ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜਮਾਂਦਰੂ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਨੰਤ ਜਮਾਂਦਰੂ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਐਨੂਇਟੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਆਪਣੀ ਧੀ ਲਈ ਕਾਲਜ ਫੰਡ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਫੰਡ ਵਿੱਚ ਹਰ ਮਹੀਨੇ $50 ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਫੰਡ 6% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਮਾਸਿਕ ਜਮ੍ਹਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਧੀ 6 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕਾਲਜ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਬਚਾਈ ਹੋਵੇਗੀ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਅਤੇ ਕਮਾਏ ਗਏ ਵਿਆਜ ਦੀ ਰਕਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਾਲਜ ਫੰਡ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਰਕਮ ਅਤੇ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਰਕਮਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਰਕਮਾਂ ਅਤੇ ਮਾਸਿਕ ਕਮਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਰਕਮਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਲੜੀ ਦਾ n-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਸੀਮਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਨੋਟੇਸ਼ਨ S n S n ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਜੋੜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਯੂਨਾਨੀ ਵੱਡੇ ਅੱਖਰ ਸਿਗਮਾ, Σ, Σ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਸਿਗਮਾ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੋੜ ਦੇ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸਿਗਮਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਜੋੜ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਨੰਬਰ ਹੈ। ਸਿਗਮਾ ਦੇ ਉੱਪਰ ਵਾਲਾ ਨੰਬਰ, ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਆਖਰੀ ਪਦ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਨੰਬਰ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਲੜੀ a k =2k a k =2k ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ k=1 k=1 ਤੋਂ k=5 ਤੱਕ ਹੈ। k=5। ਅਸੀਂ k k ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਅਤੇ ਇਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ k=1 k=1 ਤੋਂ k=n ਤੱਕ a k a k ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। k=n।
k k ਨੂੰ ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 1 ਜੋੜ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਹੈ, ਅਤੇ n n ਜੋੜ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਜੋੜ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ 1 ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਜੋੜ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਕੋਈ ਵੀ ਨੰਬਰ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ 1 ਅਕਸਰ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਹੇਠਲੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਲੜੀ ਲਈ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਮੁੱਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਜੋੜ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਜੋੜ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
1. ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਤੱਕ k k ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
2. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋੜੋ।
3. ਮਿਸਾਲ 1
4. ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
5. ∑ k=3 7 k 2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਹੱਲ
7. ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੋੜ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ 3 ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ 7 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ k=3 ਤੋਂ k=7 ਤੱਕ k 2 ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ k=3, 4, 5, 6, ਅਤੇ 7 ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ k 2 ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
9. ∑ k=2 5 (3k–1) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
11. ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਕ੍ਰਮ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ, d ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
12. ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਪਦਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕੇ ਅਤੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
13. ਜੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਕਿਉਂਕਿ ਲੜੀ ਵਿੱਚ n ਪਦ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
15. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
16. ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ
17. ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਹੈ:
18. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
19. ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਦਾਂ, ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. a 1 ਅਤੇ a n ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
21. n ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
22. ਸੂਤਰ S n = n( a 1 + a n ) / 2 ਵਿੱਚ a 1 , a n , ਅਤੇ n ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
23. S n ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
24. ਮਿਸਾਲ 2
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲੱਭਣਾ
ਹਰੇਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32
20 + 15 + 10 +…+ −50
∑ k=1 12 3k−8
ਹੱਲ
ⓐ ਸਾਨੂੰ a 1 =5 ਅਤੇ a n =32 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਕੇ n=10 ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ a 1 , a n , ਅਤੇ n ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। S n = n( a 1 + a n ) 2 S 10 = 10(5+32) 2 =185
ⓑ ਸਾਨੂੰ a 1 =20 ਅਤੇ a n =−50 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। n ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਦਾ ਸੂਤਰ ਵਰਤੋ। a n = a 1 +(n−1)d −50=20+(n−1)(−5) −70=(n−1)(−5) 14=n−1 15=n ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ a 1 , a n , ਅਤੇ n ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। S n = n( a 1 + a n ) 2 S 15 = 15(20−50) 2 =−225
ⓒ a 1 ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ k=1 ਬਦਲੋ। a k =3k−8 a 1 =3(1)−8=−5 ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ n=12। a 12 ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ k=12 ਬਦਲੋ। a k =3k−8 a 12 =3(12)−8=28 ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ a 1 , a n , ਅਤੇ n ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। S n = n( a 1 + a n ) 2 S 12 = 12(−5+28) 2 =138
ਹਰੇਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
1.4 + 1.6 + 1.8 + 2.0 + 2.2 + 2.4 + 2.6 + 2.8 + 3.0 + 3.2 + 3.4
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
13 + 21 + 29 + …+ 69
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
∑ k=1 10 5 −6k
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਮਾਮੂਲੀ ਸਰਜਰੀ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਐਤਵਾਰ ਨੂੰ, ਇੱਕ ਔਰਤ ਅੱਧਾ ਮੀਲ ਤੁਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੈ। ਹਰ ਐਤਵਾਰ, ਉਹ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਮੀਲ ਵਾਧੂ ਤੁਰਦੀ ਹੈ। 8 ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ, ਉਸਨੇ ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੇ ਮੀਲ ਤੁਰੇ ਹੋਣਗੇ?
