ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓਗੇ।
ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋਗੇ।
ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋਗੇ।
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੂਰਕ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਗਿਣਤੀ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: "ਸਪੈਗੇਟੀ ਮਾਡਲ" ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ, ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤੂਫਾਨੀ ਝੱਖੜ ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਮਾਰਗਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।1
ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਦੇ ਦੱਖਣ-ਪੂਰਬੀ ਵਾਸੀ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਰਗੇ ਸਪੈਗੇਟੀ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਚਾਰਟਾਂ ਤੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਣੂ ਹਨ। ਇਹ ਇੱਕ ਤੂਫਾਨੀ ਝੱਖੜ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਸੰਭਾਵਿਤ ਮਾਰਗ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਮੌਸਮ ਦੇ ਡਾਟੇ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਰੰਗੀਨ ਲਾਈਨ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਿਤ ਮਾਰਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਘੁੰਗਰਾਲੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਸਪੈਗੇਟੀ ਦੇ ਧਾਗਿਆਂ ਵਰਗਾ ਲੱਗਣ ਲੱਗ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਨਾਮ ਪਿਆ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀਆਂ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਉਸਾਰੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਨੰਬਰ ਕਿਊਬ ਰੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਕਿਊਬ ਨੂੰ ਰੋਲ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਨਿਰੀਖਣਯੋਗ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਗਤੀਵਿਧੀ। ਕਿਊਬ 'ਤੇ ਨੰਬਰ ਇਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ, ਜਾਂ ਆਊਟਕਮ ਹਨ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਲਈ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ {1,2,3,4,5,6} ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਘਟਨਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹੈ।
ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਘਟਨਾ p ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਹਮੇਸ਼ਾ 0≤p≤1 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 0 ਇੱਕ ਅਸੰਭਵ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 1 ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਵਰਣਨ ਹੈ ਜੋ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਰੈਫਲ ਜਿੱਤਣ ਦਾ 1% ਮੌਕਾ ਹੈ ਅਤੇ ਰੈਫਲ ਹਾਰਨ ਦਾ 99% ਮੌਕਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲ ਟੇਬਲ 1 ਵਰਗਾ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
ਪੰਗਤੀ: ਨਤੀਜਾ | ਸੰਭਾਵਨਾ
ਪੰਗਤੀ: ਰੈਫਲ ਜਿੱਤਣਾ | 1%
ਪੰਗਤੀ: ਰੈਫਲ ਹਾਰਨਾ | 99%
ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 1, ਜਾਂ 100% ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਟਨਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਘਟਨਾ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹੈ, ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ।
ਹਰ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹਰ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ, ਨਿਰਪੱਖ ਡਾਈ ਨੂੰ ਰੋਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾ ਡਾਈ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
Solution
Begin by making a list of all possible outcomes for the experiment. The possible outcomes are the numbers that can be rolled: 1, 2, 3, 4, 5, and 6. There are six possible outcomes that make up the sample space.
Assign probabilities to each outcome in the sample space by determining a ratio of the outcome to the number of possible outcomes. There is one of each of the six numbers on the cube, and there is no reason to think that any particular face is more likely to show up than any other one, so the probability of rolling any number is 1 6 . 1 6 .
row: Outcome | Roll of 1 | Roll of 2 | Roll of 3 | Roll of 4 | Roll of 5 | Roll of 6
row: Probability | 1 6 1 6 | 1 6 1 6 | 1 6 1 6 | 1 6 1 6 | 1 6 1 6 | 1 6 1 6
Q&A
Do probabilities always have to be expressed as fractions?
No. Probabilities can be expressed as fractions, decimals, or percents. Probability must always be a number between 0 and 1, inclusive of 0 and 1.
Try It #1
Construct a probability model for tossing a fair coin.
Computing Probabilities of Equally Likely Outcomes
Let S S be a sample space for an experiment. When investigating probability, an event is any subset of S. S. When the outcomes of an experiment are all equally likely, we can find the probability of an event by dividing the number of outcomes in the event by the total number of outcomes in S. S. Suppose a number cube is rolled, and we are interested in finding the probability of the event “rolling a number less than or equal to 4.” There are 4 possible outcomes in the event and 6 possible outcomes in S, S, so the probability of the event is 4 6 = 2 3 . 4 6 = 2 3 .
