ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2. 3.6.1 ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੱਸੋ।
3. 3.6.2 ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੇ ਨਾਲ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
4. 3.6.3 ਜਦੋਂ ਦੋਵੇਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਣ ਤਾਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਡਕਟ/ਕੋਸ਼ੈਂਟ ਰੂਲ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
5. 3.6.4 ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
6. 3.6.5 ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੇ ਸਬੂਤ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
7. ਅਸੀਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (xn, sinx, cosx, ਆਦਿ) ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ, ਭਾਗ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਵਿਭੇਦਨ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦਾ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ h(x)=sin(x3) ਜਾਂ k(x)=3x2+1। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਿਯਮ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
8. ਚੇਨ ਰੂਲ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ
9. ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੱਖੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜਨ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਬਾਹਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਮੁੱਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਗੁਣਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ।
10. ਇਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ: h(x)=sin(x3)। ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ sin(x3) ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sin(x3) ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ x ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੇਨ ਪ੍ਰਤੀਕਿਰਿਆ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਜਿਵੇਂ x ਬਦਲਦਾ ਹੈ, x3 ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ sin(x3) ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਚੇਨ ਪ੍ਰਤੀਕਿਰਿਆ ਸਾਨੂੰ sin(x3) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਕੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, x ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਦਲਾਅ ਜੋ x3 ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਮਜਬੂਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ x3 ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, x3 ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਜੋ sin(x3) ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਮਜਬੂਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ sin(u) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ u ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ u=x3, ਅੰਤਿਮ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਵੀ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
11. ਅਸੀਂ h(x)=sin(x3) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰਸਮੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ h(x)=sin(x3) ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਾਸ ਮੁੱਲ 'a' 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇਣ ਵਾਲੀ ਸੀਮਾ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
12. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਨਹੀਂ ਲੱਗਦਾ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ x3−a3 ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਸੋਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ
13. ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੂਜਾ ਕਾਰਕ x=a 'ਤੇ x3 ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ। ਇਹ ਹੈ,
14. ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਥੋੜ੍ਹਾ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਵੀ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ u=x3 ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਦੇਖ ਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x→a, u→a3:
15. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, h′(a)=cos(a3)·3a2।
16. ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ h(x)=sin(x3), ਤਾਂ h′(x)=cos(x3)·3x2। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ h(x)=sin(x3) ਨੂੰ ਸੰਯੋਜਨ (f∘g)(x)=f(g(x)) ਵਜੋਂ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ f(x)=sinx ਅਤੇ g(x)=x3, ਤਾਂ h(x)=sin(x3) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ g(x)=x3 ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=sinx ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=x3 'ਤੇ ਮੁੱਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ h(x)=sin(g(x)) ਲਈ, ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ h′(x)=cos(g(x))g′(x)। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਇਹ h(x)=sin(x3) ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ।
17. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਕੇਸ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਹੋਰ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਸਬੂਤ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
18. ਨਿਯਮ: ਚੇਨ ਰੂਲ
19. ਮੰਨ ਲਓ f ਅਤੇ g ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। g ਦੇ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਜਿੱਥੇ g x 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ ਅਤੇ f g(x) 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ, ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
20. ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
21. ਬਦਲਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ y, u ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ u, x ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ
22. ਮੀਡੀਆ
23. ਚੇਨ ਰੂਲ ਦਾ ਐਨੀਮੇਸ਼ਨ ਦੇਖੋ।
24. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
Applying the Chain Rule
To differentiate h(x)=f(g(x)),h(x)=f(g(x)), begin by identifying f(x)f(x) and g(x).g(x).
Find f′(x)f′(x) and evaluate it at g(x)g(x) to obtain f′(g(x)).f′(g(x)).
Find g′(x).g′(x).
Write h′(x)=f′(g(x))·g′(x).h′(x)=f′(g(x))·g′(x).
