ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਜਟਿਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭੋ।
ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਪਸ਼ਟ ਸਮੀਕਰਨ ਸੀ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਭੇਦਿਤ ਕੀਤਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਮਨਮਾਨੇ ਵਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਮਨਮਾਨੇ ਵਕਰ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y ਨੂੰ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ
ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਚਰਚਾਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਆਸ਼ਰਿਤ ਵੇਰੀਏਬਲ y, ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ y ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ y, x ਦਾ ਇੱਕ ਸਪਸ਼ਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ y=x^2+1 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ y ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ y ਅਤੇ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ y ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ y ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ y-x^2=1, ਫੰਕਸ਼ਨ y=x^2+1 ਨੂੰ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਸਾਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ (ਉਹ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ)। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ y ਦੇ ਭਾਗ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਪਰ y ਅਸਲ ਵਿੱਚ x ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ
y=25−x^2, y=−25−x^2, ਅਤੇ y={25−x^2 ਜੇਕਰ −5<x<0 −25−x^2 ਜੇਕਰ 0<x<25, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.30 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਸਮੀਕਰਨ x^2+y^2=25 ਦੁਆਰਾ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਤਿੰਨ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 3.30: ਸਮੀਕਰਨ x^2+y^2=25 ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x^2+y^2=25 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ (3,4) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ x=3 'ਤੇ y=25−x^2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ (3,−4) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ y=−25−x^2 ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਤਕਨੀਕ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ dy/dx ਲੱਭਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲਣ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲਣ ਰਣਨੀਤੀ
ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ
ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋ y ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਓ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ y, x ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਜਦੋਂ ਕਿ d/dx(sin x) = cos x, d/dx(sin y) = cos y (dy/dx) ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ sin y ਦਾ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਨ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਕਿ ਸਾਰੇ dy/dx ਵਾਲੇ ਪਦ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਪਦ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ dy/dx ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੋਣ।
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ dy/dx ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਚਿਤ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡ ਕੇ dy/dx ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.68
ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ y ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ x^2+y^2=25 ਦੁਆਰਾ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, dy/dx ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲਣ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
1. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ dydxdydx ਲਈ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ xx ਅਤੇ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ y.y. ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ dydxdydx ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ xx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 3.69
3. ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
4. ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ yy ਸਮੀਕਰਨ x3siny+y=4x+3,x3siny+y=4x+3 ਦੁਆਰਾ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, dydx.dydx ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਹੱਲ
6. ਉਦਾਹਰਨ 3.70
7. ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
8. ਜੇਕਰ x2+y2=25.x2+y2=25 ਹੋਵੇ ਤਾਂ d2ydx2d2ydx2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਹੱਲ
10. ਉਦਾਹਰਨ 3.68 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ dydx=−xy.dydx=−xy। ਅਸੀਂ d2ydx2.d2ydx2 ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
11. ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਅਸੀਂ d2ydx2.d2ydx2 ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਚਾਹੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ x2+y2=25x2+y2=25 ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ d2ydx2=−25y3.d2ydx2=−25y3 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ।
12. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.48
13. ਸਮੀਕਰਨ 4x5+tany=y2+5x.4x5+tany=y2+5x ਦੁਆਰਾ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ yy ਲਈ dydxdydx ਪਤਾ ਕਰੋ।
14. ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੱਭਣਾ
15. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਤਕਨੀਕ ਦੇਖ ਲਈ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 3.71
17. ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਲੱਭਣਾ
18. ਵਕਰ x2+y2=25x2+y2=25 ਲਈ ਬਿੰਦੂ (3,−4).(3,−4) 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
19. ਹੱਲ
20. ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਸੀ, ਉਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇਹ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3.68 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ dydx=−xy.dydx=−xy ਪਾਇਆ।
21. ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ (3,−4)(3,−4) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਕੇ ਪਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ dydx|(3,−4)=−3−4=34.dydx|(3,−4)=−3−4=34 ਹੈ।
22. ਬਿੰਦੂ (3,−4)(3,−4) ਅਤੇ ਢਲਾਣ 3434 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ y=34x−254y=34x−254 (ਚਿੱਤਰ 3.31) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
23. ਚਿੱਤਰ 3.31: ਰੇਖਾ y=34x−254y=34x−254 ਬਿੰਦੂ (3, −4) 'ਤੇ x2+y2=25x2+y2=25 ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 3.72
Finding the Equation of the Tangent Line to a Curve
Find an equation of the line tangent to the graph of y3+x3−3xy=0y3+x3−3xy=0 at the point (32,32)(32,32) (Figure 3.32). This curve is known as the folium (or leaf) of Descartes.
Figure 3.32: Finding the tangent line to the folium of Descartes at (32,32).(32,32).
Solution
Begin by finding dydx.dydx.
