ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਮਿਆਰੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕਿਸਮ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ 'ਤੇ ਪੁੰਜ ਦੇ ਡੋਲਣ ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥ ਵਰਗੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਗਿਆਨ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਾਕੀ ਚਾਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਸਾਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਦੇ ਵੇਗ ਅਤੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਏਗਾ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਆਪਣੀ ਖੋਜ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਲਈ,
ਇਸ ਲਈ, hh ਦੇ 0 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, f′(x)≈f(x+h)−f(x)h। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ h=0.01 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ,
D(x)=sin(x+0.01)−sinx0.01 ਨੂੰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ sinx ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 3.25)।
ਚਿੱਤਰ 3.25: D(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕੋਸਾਈਨ ਵਕਰ ਵਰਗਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।
ਨਿਰੀਖਣ 'ਤੇ, D(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਉਹੀ ਕਦਮ ਚੁੱਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਵਾਂਗੇ ਕਿ
ਥਿਊਰਮ 3.8
ਸਾਈਨ x ਅਤੇ ਕੋਸ x ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕੋਸਾਈਨ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸਾਈਨ ਹੈ।
ਸਬੂਤ
ਕਿਉਂਕਿ ddx(sinx)=cosx ਅਤੇ ddx(cosx)=−sinx ਲਈ ਸਬੂਤ ਸਮਾਨ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ddx(sinx)=cosx ਲਈ ਸਬੂਤ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖੇ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ:
y=(sinh)h ਅਤੇ y=(cosh−1)h ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 3.26 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 3.26: ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸਾਈਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਵੀ ਯਾਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਪਛਾਣਾਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਕਰ ਲਈਆਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ।
□
ਚਿੱਤਰ 3.27 f(x)=sinx ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)=cosx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ f(x)=sinx ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਟੈਂਜੈਂਟ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)=cosx ਸਿਫ਼ਰ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਿੱਥੇ f(x)=sinx ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, f′(x)=cosx>0 ਅਤੇ ਜਿੱਥੇ f(x)=sinx ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, f′(x)=cosx<0।
ਚਿੱਤਰ 3.27: ਜਿੱਥੇ f(x) ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, f′(x)=0 ਭਾਵ, f′(x)=0 ਜਿੱਥੇ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਟੈਂਜੈਂਟ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਨੋਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
1. ਮਿਸਾਲ 3.39
2. ਸਾਈਨ x ਵਾਲੇ ਫਲਨ ਦਾ ਭੇਦ ਕਰਨਾ
3. f(x)=5x^3 \sin x$ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
6. ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
7. ਚੌਕੀ 3.25
8. f(x) = \sin x \cos x$ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਮਿਸਾਲ 3.40
10. ਕੋਸ x ਵਾਲੇ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
11. g(x) = \cos x / 4x^2$ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
14. ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
15. ਚੌਕੀ 3.26
16. f(x) = x \cos x$ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਮਿਸਾਲ 3.41
18. ਵੇਗ ਲਈ ਇੱਕ ਅਰਜ਼ੀ
19. ਇੱਕ ਕਣ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ $s(t) = 2 \sin t - t$ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $0 \le t \le 2\pi$ ਹੈ। ਕਿਹੜੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਕਣ ਰੁਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ?
20. ਹੱਲ
21. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕਣ ਕਦੋਂ ਰੁਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, $s'(t) = v(t) = 0$ ਸੈੱਟ ਕਰੋ। $s'(t)$ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
22. ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ
23. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ $t = \pi/3$ ਅਤੇ $t = 5\pi/3$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਕਣ $t = \pi/3$ ਅਤੇ $t = 5\pi/3$ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਰੁਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
24. ਚੌਕੀ 3.27
A particle moves along a coordinate axis. Its position at time tt is given by s(t)=3t+2costs(t)=3t+2cost for 0≤t≤2π.0≤t≤2π. At what times is the particle at rest?
Derivatives of Other Trigonometric Functions
Since the remaining four trigonometric functions may be expressed as quotients involving sine, cosine, or both, we can use the quotient rule to find formulas for their derivatives.
Example 3.42
The Derivative of the Tangent Function
Find the derivative of f(x)=tanx.f(x)=tanx.