Note: When applying the chain rule to the composition of two or more functions, keep in mind that we work our way from the outside function in. It is also useful to remember that the derivative of the composition of two functions can be thought of as having two parts; the derivative of the composition of three functions has three parts; and so on. Also, remember that we never evaluate a derivative at a derivative.
The Chain and Power Rules Combined
We can now apply the chain rule to composite functions, but note that we often need to use it with other rules. For example, to find derivatives of functions of the form h(x)=(g(x))n,h(x)=(g(x))n, we need to use the chain rule combined with the power rule. To do so, we can think of h(x)=(g(x))nh(x)=(g(x))n as f(g(x))f(g(x)) where f(x)=xn.f(x)=xn. Then f′(x)=nxn−1.f′(x)=nxn−1. Thus, f′(g(x))=n(g(x))n−1.f′(g(x))=n(g(x))n−1. This leads us to the derivative of a power function using the chain rule,
Rule: Power Rule for Composition of Functions
For all values of x for which the derivative is defined, if
Then
Example 3.48
Using the Chain and Power Rules
Find the derivative of h(x)=1(3x2+1)2.h(x)=1(3x2+1)2.
Solution
First, rewrite h(x)=1(3x2+1)2=(3x2+1)−2.h(x)=1(3x2+1)2=(3x2+1)−2.
Applying the power rule with g(x)=3x2+1,g(x)=3x2+1, we have
Rewriting back to the original form gives us
Checkpoint 3.34
Find the derivative of h(x)=(2x3+2x−1)4.h(x)=(2x3+2x−1)4.
Example 3.49
Using the Chain and Power Rules with a Trigonometric Function
Find the derivative of h(x)=sin3x.h(x)=sin3x.
Solution
ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ sin3x=(sinx)3, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ h(x)=sin3x ਨੂੰ h(x)=(sinx)3 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
g(x)=sinx, ਨਾਲ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 3.50
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
h(x)=1(3x−5)2, x=2 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ 2 ਹੈ। y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭਣ ਲਈ, h(x) ਵਿੱਚ 2 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ h(2)=1(3(2)−5)2=1, ਬਿੰਦੂ (2,1) ਹੈ।
ਢਲਾਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ h′(2) ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। h′(x) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ h(x)=(3x−5)−2 ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ h′(2)=−6(3(2)−5)−3=−6 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y−1=−6(x−2) ਹੈ। ਮੁੜ ਲਿਖਣ 'ਤੇ, ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=−6x+13 ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.35
f(x)=(x2−2)3, x=−2 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਹੋਰ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਅਤੇ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖੇ ਹੋਰ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.51
ਆਮ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
h(x)=cos(g(x)) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
h(x)=cos(g(x)) ਨੂੰ f(g(x)) ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ ਜਿੱਥੇ f(x)=cosx। ਕਿਉਂਕਿ f′(x)=−sinx, ਸਾਡੇ ਕੋਲ f′(g(x))=−sin(g(x)) ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, h(x)=cos(g(x)) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ h′(x)=−sin(g(x))g′(x) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਉਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.52
ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
h(x)=cos(5x2) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
1. ਮੰਨ ਲਓ g(x)=5x^2। ਫਿਰ g′(x)=10x। ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
2. ਉਦਾਹਰਨ 3.53
3. ਇਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
4. h(x)=sec(4x^5+2x) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਹੱਲ
6. h(x)=sec(g(x)) 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ
7. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ, g(x)=4x^5+2x ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ g′(x)=20x^4+2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
8. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.36
9. h(x)=sin(7x+2) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਉਦਾਹਰਨ 3.51 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3.53 ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਗਏ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਸਹੂਲਤ ਲਈ, ਫਾਰਮੂਲੇ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਦੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜੋ ਕੁਝ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। (ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਦੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।) ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਜੋਂ ਯਾਦ ਕਰਨਾ ਬਿਲਕੁਲ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਰੇ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿੱਖੇ ਗਏ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੇ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹਨ।
11. ਥਿਊਰਮ 3.10
12. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
13. xx ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਜਿੱਥੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ,
14. ਉਦਾਹਰਨ 3.54
15. ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਰੂਲ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ
16. h(x)=(2x+1)^5(3x−2)^7 ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. ਪਹਿਲਾਂ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਹਰੇਕ ਟਰਮ 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
19. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.37
20. h(x)=x(2x+3)^3 ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਜ਼ਿਟ
22. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟਿੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਹੋਰ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਆਮ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਤਿਆਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
23. ਆਮ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ
24. ਫਿਰ, ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਾਗੂ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਨਿਯਮ: ਤਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ
x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਭਿੰਨ ਹੈ, ਜੇਕਰ
ਤਾਂ
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਤਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਤਿੰਨ ਭਾਗ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। (ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਚਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਚਾਰ ਭਾਗ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ।) ਨਾਲ ਹੀ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਬਾਹਰੋਂ ਅੰਦਰ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈ ਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.55
ਤਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਵਿਭਿੰਨਤਾ
k(x)=cos4(7x2+1) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, k(x) ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ
ਫਿਰ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.38
h(x)=sin6(x3) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.56
ਵੇਗ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਇੱਕ ਕਣ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ s(t)=sin(2t)+cos(3t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਸਮੇਂ t=π6 'ਤੇ ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
v(t), ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਕਣ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ s(t) ਦਾ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
v(t) ਵਿੱਚ t=π6 ਨੂੰ ਬਦਲਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ v(π6)=−2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.39
ਇੱਕ ਕਣ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ s(t)=sin(4t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਸਿੱਧ
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਸਬੂਤ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਰਲਤਾ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਮੁੱਦਿਆਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a ਵਾਲੇ ਕੁਝ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ x≠a ਲਈ g(x)≠g(a)। ਅਸੀਂ h(x) ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ h′(a) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ:
ਲਿਖਣ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ
ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ
ਇਸ ਨੂੰ ਸੱਚ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ g, a 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ, g, a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਵੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਅੱਗੇ, y=g(x) ਅਤੇ b=g(a) ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਚੱਲ ਬਦਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ,
□
ਉਦਾਹਰਨ 3.57
ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਮੰਨ ਲਓ h(x)=f(g(x))। ਜੇ g(1)=4, g′(1)=3, ਅਤੇ f′(4)=7, ਤਾਂ h′(1) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਰੋ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.40
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ h(x)=f(g(x))। ਜੇ g(2)=−3, g′(2)=4, ਅਤੇ f′(−3)=7, ਤਾਂ h′(2) ਲੱਭੋ।
ਲਾਈਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੇਨ ਰੂਲ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਲਾਈਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਈ ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਭਾਰੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਹੈ।
h(x)=f(g(x)) ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ u=g(x) ਅਤੇ y=h(x)=f(u)। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ,
ਨਿਯਮ: ਲਾਈਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੇਨ ਰੂਲ
ਜੇ y, u ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ u, x ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 3.58
ਲਾਈਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ, ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਣਾ
y=(x3x+2)5 ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
First, let u=x3x+2.u=x3x+2. Thus, y=u5.y=u5. Next, find dudxdudx and dydu.dydu. Using the quotient rule,
and
Finally, we put it all together.
It is important to remember that, when using the Leibniz form of the chain rule, the final answer must be expressed entirely in terms of the original variable given in the problem.
Example 3.59
Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation, Example 2
Find the derivative of y=tan(4x2−3x+1).y=tan(4x2−3x+1).
Solution
First, let u=4x2−3x+1.u=4x2−3x+1. Then y=tanu.y=tanu. Next, find dudxdudx and dydu:dydu:
Finally, we put it all together.
Checkpoint 3.41
Use Leibniz’s notation to find the derivative of y=cos(x3).y=cos(x3). Make sure that the final answer is expressed entirely in terms of the variable x.x.