Next, substitute (32,32)(32,32) into dydx=3y−3x23y2−3xdydx=3y−3x23y2−3x to find the slope of the tangent line:
Finally, substitute into the point-slope equation of the line to obtain
Example 3.73
Applying Implicit Differentiation
In a simple video game, a rocket travels in an elliptical orbit whose path is described by the equation 4x2+25y2=100.4x2+25y2=100. The rocket can fire missiles along lines tangent to its path. The object of the game is to destroy an incoming asteroid traveling along the positive x-axis toward (0,0).(0,0). If the rocket fires a missile when it is located at (3,85),(3,85), where will it intersect the x-axis?
Solution
To solve this problem, we must determine where the line tangent to the graph of
4x2+25y2=1004x2+25y2=100 at (3,85)(3,85) intersects the x-axis. Begin by finding dydxdydx implicitly.
Differentiating, we have
Solving for dydx,dydx, we have
The slope of the tangent line is dydx|(3,85)=−310.dydx|(3,85)=−310. The equation of the tangent line is y=−310x+52.y=−310x+52. To determine where the line intersects the x-axis, solve 0=−310x+52.0=−310x+52. The solution is x=253.x=253. The missile intersects the x-axis at the point (253,0).(253,0).
Checkpoint 3.49
Find an equation of the line tangent to the hyperbola x2−y2=16x2−y2=16 at the point (5,3).(5,3).
For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.dydx.
x 2 − y 2 = 4 x 2 − y 2 = 4
6 x 2 + 3 y 2 = 12 6 x 2 + 3 y 2 = 12
x 2 y = y − 7 x 2 y = y − 7
3 x 3 + 9 x y 2 = 5 x 3 3 x 3 + 9 x y 2 = 5 x 3
x y − cos ( x y ) = 1 x y − cos ( x y ) = 1
y x + 4 = x y + 8
− x y − 2 = x 7
y sin ( x y ) = y 2 – 2
( x y ) 2 + 3 x = y 2
x 3 y + x y 3 = −8
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸੌਫਟਵੇਅਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x4y−xy3=−2,(−1,−1)
x2y2+5xy=14,(2,1)
tan(xy)=y,(π4,1)
xy2+sin(πy)−2x2=10,(2,−3)
xy+5x−7=−34y,(1,2)
xy+sin(x)=1,(π2,0)
[T] ਡੇਸਕਾਰਟਸ ਦੇ ਫੋਲੀਅਮ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਜਿਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ 2x3+2y3−9xy=0 ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂ (2,1) 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਫੋਲੀਅਮ ਦੇ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ (2,1) 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਸਮੀਕਰਨ x2+2xy−3y2=0 ਲਈ,
ਬਿੰਦੂ (1,1) 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਕੀ ਹੋਰ ਕਿਹੜੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਧਾਰਨ ਰੇਖਾ 'a' ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ?
y3−27y=x2−90 'ਤੇ ਉਹ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਲੰਬਵਤ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ x2+xy+y2=7 ਲਈ,
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ(ਸ) ਲੱਭੋ।
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ(ਸ) 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ(ਵਾਂ) ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭੋ।
b. ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ(ਮੁੱਲਾਂ) ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ(ਵਾਂ) ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ?
ਸਮੀਕਰਨ sin−1x+sin−1y=π6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,12) 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
tan⁻¹(x+y) = x² + π/4 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਬਿੰਦੂ (0,1) ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
x² + 6xy - 2y² = 3 ਲਈ y′ ਅਤੇ y″ ਲੱਭੋ।
[T] ਕਿਰਤ ਉੱਤੇ xx ਡਾਲਰ ਅਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ਿਤ ਪੂੰਜੀ ਉੱਤੇ yy ਡਾਲਰ ਖਰਚ ਕਰਨ 'ਤੇ ਉਤਪਾਦਿਤ ਸੈੱਲ ਫੋਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਾਡਲ ਸਮੀਕਰਨ 60x³/⁴y¹/⁴ = 3240 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
dy/dx ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (81,16) ਉੱਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
a ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
[T] ਕਿਰਤ ਉੱਤੇ xx ਡਾਲਰ ਅਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ਿਤ ਪੂੰਜੀ ਉੱਤੇ yy ਡਾਲਰ ਖਰਚ ਕਰਨ 'ਤੇ ਉਤਪਾਦਿਤ ਕਾਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਾਡਲ ਸਮੀਕਰਨ 30x¹/³y²/³ = 360 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
(xx ਅਤੇ yy ਦੋਵੇਂ ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਹਨ।)
dy/dx ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (27,8) ਉੱਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
a ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
xx ਰੇਡੀਅਸ ਅਤੇ yy ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿੱਧੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ V = 1/3 πx²y ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ। x=4 ਅਤੇ y=16 ਹੋਣ 'ਤੇ dy/dx ਲੱਭੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਵਰਗ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਅਤੇ y ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਬੰਦ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਸਦੇ ਅਧਾਰ ਦੀ ਭੁਜਾ xx ਹੈ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, S(x,y) ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਜੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ 78 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ x=3 ਫੁੱਟ ਅਤੇ y=5 ਫੁੱਟ ਹੋਣ 'ਤੇ dy/dx ਲੱਭੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, y′ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਕੀ ਉੱਤਰ ਪਹਿਲਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ?
x = sin y
x = cos y
x = tan y