ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਨੌਕਰੀਆਂ ਸਾਲਾਨਾ ਜੀਵਨ-ਖਰਚ ਵਾਧਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਤਨਖਾਹਾਂ ਨੂੰ ਮਹਿੰਗਾਈ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਹਾਲ ਹੀ ਵਿੱਚ ਕਾਲਜ ਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਇੱਕ ਸੇਲਜ਼ ਮੈਨੇਜਰ ਵਜੋਂ ਅਹੁਦਾ ਲੱਭਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ $26,000 ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਹਰ ਸਾਲ 2% ਜੀਵਨ-ਖਰਚ ਵਾਧੇ ਦਾ ਵਾਅਦਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਨੂੰ 102% ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਤਨਖਾਹ $26,520 ਹੋਵੇਗੀ; ਦੋ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ $27,050.40; ਤਿੰਨ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ $27,591.41; ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ। ਜਦੋਂ ਤਨਖਾਹ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਨਖਾਹ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣਾ
ਵਰਣਿਤ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਦਾ ਹਰ ਪਦ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਦੁਆਰਾ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਲੜੀ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਪਦ 6 ਦੇ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ 6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅਗਲਾ ਪਦ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਉਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ $a_1$ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ $r$ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਹੋਵੇਗੀ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ਭਾਗਫਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਲੜੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣਾ
ਕੀ ਲੜੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ⓐ 1,2,4,8,16,...
ⓑ 48,12,4, 2,...
ਹੱਲ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ⓐ $\frac{2}{1}=2$ $\frac{4}{2}=2$ $\frac{8}{4}=2$ $\frac{16}{8}=2$ ਲੜੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 2 ਹੈ।
ⓑ $\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$ $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ਲੜੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
2. ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਤੋਂ ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ (a) ਅਤੇ (b) ਦੋਵੇਂ ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (a) ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਵਿਆਖਿਆ ਸਹੀ ਹੈ, ਪਰ (b) ਨਹੀਂ ਹੈ।
Q&A
3. ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਜਾਵੇ ਕਿ ਇੱਕ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
4. ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਲੜੀ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪਦ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
6. ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
8. ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
9. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
10. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲੱਭਣਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a 1 =−2 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=4 ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ −2⋅4 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ −8 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਕੇ ਅਗਲੇ ਪਦ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਨਤੀਜਾ −8⋅4 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ −32 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ।
11. ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ {–2, –8, –32, –128} ਹਨ।
12. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
13. ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਲੱਭੋ।
14. ਅਗਲੇ ਪਦ, a 2, ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, a 1, ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
15. ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਓ, a 3 ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ a n = a 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ a 4 ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ a 3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਪਦ ਪਛਾਣੇ ਨਾ ਜਾਣ।
16. ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੋਮਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 2
18. ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
19. a 1 =5 ਅਤੇ r=–2 ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. a 2 ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ a 1 ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਓ, a 3 ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ a 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ।
22. ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ { 5,–10,20,–40 } ਹਨ।
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
24. a 1 =18 ਅਤੇ r= 1 3 ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
Using Recursive Formulas for Geometric Sequences
A recursive formula allows us to find any term of a geometric sequence by using the previous term. Each term is the product of the common ratio and the previous term. For example, suppose the common ratio is 9. Then each term is nine times the previous term. As with any recursive formula, the initial term must be given.
Recursive Formula for a Geometric Sequence
The recursive formula for a geometric sequence with common ratio r r and first term a 1 a 1 is
How To
Given the first several terms of a geometric sequence, write its recursive formula.
State the initial term.
Find the common ratio by dividing any term by the preceding term.
Substitute the common ratio into the recursive formula for a geometric sequence.
Example 3
Using Recursive Formulas for Geometric Sequences
Write a recursive formula for the following geometric sequence.
Solution
The first term is given as 6. The common ratio can be found by dividing the second term by the first term.
Substitute the common ratio into the recursive formula for geometric sequences and define a 1 . a 1 .
Analysis
The sequence of data points follows an exponential pattern. The common ratio is also the base of an exponential function as shown in Figure 2
Q&A
Do we have to divide the second term by the first term to find the common ratio?
No. We can divide any term in the sequence by the previous term. It is, however, most common to divide the second term by the first term because it is often the easiest method of finding the common ratio.
Try It #4
Write a recursive formula for the following geometric sequence.
Using Explicit Formulas for Geometric Sequences
Because a geometric sequence is an exponential function whose domain is the set of positive integers, and the common ratio is the base of the function, we can write explicit formulas that allow us to find particular terms.
