ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
n ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
n ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕੰਪਨੀ ਟੈਬਲੇਟਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਰਟਫੋਨਾਂ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲਿਤ ਕੇਸ ਵੇਚਦੀ ਹੈ। ਹਰ ਕੇਸ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵਾਧੂ ਫੀਸ ਲਈ ਚਿੱਤਰਾਂ ਜਾਂ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਨਾਲ ਨਿੱਜੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਨਿੱਜੀਕਰਨ ਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ, ਦੋ, ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਚਿੱਤਰਾਂ ਜਾਂ ਇੱਕ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਰੱਖਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਗਾਹਕ ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਅਤੇ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਨੀ ਇੱਕ ਏਜੰਸੀ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਵਿਸ਼ਾਲ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਮਾਰਕੀਟਿੰਗ ਮੁਹਿੰਮ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨਾ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੈ!
ਅਸੀਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਸਮਰਪਿਤ ਹੈ। ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਹੋਰ ਉਪਯੋਗ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਪਾਸਵਰਡ, ਘੋੜ ਦੌੜ ਦੇ ਨਤੀਜੇ, ਅਤੇ ਕਾਲਜ ਸ਼ਡਿਊਲਿੰਗ ਵਿਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਸਟਮਾਈਜ਼ੇਬਲ ਕੇਸ ਵੇਚਣ ਵਾਲੀ ਕੰਪਨੀ ਟੈਬਲੇਟਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਰਟਫੋਨਾਂ ਲਈ ਕੇਸ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। 3 ਸਮਰਥਿਤ ਟੈਬਲੇਟ ਮਾਡਲ ਅਤੇ 5 ਸਮਰਥਿਤ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਮਾਡਲ ਹਨ। ਜੋੜ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਟੈਬਲੇਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੁਆਰਾ, ਕੁੱਲ 8 ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੋੜ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ m ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਜਿਸਦੇ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਨਤੀਜੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲੀ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ m+n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਡਿਨਰ ਮੀਨੂ 'ਤੇ 2 ਸ਼ਾਕਾਹਾਰੀ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ ਅਤੇ 5 ਮੀਟ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸ਼ਾਕਾਹਾਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਮੀਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕੁੱਲ 7 ਵਿਕਲਪ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨਵਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਖਰੀਦ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ 3 ਡੈਸਕਟਾਪ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਅਤੇ 4 ਲੈਪਟਾਪ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਉਦੋਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੋਣ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਐਪੀਟਾਈਜ਼ਰ, ਇੱਕ ਐਂਟਰੀ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਮਿਠਆਈ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਫਿਕਸਡ-ਪ੍ਰਾਈਸ ਡਿਨਰ ਮੀਨੂ 'ਤੇ 2 ਐਪੀਟਾਈਜ਼ਰ ਵਿਕਲਪ, 3 ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ, ਅਤੇ 2 ਮਿਠਆਈ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਟ੍ਰੀ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਕੁੱਲ 12 ਸੰਭਾਵਿਤ ਚੋਣਾਂ ਹਨ।
1. ਸੰਭਵ ਚੋਣਾਂ ਇਹ ਹਨ:
2. ਸੂਪ, ਚਿਕਨ, ਕੇਕ
3. ਸੂਪ, ਚਿਕਨ, ਪੁਡਿੰਗ
4. ਸੂਪ, ਮੱਛੀ, ਕੇਕ
5. ਸੂਪ, ਮੱਛੀ, ਪੁਡਿੰਗ
6. ਸੂਪ, ਸਟੀਕ, ਕੇਕ
7. ਸੂਪ, ਸਟੀਕ, ਪੁਡਿੰਗ
8. ਸਲਾਦ, ਚਿਕਨ, ਕੇਕ
9. ਸਲਾਦ, ਚਿਕਨ, ਪੁਡਿੰਗ
10. ਸਲਾਦ, ਮੱਛੀ, ਕੇਕ
11. ਸਲਾਦ, ਮੱਛੀ, ਪੁਡਿੰਗ
12. ਸਲਾਦ, ਸਟੀਕ, ਕੇਕ
13. ਸਲਾਦ, ਸਟੀਕ, ਪੁਡਿੰਗ
14. ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸੰਭਵ ਡਿਨਰਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਵੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸਿਰਫ਼ 12 ਸੰਭਵ ਡਿਨਰ ਚੋਣਾਂ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਵੀ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
16. ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
17. ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ m ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਪਹਿਲੀ ਘਟਨਾ ਵਾਪਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ m×n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸਿਧਾਂਤ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 2
19. ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
20. ਡਾਇਨ ਨੇ ਆਪਣੀ ਵਪਾਰਕ ਯਾਤਰਾ ਲਈ 2 ਸਕਰਟਾਂ, 4 ਬਲਾਊਜ਼ ਅਤੇ 2 ਸਵੈਟਰ ਪੈਕ ਕੀਤੇ। ਉਸਨੂੰ ਹਰ ਪਹਿਰਾਵੇ ਲਈ ਇੱਕ ਸਕਰਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਲਾਊਜ਼ ਚੁਣਨਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਸਵੈਟਰ ਪਾਉਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਸੰਭਵ ਪਹਿਰਾਵਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਹੱਲ
22. ਕੁੱਲ ਪਹਿਰਾਵਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਕਰਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਬਲਾਊਜ਼ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਸਵੈਟਰ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