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ a 1 = 1 2 ਅਤੇ d= 1 4 ਵਾਲੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ 8 ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ ਤੁਰੇ ਗਏ ਕੁੱਲ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ n=8, ਅਤੇ ਅਸੀਂ S 8 ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। a 8 ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਸਨੇ ਕੁੱਲ 11 ਮੀਲ ਤੁਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਜੂਨ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ $100 ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ, ਉਹ ਪਿਛਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਨਾਲੋਂ $12.50 ਵੱਧ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ। 12 ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ, ਉਸਨੇ ਕਿੰਨੀ ਕਮਾਈ ਕੀਤੀ ਹੈ?
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਉਹ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ, r ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਆਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਅਲਜਬਰਾ ਹੇਰਾਫੇਰੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉੱਪਰਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਖਰੀ ਪਦ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੇ ਪਦ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। S n ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ (1−r) ਨਾਲ ਵੰਡੋ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਤਰ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
a 1 , r, ਅਤੇ n ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸੂਤਰ S n = a 1 (1– r n ) / (1–r) ਵਿੱਚ a 1 , r, ਅਤੇ n ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
S n ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲੱਭਣਾ
ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓐ S 11, 8 + -4 + 2 + … ਲੜੀ ਲਈ
ⓑ ∑ k=1 6 3⋅ 2 k
ਹੱਲ
ⓐ a 1 =8, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ n=11। ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ r ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। r= −4 / 8 =− 1 / 2। ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ a 1 , r, ਅਤੇ n ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। S n = a 1 ( 1− r n ) / (1−r) S 11 = 8( 1− ( − 1 / 2 ) 11 ) / (1−( − 1 / 2 )) ≈5.336
ⓑ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ k=1 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ a 1 ਲੱਭੋ। a 1 =3⋅ 2 1 =6। ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ r=2। ਜੋੜ ਦੀ ਉਪਰਲੀ ਸੀਮਾ 6 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ n=6। ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ a 1 , r, ਅਤੇ n ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। S n = a 1 (1− r n ) / (1−r) S 6 = 6(1− 2 6 ) / (1−2) =378
ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
S 20, 1,000 + 500 + 250 + … ਲੜੀ ਲਈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
∑ k=1 8 3 k ∑ k=1 8 3 k
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਨੌਕਰੀ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਨਖਾਹ $26,750 ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਸਾਲਾਨਾ 1.6% ਵਾਧਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। 5 ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਉਸਦੀ ਕੁੱਲ ਕਮਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $a_1 = 26,750$, $n=5$, ਅਤੇ $r=1.016$ ਹੈ। $a_1$, $r$, ਅਤੇ $n$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ 5 ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਕਮਾਈ ਗਈ ਕੁੱਲ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਸਨੇ 5 ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਕੁੱਲ $138,099.03 ਕਮਾਏ ਹੋਣਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਨੌਕਰੀ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਨਖਾਹ $32,100 ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਸਾਲਾਨਾ 2% ਵਾਧਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। 8 ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਉਹ ਕਿੰਨੀ ਕਮਾਈ ਕਰੇਗੀ?
ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸੀਮਤ ਲੜੀਆਂ 'ਤੇ ਹੀ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲੇ $n$ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ $2+4+6+8+...$ ਹੈ।
ਇਸ ਲੜੀ ਨੂੰ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ∑ k=1 ∞ 2k ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਜੋੜ ਦੀ ਉਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਅਨੰਤ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਦ ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਨਹੀਂ ਜਾ ਰਹੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਪਦ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਬਿਨਾਂ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਜੋੜ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ 0 ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ 0 ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ:
ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ $r= 0.2$ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ $n$ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, $r^n$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ 0 ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਅਗਲਾ ਪਦ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਹਰੇਕ ਅਗਲਾ ਪਦ 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। $-1<r<1$ ਵਾਲੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ 0 ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ; ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਉਦੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ $-1<r<1$।
ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੋਵੇ ਅਤੇ $-1<r<1$।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਪਦ ਦਾ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਤੀਜੇ ਪਦ ਦਾ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਪਦ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਦਮ 3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ, $r$, ਪਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਤਾਂ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ $-1<r<1$। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਕਿਸੇ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਹਰੇਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ⓐ 12 + 8 + 4 + …
ⓑ 3 4 + 1 2 + 1 3 +...
ⓒ ∑ k=1 ∞ 27⋅ ( 1 3 ) k
ⓓ ∑ k=1 ∞ 5k
ਹੱਲ
ⓐ ਦੂਜੀ ਪਦ ਅਤੇ ਪਹਿਲੀ ਪਦ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ 2 3 ਹੈ, 2 3 , ਜੋ ਤੀਜੀ ਪਦ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਪਦ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ, 1 2 , 1 2 , ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ⓑ ਦੂਜੀ ਪਦ ਅਤੇ ਪਹਿਲੀ ਪਦ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਤੀਜੀ ਪਦ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਪਦ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 2 3 ਹੈ। 2 3 । ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ⓒ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫਾਰਮੂਲਾ 1 3 ਦੇ ਬੇਸ ਵਾਲਾ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਹੈ; 1 3 ; ਇਹ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 1 3 ਹੈ। 1 3 । ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ⓓ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫਾਰਮੂਲਾ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪਦਾਂ ਵੱਧ ਰਹੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
1 3 + 1 2 + 3 4 + 9 8 +...
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
24+( −12 )+6+( −3 )+...
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
∑ k=1 ∞ 15⋅ (–0.3) k
ਅਨੰਤ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਅਸੀਂ r= 1 2 ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ। r= 1 2 । ਜਦੋਂ n n ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ r n r n ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
r n r n ਦਾ ਮੁੱਲ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਵੱਡੀਆਂ n n ਲਈ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? n?
ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n n ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, r n r n ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n n ਬੇਅੰਤ ਵਧਦਾ ਹੈ, r n r n 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ r n r n 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, 1− r n 1− r n 1 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਹ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ a 1 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। a 1 । ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ-ਫਲ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ −1<r<1 ਹੈ, ਦਾ ਸੂਤਰ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ-ਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
a 1 ਅਤੇ r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ –1<r<1 ਹੈ।
ਸੂਤਰ, S= a 1 1−r , ਵਿੱਚ a 1 ਅਤੇ r ਲਈ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
S ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ-ਫਲ ਲੱਭਣਾ
ਜੇਕਰ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਜੋੜ-ਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ⓐ 10+9+8+7+…
ⓑ 248.6+99.44+39.776+…
ⓒ ∑ k=1 ∞ 4,374⋅ (– 1 3 ) k–1
ⓓ ∑ k=1 ∞ 1 9 ⋅ ( 4 3 ) k
ਹੱਲ
ⓐ ਕੋਈ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ⓑ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ; ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। a 1 =248.6 ਅਤੇ r= 99.44 248.6 =0.4, ਇਸ ਲਈ ਜੋੜ-ਫਲ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ a 1 =248.6 ਅਤੇ r=0.4 ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਜੋੜ-ਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਕਰੋ: S= a 1 1−r = 248.6 1−0.4 =414. 3 ¯
ⓒ ਸੂਤਰ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ r=– 1 3 ਨਾਲ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਪਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ k=1 ਬਦਲ ਕੇ a 1 ਪਤਾ ਕਰੋ: a 1 =4,374⋅ (– 1 3 ) 1–1 =4,374। ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ a 1 =4,374 ਅਤੇ r=− 1 3 ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਜੋੜ-ਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਕਰੋ: S= a 1 1−r = 4,374 1−(− 1 3 ) =3,280.5
ⓓ ਸੂਤਰ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਪਰ r>1 ਹੈ। ਜੋੜ-ਫਲ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਲਈ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਭਿੰਨ ਲੱਭਣਾ
ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦਸ਼ਮਲਵ 0.3¯ ਲਈ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਭਿੰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦਸ਼ਮਲਵ 0.3¯ =0.333... ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੂੰ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ 0.1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ 0.1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ; ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ 0.3 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹਰੇਕ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦ ਨੂੰ 0.1 ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਜੋੜ ਲਈ ਸਾਡੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #12
2+ 2 3 + 2 9 +... 2+ 2 3 + 2 9 +...