Computing the Probability of an Event with Equally Likely Outcomes
The probability of an event E E in an experiment with sample space S S with equally likely outcomes is given by
E E is a subset of S, S, so it is always true that 0≤P(E)≤1. 0≤P(E)≤1.
Example 2
Computing the Probability of an Event with Equally Likely Outcomes
A six-sided number cube is rolled. Find the probability of rolling an odd number.
Solution
The event “rolling an odd number” contains three outcomes. There are 6 equally likely outcomes in the sample space. Divide to find the probability of the event.
Try It #2
A number cube is rolled. Find the probability of rolling a number greater than 2.
Computing the Probability of the Union of Two Events
We are often interested in finding the probability that one of multiple events occurs. Suppose we are playing a card game, and we will win if the next card drawn is either a heart or a king. We would be interested in finding the probability of the next card being a heart or a king. The union of two events Eand F,written E∪F, Eand F,written E∪F, is the event that occurs if either or both events occur.
Suppose the spinner in Figure 2 is spun. We want to find the probability of spinning orange or spinning a b. b.
6 ਭਾਗ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਸੰਤਰੀ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸੰਤਰੀ ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 3/6 = 1/2 ਹੈ। 3/6 = 1/2 ਹੈ। ਕੁੱਲ 6 ਭਾਗ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 2 'ਤੇ 'b' ਲਿਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ 'b' ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 2/6 = 1/3 ਹੈ। 2/6 = 1/3 ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਗਿਣ ਰਹੇ ਹੋਵਾਂਗੇ ਜੋ ਸੰਤਰੀ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ 'b' ਵੀ। ਸੰਤਰੀ ਜਾਂ 'b' ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਸੰਤਰੀ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ 'b' ਵੀ।
ਸੰਤਰੀ ਜਾਂ 'b' ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 2/3 ਹੈ। 2/3 ਹੈ।
ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ
ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ E ਅਤੇ F (ਜਿਸਨੂੰ E∪F ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, E ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੇ F ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚੋਂ E ਅਤੇ F ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ (ਜਿਸਨੂੰ E ਅਤੇ F ਦਾ ਅੰਤਰ-ਛੇਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ E∩F ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਪੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਿਲ ਜਾਂ 7 ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਪੱਤੇ ਵਿੱਚ ਦਿਲ, ਚਿੜੀ, ਕਲੱਬ ਅਤੇ ਸਪੇਡ ਦੀ ਬਰਾਬਰ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਦਿਲ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1/4 ਹੈ। 1/4 ਹੈ। ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਪੱਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ 7 ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕੁੱਲ 52 ਪੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ 7 ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1/13 ਹੈ। 1/13 ਹੈ।
ਪੱਤੇ ਵਿੱਚ ਇਕੱਲਾ ਪੱਤਾ ਜੋ ਦਿਲ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ 7 ਵੀ ਹੈ, ਉਹ ਦਿਲ ਦਾ 7 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਦਿਲ ਅਤੇ 7 ਦੋਵੇਂ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1/52 ਹੈ। 1/52 ਹੈ। P(H)= 1/4, P(7)= 1/13, ਅਤੇ P(H∩7)= 1/52 ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਦਿਲ ਜਾਂ 7 ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 4/13 ਹੈ। 4/13 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਪੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਲਾਲ ਪੱਤਾ ਜਾਂ ਇਕਾ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਜਿਹੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਜੋ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਸਪਿਨਰ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਸੰਤਰੀ ਜਾਂ 'd' ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹੇ ਕੋਈ ਭਾਗ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜੋ ਸੰਤਰੀ ਵੀ ਹੋਣ ਅਤੇ 'd' ਵੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ, ਇਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਨਤੀਜੇ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਨਤੀਜੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਓਵਰਲੈਪ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਾਲ, E ਅਤੇ F ਦਾ ਅੰਤਰ-ਛੇਦ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਤਰੀ ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 3/6 = 1/2 ਹੈ ਅਤੇ 'd' ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1/6 ਹੈ। 1/6 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸੰਤਰੀ ਜਾਂ 'd' ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਰਫ ਦੋ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸੰਤਰੀ ਜਾਂ 'd' ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 2/3 ਹੈ। 2/3 ਹੈ।
ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ
ਦੋ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ E ਅਤੇ F ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਲਈ, ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੀ ਘਟਨਾ ਲਈ ਕੁੱਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੀ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਲਈ ਕੁੱਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਜੋੜੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਿਲ ਜਾਂ ਕਲੱਬ ਦਾ ਪੱਤਾ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
"ਦਿਲ ਖਿੱਚਣ" ਅਤੇ "ਕਲੱਬ ਖਿੱਚਣ" ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਨਹੀਂ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ। ਦਿਲ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1/4 ਹੈ, ਅਤੇ ਕਲੱਬ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੀ 1/4 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਦਿਲ ਜਾਂ ਕਲੱਬ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਏਕਾ ਜਾਂ ਇੱਕ ਬਾਦਸ਼ਾਹ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੂਰਕ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਘਟਨਾ ਕਿਵੇਂ ਵਾਪਰੇਗੀ ਇਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਘਟਨਾ ਨਹੀਂ ਵਾਪਰੇਗੀ। ਘਟਨਾ E, ਜਿਸਨੂੰ E' ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਦਾ ਪੂਰਕ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ E ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਘੋੜਾ ਦੌੜ ਹਾਰ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਘਟਨਾ W ਦੌੜ ਵਿੱਚ ਘੋੜੇ ਦੇ ਜਿੱਤਣ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਟਨਾ W ਦਾ ਪੂਰਕ ਘੋੜੇ ਦਾ ਦੌੜ ਹਾਰਨਾ ਹੈ।
ਘੋੜੇ ਦੇ ਦੌੜ ਹਾਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 1 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਘੋੜੇ ਦੇ ਜਿੱਤਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੇ ਘੋੜੇ ਦੇ ਹਾਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਜੋੜ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਦੌੜ ਜਿੱਤਣ ਵਾਲੇ ਘੋੜੇ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1/9 ਹੈ, ਤਾਂ ਦੌੜ ਹਾਰਨ ਵਾਲੇ ਘੋੜੇ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਹੈ
ਪੂਰਕ ਨਿਯਮ
ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਪੂਰਕ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੂਰਕ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਦੋ ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਨੰਬਰ ਕਿਊਬ ਰੋਲ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ⓐ ਰੋਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 3 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਰੋਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 3 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਦੋ ਨੰਬਰ ਕਿਊਬ ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਨੰਬਰ ਕਿਊਬ ਵਿੱਚ ਛੇ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਹਨ। ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 6×6, ਜਾਂ 36 ਕੁੱਲ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 1-1 ਹਰੇਕ ਨੰਬਰ ਕਿਊਬ 'ਤੇ 1 ਰੋਲ ਹੋਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
row: 1-1 | 1-2 | 1-3 | 1-4 | 1-5 | 1-6
row: 2-1 | 2-2 | 2-3 | 2-4 | 2-5 | 2-6
row: 3-1 3-1 | 3-2 3-2 | 3-3 3-3 | 3-4 3-4 | 3-5 3-5 | 3-6 3-6
row: 4-1 4-1 | 4-2 4-2 | 4-3 4-3 | 4-4 4-4 | 4-5 4-5 | 4-6 4-6
row: 5-1 5-1 | 5-2 5-2 | 5-3 5-3 | 5-4 5-4 | 5-5 5-5 | 5-6 5-6
row: 6-1 6-1 | 6-2 6-2 | 6-3 6-3 | 6-4 6-4 | 6-5 6-5 | 6-6 6-6
ⓐWe need to count the number of ways to roll a sum of 3 or less. These would include the following outcomes: 1-1, 1-2, and 2-1. So there are only three ways to roll a sum of 3 or less. The probability is 3 36 = 1 12 3 36 = 1 12
ⓑRather than listing all the possibilities, we can use the Complement Rule. Because we have already found the probability of the complement of this event, we can simply subtract that probability from 1 to find the probability that the sum of the numbers rolled is greater than 3. P( E ′ )=1−P(E) =1− 1 12 = 11 12 P( E ′ )=1−P(E) =1− 1 12 = 11 12
Try It #5
Two number cubes are rolled. Use the Complement Rule to find the probability that the sum is less than 10.