23. 16 ਸੰਭਵ ਪਹਿਰਾਵੇ ਹਨ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
ਇੱਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਇੱਕ ਸਵੇਰ ਦੇ ਖਾਸ ਪਕਵਾਨ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦਾ ਸੈਂਡਵਿਚ, ਇੱਕ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼, ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੀਣ ਵਾਲਾ ਪਦਾਰਥ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਾਸ਼ਤੇ ਦੇ ਸੈਂਡਵਿਚਾਂ ਦੀਆਂ 3 ਕਿਸਮਾਂ, ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀਆਂ 4, ਅਤੇ ਪੀਣ ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੀਆਂ 5 ਚੋਣਾਂ ਹਨ। ਸੰਭਵ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦੇ ਖਾਸ ਪਕਵਾਨਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੱਖਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫੋਟੋਆਂ ਲਈ ਲਾਈਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਕਮਰਿਆਂ ਨੂੰ ਸਜਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਵੀ। ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਵਿਕਲਪ ਲਈ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ ਖਿੱਚਣਾ ਅਕਸਰ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਵਿਕਲਪ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕੰਧ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਨੂੰ ਲਟਕਾਉਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕੰਧ 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਤਿੰਨ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲੀ ਥਾਂ ਲਈ ਚਾਰ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 4 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲੀ ਥਾਂ ਭਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਦੂਜੀ ਥਾਂ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਿਕਲਪ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 3 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਦੂਜੀ ਥਾਂ ਭਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੀਜੀ ਥਾਂ ਲਈ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਤੀਜੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 2 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਫਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਦੇ 24 ਸੰਭਵ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਿਕਲਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿੰਨੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਹਨ।
ਪਹਿਲੀ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦੂਜੀ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਵਿਕਲਪ ਬਚੇ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੀਆਂ ਥਾਵਾਂ ਭਰ ਨਾ ਜਾਣ, ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਤੈਰਾਕੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿੱਚ, ਨੌਂ ਤੈਰਾਕ ਇੱਕ ਦੌੜ ਵਿੱਚ ਮੁਕਾਬਲਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ⓐਉਹ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ, ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ⓑਉਹ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ, ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਏਰੀਅਲ ਨਾਮ ਦੀ ਇੱਕ ਤੈਰਾਕ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਦੀ ਹੈ? (ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਏਰੀਅਲ ਨਾਮ ਦੀ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਮੁਕਾਬਲੇਬਾਜ਼ ਹੈ।)
ⓒਸਾਰੇ ਨੌਂ ਤੈਰਾਕ ਫੋਟੋ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ⓐਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 9 ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੂਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 8 ਵਿਕਲਪ ਬਚਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੀਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 7 ਵਿਕਲਪ ਬਚਦੇ ਹਨ। ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ 504 ਤਰੀਕੇ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ⓑਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਏਰੀਅਲ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ 1 ਵਿਕਲਪ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 8 ਵਿਕਲਪ ਬਚੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਤੀਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 7 ਵਿਕਲਪ ਬਚੇ ਹਨ। ਜੇ ਏਰੀਅਲ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ 56 ਤਰੀਕੇ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ⓒ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਪਹਿਲੀ ਥਾਂ ਲਈ 9 ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਫਿਰ ਦੂਜੀ ਲਈ 8, ਤੀਜੀ ਲਈ 7, ਚੌਥੀ ਲਈ 6, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਆਖਰੀ ਥਾਂ ਲਈ ਸਿਰਫ 1 ਵਿਅਕਤੀ ਨਾ ਰਹਿ ਜਾਵੇ। ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਲਈ 362,880 ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮ ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਭਾਗ c ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ 9 ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਦੇ 9! ਤਰੀਕੇ ਸਨ। n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹਮੇਸ਼ਾ n! ਦੁਆਰਾ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। n!