Solution
Start by expressing tanxtanx as the quotient of sinxsinx and cosx:cosx:
Now apply the quotient rule to obtain
Simplifying, we obtain
Recognizing that cos2x+sin2x=1,cos2x+sin2x=1, by the Pythagorean theorem, we now have
Finally, use the identity secx=1cosxsecx=1cosx to obtain
Checkpoint 3.28
Find the derivative of f(x)=cotx.f(x)=cotx.
The derivatives of the remaining trigonometric functions may be obtained by using similar techniques. We provide these formulas in the following theorem.
Theorem 3.9
Derivatives of tanx,cotx,secx,tanx,cotx,secx, and cscxcscx
The derivatives of the remaining trigonometric functions are as follows:
Example 3.43
Finding the Equation of a Tangent Line
Find the equation of a line tangent to the graph of f(x)=cotxf(x)=cotx at x=π4.x=π4.
Solution
To find an equation of the tangent line, we need a point and a slope at that point. To find the point, compute
Thus the tangent line passes through the point (π4,1).(π4,1). Next, find the slope by finding the derivative of f(x)=cotxf(x)=cotx and evaluating it at π4:π4:
Using the point-slope equation of the line, we obtain
or equivalently,
Example 3.44
Finding the Derivative of Trigonometric Functions
Find the derivative of f(x)=cscx+xtanx.f(x)=cscx+xtanx.
Solution
To find this derivative, we must use both the sum rule and the product rule. Using the sum rule, we find
In the first term, ddx(cscx)=−cscxcotx,ddx(cscx)=−cscxcotx, and by applying the product rule to the second term we obtain
Therefore, we have
Checkpoint 3.29
Find the derivative of f(x)=2tanx−3cotx.f(x)=2tanx−3cotx.
Checkpoint 3.30
Find the slope of the line tangent to the graph of f(x)=tanxf(x)=tanx at x=π6.x=π6.
Higher-Order Derivatives
The higher-order derivatives of sinxsinx and cosxcosx follow a repeating pattern. By following the pattern, we can find any higher-order derivative of sinxsinx and cosx.cosx.
Example 3.45
Finding Higher-Order Derivatives of y=sinxy=sinx
Find the first four derivatives of y=sinx.y=sinx.
Solution
Each step in the chain is straightforward:
Analysis
Once we recognize the pattern of derivatives, we can find any higher-order derivative by determining the step in the pattern to which it corresponds. For example, every fourth derivative of sin x equals sin x, so
Checkpoint 3.31
For y=cosx,y=cosx, find d4ydx4.d4ydx4.
Example 3.46
Using the Pattern for Higher-Order Derivatives of y=sinxy=sinx
Find d74dx74(sinx).d74dx74(sinx).
Solution
We can see right away that for the 74th derivative of sinx,74=4(18)+2,sinx,74=4(18)+2, so
Checkpoint 3.32
For y=sinx,y=sinx, find d59dx59(sinx).d59dx59(sinx).
Example 3.47
An Application to Acceleration
A particle moves along a coordinate axis in such a way that its position at time tt is given by s(t)=2−sint.s(t)=2−sint. Find v(π/4)v(π/4) and a(π/4).a(π/4). Compare these values and decide whether the particle is speeding up or slowing down.
Solution
First find v(t)=s′(t):v(t)=s′(t):
Thus,
Next, find a(t)=v′(t).a(t)=v′(t). Thus, a(t)=v′(t)=sinta(t)=v′(t)=sint and we have
Since v(π4)=−12<0v(π4)=−12<0 and a(π4)=12>0,a(π4)=12>0, we see that velocity and acceleration are acting in opposite directions; that is, the object is being accelerated in the direction opposite to the direction in which it is travelling. Consequently, the particle is slowing down.
Checkpoint 3.33
A block attached to a spring is moving vertically. Its position at time tt is given by s(t)=2sint.s(t)=2sint. Find v(5π6)v(5π6) and a(5π6).a(5π6). Compare these values and decide whether the block is speeding up or slowing down.