For the following exercises, given y=f(u)y=f(u) and u=g(x),u=g(x), find dydxdydx by using Leibniz’s notation for the chain rule: dydx=dydududx.dydx=dydududx.
y = 3 u − 6 , u = 2 x 2 y = 3 u − 6 , u = 2 x 2
y = 6 u 3 , u = 7 x − 4 y = 6 u 3 , u = 7 x − 4
y = sin u , u = 5 x − 1 y = sin u , u = 5 x − 1
y = cos u , u = − x 8 y = cos u , u = − x 8
y = tan u , u = 9 x + 2 y = tan u , u = 9 x + 2
y = 4 u + 3 , u = x 2 − 6 x y = 4 u + 3 , u = x 2 − 6 x
For each of the following exercises,
decompose each function in the form y=f(u)y=f(u) and u=g(x),u=g(x), and
find dydxdydx as a function of x.x.
y = ( 3 x − 2 ) 6 y = ( 3 x − 2 ) 6
y = ( 3 x 2 + 1 ) 3 y = ( 3 x 2 + 1 ) 3
y = sin 5 ( x ) y = sin 5 ( x )
y = ( x 7 + 7 x ) 7 y = ( x 7 + 7 x ) 7
y = tan ( sec x ) y = tan ( sec x )
y = csc ( π x + 1 ) y = csc ( π x + 1 )
y = cot 2 x y = cot 2 x
y = −6 ( sin x ) - 3 y = −6 ( sin x ) - 3
For the following exercises, find dydxdydx for each function.
y = ( 3 x 2 + 3 x − 1 ) 4 y = ( 3 x 2 + 3 x − 1 ) 4
y = ( 5 − 2 x ) −2 y = ( 5 − 2 x ) −2
y = cos 3 ( π x ) y = cos 3 ( π x )
y = ( 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1 ) 3 y = ( 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1 ) 3
y = 1 sin 2 ( x ) y = 1 sin 2 ( x )
y = ( tan x + sin x ) −3 y = ( tan x + sin x ) −3
y = x 2 cos 4 x y = x 2 cos 4 x
y = sin ( cos 7 x ) y = sin ( cos 7 x )
y = 6 + sec π x 2 y = 6 + sec π x 2
y = cot 3 ( 4 x + 1 ) y = cot 3 ( 4 x + 1 )
Let y=[f(x)]2y=[f(x)]2 and suppose that f′(1)=4f′(1)=4 and dydx=10dydx=10 for x=1.x=1. Find f(1).f(1).
Let y=(f(x)+5x2)4y=(f(x)+5x2)4 and suppose that f(−1)=−4f(−1)=−4 and dydx=3dydx=3 when x=−1.x=−1. Find f′(−1)f′(−1)
Let y=(f(u)+3x)2y=(f(u)+3x)2 and u=x3−2x.u=x3−2x. If f(4)=6f(4)=6 and dydx=18dydx=18 when x=2,x=2, find f′(4).f′(4).
[T] Find an equation of the tangent line to y=−sin(x2)y=−sin(x2) at the origin. Use a calculator to graph the function and the tangent line together.
[T] Find an equation of the tangent line to y=(3x+1x)2y=(3x+1x)2 at the point (1,16).(1,16). Use a calculator to graph the function and the tangent line together.
Find the xx-coordinates at which the tangent line to y=(x−6x)8y=(x−6x)8 is horizontal.
[T] Find an equation of the line that is normal to g(θ)=sin2(πθ)g(θ)=sin2(πθ) at the point (14,12).(14,12). Use a calculator to graph the function and the normal line together.
For the following exercises, use the information in the following table to find h′(a)h′(a) at the given value for a.a.
