ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ (complex plane) ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓਗੇ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ (absolute value) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ (polar form) ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ (rectangular form) ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ (powers) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੂਲ (roots) ਪਤਾ ਕਰੋ।
“ਪਰਮੇਸ਼ੁਰ ਨੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਬਣਾਏ; ਬਾਕੀ ਸਭ ਮਨੁੱਖ ਦਾ ਕੰਮ ਹੈ।” ਉੱਨੀਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਲਿਓਪੋਲਡ ਕ੍ਰੋਨੇਕਰ ਦਾ ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕਥਨ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਬਾਰੇ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਾਰੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਆਵਿਸ਼ਕਾਰ ਮਨੁੱਖਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਇਹ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ, ਡੇਕਾਰਟੇਸ, ਡੀ ਮੋਇਵਰ, ਯੂਲਰ, ਗੌਸ ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ ਵਰਗੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਹਜ਼ਾਰ ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਿਰੰਤਰ ਜਾਂਚ ਅਤੇ ਸੰਘਰਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੇ ਅਜਿਹੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦਿੱਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਸਦੀਆਂ ਤੱਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਮਹਾਨ ਮਨਾਂ ਨੂੰ ਉਲਝਾਈ ਰੱਖਿਆ ਸੀ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਾਂਗੇ: ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਅਨੁਵਾਦ, ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਯੋਜਨਾਬੱਧ ਢਾਂਚੇ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ, ਅਤੇ ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ (De Moivre’s Theorem) ਦਾ ਉਪਯੋਗ।
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ a+bi ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ, ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰਾ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ, a, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰਾ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ, bi, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ a+bi ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਧੁਰਾ (real axis) ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰਾ (imaginary axis) ਵਜੋਂ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ a ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ b ਇਕਾਈਆਂ ਚਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ 2−3i ਨੂੰ ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ।
ਹੱਲ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਤੋਂ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਚਲੋ। ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
1+5i 1+5i ਨੂੰ ਜਟਿਲ ਤਲ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਓ।
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵੱਲ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਉਸਦੇ ਮਾਪ, ਜਾਂ | z |. | z |. ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ z=2+4i, z=2+4i ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, | z |. | z |. ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ z=x+yi, z=x+yi, ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ, z z ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇਹ ਬਿੰਦੂ ( x,y ). ( x,y ). ਤੱਕ ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਦੀ 0 ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਮੂਲ, ( 0,0 ). ( 0,0 ). ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਕਰਨੀ ਵਾਲੀ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
z= 5 −i. z= 5 −i. ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ z=12−5i. z=12−5i. ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ z=3−4i, z=3−4i, | z |. | z |. ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ z z 5 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਦਿੱਤੇ ਗਏ z=1−7i, z=1−7i, | z |. | z |. ਲੱਭੋ।
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਇੱਕ ਅੰਕ ਨੂੰ ਕੋਣ θ ਅਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੂਰੀ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ z=x+yi ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੰਕ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੋਂ ਮੂਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮਾਪ (modulus) ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮਾਪ, ਫਿਰ, ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਕੋਣ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨਾਲ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ θ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:
ਸਿੱਧੀ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ r ਮਾਪ ਹੈ ਅਤੇ θ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ r(cosθ+isinθ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸੰਖੇਪ rcisθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਜਟਿਲ ਅੰਕ 4i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜਟਿਲ ਸਮਤਲ 'ਤੇ, ਅੰਕ z=4i, z=0+4i ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ r ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ x ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ x=rcosθ, ਅਤੇ x=0, ਤਾਂ θ=π/2। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਜਟਿਲ ਅੰਕ z=0+4i ਨੂੰ z=4(cos(π/2)+isin(π/2)) ਜਾਂ 4cis(π/2) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
z=3i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ rcisθ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
-4+4i ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, r ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਣ θ ਲੱਭੋ:
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹੱਲ 4√2 cis(3π/4) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