For the following exercises, find dydxdydx for the given functions.
y = x 2 − sec x + 1 y = x 2 − sec x + 1
y = 3 csc x + 5 x y = 3 csc x + 5 x
y = x 2 cot x y = x 2 cot x
y = x − x 3 sin x y = x − x 3 sin x
y = sec x x y = sec x x
y = sin x tan x y = sin x tan x
y = ( x + cos x ) ( 1 − sin x ) y = ( x + cos x ) ( 1 − sin x )
y = tan x 1 − sec x y = tan x 1 − sec x
y = 1 − cot x 1 + cot x y = 1 − cot x 1 + cot x
y = cos x ( 1 + csc x ) y = cos x ( 1 + csc x )
For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of x.x. Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.
[T] f(x)=−sinx,x=0f(x)=−sinx,x=0
[T] f(x)=cscx,x=π2f(x)=cscx,x=π2
[T] f(x)=1+cosx,x=3π2f(x)=1+cosx,x=3π2
[T] f(x)=secx,x=π4f(x)=secx,x=π4
[T] f(x)=x2−tanx,x=0f(x)=x2−tanx,x=0
[T] f(x)=5cotx,x=π4f(x)=5cotx,x=π4
For the following exercises, find d2ydx2d2ydx2 for the given functions.
y = x sin x − cos x y = x sin x − cos x
y = sin x cos x y = sin x cos x
y = x − 1 2 sin x y = x − 1 2 sin x
y = 1 x + tan x y = 1 x + tan x
y = 2 csc x y = 2 csc x
y = sec 2 x y = sec 2 x
Find all xx values on the graph of f(x)=−3sinxcosxf(x)=−3sinxcosx where the tangent line is horizontal.
Find all xx values on the graph of f(x)=x−2cosxf(x)=x−2cosx for 0<x<2π0<x<2π where the tangent line has slope 2.
Let f(x)=cotx.f(x)=cotx. Determine the points on the graph of ff for 0<x<2π0<x<2π where the tangent line(s) is (are) parallel to the line y=−2x.y=−2x.
[T] A mass on a spring bounces up and down in simple harmonic motion, modeled by the function s(t)=−6costs(t)=−6cost where ss is measured in inches and tt is measured in seconds. Find the rate at which the spring is oscillating at t=5t=5 s.
Let the position of a swinging pendulum in simple harmonic motion be given by s(t)=acost+bsints(t)=acost+bsint where aa and bb are constants, tt measures time in seconds, and ss measures position in centimeters. If the position is 0 cm and the velocity is 3 cm/s when t=0t=0, find the values of aa and bb.
After a diver jumps off a diving board, the edge of the board oscillates with position given by s(t)=−5costs(t)=−5cost cm at tt seconds after the jump.
Sketch one period of the position function for t≥0.t≥0.
Find the velocity function.
Sketch one period of the velocity function for t≥0.t≥0.
Determine the times when the velocity is 0 over one period.
Find the acceleration function.
Sketch one period of the acceleration function for t≥0.t≥0.
The number of hamburgers sold at a fast-food restaurant in Pasadena, California, is given by y=10+5sinxy=10+5sinx where yy is the number of hamburgers sold and xx represents the number of hours after the restaurant opened at 11 a.m. until 11 p.m., when the store closes. Find y′y′ and determine the intervals where the number of burgers being sold is increasing.
[T] The amount of rainfall per month in Phoenix, Arizona, can be approximated by y(t)=0.5+0.3cost,y(t)=0.5+0.3cost, where tt is months since January. Find y′y′ and use a calculator to determine the intervals where the amount of rain falling is decreasing.
For the following exercises, use the quotient rule to derive the given equations.
d d x ( cot x ) = − csc 2 x d d x ( cot x ) = − csc 2 x
d d x ( sec x ) = sec x tan x d d x ( sec x ) = sec x tan x
d d x ( csc x ) = − csc x cot x d d x ( csc x ) = − csc x cot x
Use the definition of derivative and the identity
cos(x+h)=cosxcosh−sinxsinhcos(x+h)=cosxcosh−sinxsinh to prove that d(cosx)dx=−sinx.d(cosx)dx=−sinx.
For the following exercises, find the requested higher-order derivative for the given functions.
d3ydx3d3ydx3 of y=3cosxy=3cosx
d2ydx2d2ydx2 of y=3sinx+x2cosxy=3sinx+x2cosx
d4ydx4d4ydx4 of y=5cosxy=5cosx
d2ydx2d2ydx2 of y=secx+cotxy=secx+cotx
d3ydx3d3ydx3 of y=x10−secxy=x10−secx