ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
3.7.1 ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਗਿਣੋ।
3.7.2 ਮਿਆਰੀ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਉਲਟਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ f(x) ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਅਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਦੋਵੇਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਾਜਬ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x) ਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3.28 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ f−1(x) ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। f−1(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (a,f−1(a)) ਨੂੰ ਦੇਖੋ ਜਿਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ (f−1)′(a)=pq ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (f−1(a),a) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ f′(f−1(a))=qp ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ f−1(x) a 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ
ਚਿੱਤਰ 3.28: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ; ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੀ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ x=f(f−1(x)) ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਕੇ ਉਲਟ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਕਰਕੇ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ), ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
(f−1)′(x) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 3.11
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਅਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਦੋਵੇਂ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ y=f−1(x) f(x) ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਸਾਰੇ xx ਲਈ ਜੋ f′(f−1(x))≠0 ਦੀ ਸੰਤੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦੇ ਹਨ,
ਬਦਲਵੇਂ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ y=g(x) f(x) ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਤਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 3.60
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
g(x)=x+2x ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਾਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
g(x)=x+2x ਦਾ ਉਲਟ f(x)=2x−1 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ g′(x)=1f′(g(x)), ਪਹਿਲਾਂ f′(x) ਲੱਭੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਅੰਤ ਵਿੱਚ,
ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸਹੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ g(x) 'ਤੇ ਭਾਗ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.42
g(x)=1x+2 ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। g(x) ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.61
ਵਿਪਰੀਤ ਫਲਨ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਉਪਯੋਗ
g(x)=x3 ਦੇ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਪਰੀਤ ਫਲਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫਲਨ g(x)=x3, ਫਲਨ f(x)=x3 ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ g′(x)=1f′(g(x)), ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ f′(x) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਅੰਤ ਵਿੱਚ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.43
ਵਿਪਰੀਤ ਫਲਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ g(x)=x5 ਦੇ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵਿਪਰੀਤ ਫਲਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ 1/n ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਸਥਾਰ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ x^q ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ q ਕੋਈ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 3.12
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਿਸਥਾਰ
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਭਾਵ, ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ
ਨਾਲ ਹੀ, ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ m ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ
ਸਿੱਧ
ਫਲਨ g(x)=x1/n, ਫਲਨ f(x)=xn ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ g′(x)=1f′(g(x)), ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ f′(x) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਅੰਤ ਵਿੱਚ,
xm/n ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ (x1/n)m ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
□
ਉਦਾਹਰਨ 3.62
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯ ਘਾਤ ਉੱਤੇ ਉਪਯੋਗ
x=8 ਉੱਤੇ y=x2/3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ dydx ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ x=8 ਉੱਤੇ ਮੁੱਲਿਆ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ
x=8 ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ 1/3 ਹੈ।
ਮੂਲ ਫਲਨ ਵਿੱਚ x=8 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ y=4 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਬਿੰਦੂ (8,4) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਰੇਖਾ ਲਈ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
3.44 ਪੜਾਅ
s(t)=2t+1 ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਇਨਵਰਸ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਨਵਰਸ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ ਬੇਹੱਦ ਕੀਮਤੀ ਸਾਬਤ ਹੋਣਗੇ। ਇਨਵਰਸ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈਰਾਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਬਤ ਹੋਏ ਹਨ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਇੱਥੇ, ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.63
ਇਨਵਰਸ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
g(x)=sin−1x ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ [−π2,π2] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ xx ਲਈ, f(x)=sinx[−π2,π2],f(x)=sinx, g(x)=sin−1x,g(x)=sin−1x ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ, f′(x) ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ cos(sin−1x)=1−x2,cos(sin−1x)=1−x2, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਤਰਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। sin−1x=θ.sin−1x=θ ਸੈੱਟ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, sinθ=xsinθ=x ਜਿੱਥੇ −π2≤θ≤π2.−π2≤θ≤π2। ਅਸੀਂ 0<θ<π2 ਦੇ ਮਾਮਲੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ θθ ਇੱਕ ਤੀਬਰ ਕੋਣ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਤੀਬਰ ਕੋਣ θ,θ, ਲੰਬਾਈ 11 ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਣ θθ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ x.x ਹੈ। ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ, ਕੋਣ θθ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਵੀਂ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 1−x2.1−x2 ਹੈ। ਇਹ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਚਿੱਤਰ 3.29 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.cos(sin−1x)=cosθ=1−x2।
ਚਿੱਤਰ 3.29: ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਜਿਸਦਾ ਤੀਬਰ ਕੋਣ θ,θ, ਲੰਬਾਈ 1,1 ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਣ θθ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ x,x ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.cos(sin−1x)=cosθ=1−x2।
ਜੇਕਰ −π2<θ<0,−π2<θ<0, ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 0<−θ<π20<−θ<π2 ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
ਹੁਣ ਜੇਕਰ θ=π2θ=π2 ਜਾਂ θ=−π2,x=1θ=−π2,x=1 ਜਾਂ x=−1,x=−1, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ cosθ=0cosθ=0 ਅਤੇ 1−x2=0,1−x2=0, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ θ=0θ=0, x=0x=0 ਅਤੇ cosθ=1-0=1cosθ=1-0=1।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, cos(sin−1x)=1−x2.cos(sin−1x)=1−x2।
ਉਦਾਹਰਨ 3.64
ਇਨਵਰਸ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਉਦਾਹਰਨ 3.61 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਫਾਰਮੂਲੇ 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ h(x)=sin−1(g(x))h(x)=sin−1(g(x)) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ h(x)=sin−1(2x3).h(x)=sin−1(2x3) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
h(x)=sin−1(g(x)),h(x)=sin−1(g(x)) 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹੁਣ g(x)=2x3,g(x)=2x3 ਸੈੱਟ ਕਰੋ, ਇਸ ਲਈ g′(x)=6x2.g′(x)=6x2। ਪਿਛਲੇ ਨਤੀਜੇ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
3.45 ਪੜਾਅ
Use the inverse function theorem to find the derivative of g(x)=tan−1x.g(x)=tan−1x.