Computing Probability Using Counting Theory
Many interesting probability problems involve counting principles, permutations, and combinations. In these problems, we will use permutations and combinations to find the number of elements in events and sample spaces. These problems can be complicated, but they can be made easier by breaking them down into smaller counting problems.
Assume, for example, that a store has 8 cellular phones and that 3 of those are defective. We might want to find the probability that a couple purchasing 2 phones receives 2 phones that are not defective. To solve this problem, we need to calculate all of the ways to select 2 phones that are not defective as well as all of the ways to select 2 phones. There are 5 phones that are not defective, so there are C(5,2) C(5,2) ways to select 2 phones that are not defective. There are 8 phones, so there are C(8,2) C(8,2) ways to select 2 phones. The probability of selecting 2 phones that are not defective is:
Example 6
Computing Probability Using Counting Theory
A child randomly selects 5 toys from a bin containing 3 bunnies, 5 dogs, and 6 bears.
ⓐFind the probability that only bears are chosen.
ⓑFind the probability that 2 bears and 3 dogs are chosen.
ⓒFind the probability that at least 2 dogs are chosen.
Solution
ⓐWe need to count the number of ways to choose only bears and the total number of possible ways to select 5 toys. There are 6 bears, so there are C(6,5) C(6,5) ways to choose 5 bears. There are 14 toys, so there are C(14,5) C(14,5) ways to choose any 5 toys. C(6,5) C(14,5) = 6 2,002 = 3 1,001 C(6,5) C(14,5) = 6 2,002 = 3 1,001
ⓑWe need to count the number of ways to choose 2 bears and 3 dogs and the total number of possible ways to select 5 toys. There are 6 bears, so there are C(6,2) C(6,2) ways to choose 2 bears. There are 5 dogs, so there are C(5,3) C(5,3) ways to choose 3 dogs. Since we are choosing both bears and dogs at the same time, we will use the Multiplication Principle. There are C(6,2)⋅C(5,3) C(6,2)⋅C(5,3) ways to choose 2 bears and 3 dogs. We can use this result to find the probability. C(6,2)C(5,3) C(14,5) = 15⋅10 2,002 = 75 1,001 C(6,2)C(5,3) C(14,5) = 15⋅10 2,002 = 75 1,001
ⓒIt is often easiest to solve “at least” problems using the Complement Rule. We will begin by finding the probability that fewer than 2 dogs are chosen. If less than 2 dogs are chosen, then either no dogs could be chosen, or 1 dog could be chosen. When no dogs are chosen, all 5 toys come from the 9 toys that are not dogs. There are C(9,5) C(9,5) ways to choose toys from the 9 toys that are not dogs. Since there are 14 toys, there are C(14,5) C(14,5) ways to choose the 5 toys from all of the toys. C(9,5) C(14,5) = 63 1,001 C(9,5) C(14,5) = 63 1,001 If there is 1 dog chosen, then 4 toys must come from the 9 toys that are not dogs, and 1 must come from the 5 dogs. Since we are choosing both dogs and other toys at the same time, we will use the Multiplication Principle. There are C(5,1)⋅C(9,4) C(5,1)⋅C(9,4) ways to choose 1 dog and 1 other toy. C(5,1)C(9,4) C(14,5) = 5⋅126 2,002 = 315 1,001 C(5,1)C(9,4) C(14,5) = 5⋅126 2,002 = 315 1,001 Because these events would not occur together and are therefore mutually exclusive, we add the probabilities to find the probability that fewer than 2 dogs are chosen. 63 1,001 + 315 1,001 = 378 1,001 63 1,001 + 315 1,001 = 378 1,001 We then subtract that probability from 1 to find the probability that at least 2 dogs are chosen. 1− 378 1,001 = 623 1,001 1− 378 1,001 = 623 1,001
Try It #6
A child randomly selects 3 gumballs from a container holding 4 purple gumballs, 8 yellow gumballs, and 2 green gumballs.
ⓐFind the probability that all 3 gumballs selected are purple.
ⓑFind the probability that no yellow gumballs are selected.
ⓒFind the probability that at least 1 yellow gumball is selected.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with probability.
Introduction to Probability
Determining Probability
Verbal
What term is used to express the likelihood of an event occurring? Are there restrictions on its values? If so, what are they? If not, explain.