ਪੰਜ ਜੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਪੋਰਟਰੇਟ ਬਣਵਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਪਰਿਵਾਰ ਪੋਰਟਰੇਟ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਫੋਟੋਗ੍ਰਾਫਰ 3 ਪਰਿਵਾਰਕ ਮੈਂਬਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਪਰਿਵਾਰ ਪੋਰਟਰੇਟ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇ ਮਾਪਿਆਂ ਨੂੰ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣਾ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਕੁਝ ਕ੍ਰਮ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਅਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੂਤਰ ਸਿੱਖੀਏ, ਆਓ ਦੋ ਆਮ ਸੰਕੇਤਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ P(n,r) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। P(n,r)। ਇਸਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ n P r ਹੈ, n P r , ਇੱਕ ਸੰਕੇਤ ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। P(n,r) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, P(n,r), ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ, n! ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ (n-r)! (n-r)! ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ (n-r) (n-r) ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਖੜ੍ਹਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ।
ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਉਦਾਹਰਣ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਲੱਬ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਧਾਨ, ਇੱਕ ਉਪ-ਪ੍ਰਧਾਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਜ਼ਾਨਚੀ ਚੁਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਧਾਨ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਬਾਕੀ ਪੰਜ ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਉਪ-ਪ੍ਰਧਾਨ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਚਾਰ ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਖਜ਼ਾਨਚੀ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਹ 6×5×4=120 ਹੈ। 6×5×4=120। ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
6 ਮੈਂਬਰਾਂ ਵਾਲੀ ਕਲੱਬ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਅਧਿਕਾਰੀਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਦੇ 120 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ 6 ਵਿੱਚੋਂ 3 ਲਏ ਗਏ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਜੋਂ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਸੂਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਵੀ ਸੂਤਰ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ (n-n)! (n-n)! ਜਾਂ 0! ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਵਾਂਗੇ, 0!, ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿਹਾ ਸੀ ਕਿ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ n! 1 n! 1 ਜਾਂ ਸਿਰਫ n! ਹੈ। n!
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਸੰਭਾਵੀ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ n ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ n ਅਤੇ r ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ 12 ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਟੈਸਟ ਬੈਂਕ ਵਿੱਚੋਂ 9 ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਬਣਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਉਹ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣ ਅਤੇ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=12 ਅਤੇ r=9 ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ 79,833,600 ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ!
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਅਸੀਂ 12 ਦਰਜ ਕਰਾਂਗੇ, n P r ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਬਾਵਾਂਗੇ, 9 ਦਰਜ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਬਾਵਾਂਗੇ। n P r ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਮਾਂਡਾਂ ਦੇ ਨਾਲ MATH ਮੀਨੂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਸਥਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ?
ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਹੀ ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਲਈ 12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4 ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ।
ਇੱਕ ਨਾਟਕ ਵਿੱਚ 7 ਅਦਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਪਰਦੇ ਦੇ ਸੱਦੇ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੋ ਰਹੇ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
7 ਅਦਾਕਾਰ ਕਿਵੇਂ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
7 ਅਦਾਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 5 ਨੂੰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੂਤਰ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਸਤੂਆਂ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਜਿੱਥੇ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਨੂੰ C(n,r) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ, C(n,r) ਨੂੰ n C r ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਆਮ ਸੂਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਕੰਧ 'ਤੇ ਲਗਾਉਣ ਲਈ 4 ਸੰਭਵ ਤਸਵੀਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਚੁਣਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ 4 ਤਸਵੀਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਦੇ 24 ਤਰੀਕੇ ਸਨ। ਪਰ ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਨਾ ਹੁੰਦੀ? ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿਉਂਕਿ ਤਸਵੀਰਾਂ 1, 2, 3 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਤਸਵੀਰਾਂ 2, 3, 1 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ। 4 ਤਸਵੀਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ 3 ਤਸਵੀਰਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਵੰਡੋ। 3 ਤਸਵੀਰਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ 3!=3·2·1=6 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। 4 ਤਸਵੀਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੇ 24/6, ਜਾਂ 4 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਇਹ ਗਿਣਤੀ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 3 ਤਸਵੀਰਾਂ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ 1 ਤਸਵੀਰ ਨਹੀਂ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ। 4 ਤਸਵੀਰਾਂ ਹਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਇਨਕਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ 4 ਤਸਵੀਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੇ 4 ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ n ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ n ਅਤੇ r ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
1. ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 5
3. ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਜੋਗਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
4. ਇੱਕ ਫਾਸਟ ਫੂਡ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਪੰਜ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਵਿਕਲਪ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਭੋਜਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
5. ⓐਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ?