The derivatives of the remaining inverse trigonometric functions may also be found by using the inverse function theorem. These formulas are provided in the following theorem.
Theorem 3.13
Derivatives of Inverse Trigonometric Functions
Example 3.65
Applying Differentiation Formulas to an Inverse Tangent Function
Find the derivative of f(x)=tan−1(x2).f(x)=tan−1(x2).
Solution
Let g(x)=x2,g(x)=x2, so g′(x)=2x.g′(x)=2x. Substituting into Equation 3.24, we obtain
Simplifying, we have
Example 3.66
Applying Differentiation Formulas to an Inverse Sine Function
Find the derivative of h(x)=x2sin−1x.h(x)=x2sin−1x.
Solution
By applying the product rule, we have
Checkpoint 3.46
Find the derivative of h(x)=cos−1(3x−1).h(x)=cos−1(3x−1).
Example 3.67
Applying the Inverse Tangent Function
The position of a particle at time tt is given by s(t)=tan−1(1t)s(t)=tan−1(1t) for t≥12.t≥12. Find the velocity of the particle at time t=1.t=1.
Solution
Begin by differentiating s(t)s(t) in order to find v(t).v(t). Thus,
Simplifying, we have
Thus, v(1)=−12.v(1)=−12.
Checkpoint 3.47
Find an equation of the line tangent to the graph of f(x)=sin−1xf(x)=sin−1x at x=0.x=0.
For the following exercises, use the graph of y=f(x)y=f(x) to
sketch the graph of y=f−1(x),y=f−1(x), and
use part a. to estimate (f−1)′(1).(f−1)′(1).
For the following exercises, use the functions y=f(x)y=f(x) to find
dfdxdfdx at x=ax=a and
x=f−1(y).x=f−1(y).
Then use part b. to find df−1dydf−1dy at y=f(a).y=f(a).
f ( x ) = 6 x − 1 , x = −2 f ( x ) = 6 x − 1 , x = −2
f ( x ) = 2 x 3 − 3 , x = 1 f ( x ) = 2 x 3 − 3 , x = 1
f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 , x = 2 f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 , x = 2
f ( x ) = sin x , x = 0 f ( x ) = sin x , x = 0
For each of the following functions, find (f−1)′(a).(f−1)′(a).
f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , x ≥ - 3 2 , a = 2 f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , x ≥ - 3 2 , a = 2
f ( x ) = x 3 + 2 x + 3 , a = 0 f ( x ) = x 3 + 2 x + 3 , a = 0
f ( x ) = x + x , a = 2 f ( x ) = x + x , a = 2
f ( x ) = x − 2 x , x < 0 , a = 1 f ( x ) = x − 2 x , x < 0 , a = 1
f ( x ) = x + sin x , a = 0 f ( x ) = x + sin x , a = 0
f ( x ) = tan x + 3 x 2 , a = 0 ; 0 < x < π / 2 f ( x ) = tan x + 3 x 2 , a = 0 ; 0 < x < π / 2
For each of the given functions y=f(x),y=f(x),
find the slope of the tangent line to its inverse function f−1f−1 at the indicated point P,P, and
find an equation of the tangent line to the graph of f−1f−1 at the indicated point.
f ( x ) = 4 1 + x 2 , P ( 2 , 1 ) f ( x ) = 4 1 + x 2 , P ( 2 , 1 )
f ( x ) = x − 4 , P ( 2 , 8 ) f ( x ) = x − 4 , P ( 2 , 8 )
f ( x ) = ( x 3 + 1 ) 4 , P ( 16 , 1 ) f ( x ) = ( x 3 + 1 ) 4 , P ( 16 , 1 )
f ( x ) = − x 3 − x + 2 , P ( −8 , 2 ) f ( x ) = − x 3 − x + 2 , P ( −8 , 2 )
f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4 x − 8 , P ( −8 , 1 ) f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4 x − 8 , P ( −8 , 1 )
For the following exercises, find dydxdydx for the given function.
