ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣਾ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਉੱਚ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣਾ ਥਕਾਊ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਲੈਣ ਵਾਲਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਸਾਨੂੰ (x+y) n (x+y) n ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ n n ਵਾਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਵੇਗਾ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ। (x+y) n (x+y) n ਲੱਭਣ ਦੇ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ ਜੋ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣਗੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ C(n,r), C(n,r) ਦੀ ਬਜਾਏ ( n r ) ( n r ) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਉਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ
ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨ ( n r ) ( n r ) ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ( 5 2 )=C(5,2)=10 ਹੈ। ( 5 2 )=C(5,2)=10।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ
ਜੇਕਰ n n ਅਤੇ r r ਸਿਫ਼ਰ ਜਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ n≥r, n≥r, ਤਾਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ
Q&A
ਕੀ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭਣਾ
ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
ⓐ ( 5 3 ) ( 5 3 )
ⓑ ( 9 2 ) ( 9 2 )
ⓒ ( 9 7 ) ( 9 7 )
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ 'ਤੇ n C r n C r ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ⓐ ( 5 3 )= 5! 3!(5−3)! = 5⋅4⋅3! 3!2! =10 ( 5 3 )= 5! 3!(5−3)! = 5⋅4⋅3! 3!2! =10
ⓑ ( 9 2 )= 9! 2!(9−2)! = 9⋅8⋅7! 2!7! =36 ( 9 2 )= 9! 2!(9−2)! = 9⋅8⋅7! 2!7! =36
ⓒ ( 9 7 )= 9! 7!(9−7)! = 9⋅8⋅7! 7!2! =36 ( 9 7 )= 9! 7!(9−7)! = 9⋅8⋅7! 7!2! =36
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ (b) ਅਤੇ (c) ਲਈ ਇੱਕੋ ਨਤੀਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਦੋ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕ੍ਰਮ ਉਲਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
2. ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
3. ⓐ ( 7 3 ) ( 7 3 )
4. ⓑ ( 11 4 ) ( 11 4 )
5. ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
6. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ (x+y) n (x+y) n ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ (x+y) 52 (x+y) 52 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ (x+y) (x+y) ਨੂੰ ਬਵੰਜਾ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਘੰਟੇ ਲੱਗ ਸਕਦੇ ਹਨ! ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਸਧਾਰਨ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਣਗੇ।
7. ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨਾਲ, x x ਲਈ ਘਾਤ ਘਟਦੀ ਹੈ ਅਤੇ y y ਲਈ ਘਾਤ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਦੋ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹਰੇਕ ਪਦ ਲਈ n n ਹੈ।
8. ਅੱਗੇ, ਆਓ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗੁਣਾਂਕ ਵਧਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਸਮਮਿਤੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਘਟਦੇ ਹਨ। ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ:
9. ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਸਾਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
10. ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਆਮ ਰੂਪ, x+y, x+y, ਦੀ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ, ਲਗਾਤਾਰ ਘਾਤਾਂ 1, 2, 3, ਅਤੇ 4 ਤੱਕ।
11. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੋਪਦੀ (x+y) 5 (x+y) 5 ਲਈ ਅਗਲੇ ਵਿਸਤਾਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?
12. ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ, ਜੋ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ:
13. (x+y) n (x+y) n ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ n+1 n+1 ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
14. ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ (ਜਾਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ) n ਹੈ। n.