6. ⓑਤੁਸੀਂ 3 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ?
7. ਹੱਲ
8. ⓐਅਸੀਂ 5 ਵਿਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 2 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। C(5,2)= 5! 2!(5−2)! =10
9. ⓑਅਸੀਂ 5 ਵਿਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। C(5,3)= 5! 3!(5−3)! =10
10. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
11. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਸੰਜੋਗ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 5 ਦਰਜ ਕਰੋ, ਫਿਰ n C r ਦਬਾਓ, 3 ਦਰਜ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਬਾਓ। n C r ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਮਾਂਡਾਂ ਦੇ ਨਾਲ MATH ਮੀਨੂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਸਥਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
Q&A
12. ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵਿੱਚ ਭਾਗ (a) ਅਤੇ (b) ਦੇ ਜਵਾਬ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ?
13. ਨਹੀਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ (n–r) ਵਸਤੂਆਂ ਨਹੀਂ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ। ਇਸ ਲਈ, C(n,r)=C(n,n–r)।
14. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
15. ਇੱਕ ਆਈਸ ਕ੍ਰੀਮ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਆਈਸ ਕ੍ਰੀਮ ਦੇ 10 ਫਲੇਵਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਨਾਣਾ ਸਪਲਿਟ ਲਈ 3 ਫਲੇਵਰ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
16. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
17. ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਉਹਨਾਂ ਸੰਜੋਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ r ਵਸਤੂਆਂ ਚੁਣੀਆਂ ਹਨ। ਕੁਝ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਸੰਭਵ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਪੀਜ਼ਾ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ 5 ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੀਜ਼ਾ ਸੰਭਵ ਹਨ?
18. ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਵਾਲੇ ਪੀਜ਼ਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਵਾਲਾ ਪੀਜ਼ਾ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦਾ C(5,0)=1 ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਟੌਪਿੰਗ ਵਾਲਾ ਪੀਜ਼ਾ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ C(5,1)=5 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
19. 32 ਸੰਭਵ ਪੀਜ਼ਾ ਹਨ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ 2^5 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
20. ਸਾਨੂੰ ਚੋਣਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਨਾਲ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਚੋਣਾਂ ਹਨ: ਇਸਨੂੰ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਇਸ ਲਈ ਪੂਰੇ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਲਈ ਅਸੀਂ n ਚੋਣਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਹਨ, ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ 2·2·2·…·2 ਹੈ, ਖਾਲੀ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਦੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਾਰ "ਨਹੀਂ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸਲ ਸਮੂਹ ਤੱਕ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਦੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਾਰ "ਹਾਂ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
21. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ
22. n ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵਾਲੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ 2^n ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 6
24. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਵਿੱਚ ਬੇਕ ਕੀਤੇ ਆਲੂ ਲਈ ਬਟਰ, ਚੀਜ਼, ਚਾਈਵਜ਼ ਅਤੇ ਖੱਟੀ ਮਲਾਈ ਟੌਪਿੰਗ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਆਲੂ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ 4 ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n=4 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਆਲੂ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ 16 ਸੰਭਵ ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਵਿਆਹ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਡੇ ਬਾਰ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਲਈ 6 ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਚੁਣੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਡੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਵਸਤੂਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸਨ। ਜੇਕਰ ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਅਭੇਦ ਹੋਣ ਯੋਗ ਹੋਣ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 12 ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ ਸਟਿੱਕਰ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ 12! ਤਰੀਕੇ ਹੁੰਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, 4 ਸਟਿੱਕਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਤਾਰੇ ਹਨ, ਅਤੇ 3 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਚੰਦ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ, 12! ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗਿਣੇ ਹਨ, ਡੁਪਲੀਕੇਟ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਲੱਖਣ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ 4 ਤਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਅਤੇ 3 ਚੰਦਾਂ ਨੂੰ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਤਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ 4! ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਅਤੇ ਚੰਦ ਨੂੰ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ 3! ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੀ ਸ਼ੀਟ ਨੂੰ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ 3,326,400 ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ n ਤੱਤ ਹਨ ਅਤੇ r1 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, r2 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, r3 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ rk ਤੱਕ, ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 7