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #13
∑ k=1 ∞ 0.76k+1 ∑ k=1 ∞ 0.76k+1
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #14
∑ k=1 ∞ ( − 3 8 ) k ∑ k=1 ∞ ( − 3 8 ) k
ਐਨੂਇਟੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਨੇ ਛੇ ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਕਾਲਜ ਫੰਡ ਵਿੱਚ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰਕਮ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ। ਐਨੂਇਟੀ ਇੱਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖਰੀਦਦਾਰ ਨਿਯਮਤ, ਬਰਾਬਰ ਭੁਗਤਾਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਐਨੂਇਟੀ ਦੀ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਰੇ ਭੁਗਤਾਨਾਂ ਅਤੇ ਕਮਾਏ ਗਏ ਵਿਆਜ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ $50 ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਖਾਤੇ ਨੇ 6% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ, ਮਾਸਿਕ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ, ਅਦਾ ਕੀਤਾ। ਪ੍ਰਤੀ ਭੁਗਤਾਨ ਅਵਧੀ ਵਿਆਜ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 6% ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਆਜ (APR) ਦਰ ਨੂੰ 12 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਮਾਸਿਕ ਵਿਆਜ ਦਰ 0.5% ਹੈ। ਅਸੀਂ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਦੀ ਰਕਮ ਨੂੰ 100.5% ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵਿਆਜ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਆਖਰੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਤੋਂ ਤੁਰੰਤ ਬਾਅਦ ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a 1 =50 a 1 =50 ਅਤੇ r=100.5%=1.005 ਹੈ। r=100.5%=1.005। ਪਹਿਲੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੁੱਲ $50 ਹੋਵੇਗਾ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਾਲਜ ਫੰਡ ਵਿੱਚ ਰਕਮ ਅਤੇ ਕਮਾਏ ਗਏ ਵਿਆਜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ n ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। 6 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ, 72 ਮਹੀਨੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ n=72। n=72। ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ a 1 =50, r=1.005, ਅਤੇ n=72 a 1 =50, r=1.005, ਅਤੇ n=72 ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ 6 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਆਖਰੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਕੋਲ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ $4,320.44 ਹੋਣਗੇ। ਨੋਟ ਕਰੋ, ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਨੇ $50 ਦੀ 72 ਕਿਸ਼ਤਾਂ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਕੀਤਾ, ਜਿਸਦੀ ਕੁੱਲ ਰਕਮ 72(50) = $3,600 ਹੈ। 72(50) = $3,600। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਐਨੂਇਟੀ ਦੇ ਕਾਰਨ, ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਨੇ ਆਪਣੇ ਕਾਲਜ ਫੰਡ ਵਿੱਚ $720.44 ਵਿਆਜ ਕਮਾਇਆ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਅਤੇ ਵਿਆਜ ਦਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
a 1 , a 1 , ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
n, n, ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
r ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। r। ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਨੂੰ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਜਿੰਨੀ ਵਾਰ ਵਿਆਜ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਨਾਲ ਵੰਡੋ। r ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਰਕਮ ਵਿੱਚ 1 ਜੋੜੋ। r।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ a 1 ,r,andn a 1 ,r,andn ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ, S n = a 1 (1– r n ) 1–r । S n = a 1 (1– r n ) 1–r ।
n ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੁੱਲ, S n , S n , ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਐਨੂਇਟੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
$100 ਦੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ 10 ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਾਲਜ ਫੰਡ ਵਿੱਚ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਫੰਡ 9% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ, ਮਾਸਿਕ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ, ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਅਦਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਖਰੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਤੋਂ ਤੁਰੰਤ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੈ?
