ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1. 3.3.1 ਸਥਿਰ, ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੱਸੋ।
3.3.2 ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਾਟ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
3.3.3 ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਅਵਕਲਨ (derivative) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ (product rule) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3.3.4 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3.3.5 ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਓ।
3.3.6 ਬਹੁਪਦੀ ਜਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਭੇਦ-ਭਾਵ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (derivative) ਦੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਲੰਮੀ ਅਤੇ, ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਕਾਫ਼ੀ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਸੀ ਕਿ ddx(x)=12xddx(x)=12x, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾ (limit) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮੀ (conjugate) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ। ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ddx(x3)ddx(x3) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਸਮਾਨ ਹੋਣ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਿਯਮ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਬਾਈਪਾਸ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗੱਲਾਂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਮੂਲ ਨਿਯਮ
f(x)=cf(x)=c ਅਤੇ g(x)=x^n g(x)=x^n ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਉਹ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕਾਰਜ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਤੋਂ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਬਹੁਪਦਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਨੂੰ, ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਸਹਾਰਾ ਲਏ ਬਿਨਾਂ, ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਢਲੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨੇ ਪੈਣਗੇ।
1. ਅਟੱਲ ਨਿਯਮ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਚੱਲ ਫਲਨ (constant function) ਦੇ ਅਵਕਲਜ (derivative) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, f(x)=c. ਇਸ ਫਲਨ ਲਈ, f(x)=c ਅਤੇ f(x+h)=c ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
ਸਥਿਰ ਫਲਨਾਂ (constant functions) ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਨਿਯਮ (constant rule) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਫਲਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (derivative) ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਭਾਵ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਫਲਨ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਫਲਨ ਦਾ ਢਲਾਣ (slope), ਜਾਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ (rate of change), 0.0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ (theorem) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 3.2
1. ਸਦੀਵੀ ਨਿਯਮ
1. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ cc ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਹੈ।
ਜੇ f(x)=c, ਤਾਂ f′(x)=0।
1. ਬਦਲਵੇਂ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
1. ਉਦਾਹਰਨ 3.17
1. ਸਥਿਰ ਨਿਯਮ ਦਾ ਲਾਗੂ ਹੋਣਾ
f(x)=8 ਦਾ ਵਿਉਤਪੰਨ 0 ਹੈ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਇਹ ਕੇਵਲ ਨਿਯਮ ਦਾ ਇੱਕ-ਪੜਾਵੀਂ ਲਾਗੂਕਰਨ ਹੈ:
ਚੌਕੀ 3.11
g(x)=−3 ਦਾ ਵਿਕਲਿਤ ਲੱਭੋ।
ਸ਼ਕਤੀ ਨਿਯਮ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਤੁਸੀਂ ddx(xn) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਵਿਕਲਿਤਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਵਿਕਸਿਤ ਹੁੰਦਾ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਆਪਣੀ ਜਾਂਚ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ f(x)=xn ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਵਿਕਲਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਇਸ ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਿਕਲਿਤਾਂ ਲਈ ਆਮ ਨਿਯਮ ਦੱਸਣ ਅਤੇ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕੇਸ, ddx(x3) 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਕਲਨ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹਾਂ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਗਈ ਤਕਨੀਕ ਆਮ ਕੇਸ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਗਈ ਤਕਨੀਕ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.18
x3 ਦਾ ਵਿਕਲਨ
ddx(x3) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.12
ddx(x4) ਲੱਭੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਆਮ ਰੂਪ f(x)=xn ਦੇ ਵਿਕਲਿਤ ਲੱਭਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਅਕਸਰ ਖਾਸ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਤੋਂ ਆਮ ਸਿੱਟੇ ਕੱਢਣ ਲਈ ਅਣਉਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ f(x)=x3 ਦਾ ਵਿਕਲਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ x 'ਤੇ ਸ਼ਕਤੀ ਵਿਕਲਿਤ ਵਿੱਚ x2 ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਕਲਿਤ ਵਿੱਚ x 'ਤੇ ਸ਼ਕਤੀ 1 ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ਕਤੀ ਨਿਯਮ x ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਤੱਕ ਵਧਾਵਾਂਗੇ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਤੱਕ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਦੀਆਂ ਮਨਮਾਨੀ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੁਚੇਤ ਰਹੋ ਕਿ ਇਹ ਨਿਯਮ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x)=3x।
ਥਿਊਰਮ 3.3
ਸ਼ਕਤੀ ਨਿਯਮ
ਮੰਨ ਲਓ n ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ f(x)=xn, ਤਾਂ
ਵਿਕਲਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਸਬੂਤ
f(x)=xn ਲਈ ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਅੱਗੇ, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ h ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ:
ਇਸ ਲਈ,
ਅੰਤ ਵਿੱਚ,
□
ਉਦਾਹਰਨ 3.19
ਸ਼ਕਤੀ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
f(x)=x10f(x)=x10 ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
n=10,n=10 ਨਾਲ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.13
f(x)=x7.f(x)=x7. ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਆਪਣੇ ਅਗਲੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉੱਥੇ ਨਿਯਮ ਹਨ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਜੋੜਦੇ, ਘਟਾਉਂਦੇ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਨਿਯਮ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 3.4
ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) ਅਤੇ g(x)g(x) ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਅਤੇ kk ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਫਿਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੋੜ ਦਾ ਨਿਯਮ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ gg ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, ff ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ g.g. ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਭਾਵ,
ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਯਮ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ g ਦੇ ਘਟਾਓ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, f ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ g:g: ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਭਾਵ,
ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਦਾ ਨਿਯਮ। ਇੱਕ ਸਥਿਰ k ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਭਾਵ,
ਪ੍ਰਮਾਣ
ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੋੜ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਪ੍ਰਮਾਣ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਬਾਕੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ ਹਨ।
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)f(x) ਅਤੇ g(x),g(x) ਲਈ, ਅਸੀਂ j(x)=f(x)+g(x).j(x)=f(x)+g(x) ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
j(x+h)=f(x+h)+g(x+h)j(x+h)=f(x+h)+g(x+h) ਅਤੇ j(x)=f(x)+g(x),j(x)=f(x)+g(x) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਅਤੇ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਅਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ
□
ਉਦਾਹਰਨ 3.20
ਨਿਰੰਤਰ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
g(x)=3x^2g(x)=3x^2 ਦਾ ਅਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ f(x)=x^2f(x)=x^2 ਦੇ ਅਕਲਨ ਨਾਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਿੱਧੇ ਸ਼ਕਤੀ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਕਿਉਂਕਿ f(x)=x^2f(x)=x^2 ਦਾ ਅਕਲਨ f'(x)=2x ਹੈ,f'(x)=2x, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(x)g(x) ਦਾ ਅਕਲਨ f(x)f(x) ਦੇ ਅਕਲਨ ਦਾ 3 ਗੁਣਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਬੰਧ ਚਿੱਤਰ 3.18 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.18: g(x)g(x) ਦਾ ਅਕਲਨ f(x)f(x) ਦੇ ਅਕਲਨ ਦਾ 3 ਗੁਣਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.21
ਮੁੱਢਲੇ ਅਕਲਨ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
f(x)=2x^5+7.f(x)=2x^5+7 ਦਾ ਅਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਅਕਲਨ ਲਈ ਨਿਯਮ, ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਅਕਲਨ ਲਈ ਨਿਯਮਾਂ ਅਤੇ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਦੇ ਅਕਲਨ ਲਈ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਅਕਲਨ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਉਸਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.14
f(x)=2x^3−6x^2+3.f(x)=2x^3−6x^2+3 ਦਾ ਅਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.22
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
f(x)=x^2−4x+6f(x)=x^2−4x+6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ x=1.x=1 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਢਲਾਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਗਣਨਾ ਕਰੋ
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (1,3) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 1 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ f′(1) ਹੈ,f′(1), ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ f′(x) ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।f′(x) ਅਕਲਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ f′(1)=−2 ਹੈ।f′(1)=−2। ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.15
f(x)=3x^2−11f(x)=3x^2−11 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ x=2.x=2 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ
Now that we have examined the basic rules, we can begin looking at some of the more advanced rules. The first one examines the derivative of the product of two functions. Although it might be tempting to assume that the derivative of the product is the product of the derivatives, similar to the sum and difference rules, the product rule does not follow this pattern. To see why we cannot use this pattern, consider the function f(x)=x2,f(x)=x2, whose derivative is f′(x)=2xf′(x)=2x and not ddx(x)·ddx(x)=1·1=1.ddx(x)·ddx(x)=1·1=1.
Theorem 3.5
Product Rule
Let f(x)f(x) and g(x)g(x) be differentiable functions. Then
That is,
This means that the derivative of a product of two functions is the derivative of the first function times the second function plus the derivative of the second function times the first function.