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
DISTINCT ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦੇ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਾਪਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
8 ਅੱਖਰ ਹਨ। I ਅਤੇ T ਦੋਵੇਂ 2 ਵਾਰ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n=8, r1=2, ਅਤੇ r2=2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
10,080 ਵਿਵਸਥਾਪਨ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
CARRIER ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦੇ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਾਪਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸੰਯੋਜਨ
ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ
1. ਕਿਰਿਆਤਮਕ
2. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਘਟਨਾ A ਵਾਪਰਨ ਦੇ n ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਘਟਨਾ B ਵਾਪਰਨ ਦੇ m ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਅਤੇ A ਅਤੇ B ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਾ-ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
3. ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੱਸੋ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਜਾਂ B ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
4. ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੱਸੋ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਅਤੇ B ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
6. ਜਦੋਂ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ? ਕਿਹੜੇ ਸੰਯੋਜਕ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕਿਹੜੀਆਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ?
7. ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ, n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ।
8. ਜਦੋਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ r ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਉਸ ਵਿਵਸਥਾ ਲਈ ਕੀ ਸ਼ਬਦ ਹੈ? ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ ਲਈ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੀ ਹੈ?
9. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
10. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰੋ।
11. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮੂਹ A={−5,−3,−1,2,3,4,5,6} ਹੈ। A ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
12. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮੂਹ B={−23,−16,−7,−2,20,36,48,72} ਹੈ। A ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
13. ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਪੱਤੇ ਵਾਲੇ ਡੇਕ ਤੋਂ ਇੱਕ ਲਾਲ ਏਸ ਜਾਂ ਇੱਕ ਚਿੜੀ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
14. 5 ਹਰੇ ਰੰਗਾਂ, 4 ਨੀਲੇ ਰੰਗਾਂ, ਜਾਂ 7 ਪੀਲੇ ਰੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਰੰਗ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
15. ਦੋ ਸਿੱਕਿਆਂ ਨੂੰ ਉਛਾਲਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਨਤੀਜੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
16. ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ ਅਤੇ ਇੱਕ 6-ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਨਤੀਜੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
17. ਸਮੂਹ A={b,c,d} ਅਤੇ B={a,e,i,o,u} ਤੋਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਦੋ-ਅੱਖਰੀਆਂ ਸਤਰਾਂ—ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ A ਤੋਂ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਅੱਖਰ B ਤੋਂ—ਬਣਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?
18. ਜੇਕਰ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 3 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਤਰ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
19. ਜੇਕਰ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਤਾਂ 3 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਤਰ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
20. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ।
21. P(5,2)
22. P(8,4)
23. P(3,3)
24. P(9,6)
P(11,5) P(11,5)
C(8,5) C(8,5)
C(12,4) C(12,4)
C(26,3) C(26,3)
C(7,6) C(7,6)
C(10,3) C(10,3)
For the following exercises, find the number of subsets in each given set.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
{a,b,c,…,z} {a,b,c,…,z}
A set containing 5 distinct numbers, 4 distinct letters, and 3 distinct symbols
The set of even numbers from 2 to 28
The set of two-digit numbers between 1 and 100 containing the digit 0
For the following exercises, find the distinct number of arrangements.
The letters in the word “juggernaut”
The letters in the word “academia”
The letters in the word “academia” that begin and end in “a”
The symbols in the string #,#,#,@,@,$,$,$,%,%,%,%
The symbols in the string #,#,#,@,@,$,$,$,%,%,%,% that begin and end with “%”
Extensions
The set, S S consists of 900,000,000 900,000,000 whole numbers, each being the same number of digits long. How many digits long is a number from S? S? (Hint: use the fact that a whole number cannot start with the digit 0.)
The number of 5-element subsets from a set containing n n elements is equal to the number of 6-element subsets from the same set. What is the value of n? n? (Hint: the order in which the elements for the subsets are chosen is not important.)