What is a sample space?
What is an experiment?
What is the difference between events and outcomes? Give an example of both using the sample space of tossing a coin 50 times.
The union of two sets is defined as a set of elements that are present in at least one of the sets. How is this similar to the definition used for the union of two events from a probability model? How is it different?
Numeric
For the following exercises, use the spinner shown in Figure 3 to find the probabilities indicated.
Landing on red
Landing on a vowel
Not landing on blue
Landing on purple or a vowel
Landing on blue or a vowel
Landing on green or blue
Landing on yellow or a consonant
Not landing on yellow or a consonant
For the following exercises, two coins are tossed.
What is the sample space?
Find the probability of tossing two heads.
Find the probability of tossing exactly one tail.
Find the probability of tossing at least one tail.
For the following exercises, four coins are tossed.
What is the sample space?
Find the probability of tossing exactly two heads.
Find the probability of tossing exactly three heads.
Find the probability of tossing four heads or four tails.
Find the probability of tossing all tails.
Find the probability of tossing not all tails.
Find the probability of tossing exactly two heads or at least two tails.
Find the probability of tossing either two heads or three heads.
For the following exercises, one card is drawn from a standard deck of 52 52 cards. Find the probability of drawing the following:
A club
A two
Six or seven
Red six
An ace or a diamond
A non-ace
A heart or a non-jack
For the following exercises, two dice are rolled, and the results are summed.
Construct a table showing the sample space of outcomes and sums.
Find the probability of rolling a sum of 3. 3.
Find the probability of rolling at least one four or a sum of 8. 8.
Find the probability of rolling an odd sum less than 9. 9.
Find the probability of rolling a sum greater than or equal to 15. 15.
Find the probability of rolling a sum less than 15. 15.
Find the probability of rolling a sum less than 6 6 or greater than 9. 9.
Find the probability of rolling a sum between 6 6 and 9, 9, inclusive.
Find the probability of rolling a sum of 5 5 or 6. 6.
Find the probability of rolling any sum other than 5 5 or 6. 6.
For the following exercises, a coin is tossed, and a card is pulled from a standard deck. Find the probability of the following:
A head on the coin or a club
A tail on the coin or red ace
A head on the coin or a face card
No aces
For the following exercises, use this scenario: a bag of M&Ms contains 12 12 blue, 6 6 brown, 10 10 orange, 8 8 yellow, 8 8 red, and 4 4 green M&Ms. Reaching into the bag, a person grabs 5 M&Ms.
What is the probability of getting all blue M&Ms?
What is the probability of getting 4 4 blue M&Ms?
What is the probability of getting 3 3 blue M&Ms?
What is the probability of getting no brown M&Ms?
Extensions
Use the following scenario for the exercises that follow: In the game of Keno, a player starts by selecting 20 20 numbers from the numbers 1 1 to 80. 80. After the player makes his selections, 20 20 winning numbers are randomly selected from numbers 1 1 to 80. 80. A win occurs if the player has correctly selected 3,4, 3,4, or 5 5 of the 20 20 winning numbers. (Round all answers to the nearest hundredth of a percent.)
What is the percent chance that a player selects exactly 3 winning numbers?
What is the percent chance that a player selects exactly 4 winning numbers?
What is the percent chance that a player selects all 5 winning numbers?
What is the percent chance of winning?
How much less is a player’s chance of selecting 3 winning numbers than the chance of selecting either 4 or 5 winning numbers?
Real-World Applications
Use this data for the exercises that follow: In 2013, there were roughly 317 million citizens in the United States, and about 40 million were elderly (aged 65 and over).2
If you meet a U.S. citizen, what is the percent chance that the person is elderly? (Round to the nearest tenth of a percent.)
If you meet five U.S. citizens, what is the percent chance that exactly one is elderly? (Round to the nearest tenth of a percent.)
If you meet five U.S. citizens, what is the percent chance that three are elderly? (Round to the nearest tenth of a percent.)
If you meet five U.S. citizens, what is the percent chance that four are elderly? (Round to the nearest thousandth of a percent.)
It is predicted that by 2030, one in five U.S. citizens will be elderly. How much greater will the chances of meeting an elderly person be at that time? What policy changes do you foresee if these statistics hold true?