15. x x ਉੱਤੇ ਘਾਤਾਂ n n ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ 0 ਤੱਕ ਘਟਦੀਆਂ ਹਨ।
16. y y ਉੱਤੇ ਘਾਤਾਂ 0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ n n ਤੱਕ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ।
17. ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
18. (x+y) 5 (x+y) 5 ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ n=5, n=5, ਇਸ ਲਈ, 5+1 = 6 ਪਦ ਹੋਣਗੇ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੀ ਸੰਯੁਕਤ ਡਿਗਰੀ 5 ਹੈ। x x ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਉਤਰਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਪੈਟਰਨ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ:
19. x 5 x 5 ਪੇਸ਼ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਲਈ x x ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ 1 ਘਟਾਓ ਜਦੋਂ ਤੱਕ x 0 =1 x 0 =1 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਨਾ ਜਾਵੇ।
20. y 0 =1 y 0 =1 ਪੇਸ਼ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ y y ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ 1 ਵਧਾਓ ਜਦੋਂ ਤੱਕ y 5 y 5 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਨਾ ਜਾਵੇ। x 5 , x 4 y, x 3 y 2 , x 2 y 3 ,x y 4 , y 5 x 5 , x 4 y, x 3 y 2 , x 2 y 3 ,x y 4 , y 5
21. ਅਗਲਾ ਵਿਸਤਾਰ ਹੋਵੇਗਾ
22. ਪਰ ਉਹ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿੱਥੋਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਇੱਕ ਐਰੇ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਾਸਕਲ ਨੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਆਵਿਸ਼ਕਾਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਨੀਂਹ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੂਜੀ ਸਦੀ ਈਸਾ ਪੂਰਵ ਵਿੱਚ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ (ਅਤੇ ਕਵੀ) ਪਿੰਗਲਾ ਦੁਆਰਾ 1500 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਵਿਕਸਤ ਅਤੇ ਲਿਖੇ ਗਏ ਸਨ। ਏਸ਼ੀਆ ਅਤੇ ਯੂਰਪ ਦੇ ਹੋਰ ਲੋਕਾਂ ਨੇ ਇਹਨਾਂ ਸਿਧਾਂਤਾਂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕੀਤਾ, ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਇਰਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਤੇ ਖਗੋਲ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਉਮਰ ਖਯਾਮ ਦੁਆਰਾ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਨਾਮ ਇਰਾਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਲੇਜ਼ ਪਾਸਕਲ ਨੇ ਇਸਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਕੇ ਇਸਨੂੰ ਮੁੜ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।
23. ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ 1 ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ, ਕਤਾਰ 2, ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ 1 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਕਤਾਰਾਂ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ 1's ਨਾਲ ਫਲੈਂਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਸੰਖਿਆ, 2, ਲੱਭਣ ਲਈ 1+1 1+1 ਜੋੜੋ। nਵੀਂ nਵੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਕਤਾਰ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ 1's ਨਾਲ ਫਲੈਂਕ ਕਰੋ। ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਇਸਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਦੋ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
24. ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਤੇ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਆਓ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ 'ਤੇ ਮੁੜ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੂਤਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ n ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k=0 ਤੋਂ k=n ਤੱਕ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ⓐ (x+y) 5
ⓑ ( 3x−y ) 4
ਹੱਲ
ⓐ n=5 ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। k=0 ਤੋਂ k=5 ਤੱਕ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ। (x+y) 5 =( 5 0 ) x 5 y 0 +( 5 1 ) x 4 y 1 +( 5 2 ) x 3 y 2 +( 5 3 ) x 2 y 3 +( 5 4 ) x 1 y 4 +( 5 5 ) x 0 y 5 (x+y) 5 = x 5 +5 x 4 y+10 x 3 y 2 +10 x 2 y 3 +5x y 4 + y 5
ⓑ n=4 ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। k=0 ਤੋਂ k=4 ਤੱਕ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 3x, x ਵਾਲੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ –y, y ਵਾਲੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਸਰਲ ਕਰੋ। (3x−y) 4 =( 4 0 ) (3x) 4 (−y) 0 +( 4 1 ) (3x) 3 (−y) 1 +( 4 2 ) (3x) 2 (−y) 2 +( 4 3 ) (3x) 1 (−y) 3 +( 4 4 ) (3x) 0 (−y) 4 (3x−y) 4 =81 x 4 −108 x 3 y+54 x 2 y 2 −12x y 3 + y 4
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਭਾਗ b ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ (−y) ਨੂੰ ਜਿਸਮਾਨੀ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ (−y) ਨੂੰ ਜਿਸਮਾਨੀ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਾਪਰੇਗਾ ਜਦੋਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ⓐ (x−y) 5
ⓑ (2x+5y) 3
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
(x+2y) 16 ਵਰਗੀ ਉੱਚ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਲੰਮੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਈ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪਦ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਖਾਸ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. (x+y) 5 . (x+y) 5 ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਪੈਟਰਨ ਨੋਟ ਕਰੋ।
2. ਦੂਜੀ ਪਦਵੀ ( 5 1 ) x 4 y ਹੈ। ਤੀਜੀ ਪਦਵੀ ( 5 2 ) x 3 y 2 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ (r+1)ਵੀਂ ਪਦਵੀ
4. (x+y) n (x+y) n ਦੇ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ (r+1)ਵੀਂ (r+1)ਵੀਂ ਪਦਵੀ ਹੈ:
5. ਕਿਵੇਂ
6. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋਪਦੀ ਲਈ, ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪਦ ਲਿਖੋ।
7. ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ n n ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
8. (r+1) (r+1) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
9. r r ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
10. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ (r+1)ਵੀਂ (r+1)ਵੀਂ ਪਦਵੀ ਲਈ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ r r ਬਦਲੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 3
12. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
13. (x+2y) 16 (x+2y) 16 ਦੀ ਦਸਵੀਂ ਪਦਵੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦਸਵੀਂ ਪਦਵੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, r+1=10, r+1=10, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ r=9 r=9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
16. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
17. (3x−y) 9 (3x−y) 9 ਦੀ ਛੇਵੀਂ ਪਦਵੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭੋ।
18. ਮੀਡੀਆ
19. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
20. ਦੋਪਦੀ ਥਿਊਰਮ
21. ਦੋਪਦੀ ਥਿਊਰਮ ਉਦਾਹਰਨ
22. ਸ਼ਬਦਕ
23. ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਕੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
24. ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦੇ ਹਨ? ਕੀ ਉਹ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹਨ?