Can C(n,r) C(n,r) ever equal P(n,r)? P(n,r)? Explain.
Suppose a set A A has 2,048 subsets. How many distinct objects are contained in A? A?
How many arrangements can be made from the letters of the word “mountains” if all the vowels must form a string?
1. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਵਰਤੋਂਆਂ
2. ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 2 ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਅਤੇ 3 ਬੱਚੇ ਹਨ, ਨੇ ਤਸਵੀਰ ਖਿਚਵਾਉਣੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 2 ਪਰਿਵਾਰਕ ਮੈਂਬਰ ਅੱਗੇ ਅਤੇ 3 ਪਿੱਛੇ ਬੈਠਣਗੇ।
3. ⓐ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਸੰਭਵ ਹਨ?
4. ⓑ ਜੇ ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਅੱਗੇ ਬੈਠਣ ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਸੰਭਵ ਹਨ?
5. ⓒ ਜੇ ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਨਾਲ ਬੈਠਣ ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਸੰਭਵ ਹਨ?
6. ਇੱਕ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਕੰਪਨੀ 6 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵੌਇਸ ਪੈਕੇਜ ਅਤੇ 8 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਡਾਟਾ ਪੈਕੇਜ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, 3 ਪੈਕੇਜਾਂ ਵਿੱਚ ਵੌਇਸ ਅਤੇ ਡਾਟਾ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸਿਰਫ਼ ਵੌਇਸ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਡਾਟਾ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ?
7. ਘੋੜ ਦੌੜ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ "ਟ੍ਰਾਈਫੈਕਟਾ" ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸੱਟੇਬਾਜ਼ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਫਿਨਿਸ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਕ੍ਰਮ (ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ, ਦੂਜਾ ਸਥਾਨ, ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਸਥਾਨ) ਵਿੱਚ ਚੁਣ ਕੇ ਜਿੱਤਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਦੌੜ ਵਿੱਚ 14 ਘੋੜੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਟ੍ਰਾਈਫੈਕਟਾ ਸੰਭਵ ਹਨ?
8. ਇੱਕ ਥੋਕ ਟੀ-ਸ਼ਰਟ ਕੰਪਨੀ ਆਰਗੈਨਿਕ ਜਾਂ ਗੈਰ-ਆਰਗੈਨਿਕ ਕਪਾਹ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ, ਦਰਮਿਆਨੇ, ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਵਾਧੂ-ਵੱਡੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਚਿੱਟੇ, ਕਾਲੇ, ਸਲੇਟੀ, ਨੀਲੇ ਅਤੇ ਲਾਲ ਰੰਗਾਂ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕਿੰਨੀ ਵੱਖਰੀਆਂ ਟੀ-ਸ਼ਰਟਾਂ ਚੁਣਨ ਲਈ ਉਪਲਬਧ ਹਨ?
9. ਹੇਕਟਰ ਆਪਣੇ ਨਵੇਂ ਕਾਰੋਬਾਰ ਲਈ ਪੂਰੇ ਕਾਉਂਟੀ ਵਿੱਚ ਬਿਲਬੋਰਡ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਕਾਉਂਟੀ ਵਿੱਚ 30 ਇਲਾਕੇ ਹਨ ਤਾਂ ਹੇਕਟਰ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰ ਦੇਣ ਲਈ 15 ਇਲਾਕਿਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ?
10. ਇੱਕ ਆਰਟ ਸਟੋਰ ਵਿੱਚ 12 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੰਗਾਂ ਅਤੇ 3 ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਸਿਆਹੀ ਵਿੱਚ ਪੇਂਟ ਪੈੱਨਾਂ ਦੇ 4 ਬ੍ਰਾਂਡ ਹਨ। ਕਿੰਨੇ ਪੇਂਟ ਪੈੱਨ ਚੁਣਨ ਲਈ ਉਪਲਬਧ ਹਨ?
11. 8 ਫਰੈਸ਼ਮੈਨ ਅਤੇ 11 ਜੂਨੀਅਰਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਫਰੈਸ਼ਮੈਨ ਅਤੇ 4 ਜੂਨੀਅਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਮੇਟੀ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
12. ਜੇ ਟੀਮ ਵਿੱਚ 15 ਖਿਡਾਰੀ ਹੋਣ ਤਾਂ ਇੱਕ ਬੇਸਬਾਲ ਕੋਚ 9 ਬੱਲੇਬਾਜ਼ਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ?