z=√3+i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਨ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਅਤੇ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ z=r(cosθ+isinθ), z=r(cosθ+isinθ), ਪਹਿਲਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ cosθ cosθ ਅਤੇ sinθ. sinθ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ। ਫਿਰ, r. r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੂਪਾਂਤਰਨ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਬਦਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ 6√3 +6i ਹੈ। 6√3 +6i।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ r=13 r=13 ਅਤੇ tanθ= 5/12। tanθ= 5/12। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਖਿਆ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ tanθ= 5/12, tanθ= 5/12, ਅਤੇ tanθ= y/x, tanθ= y/x, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ r=√(x²+y²) = √(12²+5²) = √169 = 13 ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। r=√(x²+y²) = √(12²+5²) = √169 = 13। ਫਿਰ ਅਸੀਂ cosθ= x/r ਅਤੇ sinθ= y/r ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। sinθ= y/r।
ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ 12+5i ਹੈ। 12+5i।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫ੍ਰੈਂਚ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਬ੍ਰਾਹਮ ਡੀ ਮੋਇਵਰੇ (1667-1754) ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸੂਤਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਸੂਤਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ, ਭਾਗਾਂ, ਘਾਤਾਂ ਅਤੇ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਦਿਖਣ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਨਿਯਮ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹਨ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਜੇਕਰ z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) ਅਤੇ z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂), z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂), ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗੁਣ ਵਿੱਚ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
z 1 z 2 , z 1 z 2 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ z 1 =4(cos(80°)+isin(80°)) ਅਤੇ z 2 =2(cos(145°)+isin(145°)) ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ, ਦੋ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ
ਜੇਕਰ z 1 = r 1 (cos θ 1 +isin θ 1 ) ਅਤੇ z 2 = r 2 (cos θ 2 +isin θ 2 ), ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
r 1 ਨੂੰ r 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
θ 1 − θ 2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ: z=r( cosθ+isinθ )। r ਨੂੰ r 1 / r 2 ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ θ ਨੂੰ θ 1 − θ 2 ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
ਨਵੇਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
z 1 =2(cos(213°)+isin(213°)) ਅਤੇ z 2 =4(cos(33°)+isin(33°)) ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
z 1 =2 3 (cos(150°)+isin(150°)) ਅਤੇ z 2 =2(cos(30°)+isin(30°)) ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਡਿ ਮੋਇਵਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n ਲਈ, z n , ਮਾਪਦੰਡ ਨੂੰ n-ਵੀਂ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾ ਕੇ ਅਤੇ ਕੋਣ ਨੂੰ n ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਆਧੁਨਿਕ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਮਿਆਰੀ ਵਿਧੀ ਹੈ।
ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਜੇਕਰ z=r( cosθ+isinθ ) ਇੱਕ ਸੰਮਿਲਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ
ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨ ( 1+i ) 5 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਮਿਲਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ( 1+i ) ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਆਓ r ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਈਏ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ θ ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਸੂਤਰ tanθ= y x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ
ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਮਿਲਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਲੱਭਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਮਿਲਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ n-ਵੇਂ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਜਾਂ ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸੰਮਿਲਤ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਘਾਤ ਅੰਕ ਨਾਲ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਮਿਲਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ n-ਵੇਂ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਮਿਲਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਜਿੱਥੇ k=0,1,2,3,...,n−1। ਅਸੀਂ θ n ਵਿੱਚ 2kπ n ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਆਵਰਤੀ ਮੂਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਇੱਕ ਸੰਮਿਲਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਲੱਭਣਾ
z=8( cos( 2π 3 )+isin( 2π 3 ) ) ਦੇ ਘਣ ਮੂਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਤਿੰਨ ਮੂਲ ਹੋਣਗੇ: k=0,1,2। ਜਦੋਂ k=0, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਦੋਂ k=1, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਦੋਂ k=2, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭਣ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖੋ। k=1 ਲਈ, ਕੋਣ ਸਰਲੀਕਰਨ ਹੈ
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
2. 16(cos(120°)+isin(120°)) ਦੇ ਚਾਰ ਚੌਥੇ ਮੂਲ ਲੱਭੋ।
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਰੂਪਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
5. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ
6. ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ
7. ਸ਼ਬਦਿਕ
8. ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ a+bi ਹੈ। ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
9. ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਕੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ?
10. ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
11. ਅਸੀਂ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ?
12. ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
13. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
14. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
15. 5+3i
16. −7+i
17. −3−3i
18. 2 −6i
19. 2i
20. 2.2−3.1i
21. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
22. 2+2i
23. 8−4i
24. − 1 2 − 1 2 i
3 +i 3 +i
3i 3i
For the following exercises, convert the complex number from polar to rectangular form.
z=7cis( π 6 ) z=7cis( π 6 )
z=2cis( π 3 ) z=2cis( π 3 )
z=4cis( 7π 6 ) z=4cis( 7π 6 )
z=7cis( 25° ) z=7cis( 25° )
z=3cis( 240° ) z=3cis( 240° )
z= 2 cis( 100° ) z= 2 cis( 100° )
For the following exercises, find z 1 z 2 z 1 z 2 in polar form.
z 1 =2 3 cis( 116° ); z 2 =2cis( 82° ) z 1 =2 3 cis( 116° ); z 2 =2cis( 82° )
z 1 = 2 cis( 205° ); z 2 =2 2 cis( 118° ) z 1 = 2 cis( 205° ); z 2 =2 2 cis( 118° )
z 1 =3cis( 120° ); z 2 = 1 4 cis( 60° ) z 1 =3cis( 120° ); z 2 = 1 4 cis( 60° )
z 1 =3cis( π 4 ); z 2 =5cis( π 6 ) z 1 =3cis( π 4 ); z 2 =5cis( π 6 )
z 1 = 5 cis( 5π 8 ); z 2 = 15 cis( π 12 ) z 1 = 5 cis( 5π 8 ); z 2 = 15 cis( π 12 )
z 1 =4cis( π 2 ); z 2 =2cis( π 4 ) z 1 =4cis( π 2 ); z 2 =2cis( π 4 )
For the following exercises, find z 1 z 2 z 1 z 2 in polar form.
z 1 =21cis( 135° ); z 2 =3cis( 65° ) z 1 =21cis( 135° ); z 2 =3cis( 65° )
z 1 = 2 cis( 90° ); z 2 =2cis( 60° ) z 1 = 2 cis( 90° ); z 2 =2cis( 60° )
z 1 =15cis( 120° ); z 2 =3cis( 40° ) z 1 =15cis( 120° ); z 2 =3cis( 40° )
z 1 =6cis( π 3 ); z 2 =2cis( π 4 ) z 1 =6cis( π 3 ); z 2 =2cis( π 4 )
z 1 =5 2 cis( π ); z 2 = 2 cis( 2π 3 ) z 1 =5 2 cis( π ); z 2 = 2 cis( 2π 3 )
z 1 =2cis( 3π 5 ); z 2 =3cis( π 4 ) z 1 =2cis( 3π 5 ); z 2 =3cis( π 4 )
For the following exercises, find the powers of each complex number in polar form.
5cis( 45° )^3 5cis( 45° )^3
2cis( 70° )^4 2cis( 70° )^4
3cis( 120° )^2 3cis( 120° )^2
4cis( π 4 )^2 4cis( π 4 )^2
cis( 3π 16 )^4 cis( 3π 16 )^4
3cis( 5π 3 )^3 3cis( 5π 3 )^3
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਮੂਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਘਣ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=27cis( 240° ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=16cis( 100° ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਘਣ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=32cis( 2π 3 ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=32cis( π ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=8cis( 7π 4 ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਟਿਲ ਤਲ ਉੱਤੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
2+4i 2+4i
−3−3i −3−3i
5−4i 5−4i
−1−5i −1−5i
3+2i 3+2i
2i 2i
−4 −4
6−2i 6−2i
−2+i −2+i
1−4i 1−4i
1. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
2. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਜਵਾਬ ਸੌ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
3. 5+5i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. 3−2i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. −3−8i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6. 4cis( 120° ) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. 2cis( 45° ) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
8. 5cis( 210° ) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।