1. ਹੱਲ
2. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ-ਰਕਮ ਦਾ ਮੁੱਲ $100 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a 1 =100। a 1 =100। 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ 120 ਮਾਸਿਕ ਜਮ੍ਹਾਂ-ਰਕਮਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ n=120। n=120। r ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਮਾਸਿਕ ਵਿਆਜ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਨੂੰ 12 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਵੀਂ ਮਾਸਿਕ ਜਮ੍ਹਾਂ-ਰਕਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ 1 ਜੋੜੋ।
3. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ a 1 =100,r=1.0075,ਅਤੇn=120 a 1 =100,r=1.0075,ਅਤੇn=120 ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
4. ਇਸ ਲਈ ਆਖਰੀ ਜਮ੍ਹਾਂ-ਰਕਮ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $19,351.43 ਹਨ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #15
6. ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਫੰਡ ਵਿੱਚ $200 ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਫੰਡ 6% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਮਹੀਨੇਵਾਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ 10 ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਜਮ੍ਹਾਂ-ਰਕਮਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੈ?
7. ਮੀਡੀਆ
8. ਲੜੀ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
9. ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ
10. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ
11. ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
12. ਸ਼ਬਦਿਕ
13. n-ਵੀਂ n-ਵੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਕੀ ਹੈ?
14. ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਅਤੇ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
15. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਕੀ ਹੈ?
16. ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਲੱਭਣਾ n-ਵੀਂ n-ਵੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ?
17. ਐਨੂਇਟੀ ਕੀ ਹੈ?
18. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
19. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜੋੜ ਦੇ ਹਰੇਕ ਵਰਣਨ ਨੂੰ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
20. m=1 m=1 ਤੋਂ m=5 m=5 ਤੱਕ m 2 +3m m 2 +3m ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
21. n=0 n=0 ਤੋਂ n=4 n=4 ਤੱਕ 5n 5n ਦਾ ਜੋੜ
22. k=−2 k=−2 ਤੋਂ k=1 k=1 ਤੱਕ 6k−5 6k−5 ਦਾ ਜੋੜ
23. ਪੰਜ ਵਾਰ 4 ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੋੜ
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਜੋੜ ਨੂੰ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
5+10+15+20+25+30+35+40+45+50 5+10+15+20+25+30+35+40+45+50
10+18+26+…+162 10+18+26+…+162
1 2 +1+ 3 2 +2+…+4 1 2 +1+ 3 2 +2+…+4
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3 2 +2+ 5 2 +3+ 7 2 3 2 +2+ 5 2 +3+ 7 2
19+25+31+…+73 19+25+31+…+73
3.2+3.4+3.6+…+5.6 3.2+3.4+3.6+…+5.6
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਜੋੜ ਨੂੰ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
1+3+9+27+81+243+729+2187 1+3+9+27+81+243+729+2187
8+4+2+…+0.125 8+4+2+…+0.125
− 1 6 + 1 12 − 1 24 +…+ 1 768 − 1 6 + 1 12 − 1 24 +…+ 1 768
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਜੋੜ ਨੂੰ ਦੱਸੋ।
9+3+1+ 1 3 + 1 9 9+3+1+ 1 3 + 1 9
∑ n=1 9 5⋅ 2 n−1 ∑ n=1 9 5⋅ 2 n−1
∑ a=1 11 64⋅ 0.2 a−1 ∑ a=1 11 64⋅ 0.2 a−1
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਕੋਈ ਜੋੜ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋੜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ।
12+18+24+30+... 12+18+24+30+...
2+1.6+1.28+1.024+... 2+1.6+1.28+1.024+...