Proof
We begin by assuming that f(x)f(x) and g(x)g(x) are differentiable functions. At a key point in this proof we need to use the fact that, since g(x)g(x) is differentiable, it is also continuous. In particular, we use the fact that since g(x)g(x) is continuous, limh→0g(x+h)=g(x).limh→0g(x+h)=g(x).
By applying the limit definition of the derivative to j(x)=f(x)g(x),j(x)=f(x)g(x), we obtain
By adding and subtracting f(x)g(x+h)f(x)g(x+h) in the numerator, we have
After breaking apart this quotient and applying the sum law for limits, the derivative becomes
Rearranging, we obtain
By using the continuity of g(x),g(x), the definition of the derivatives of f(x)f(x) and g(x),g(x), and applying the limit laws, we arrive at the product rule,
□
Example 3.23
Applying the Product Rule to Functions at a Point
For j(x)=f(x)g(x),j(x)=f(x)g(x), use the product rule to find j′(2)j′(2) if f(2)=3,f′(2)=−4,g(2)=1,f(2)=3,f′(2)=−4,g(2)=1, and g′(2)=6.g′(2)=6.
Solution
Since j(x)=f(x)g(x),j′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x),j(x)=f(x)g(x),j′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x), and hence
Example 3.24
Applying the Product Rule to Binomials
For j(x)=(x2+2)(3x3−5x),j(x)=(x2+2)(3x3−5x), find j′(x)j′(x) by applying the product rule. Check the result by first finding the product and then differentiating.
Solution
If we set f(x)=x2+2f(x)=x2+2 and g(x)=3x3−5x,g(x)=3x3−5x, then f′(x)=2xf′(x)=2x and g′(x)=9x2−5.g′(x)=9x2−5. Thus,
ਸਰਲ ਕਰਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ j(x)=3x5+x3−10xj(x)=3x5+x3−10x ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, j′(x)=15x4+3x2−10.j′(x)=15x4+3x2−10.
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.16
ਜੇਕਰ j(x)=2x5(4x2+x)j(x)=2x5(4x2+x) ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ
ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਵਿਕਸਤ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅਵਕਲਜ, ਅਵਕਲਜਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ; ਸਗੋਂ, ਇਹ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਗੁਣਾ ਹਰ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਟਾਓ ਹਰ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਗੁਣਾ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਇਹ ਸਭ ਹਰ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਜਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਲੈ ਸਕਦੇ, ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ
ਥਿਊਰਮ 3.6
ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) ਅਤੇ g(x)g(x) ਅਵਕਲਨੀਯ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਤਦ
ਇਹ ਹੈ,
ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੇ ਸਬੂਤ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਇੱਥੇ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਨਵੇਂ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.25
ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
k(x)=5x24x+3.k(x)=5x24x+3. ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=5x2f(x)=5x2 ਅਤੇ g(x)=4x+3.g(x)=4x+3. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, f′(x)=10xf′(x)=10x ਅਤੇ g′(x)=4.g′(x)=4. ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਰਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.17
h(x)=3x+14x−3.h(x)=3x+14x−3. ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ xkxk ਜਿੱਥੇ kk ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ।
ਥਿਊਰਮ 3.7
ਵਧਾਇਆ ਹੋਇਆ ਘਾਤ ਨਿਯਮ
ਜੇਕਰ kk ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ
ਸਬੂਤ
ਜੇਕਰ k ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ n=−k, ਸੈੱਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ k=−n ਹੋਵੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n ਲਈ, x−n=1xn, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ f(x)=1 ਅਤੇ g(x)=xn ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, f′(x)=0 ਅਤੇ g′(x)=nxn−1। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਦੇਖੋ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ k=−n, ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
□
ਉਦਾਹਰਨ 3.26
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ddx(x−4) ਦਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
k=−4 ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 3.27
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਅਚੱਲ ਗੁਣਕ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
f(x)=6x2 ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਅਚੱਲ ਗੁਣਕ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਲਾਲਚੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਲਤ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ f(x)=6x−2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.18
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ g(x)=1x7 ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਵਕਲਨ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਵਕਲਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਅਵਕਲਨ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ। ਇਸ ਸਮੇਂ, ਅਵਕਲਨ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਜਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਵਕਲਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਨ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਹੋਰ ਜਟਿਲ ਸੁਮੇਲ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਕਈ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਵੇਲੇ ਵਰਤਣ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਨਿਯਮ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.28
ਅਵਕਲਨ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ
k(x)=3h(x)+x2g(x) ਲਈ, k′(x) ਦਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਅਵਕਲਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜੋੜ ਨਿਯਮ, ਅਚੱਲ ਗੁਣਕ ਨਿਯਮ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.29
1. ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ
1. ਜੇਕਰ k(x) = f(x)g(x)h(x) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ k′(x) ਨੂੰ f(x), g(x), h(x) ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: k′(x) = f′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ k(x) ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)g(x) ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ h(x) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਵ, k(x)=(f(x)g(x))·h(x)। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
3.30. The mind, when it is not yet enlightened, is like a mirror that has not been polished. It is covered with dust and dirt, and it cannot reflect the image of the world. But when the mind is polished, it is like a mirror that has been polished. It is clean and bright, and it can reflect the image of the world. 3.30. ਮਨ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਵਾਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇੱਕ ਅਣਪਾਲਿਸ਼ ਕੀਤੇ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਾਂਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਧੂੜ ਅਤੇ ਗੰਦ ਨਾਲ ਢਕਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸੰਸਾਰ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦਾ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਮਨ ਨੂੰ ਪਾਲਿਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਪਾਲਿਸ਼ ਕੀਤੇ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਾਂਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਫ਼ ਅਤੇ ਚਮਕਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸੰਸਾਰ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦਾ ਸੁਮੇਲ
1. h′(x) = 6x² - 3
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਇਹ ਵਿਧੀ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ (rational function) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (derivative) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਮ ਹੈ।
ਚੌਕੀ 3.19
3f'(x) - 2g'(x) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ।
1. ਤਿੰਨ ਪੁਆਇੰਟ ਤਿੰਨ ਇੱਕ
1. ਫਲਨ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵਾਲਾ ਸਥਾਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
1. f(x)=x3−7x2+8x+1f(x)=x3−7x2+8x+1 ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵਾਲੇ xx ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
xx ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ f(x)f(x) ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ f′(x)=0 ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸੀਂ (3x−2)(x−4)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। (3x−2)(x−4)=0। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ (function) ਦੇ x=2/3 ਅਤੇ x=4 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (horizontal tangent lines) ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
3.19 ਅੰਕ: ਇਸ ਫਲਨ (function) ਦੇ x = 2/3 ਅਤੇ x = 4 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (tangent lines) ਹਨ।
3.32. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਅਸਲੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਅਸਲੀ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਇਹ ਅਸਲੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਅਸਲੀ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
੧. ਵੇਗ ਦੀ ਪ੍ਰਾਪਤੀ
ਵਸਤੂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤੀ ਸਮਾਂ $t$ ਉੱਤੇ $s(t)=t^2+1$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਦਾ ਆਰੰਭਿਕ ਵੇਗ ਕੀ ਹੈ?
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਕਿਉਂਕਿ ਆਰੰਭਿਕ ਵੇਗ v(0)=s′(0) ਹੈ, ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ s′(t) ਪਤਾ ਕਰੋ:
1. ਵਿਚਾਰਨ ਪਿੱਛੋਂ, ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ v(0)=1.v(0)=1.
Checkpoint 3.20
Find the values of xx for which the graph of f(x)=4x2−3x+2f(x)=4x2−3x+2 has a tangent line parallel to the line y=2x+3.y=2x+3.
Student Project
Formula One Grandstands
Formula One car races can be very exciting to watch and attract a lot of spectators. Formula One track designers have to ensure sufficient grandstand space is available around the track to accommodate these viewers. However, car racing can be dangerous, and safety considerations are paramount. The grandstands must be placed where spectators will not be in danger should a driver lose control of a car (Figure 3.20).
Figure 3.20: The grandstand next to a straightaway of the Circuit de Barcelona-Catalunya race track, located where the spectators are not in danger.
Safety is especially a concern on turns. If a driver does not slow down enough before entering the turn, the car may slide off the racetrack. Normally, this just results in a wider turn, which slows the driver down. But if the driver loses control completely, the car may fly off the track entirely, on a path tangent to the curve of the racetrack.
Suppose you are designing a new Formula One track. One section of the track can be modeled by the function f(x)=x3+3x2+xf(x)=x3+3x2+x (Figure 3.21). The current plan calls for grandstands to be built along the first straightaway and around a portion of the first curve. The plans call for the front corner of the grandstand to be located at the point (−1.9,2.8).(−1.9,2.8). We want to determine whether this location puts the spectators in danger if a driver loses control of the car.