y = sin −1 ( x 2 ) y = sin −1 ( x 2 )
y = cos −1 ( x ) y = cos −1 ( x )
y = sec −1 ( 1 x ) y = sec −1 ( 1 x )
y = csc −1 x y = csc −1 x
y = ( 1 + tan −1 x ) 3 y = ( 1 + tan −1 x ) 3
y = cos −1 ( 2 x ) · sin −1 ( 2 x ) y = cos −1 ( 2 x ) · sin −1 ( 2 x )
y = 1 tan −1 ( x ) y = 1 tan −1 ( x )
y = sec −1 ( − x ) y = sec −1 ( − x )
y = cot −1 4 − x 2 y = cot −1 4 − x 2
y = x · csc −1 x y = x · csc −1 x
For the following exercises, use the given values to find (f−1)′(a).(f−1)′(a).
f ( π ) = 0 , f ′ ( π ) = −1 , a = 0 f ( π ) = 0 , f ′ ( π ) = −1 , a = 0
f ( 6 ) = 2 , f ′ ( 6 ) = 1 3 , a = 2 f ( 6 ) = 2 , f ′ ( 6 ) = 1 3 , a = 2
f ( 1 3 ) = −8 , f ′ ( 1 3 ) = 2 , a = −8 f ( 1 3 ) = −8 , f ′ ( 1 3 ) = 2 , a = −8
f ( 3 ) = 1 2 , f ′ ( 3 ) = 2 3 , a = 1 2 f ( 3 ) = 1 2 , f ′ ( 3 ) = 2 3 , a = 1 2
f ( 1 ) = −3 , f ′ ( 1 ) = 10 , a = −3 f ( 1 ) = −3 , f ′ ( 1 ) = 10 , a = −3
f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = −2 , a = 0 f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = −2 , a = 0
[T] The position of a moving hockey puck after tt seconds is s(t)=tan−1ts(t)=tan−1t where ss is in meters.
Find the velocity of the hockey puck at any time t.t.
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਪੱਕ ਦੀ ਪ੍ਰਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰੋ।
t=2,4,t=2,4, ਅਤੇ 66 ਸਕਿੰਟਾਂ ਲਈ a. ਅਤੇ b. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
c. ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਿਆਂ ਤੋਂ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
[T] 225 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦਿਨ ਦੇ ਬੀਤਣ ਨਾਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਲੰਬਾਈਆਂ xx ਦੀ ਛਾਂ ਪਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ ਛਾਂ ਦੇ ਸਿਰੇ ਤੱਕ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਉਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ θθ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ x=272x=272 ਫੁੱਟ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਚਾਈ ਦੇ ਕੋਣ dθdxdθdx ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
[T] ਇੱਕ ਖੰਭਾ 75 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ xx ਫੁੱਟ ਲੰਬੀਆਂ ਤਾਰਾਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਖੰਭੇ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਜੋੜੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਕੋਣ θθ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ 90 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਤਾਰ ਜੋੜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਕੋਣ dθdxdθdx ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
[T] ਜ਼ਮੀਨੀ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਕੈਮਰਾ ਇੱਕ ਪੁਲਾੜੀ ਰਾਕੇਟ ਦੇ ਲਾਂਚ ਪੈਡ ਤੋਂ 2000 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ ਜੋ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਡਾਣ ਭਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੈਮਰੇ ਦੇ ਉਚਾਈ ਦੇ ਕੋਣ ਨੂੰ θ=tan−1(x2000),θ=tan−1(x2000) ਦੁਆਰਾ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ xx ਰਾਕੇਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਲਾਂਚ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਕੈਮਰਾ ਅਤੇ ਰਾਕੇਟ 5000 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੋਣ।
[T] ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਫਿਲਮ ਥੀਏਟਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 30-ਫੁੱਟ-ਉੱਚੀ ਸਕ੍ਰੀਨ ਹੈ ਜੋ ਬੈਠਣ ਵੇਲੇ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਅੱਖ ਦੇ ਪੱਧਰ ਤੋਂ 10 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਕੋਣ θθ (ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ θ=cot−1x40−cot−1x10,θ=cot−1x40−cot−1x10,
ਜਿੱਥੇ xx ਫਿਲਮ ਸਕ੍ਰੀਨ ਤੋਂ ਵਿਅਕਤੀ ਦੇ ਬੈਠਣ ਦੀ ਦੂਰੀ ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
dθdx.dθdx. ਪਤਾ ਕਰੋ।
x=5,10,15,x=5,10,15, ਅਤੇ 20 ਲਈ dθdxdθdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
b. ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
x=25,30,35,x=25,30,35, ਅਤੇ 40 ਲਈ dθdxdθdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
d. ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਕੋਣ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਸ ਦੂਰੀ xx 'ਤੇ ਬੈਠਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?