∑ m=1 ∞ 4 m−1 ∑ m=1 ∞ 4 m−1
∑ ∞ k=1 − ( − 1 2 ) k−1 ∑ ∞ k=1 − ( − 1 2 ) k−1
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਵੀਅਰ ਇੱਕ ਬੱਚਤ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਮਾਸਿਕ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੇ $50 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਨਾਲ ਖਾਤਾ ਖੋਲ੍ਹਿਆ। ਉਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਉਸਨੇ ਪਿਛਲੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਵਿੱਚ $20 ਦਾ ਵਾਧਾ ਕੀਤਾ।
ਜੇਵੀਅਰ ਦੀਆਂ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਾਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਜੇਵੀਅਰ ਦੀਆਂ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੇ ਮਾਸਿਕ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ∑ k=1 ∞ ( 1 2 ) k ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ∑ k=1 ∞ ( 1 2 ) k .
2. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ 7 ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
3. ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ S n S n ਕਿਹੜੀ ਸੰਖਿਆ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੋਇਆ ਜਾਪਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਕਾਰਨ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
5. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
6. ∑ a=1 14 a ∑ a=1 14 a
7. ∑ n=1 6 n(n−2) ∑ n=1 6 n(n−2)
8. ∑ k=1 17 k 2 ∑ k=1 17 k 2
9. ∑ k=1 7 2 k ∑ k=1 7 2 k
10. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. −1.7+−0.4+0.9+2.2+3.5+4.8 −1.7+−0.4+0.9+2.2+3.5+4.8
12. 6+ 15 2 +9+ 21 2 +12+ 27 2 +15 6+ 15 2 +9+ 21 2 +12+ 27 2 +15
13. −1+3+7+...+31 −1+3+7+...+31
14. ∑ k=1 11 ( k 2 − 1 2 ) ∑ k=1 11 ( k 2 − 1 2 )
15. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਲੜੀ −2−10−50−250... ਲਈ S 6 S 6 −2−10−50−250...
17. ਲੜੀ 0.4−2+10−50... ਲਈ S 7 S 7 0.4−2+10−50...
18. ∑ k=1 9 2 k−1 ∑ k=1 9 2 k−1
19. ∑ n=1 10 −2⋅ ( 1 2 ) n−1 ∑ n=1 10 −2⋅ ( 1 2 ) n−1
20. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. 4+2+1+ 1 2 ... 4+2+1+ 1 2 ...
22. −1− 1 4 − 1 16 − 1 64 ... −1− 1 4 − 1 16 − 1 64 ...
23. ∑ ∞ k=1 3⋅ ( 1 4 ) k−1 ∑ ∞ k=1 3⋅ ( 1 4 ) k−1
24. ∑ n=1 ∞ 4.6⋅ 0.5 n−1 ∑ n=1 ∞ 4.6⋅ 0.5 n−1
1. ਇਨ੍ਹਾਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ, ਜਮ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਅਤੇ ਵਿਆਜ ਦਰ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ: $50; ਕੁੱਲ ਜਮ੍ਹਾਂ: 60; ਵਿਆਜ ਦਰ: 5%, ਮਾਸਿਕ ਚੱਕਰਵਿਰੋਧ ਨਾਲ
3. ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ: $150; ਕੁੱਲ ਜਮ੍ਹਾਂ: 24; ਵਿਆਜ ਦਰ: 3%, ਮਾਸਿਕ ਚੱਕਰਵਿਰੋਧ ਨਾਲ
4. ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ: $450; ਕੁੱਲ ਜਮ੍ਹਾਂ: 60; ਵਿਆਜ ਦਰ: 4.5%, ਤਿਮਾਹੀ ਚੱਕਰਵਿਰੋਧ ਨਾਲ
5. ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ: $100; ਕੁੱਲ ਜਮ੍ਹਾਂ: 120; ਵਿਆਜ ਦਰ: 10%, ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰੋਧ ਨਾਲ
6. ਵਿਸਤਾਰ
7. k=x ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਪਦ 50− k^2 ਦਾ ਜੋੜ 115 ਹੈ। x ਕੀ ਹੈ?