Figure 3.21: (a) One section of the racetrack can be modeled by the function f(x)=x3+3x2+x.f(x)=x3+3x2+x. (b) The front corner of the grandstand is located at (−1.9,2.8).(−1.9,2.8).
Physicists have determined that drivers are most likely to lose control of their cars as they are coming into a turn, at the point where the slope of the tangent line is 1. Find the (x,y)(x,y) coordinates of this point near the turn.
Find an equation of the tangent line to the curve at this point.
To determine whether the spectators are in danger in this scenario, find the x-coordinate of the point where the tangent line crosses the line y=2.8.y=2.8. Is this point safely to the right of the grandstand? Or are the spectators in danger?
What if a driver loses control earlier than the physicists project? Suppose a driver loses control at the point (−2.5,0.625).(−2.5,0.625). What is the slope of the tangent line at this point?
If a driver loses control as described in part 4, are the spectators safe?
Should you proceed with the current design for the grandstand, or should the grandstands be moved?
For the following exercises, find f′(x)f′(x) for each function.
f ( x ) = x 7 + 10 f ( x ) = x 7 + 10
f ( x ) = 5 x 3 − x + 1 f ( x ) = 5 x 3 − x + 1
f ( x ) = 4 x 2 − 7 x f ( x ) = 4 x 2 − 7 x
f ( x ) = 8 x 4 + 9 x 2 − 1 f ( x ) = 8 x 4 + 9 x 2 − 1
f ( x ) = x 4 + 2 x f ( x ) = x 4 + 2 x
f ( x ) = 3 x ( 18 x 4 + 13 x + 1 ) f ( x ) = 3 x ( 18 x 4 + 13 x + 1 )
f ( x ) = ( x + 2 ) ( 2 x 2 − 3 ) f ( x ) = ( x + 2 ) ( 2 x 2 − 3 )
f ( x ) = x 2 ( 2 x 2 + 5 x 3 ) f ( x ) = x 2 ( 2 x 2 + 5 x 3 )
f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 4 3 f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 4 3
f ( x ) = 4 x 3 − 2 x + 1 x 2 f ( x ) = 4 x 3 − 2 x + 1 x 2
f ( x ) = x 2 + 4 x 2 − 4 f ( x ) = x 2 + 4 x 2 − 4
f ( x ) = x + 9 x 2 − 7 x + 1 f ( x ) = x + 9 x 2 − 7 x + 1
For the following exercises, find an equation of the tangent line T(x)T(x) to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.
[T] y=3x2+4x+1y=3x2+4x+1 at (0,1)(0,1)
[T] y=2x2+1y=2x2+1 at (1,3)(1,3)
[T] y=2xx−1y=2xx−1 at (−1,1)(−1,1)
[T] y=2x−3x2y=2x−3x2 at (1,−1)(1,−1)
For the following exercises, assume that f(x)f(x) and g(x)g(x) are both differentiable functions for all x.x. Find the derivative of each of the functions h(x).h(x).
h ( x ) = 4 f ( x ) + g ( x ) 7 h ( x ) = 4 f ( x ) + g ( x ) 7
h ( x ) = x 3 f ( x ) h ( x ) = x 3 f ( x )
h ( x ) = f ( x ) g ( x ) 2 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) 2
h ( x ) = 3 f ( x ) g ( x ) + 2 h ( x ) = 3 f ( x ) g ( x ) + 2
For the following exercises, assume that f(x)f(x) and g(x)g(x) are both differentiable functions with values as given in the following table. Use the following table to calculate the following derivatives.
row: xx | 11 | 22 | 33 | 44
row: f(x)f(x) | 33 | 55 | −2−2 | 00
row: g(x)g(x) | 22 | 33 | −4−4 | 66
row: f′(x)f′(x) | −1−1 | 77 | 88 | −3−3
row: g′(x)g′(x) | 44 | 11 | 22 | 99
Find h′(1)h′(1) if h(x)=xf(x)+4g(x).h(x)=xf(x)+4g(x).
Find h′(2)h′(2) if h(x)=f(x)g(x).h(x)=f(x)g(x).
Find h′(3)h′(3) if h(x)=2x+f(x)g(x).h(x)=2x+f(x)g(x).
Find h′(4)h′(4) if h(x)=1x+g(x)f(x).h(x)=1x+g(x)f(x).