Let’s take a look at the sequence {18, 36, 72, 144, 288, ...}. {18, 36, 72, 144, 288, ...}. This is a geometric sequence with a common ratio of 2 and an exponential function with a base of 2. An explicit formula for this sequence is
ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ n-ਵਾਂ ਪਦ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
a 1 =3 ਅਤੇ a 4 =24 ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, a 2 ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਲੜੀ ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੌਥੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦੂਜਾ ਪਦ ਲੱਭੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਦੂਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੀਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਵਾਰ, ਚੌਥਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਾਰ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ। ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਨੌਂ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਨੌਵੀਂ ਘਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
a 2 =4 ਅਤੇ a 3 =32 ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, a 6 ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ n-ਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ n-ਵੇਂ ਪਦ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2 ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 5 ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਇਸ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ $a_1$ ਦੀ ਬਜਾਏ $a_0$ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
2013 ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 284 ਹੈ। ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਬਾਦੀ ਹਰ ਸਾਲ 4% ਵਧੇਗੀ।
ⓐ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ⓑ 2020 ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ⓐ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ 284 ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਨਾਲ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਬਾਦੀ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦਾ 104% ਹੋਵੇਗੀ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 1.04 ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ P ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ ਅਤੇ n 2013 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ $P_n = 284 \cdot 1.04^n$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ⓑ ਅਸੀਂ ਘਟਾ ਕੇ 2013 ਤੋਂ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। $2020 - 2013 = 7$। ਅਸੀਂ 7 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ 2020 ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ n ਲਈ 7 ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। $P_7 = 284 \cdot 1.04^7 \approx 374$। 2020 ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਬਾਦੀ ਲਗਭਗ 374 ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਇੱਕ ਕਾਰੋਬਾਰ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਵੈੱਬਸਾਈਟ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਉਤਸੁਕਤਾ ਕਾਰਨ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 293 ਹੈ। ਕਾਰੋਬਾਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 2.6% ਵਧੇਗੀ।
ⓐ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ⓑ 5 ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਵਿੱਚ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਮੀਡੀਆ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ
ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
ਇੱਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ
ਸ਼ਬਦਕ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਕੀ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ?
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਦੱਸੋ ਕਿ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ ਕਿਵੇਂ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਉਹ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1,3,9,27,81,...
−0.125,0.25,−0.5,1,−2,...
−2,− 1 2 ,− 1 8 ,− 1 32 ,− 1 128 ,...
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
−6,−12,−24,−48,−96,...
5,5.2,5.4,5.6,5.8,...
−1, 1 2 ,− 1 4 , 1 8 ,− 1 16 ,...
6,8,11,15,20,...
0.8,4,20,100,500,...
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =8, r=0.3
a 1 =5, r= 1 5
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 7 =64, a 10 =512
a 6 =25, a 8 =6.25
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2 ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 3 ਹੈ। 5ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 16 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ − 1 3 ਹੈ। 4ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
a n ={ −1,2,−4,8,... }। a 12 ਪਤਾ ਕਰੋ।
a n ={ −2, 2 3 ,− 2 9 , 2 27 ,... }। a 7 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =−486, a n =− 1 3 a n−1
a 1 =7, a n =0.2 a n−1
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
a n ={ −1,5,−25,125,... }
a n ={ −32,−16,−8,−4,... }
a n ={ 14,56,224,896,... }
a n ={ 10,−3,0.9,−0.27,... }
a n ={ 0.61,1.83,5.49,16.47,... }
a n ={ 3 5 , 1 10 , 1 60 , 1 360 ,... }
a n ={ −2, 4 3 ,− 8 9 , 16 27 ,... }
a n ={ 1 512 ,− 1 128 , 1 32 ,− 1 8 ,... }
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a n =−4⋅ 5 n−1
a n =12⋅ ( − 1 2 ) n−1
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
a n ={ −2,−4,−8,−16,... }
a n ={ 1,3,9,27,... }
a n ={ −4,−12,−36,−108,... }
a n ={ 0.8,−4,20,−100,... }
a n ={−1.25,−5,−20,−80,...}
a n ={ −1,− 4 5 ,− 16 25 ,− 64 125 ,... }
a n ={ 2, 1 3 , 1 18 , 1 108 ,... }
a n ={ 3,−1, 1 3 ,− 1 9 ,... }
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਲੱਭੋ।
1. ਮੰਨ ਲਓ a 1 =4, a n =−3 a n−1 । a n =−3 a n−1 । a 8 ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਮੰਨ ਲਓ a n =− ( − 1 3 ) n−1 । a n =− ( − 1 3 ) n−1 । a 12 ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀਮਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. a n ={ −1,3,−9,...,2187 }
5. a n ={ 2,1, 1 2 ,..., 1 1024 }
6. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
7. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਗ੍ਰਾਫ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
8. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. a 1 =1, r= 1 2
10. a 1 =3, a n =2 a n−1
11. a n =27⋅ 0.3 n−1
12. ਐਕਸਟੈਂਸ਼ਨਾਂ
13. ਦੋ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਦੇਣ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਤੀਜੇ ਪਦ 200 ਹਨ। 200।
14. ਦੋ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਦੇਣ ਲਈ ਐਕਸਪਲਿਸਿਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੱਤਵੇਂ ਪਦ 1024 ਹਨ। 1024।
15. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ {b,4b,16b,...} ਦਾ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ {64a(−b),32a(−3b),16a(−9b),...} ਦਾ ਸੱਤਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਲੜੀ {10,12,14.4,17.28,...} ਕਿਸ ਪਦ 'ਤੇ 100 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ? 100?
18. ਲੜੀ { 1 2187 , 1 729 , 1 243 , 1 81 ... } ਕਿਸ ਪਦ 'ਤੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ?
19. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ a n =−36 ( 2 3 ) n−1 ਕਿਸ ਪਦ 'ਤੇ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਗੈਰ-ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ?
20. ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਦਿਖਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ 10ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਐਕਸਪਲਿਸਿਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲੇ 4 ਪਦ ਦਿਖਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ 8ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਕੀ ਕੋਈ ਲੜੀ ਅਰਥਮੈਟਿਕ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਦੋਵੇਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਦਿਓ।