Review Exercises
True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.
A function is always one-to-one.
f∘g=g∘f,f∘g=g∘f, assuming f and g are functions.
A relation that passes the horizontal and vertical line tests is a one-to-one function.
A relation passing the horizontal line test is a function.
For the following problems, state the domain and range of the given functions:
f=x2+2x−3,g=ln(x−5),h=1x+4f=x2+2x−3,g=ln(x−5),h=1x+4
h
g
h∘fh∘f
g∘fg∘f
Find the degree, y-intercept, and zeros for the following polynomial functions.
f(x)=2x2+9x−5f(x)=2x2+9x−5
f(x)=x3+2x2−2xf(x)=x3+2x2−2x
Simplify the following trigonometric expressions.
tan 2 x sec 2 x + cos 2 x tan 2 x sec 2 x + cos 2 x
cos 2 x - sin 2 x cos 2 x - sin 2 x
Solve the following trigonometric equations on the interval x=[−2π,2π]x=[−2π,2π] exactly.
6cos2x−3=06cos2x−3=0
sec 2 x − 2 sec x + 1 = 0 sec 2 x − 2 sec x + 1 = 0
Solve the following logarithmic equations.
5 x = 16 5 x = 16
log 2 ( x + 4 ) = 3 log 2 ( x + 4 ) = 3
1. ਕੀ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹਨ? ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ $f^{-1}(x)$ ਲੱਭੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
2. $f(x)=x^2+2x+1$
3. $f(x) = \frac{1}{x}$
4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਡੋਮੇਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿਸ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
5. $f(x) = 9-x$
6. $f(x) = x^2+3x+4$
7. ਇੱਕ ਕਾਰ 1 ਮੀਲ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਦੌੜ ਰਹੀ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਇੱਕ ਕੋਚ ਹਰ 5 ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਆਪਣੀ ਪ੍ਰਗਤੀ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ। 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਕੋਚ ਨੂੰ ਕਾਰ ਨਾਲ ਤਾਲਮੇਲ ਬਣਾਈ ਰੱਖਣ ਲਈ 55° ਮੁੜਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਕਾਰ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ?
8. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਮਾਲਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਆਪਣੇ ਬ੍ਰਾਂਡ ਦਾ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰ ਦੇਣ ਵਾਲੀਆਂ ਟੀ-ਸ਼ਰਟਾਂ ਵੇਚਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਯਾਦ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਗਤ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਲਾਗਤ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਉਸਨੂੰ ਮੁੱਲ ਯਾਦ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਉਸਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਟੀ-ਸ਼ਰਟ ਪ੍ਰਿੰਟਿੰਗ ਕੰਪਨੀ 20 ਸ਼ਰਟਾਂ ਲਈ $440 ਅਤੇ 100 ਸ਼ਰਟਾਂ ਲਈ $1000 ਲੈਂਦੀ ਹੈ।
9. a. ਸਮੀਕਰਨ $C=f(x)$ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸ਼ਰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ b. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਉਹ ਸ਼ਰਟਾਂ $10 ਪ੍ਰਤੀ ਵੇਚਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਬਰੇਕ-ਈਵਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸ਼ਰਟਾਂ ਵੇਚਣੀਆਂ ਪੈਣਗੀਆਂ।
10. a. ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ $x=f^{-1}(C)$ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਰਥ ਦੱਸੋ। b. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਮਾਲਕ ਕੋਲ ਖਰਚ ਕਰਨ ਲਈ $8000 ਹਨ ਤਾਂ ਉਹ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸ਼ਰਟਾਂ ਖਰੀਦ ਸਕਦਾ ਹੈ।
11. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਓਸ਼ਨ ਸਿਟੀ, ਨਿਊ ਜਰਸੀ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਮੌਸਮ ਅਨੁਸਾਰ ਚੱਕਰੀ ਹੈ।
12. ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ $P(t)=82.5−67.5\cos[(\frac{\pi}{6})t]$ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $t$ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ ($t=0$ 1 ਜਨਵਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ $P$ ਆਬਾਦੀ ਹੈ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ)। ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੌਰਾਨ, ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ 20,000 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ? ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ 140,000 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ?
13. ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਸਮੁੱਚੀ ਆਬਾਦੀ ਹਰ ਸਾਲ ਵਧਣ ਜਾਂ ਘਟਣ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਆਓ ਮਾਡਲ ਨੂੰ $P(t)=82.5−67.5\cos[(\frac{\pi}{6})t]+t$ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਤਿਆਰ ਕਰੀਏ, ਜਿੱਥੇ $t$ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ ($t=0$ 1 ਜਨਵਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ $P$ ਆਬਾਦੀ ਹੈ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ)। ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਆਬਾਦੀ 200,000 ਤੱਕ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚੇਗੀ?
14. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਡੇਟਿੰਗ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਮਨੁੱਖੀ ਪਿੰਜਰ ਇੱਕ ਪੁਰਾਤੱਤਵ ਖੁਦਾਈ ਵਿੱਚ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਿੰਜਰ ਦੀ ਉਮਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ $y=e^{rt}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਿੱਥੇ $y$ ਸਮੱਗਰੀ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ, $t$ ਬੀਤ ਗਏ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ $r=-0.0001210$ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਦੀ ਘਟਣ ਦੀ ਦਰ ਹੈ।
15. ਜੇਕਰ ਪਿੰਜਰ 2000 ਸਾਲ ਪੁਰਾਣਾ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
16. ਕਾਰਬਨ-ਡੇਟਿੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ। ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? ਜੇਕਰ 25% ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਿੰਜਰ ਕਿੰਨਾ ਪੁਰਾਣਾ ਹੈ?