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ (derivatives) ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸ਼ਕਲ (figure) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਉਹ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ।
2. ਮੰਨ ਲਓ h(x)=f(x)+g(x)। ਲੱਭੋ
3. h′(1),
4. h′(3), ਅਤੇ
5. h′(4)।
6. ਮੰਨ ਲਓ h(x)=f(x)g(x)। ਲੱਭੋ
7. h′(1),
8. h′(3), ਅਤੇ
9. h′(4)।
10. ਮੰਨ ਲਓ h(x)=f(x)g(x)। ਲੱਭੋ
11. h′(1),
12. h′(3), ਅਤੇ
13. h′(4)।
14. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ,
15. f′(a) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ
16. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਅਤੇ x=a 'ਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ (tangent line) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
17. [T] f(x)=2x³+3x−x², a=2
18. [T] f(x)=1/x−x², a=1
19. [T] f(x)=x²−x¹²/3x+2, a=0
20. [T] f(x)=1/x−x², a=−1
21. f(x)=2x³+4x²−5x−3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x=−1 'ਤੇ ਟੱਚ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
22. f(x)=x²+4x−10 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x=8 'ਤੇ ਟੱਚ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
23. f(x)=(3x−x²)(3−x−x²) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x=1 'ਤੇ ਟੱਚ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
24. f(x)=x³ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦਾ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (x-intercept) 6 ਹੋਵੇ।
1. ਬਿੰਦੂ P(3,3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ f(x)=6x−1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
2. f(x)=x3+x2−x−1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਉਹ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ
3. ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੋਵੇ
4. ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ −1 ਹੋਵੇ।
5. ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ f(1)=5,f′(1)=3 ਅਤੇ f″(1)=−6 ਹੋਵੇ।
6. ਇੱਕ ਕਾਰ ਫ੍ਰੀਵੇਅ 'ਤੇ ਟ੍ਰੈਫਿਕ ਨਾਲ ਗੱਡੀ ਚਲਾ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ tt ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ s(t)=t3−6t2+9t ਮੀਟਰ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਚੁੱਕੀ ਹੈ।
7. ਉਹ ਸਮਾਂ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਕਾਰ ਦਾ ਵੇਗ 0 ਹੋਵੇ।
8. ਜਦੋਂ ਵੇਗ 0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕਾਰ ਦਾ ਪ੍ਰਵੇਗ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
9. [T] ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਤੈਰ ਰਹੀ ਹੈਰਿੰਗ ਨੇ tt ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ s(t)=t2t2+2 ਫੁੱਟ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਹੈ।
10. ਜਦੋਂ ਹੈਰਿੰਗ ਨੇ 3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਸ ਦਾ ਵੇਗ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
11. ਅਟਲਾਂਟਿਕ ਮਹਾਸਾਗਰ ਵਿੱਚ ਆਰਕਟਿਕ ਫਲੌਂਡਰ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲੱਖਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ P(t)=8t+30.2t2+1 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ tt ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
12. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਫਲੌਂਡਰ ਆਬਾਦੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
13. P′(10) ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਸੰਖੇਪ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
14. [T] ਟੀਕਾ ਲਗਾਉਣ ਦੇ tt ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਖੂਨ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਵਿੱਚ ਐਂਟੀਬਾਇਓਟਿਕ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ C(t)=2t2+tt3+50 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ CC ਪ੍ਰਤੀ ਲੀਟਰ ਖੂਨ ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. C(t) ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
16. t=8,12,24, ਅਤੇ 36 ਲਈ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
17. ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਣ ਨਾਲ ਕੀ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ।
18. ਇੱਕ ਕਿਤਾਬ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਕ ਕੋਲ C(x)=x3+2x+3x2 ਦਾ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਤਾਬਾਂ ਦੀਆਂ ਕਾਪੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਅਤੇ C ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਤੀ ਕਿਤਾਬ, ਲਾਗਤ ਹੈ। C′(2) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
19. [T] ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਦੋ ਪੁੰਜ m1 ਅਤੇ m2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਲ FF ਫਾਰਮੂਲਾ F=Gm1m2d2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ G ਗੁਰੂਤਾ-ਸਥਿਰ ਹੈ ਅਤੇ d ਸਰੀਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ।
20. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ G, m1, ਅਤੇ m2 ਸਥਿਰ ਹਨ। ਦੂਰੀ d ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬਲ FF ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
21. ਗੁਰੂਤਾ-ਸਥਿਰ G=6.67×10−11 Nm2/kg2, 10 ਮੀਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਦੋ ਸਰੀਰਾਂ 'ਤੇ, ਹਰੇਕ ਦਾ ਪੁੰਜ 1000 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਬਲ FF ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।