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਕੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਪਯੋਗ ਕੀ ਹੈ?
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਦੋਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
( 6 2 ) ( 6 2 )
( 5 3 ) ( 5 3 )
( 7 4 ) ( 7 4 )
( 9 7 ) ( 9 7 )
( 10 9 ) ( 10 9 )
( 25 11 ) ( 25 11 )
( 17 6 ) ( 17 6 )
( 200 199 ) ( 200 199 )
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(4a−b) 3 (4a−b) 3
(5a+2) 3 (5a+2) 3
(3a+2b) 3 (3a+2b) 3
(2x+3y) 4 (2x+3y) 4
(4x+2y) 5 (4x+2y) 5
(3x−2y) 4 (3x−2y) 4
(4x−3y) 5 (4x−3y) 5
( 1 x +3y ) 5 ( 1 x +3y ) 5
( x −1 +2 y −1 ) 4 ( x −1 +2 y −1 ) 4
( x − y ) 5 ( x − y ) 5
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਲਿਖਣ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(a+b) 17 (a+b) 17
(x−1) 18 (x−1) 18
(a−2b) 15 (a−2b) 15
(x−2y) 8 (x−2y) 8
(3a+b) 20 (3a+b) 20
(2a+4b) 7 (2a+4b) 7
( x 3 − y ) 8 ( x 3 − y ) 8
For the following exercises, find the indicated term of each binomial without fully expanding the binomial.
The fourth term of (2x−3y) 4 (2x−3y) 4
The fourth term of (3x−2y) 5 (3x−2y) 5
The third term of (6x−3y) 7 (6x−3y) 7
The eighth term of (7+5y) 14 (7+5y) 14
The seventh term of (a+b) 11 (a+b) 11
The fifth term of (x−y) 7 (x−y) 7
The tenth term of (x−1) 12 (x−1) 12
The ninth term of (a−3 b 2 ) 11 (a−3 b 2 ) 11
The fourth term of ( x 3 − 1 2 ) 10 ( x 3 − 1 2 ) 10
The eighth term of ( y 2 + 2 x ) 9 ( y 2 + 2 x ) 9
Graphical
For the following exercises, use the Binomial Theorem to expand the binomial f(x)= (x+3) 4 . f(x)= (x+3) 4 . Then find and graph each indicated sum on one set of axes.
Find and graph f 1 (x), f 1 (x), such that f 1 (x) f 1 (x) is the first term of the expansion.
Find and graph f 2 (x), f 2 (x), such that f 2 (x) f 2 (x) is the sum of the first two terms of the expansion.
Find and graph f 3 (x), f 3 (x), such that f 3 (x) f 3 (x) is the sum of the first three terms of the expansion.
Find and graph f 4 (x), f 4 (x), such that f 4 (x) f 4 (x) is the sum of the first four terms of the expansion.
1. ਪੰਜਵੇਂ ਪਦ (f 5 (x)) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਜਿੱਥੇ f 5 (x) f 5 (x) ਵਿਸਥਾਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
2. ਵਿਸਥਾਰ
3. (5x+3y) n ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਦ ( n k ) a n–k b k ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k successively 0,1,2,...,n ਮੁੱਲ ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ( n k )=( 7 2 ) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪਦ ਕਿਹੜਾ ਹੈ?
4. ( a+b ) n ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ, a n−k b k ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਸ ਹੋਰ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?
5. (x+b) 40 ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। kਵੇਂ ਪਦ ਵਿੱਚ b ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਕੀ ਹੈ?
6. ( n k−1 )+( n k ) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ( n k ) ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਇਸਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰੋ। ਸੰਕੇਤ: ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ p, ਜਿੱਥੇ p≥1, ਲਈ p!=p(p−1)! ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
7. ਕਿਹੜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਵਿਸਥਾਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ? ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
8. ( x 2 −2x+1)
9. ( a +4 a −5) 8
10. ( x 3 +2 y 2 −z) 5
11. (3 x 2 − 2 y 3 ) 12