13. ਇੱਕ ਸੰਚਾਲਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਾਜਦੂਤ ਸਮਾਗਮ ਵਿੱਚ ਖੇਡਣ ਲਈ 5 ਸੈਲਿਸਟਾਂ ਅਤੇ 5 ਵਾਇਲਨਿਸਟਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਹ ਸੰਗੀਤਕ ਮੁਹਾਰਤ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਆਰਕੈਸਟਰਾ ਦੇ 10 ਸੈਲਿਸਟਾਂ ਅਤੇ 16 ਵਾਇਲਨਿਸਟਾਂ ਨੂੰ ਦਰਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਵ ਕੁੱਲ ਸੈਲਿਸਟ ਰੈਂਕਿੰਗ ਦਾ ਸੰਭਵ ਕੁੱਲ ਵਾਇਲਨਿਸਟ ਰੈਂਕਿੰਗ ਨਾਲ ਕੀ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ?
14. ਇੱਕ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਵਿੱਚ 10 ਚੌਪਰ, 6 ਬੌਬਰ ਅਤੇ 5 ਕੈਫੇ ਰੇਸਰ ਹਨ—ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਵਿੰਟੇਜ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ। ਦੁਕਾਨ ਇੱਕ ਵੀਕੈਂਡ ਸ਼ੋਅਕੇਸ ਲਈ 3 ਚੌਪਰ, 5 ਬੌਬਰ ਅਤੇ 2 ਕੈਫੇ ਰੇਸਰ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣ ਸਕਦੀ ਹੈ?
15. ਇੱਕ ਸਕੇਟਬੋਰਡ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਵਿੱਚ 10 ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਬੋਰਡ ਡੇਕ, 3 ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਟਰੱਕ ਅਤੇ 4 ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਪਹੀਏ ਸਟਾਕ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਕੇਟਬੋਰਡ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
16. ਜਸਟ-ਫਾਰ-ਕਿਕਸ ਸਨੀਕਰ ਕੰਪਨੀ ਇੱਕ ਆਨਲਾਈਨ ਕਸਟਮਾਈਜ਼ਿੰਗ ਸੇਵਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਕੋਈ ਗਾਹਕ 11 ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣ ਯੋਗ ਵਿਕਲਪਾਂ ਤੱਕ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਜੁੱਤੀ ਵਿੱਚੋਂ ਚੁਣ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕਸਟਮ ਜਸਟ-ਫਾਰ-ਕਿਕਸ ਸਨੀਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਰਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
17. ਇੱਕ ਕਾਰ ਵਾਸ਼ ਬੁਨਿਆਦੀ ਵਾਸ਼ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਕਲਪਿਕ ਸੇਵਾਵਾਂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਕਲੀਅਰ ਕੋਟ ਵੈਕਸ, ਟ੍ਰਿਪਲ ਫੋਮ ਪੋਲਿਸ਼, ਅੰਡਰਕੈਰੀਏਜ ਵਾਸ਼, ਰਸਟ ਇਨਿਬਿਟਰ, ਵ੍ਹੀਲ ਬ੍ਰਾਈਟਨਰ, ਏਅਰ ਫਰੈਸ਼ਨਰ, ਅਤੇ ਇੰਟੀਰੀਅਰ ਸ਼ੈਂਪੂ। ਕਿੰਨੇ ਵਾਸ਼ ਸੰਭਵ ਹਨ ਜੇਕਰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਵਾਸ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਵਿਕਲਪ ਜੋੜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
18. ਸੁਨੀ ਨੇ ਆਪਣੇ ਬਾਗ਼ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਲਗਾਉਣ ਲਈ 20 ਪੌਦੇ ਖਰੀਦੇ। ਜੇ ਪੌਦੇ 6 ਟਿਊਲਿਪ, 6 ਗੁਲਾਬ ਅਤੇ 8 ਡੇਜ਼ੀਜ਼ ਦੇ ਬਣੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਉਹ ਕਿੰਨੇ ਵੱਖਰੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਬਣਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
19. 9 ਲਾਲ, 10 ਹਰੇ, 6 ਚਿੱਟੇ ਅਤੇ 12 ਸੋਨੇ ਦੇ ਰੰਗਾਂ ਦੇ ਬਲਬਾਂ ਤੋਂ ਕ੍ਰਿਸਮਸ ਲਾਈਟਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਕਿੰਨੇ ਵਿਲੱਖਣ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?