row: xx | f(x)f(x) | f′(x)f′(x) | g(x)g(x) | g′(x)g′(x)
row: 0 | 2 | 5 | 0 | 2
row: 1 | 1 | −2 | 3 | 0
row: 2 | 4 | 4 | 1 | −1
row: 3 | 3 | −3 | 2 | 3
h ( x ) = f ( g ( x ) ) ; a = 0 h ( x ) = f ( g ( x ) ) ; a = 0
h ( x ) = g ( f ( x ) ) ; a = 0 h ( x ) = g ( f ( x ) ) ; a = 0
h ( x ) = ( x 4 + g ( x ) ) −2 ; a = 1 h ( x ) = ( x 4 + g ( x ) ) −2 ; a = 1
h ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) 2 ; a = 3 h ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) 2 ; a = 3
h ( x ) = f ( x + f ( x ) ) ; a = 1 h ( x ) = f ( x + f ( x ) ) ; a = 1
h ( x ) = ( 1 + g ( x ) ) 3 ; a = 2 h ( x ) = ( 1 + g ( x ) ) 3 ; a = 2
h ( x ) = g ( 2 + f ( x 2 ) ) ; a = 1 h ( x ) = g ( 2 + f ( x 2 ) ) ; a = 1
h ( x ) = f ( g ( sin x ) ) ; a = 0 h ( x ) = f ( g ( sin x ) ) ; a = 0
[T] The position function of a freight train is given by s(t)=100(t+1)−2,s(t)=100(t+1)−2, with ss in meters and tt in seconds. At time t=6t=6 s, find the train’s
velocity and
acceleration.
Using a. and b. is the train speeding up or slowing down?
[T] A mass hanging from a vertical spring is in simple harmonic motion as given by the following position function, where tt is measured in seconds and ss is in inches:
s ( t ) = −3 cos ( π t + π 4 ) . s ( t ) = −3 cos ( π t + π 4 ) .
Determine the position of the spring at t=1.5t=1.5 s.
Find the velocity of the spring at t=1.5t=1.5 s.
[T] The total cost to produce xx boxes of Thin Mint Girl Scout cookies is CC dollars, where C=0.0001x3−0.02x2+3x+300.C=0.0001x3−0.02x2+3x+300. In tt weeks production is estimated to be x=1600+100tx=1600+100t boxes.
Find the marginal cost C′(x).C′(x).
dCdt=dCdx·dxdt,dCdt=dCdx·dxdt, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੇਂ t ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲਾਗਤ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
b. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ਜਦੋਂ t=2 ਹਫ਼ਤੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਲਾਗਤ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਵਾਬ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ।
[T] ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ A=πr2,A=πr2 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਫੈਲ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਖੇਤਰਫਲ A ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r (ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ) ਦੋਵੇਂ ਫੈਲ ਰਹੇ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ r=2−100(t+7)2r=2−100(t+7)2 ਜਿੱਥੇ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ। ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਵਧਣ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ dAdt=dAdr·drdtdAdt=dAdr·drdt ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
a. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ t=4 s 'ਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
[T] ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਸੂਤਰ S=43πr3,S=43πr3 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r (ਫ਼ੀਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਬਰਫ਼ ਦਾ ਗੋਲਾ ਧੁੱਪ ਵਿੱਚ ਪਿਘਲ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ r=1(t+1)2−112r=1(t+1)2−112 ਜਿੱਥੇ t ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ। ਬਰਫ਼ ਦੇ ਗੋਲੇ ਦੇ ਪਿਘਲਣ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ dSdt=dSdr·drdtdSdt=dSdr·drdt ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
a. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ t=1 ਮਿੰਟ 'ਤੇ ਆਇਤਨ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਿਹਾ ਹੈ।
[T] ਗਰਮੀਆਂ ਵਿੱਚ ਫੀਨਿਕਸ ਦੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਫਾਰਨਹੀਟ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ T(x)=94−10cos[π12(x−2)],T(x)=94−10cos[π12(x−2)] ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਮੱਧ ਰਾਤ ਤੋਂ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਦੁਪਹਿਰ 4 ਵਜੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
[T] ਡੌਕ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ (ਫ਼ੀਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਜਵਾਰ-ਭਾਟੇ ਦੇ ਉੱਠਣ ਅਤੇ ਡਿੱਗਣ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਡੂੰਘਾਈ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ D(t)=5sin(π6t−7π6)+8,D(t)=5sin(π6t−7π6)+8 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਮੱਧ ਰਾਤ ਤੋਂ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਸਵੇਰੇ 6 ਵਜੇ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।