8. ਇੱਕ explicit formula ਲਿਖੋ ਜਿਸ ਲਈ $a_k$ ਅਜਿਹਾ ਹੋਵੇ ਕਿ $\sum_{k=0}^{6} a_k = 189$ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਹੈ।
9. n ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ $\sum_{k=1}^{n} (3k–5) > 100$ ਹੋਵੇ।
10. ਲੜੀ $-1−3−5−7....$ ਦਾ ਜੋੜ $-75$ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਜੋੜੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
11. $0.\overline{65}$ ਨੂੰ summation notation ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ $0.\overline{65}$ ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
12. ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਪੰਜ ਗੁਣਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕੀ ਹੈ?
13. ਉਪਲਬਧ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਕਰਜ਼ਾ ਦਰਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੋਲਮੈਨ ਪਰਿਵਾਰ $160,000 ਦੇ ਘਰ 'ਤੇ 20% ਡਾਊਨ ਪੇਮੈਂਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਪੈਸੇ ਬਚਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਇੱਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $125 ਦੀ ਮਾਸਿਕ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜੋ 8.5% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰੋਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਕੋਲਮੈਨ ਪੰਜ ਸਾਲ ਬਚਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ 20% ਡਾਊਨ ਪੇਮੈਂਟ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਹੋਣਗੇ? ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਪੈਸੇ ਬਚੇ ਹੋਣਗੇ?
14. ਕਾਰਲ ਕੋਲ ਗ੍ਰੈਜੂਏਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਰਤੀ ਹੋਈ ਕਾਰ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਦੋ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $10,000 ਬਚਾਉਣ ਲਈ ਹਨ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਾਲਰ ਤੱਕ, ਉਸਦੀ ਮਾਸਿਕ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਕਿੰਨੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜੇ ਉਹ 4.2% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਵਾਲੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮਾਸਿਕ ਚੱਕਰਵਿਰੋਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
15. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
16. ਕੈਸ਼ਾ ਨੇ ਫਾਈਨਲ ਦੀ ਤਿਆਰੀ ਲਈ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਦੀ ਪੜ੍ਹਾਈ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਈ। ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ, ਉਹ 1 ਘੰਟਾ ਪੜ੍ਹਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਅਗਲੇ ਦਿਨ ਉਹ ਆਪਣੇ ਪੜ੍ਹਾਈ ਦੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ 30 ਮਿੰਟ ਵਧਾਏਗੀ। ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਬਾਅਦ ਕੈਸ਼ਾ ਨੇ ਕਿੰਨੇ ਘੰਟੇ ਪੜ੍ਹਾਈ ਕੀਤੀ ਹੋਵੇਗੀ?
17. ਇੱਕ ਪੱਥਰ ਪਹਾੜ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਰੋਲ ਹੋਇਆ, ਪਹਿਲੇ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ 6 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ। ਹਰ ਅਗਲੇ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ, ਉਸਦੀ ਦੂਰੀ 8 ਫੁੱਟ ਵਧ ਗਈ। 10 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪੱਥਰ ਨੇ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ?
18. ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਇੱਕ ਪੈਟਰੀ ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ 50 ਸੈੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਘੰਟੇ, ਆਬਾਦੀ 1.5% ਵਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। 1 ਦਿਨ ਬਾਅਦ ਸੈੱਲ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ?
19. ਇੱਕ ਲੋਲਕ ਆਪਣੀ ਪਹਿਲੀ ਝੂਲ ਵਿੱਚ 3 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਅਗਲੀ ਝੂਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਪਿਛਲੀ ਝੂਲ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ 3/4 ਹਿੱਸਾ ਤੈਅ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਲੋਲਕ ਝੂਲਣਾ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?
20. ਰੇਚਲ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਫੰਡ ਵਿੱਚ $1,500 ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਫੰਡ 8.2% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਮਾਸਿਕ ਚੱਕਰਵਿਰੋਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਉਸਨੇ 19 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਆਪਣਾ ਖਾਤਾ ਖੋਲ੍ਹਿਆ ਸੀ, ਤਾਂ ਜਦੋਂ ਉਹ 55 ਸਾਲ ਦੀ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਉਸ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਪੈਸੇ ਹੋਣਗੇ? ਉਸ ਰਕਮ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿੰਨੀ ਵਿਆਜ ਕਮਾਈ ਹੋਵੇਗੀ?