cosθ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ cosθ=1 ਜਾਂ ਜਦੋਂ θ=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ θ=0 ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ r ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
21. ਬਿੰਦੂ (4,0) ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ।
22. ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਹ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ [0, π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਹਿੱਸਾ ਫਿਰ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 4 ਵਾਂਗ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
23. ਸਾਰਣੀ: θ | 0 | π/4 | π/2 | 2π/3 | π
24. ਸਾਰਣੀ: r | 4 | 3.41 | 2 | 1 | 0
1. ਲਿਮਾਸੋਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ
2. ਲਿਮਾਸੋਨ ਸ਼ਬਦ ਪੁਰਾਣੀ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਵਿੱਚ "ਘੁੰਡ" ਲਈ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਾਮ ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਲਿਮਾਸੋਨ ਪਰਿਵਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਮੈਂਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸੋਨ ਅਤੇ ਦੋ-ਲੂਪ (ਜਾਂ ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ) ਲਿਮਾਸੋਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸੋਨਾਂ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਡਿੰਪਲਡ ਲਿਮਾਸੋਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 1< a b <2 ਅਤੇ ਕਨਵੈਕਸ ਲਿਮਾਸੋਨ ਜਦੋਂ a b ≥2।
3. ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸੋਨਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
4. ਉਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਜੋ ਇੱਕ ਡਿੰਪਲਡ ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸੋਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a>0,b>0, ਅਤੇ 1< a b <2। ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
5. ਚਿੱਤਰ 9: ਡਿੰਪਲਡ ਲਿਮਾਸੋਨ
6. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
7. ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸੋਨ ਲਈ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
8. ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋਣ ਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਆਕਾਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਏਗਾ। ਅਕਸਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਗਟ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
9. ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭੋ।
10. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
11. ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
12. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 5
14. ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸੋਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਣਾ
15. ਸਮੀਕਰਨ r=4−3sinθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
16. ਹੱਲ
17. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ ਜੋ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਈਨ θ= π 2 ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਵੀ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਤੁਰੰਤ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ।
18. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। r=0 ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ θ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? θ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਵੇਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਕੋਣ θ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ sinθ>1 ਲਈ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, θ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ θ ਦਾ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ sinθ>1। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੋਲ ਵਿੱਚੋਂ ਨਹੀਂ ਲੰਘਦਾ। ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੋਵੇ, ਪਰ ਪੋਲ 'ਤੇ ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ θ=0 'ਤੇ r ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਹੋਰ ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
19. ਇਸ ਲਈ, (4,0) 'ਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਧੁਰਾ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
20. ਅੱਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ= π 2 , ਅਸੀਂ θ= π 2 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ r ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, r=1।
21. ਟੇਬਲ 5 ਦੇ ਸਮਾਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
22. ਕਤਾਰ: θ | 0 | π 6 | π 3 | π 2 | 2π 3 | 5π 6 | π | 7π 6 | 4π 3 | 3π 2 | 5π 3 | 11π 6 | 2π
23. ਕਤਾਰ: r | 4 | 2.5 | 1.4 | 1 | 1.4 | 2.5 | 4 | 5.5 | 6.6 | 7 | 6.6 | 5.5 | 4
24. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 10: ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ
2. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
3. ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵਕਰ ਦਾ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਸਹੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ; ਸਿਫਰ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ sinθ sinθ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ θ= π 2 , θ= π 2 ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, ਵਧੇਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਹੀ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ।
4. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
5. r=3−2cosθ. r=3−2cosθ. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
6. ਲਿਮਾਸਨ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਿਸਮ, ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ, ਆਮ ਲਿਮਾਸਨ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਬਣੇ ਲੂਪ ਲਈ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਜਰਮਨ ਕਲਾਕਾਰ ਅਲਬ੍ਰੇਖਟ ਡਿਊਰਰ (1471-1528) ਦੁਆਰਾ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ ਆਪਣੀ 1525 ਦੀ ਕਿਤਾਬ Underweysung der Messing ਵਿੱਚ ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ। ਇੱਕ ਸਦੀ ਬਾਅਦ, ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਲੇਜ਼ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਪਿਤਾ, ਐਟਿਏਨ ਪਾਸਕਲ (1588-1651), ਨੇ ਇਸਨੂੰ ਮੁੜ ਖੋਜਿਆ।
7. ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
8. ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨਾਂ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=a±bcosθ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ r=a±bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a>0, a>0, b>0, b>0, ਅਤੇ a<b. a<b. ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਵਾਰ ਲੰਘਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਵਾਰ ਬਾਹਰੀ ਲੂਪ ਲਈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਾਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੂਪ ਲਈ। ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 6
10. ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣਾ
11. r=2+5cosθ. r=2+5cosθ. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
12. ਹੱਲ
13. ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਸਿਫਰ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ r=0, r=0, θ=1.98. θ=1.98. ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ | r | | r | ਉਦੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ cosθ=1 cosθ=1 ਜਾਂ ਜਦੋਂ θ=0. θ=0. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂ (7, 0) ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
14. ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪਤਾ, ਸਿਫਰ, ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭ ਲਿਆ ਹੈ, ਵਧੇਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਉਭਰੇਗਾ।
15. ਸਾਰਣੀ 6 ਦੇਖੋ।
16. ਕਤਾਰ: θ θ | 0 0 | π 6 π 6 | π 3 π 3 | π 2 π 2 | 2π 3 2π 3 | 5π 6 5π 6 | π π | 7π 6 7π 6 | 4π 3 4π 3 | 3π 2 3π 2 | 5π 3 5π 3 | 11π 6 11π 6 | 2π 2π
17. ਕਤਾਰ: r r | 7 | 6.3 | 4.5 | 2 | −0.5 | −2.3 | −3 | −2.3 | −0.5 | 2 | 4.5 | 6.3 | 7
18. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਮੁੱਲ θ=π. θ=π. ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੁਹਰਾਉਣ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
19. ਚਿੱਤਰ 12: ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ
20. ਲੇਮਨਿਸਕੇਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ
21. ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ ਅਨੰਤਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ∞ ∞ ਜਾਂ ਅੰਕ 8 ਵਰਗਾ ਦਿਸਦਾ ਹੈ। ਪੋਲ ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ, ਇੱਕ ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
22. ਲੇਮਨਿਸਕੇਟਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
23. ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r 2 = a 2 cos2θ r 2 = a 2 cos2θ ਅਤੇ r 2 = a 2 sin2θ r 2 = a 2 sin2θ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a≠0. a≠0. ਫਾਰਮੂਲਾ r 2 = a 2 sin2θ r 2 = a 2 sin2θ ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ r 2 = a 2 cos2θ r 2 = a 2 cos2θ ਪੋਲ, ਰੇਖਾ θ= π 2 , θ= π 2 , ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 7
ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਚਿੱਤਰਣ
r 2 =4cos2θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰੋ। r 2 =4cos2θ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ θ= π 2 , ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ, ਅਤੇ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੀਏ। ਇਹ ਹੁਣ ਤੱਕ ਰੁਟੀਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ u=2θ ਦਾ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਖਰੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਅਪ੍ਰੋਚ ਕਰਾਂਗੇ। u=2θ।
ਇਸ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ( 0, π 4 ) ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਹੁਣ ਆਓ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭੀਏ। ਕਿਉਂਕਿ cosu=1 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ u=0, cos2θ=1 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 2θ=0। ਇਸ ਲਈ,
ਸਾਡੇ ਕੋਲ (2, 0) ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਧਰੁਵ, ਲਾਈਨ θ= π 2 , ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਟੇਬਲ 7 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
ਰੋ: θ | 0 | π 6 | π 4
ਰੋ: r | ±2 | ± 2 | 0
ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 14: ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
u=2θ ਵਰਗਾ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰਨਾ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਅਭਿਆਸ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸ਼ਬਦ ਨਾਲ ਬਦਲਣਾ ਨਹੀਂ ਭੁੱਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਣਜਾਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
TI-84 ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਟ੍ਰੇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਟੇਬਲ ਇਹਨਾਂ ਹੀ r ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਦਿਖਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ θ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਕੋਈ ਅਸਲ ਵਰਗਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, 4cos(2θ) ਦੇ ਸੰਗਤ r-ਮੁੱਲ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਰੋਜ਼ ਕਰਵਜ਼ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਅਗਲੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪੱਤੇ ਵਰਗਾ ਆਕਾਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਰੋਜ਼ ਕਰਵ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪੈਟਰਨ ਤਿਆਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਰੋਜ਼ ਕਰਵਜ਼
ਰੋਜ਼ ਕਰਵ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=acosnθ ਅਤੇ r=asinnθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a≠0। ਜੇ n ਸਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਰਵ ਵਿੱਚ 2n ਪੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇ n ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਰਵ ਵਿੱਚ n ਪੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਰੋਜ਼ ਕਰਵ (n ਸਮ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰਣ
r=2cos4θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰੋ। r=2cos4θ।
ਹੱਲ
ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਮੁੜ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪਰਖਾਂ ਸਾਰੀ ਕਹਾਣੀ ਨਹੀਂ ਦੱਸਦੀਆਂ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੇਵਲ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੀ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ θ= π 2 ਅਤੇ ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੀ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ u=4θ ਦਾ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਕਰੋ।
ਸਿਫ਼ਰ θ= π 8 ਹੈ। ਬਿੰਦੂ (0, π 8) ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ |r| ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cosu ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਬਿੰਦੂ (2,0) ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਹੈ।
ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿਲੱਖਣ ਗੁਣ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 8 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਤਾਰ: θ | 0 | π 8 | π 4 | 3π 8 | π 2 | 5π 8 | 3π 4
ਕਤਾਰ: r | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2
ਜਿਵੇਂ ਕਿ r=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ= π 8, ਇਸ ਲਈ ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ π 8 ਇਕਾਈਆਂ ਨਾਲ ਵੰਡਣਾ ਵਾਜਬ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੈਟਰਨ ਉੱਭਰਦਾ ਹੈ। r-ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਰੇਂਜ ਵੱਲ ਦੇਖੋ: 2, 0, −2, 0, 2, 0, −2, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੱਤਰੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। r=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਹਰੇਕ ਪੱਤਰੀ r=2 ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਫੈਲਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 2n ਵਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਮੁੜਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੁੱਲ ਅੱਠ ਪੱਤਰੀਆਂ ਬਣਦੀਆਂ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 16: ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ, n ਸਮ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਇਹ ਵਕਰ ਖਿੱਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 8 ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦੇਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (ਪੱਤਰੀ ਦਾ ਸਿਖਰ) ਕਿਵੇਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪੋਲ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ ਵਾਪਸ ਮੁੜਦਾ ਹੈ, ਵਿਪਰੀਤ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੋਲ ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਮੁੜਦਾ ਹੈ। ਸਾਰੀਆਂ ਪੱਤਰੀਆਂ ਖਿੱਚੀਆਂ ਜਾਣ ਤੱਕ ਕਾਰਵਾਈ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
r=4sin( 2θ ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ (n ਵਿਸ਼ਮ)
r=2sin( 5θ ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ θ= π 2 ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। ਅਸੀਂ u=5θ ਦਾ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਕਰਨਾ ਚਾਹਾਂਗੇ।
ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਸ ਕੋਣ 'ਤੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ sinθ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 2 ਹੈ। ਇਹ ਹਰੇਕ ਪੱਤਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ n ਵਿਸ਼ਮ ਲਈ ਵਕਰ n ਦੇ ਸਮਾਨ ਪੱਤਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਪੰਜ ਪੱਤਰੀਆਂ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਚਿੱਤਰ 17 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 17: ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ, n ਵਿਸ਼ਮ
ਸਾਰਣੀ 9 ਵਰਗੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਕਤਾਰ: θ | 0 | π 6 | π 3 | π 2 | 2π 3 | 5π 6 | π
1. ਕਤਾਰ: r r | 0 | 1 | −1.73 | 2 | −1.73 | 1 | 0
2. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
3. r=3cos(3θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ। r=3cos(3θ)।
4. ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦੀ ਪੜਚੋਲ
5. ਆਖਰੀ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਉਹ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਇਸਦੇ ਖੋਜੀ, ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ (ਲਗਭਗ 287 ਈ.ਪੂ.-ਲਗਭਗ 212 ਈ.ਪੂ.) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਅਤੇ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਣਗਿਣਤ ਖੋਜਾਂ ਦਾ ਸਿਹਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
6. ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ
7. ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫਾਰਮੂਲਾ r=θ r=θ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ θ≥0। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ θ ਵਧਦਾ ਹੈ, r ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੈਲਦੇ, ਕਦੇ ਨਾ ਖਤਮ ਹੋਣ ਵਾਲੇ, ਘੁੰਮਦੇ ਮਾਰਗ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 18 ਦੇਖੋ।
8. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
9. [0,2π] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ।
10. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ r ਅਤੇ θ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
11. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 10
13. ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣਾ
14. [0,2π] ਉੱਤੇ r=θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ। [0,2π]।
15. ਹੱਲ
16. ਕਿਉਂਕਿ r, θ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਪਲਾਟ ਪੋਲ 'ਤੇ (0, 0) ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਪਰਖਾਂ ਪਾਸ ਕਰਨ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਰਸਮੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕੋਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਡੋਮੇਨ ਸੀਮਤ ਨਾ ਹੋਵੇ।
17. ਸਾਰਣੀ 10 ਵਰਗੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
18. ਕਤਾਰ: θ | π/4 | π/2 | π | 3π/2 | 7π/4 | 2π
19. ਕਤਾਰ: r | 0.785 | 1.57 | 3.14 | 4.71 | 5.50 | 6.28
20. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ r-ਮੁੱਲ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
21. ਚਿੱਤਰ 19: ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ
22. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
23. ਇਸ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਦਾ ਡੋਮੇਨ [0,2π] ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਹੈ। ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਸਰਲ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਇਸਨੂੰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
1. [0, 4π] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ r=−θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
2. ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਸਾਰ
3. ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕਈ ਜਾਪਦੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 20 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 21 ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਕਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
4. ਮੀਡੀਆ
5. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
6. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਭਾਗ 1
7. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਭਾਗ 2
8. ਐਨੀਮੇਸ਼ਨ: ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼
9. TI-84 'ਤੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
10. ਸ਼ਬਦਕ
11. ਪੋਲਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਤਿੰਨ ਪ੍ਰਕਾਰਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
12. ਪੋਲਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਤਿੰਨ ਪ੍ਰਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ x-ਧੁਰੇ, y-ਧੁਰੇ, ਅਤੇ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ?
13. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
14. ਕਾਰਡੀਓਇਡਜ਼, ਲਿਮਾਸਨਜ਼, ਅਤੇ ਲੇਮਨਿਸਕੇਟਸ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
15. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਹਿੱਸਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
16. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
17. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
18. r=5cos3θ
19. r=3−3cosθ
20. r=3+2sinθ
21. r=3sin2θ
22. r=4
23. r=2θ
24. r=4cos θ 2
r= 2 θ
r=3 1− cos 2 θ
r= 5sin2θ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਆਕਾਰ ਦਾ ਨਾਮ ਪਛਾਣੋ।
r=3cosθ
r=4sinθ
r=2+2cosθ
r=2−2cosθ
r=5−5sinθ
r=3+3sinθ
r=3+2sinθ
r=7+4sinθ
r=4+3cosθ
r=5+4cosθ
r=10+9cosθ
r=1+3sinθ
r=2+5sinθ
r=5+7sinθ
r=2+4cosθ
r=5+6cosθ
r 2 =36cos( 2θ )
r 2 =10cos( 2θ )
r 2 =4sin( 2θ )
r 2 =10sin( 2θ )
r=3sin(2θ) r=3sin(2θ)
r=3cos(2θ) r=3cos(2θ)
r=5sin(3θ) r=5sin(3θ)
r=4sin(4θ) r=4sin(4θ)
r=4sin(5θ) r=4sin(5θ)
r=−θ r=−θ
r=2θ r=2θ
r=−3θ r=−3θ
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to sketch the graph of the polar equation.
r= 1 θ r= 1 θ
r= 1 θ r= 1 θ
r=2sinθtanθ, r=2sinθtanθ, a cissoid
r=2 1− sin 2 θ r=2 1− sin 2 θ, a hippopede
r=5+cos( 4θ ) r=5+cos( 4θ )
r=2−sin( 2θ ) r=2−sin( 2θ )
r= θ 2 r= θ 2
r=θ+1 r=θ+1
r=θsinθ r=θsinθ
r=θcosθ r=θcosθ
For the following exercises, use a graphing utility to graph each pair of polar equations on a domain of [ 0,4π ] [ 0,4π ] and then explain the differences shown in the graphs.
r=θ,r=−θ r=θ,r=−θ
r=θ,r=θ+sinθ r=θ,r=θ+sinθ
r=sinθ+θ,r=sinθ−θ r=sinθ+θ,r=sinθ−θ
r=2sin( θ 2 ),r=θsin( θ 2 ) r=2sin( θ 2 ),r=θsin( θ 2 )
r=sin( cos(3θ) )r=sin(3θ) r=sin( cos(3θ) )r=sin(3θ)
On a graphing utility, graph r=sin( 16 5 θ ) r=sin( 16 5 θ ) on [ 0[ 0, 4π ]4π], [ 0[0, 8π ]8π], [ 0[0, 12π ] 12π], and [ 0[0, 16π ]. 16π]. Describe the effect of increasing the width of the domain.
On a graphing utility, graph and sketch r=sinθ+ ( sin( 5 2 θ ) ) 3 r=sinθ+ ( sin( 5 2 θ ) ) 3 on [ 0,4π ]. [ 0,4π ].
On a graphing utility, graph each polar equation. Explain the similarities and differences you observe in the graphs.
On a graphing utility, graph each polar equation. Explain the similarities and differences you observe in the graphs.
On a graphing utility, graph each polar equation. Explain the similarities and differences you observe in the graphs.
Extensions
For the following exercises, draw each polar equation on the same set of polar axes, and find the points of intersection.
r 1 =3+2sinθ, r 2 =2 r 1 =3+2sinθ, r 2 =2
r 1 =6−4cosθ, r 2 =4 r 1 =6−4cosθ, r 2 =4
r 1 =1+sinθ, r 2 =3sinθ r 1 =1+sinθ, r 2 =3sinθ
r 1 =1+cosθ, r 2 =3cosθ r 1 =1+cosθ, r 2 =3cosθ
r 1 =cos( 2θ ), r 2 =sin( 2θ ) r 1 =cos( 2θ ), r 2 =sin( 2θ )
r 1 = sin 2 ( 2θ ) r 1 = sin 2 ( 2θ ), r 2 =1−cos( 4θ ) r 2 =1−cos( 4θ )
r 1 = 3 , r 2 =2sin( θ ) r 1 = 3 , r 2 =2sin( θ )
r 1 2 =sinθ, r 2 2 =cosθ r 1 2 =sinθ, r 2 2 =cosθ
r 1 =1+cosθ r 1 =1+cosθ, r 2 =1−sinθ r 2 =1−sinθ