Learning Objectives
3.9.1 Find the derivative of exponential functions.
3.9.2 Find the derivative of logarithmic functions.
3.9.3 Use logarithmic differentiation to determine the derivative of a function.
So far, we have learned how to differentiate a variety of functions, including trigonometric, inverse, and implicit functions. In this section, we explore derivatives of exponential and logarithmic functions. As we discussed in Introduction to Functions and Graphs, exponential functions play an important role in modeling population growth and the decay of radioactive materials. Logarithmic functions can help rescale large quantities and are particularly helpful for rewriting complicated expressions.
Derivative of the Exponential Function
Just as when we found the derivatives of other functions, we can find the derivatives of exponential and logarithmic functions using formulas. As we develop these formulas, we need to make certain basic assumptions. The proofs that these assumptions hold are beyond the scope of this course.
First of all, we begin with the assumption that the function B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, is defined for every real number and is continuous. In previous courses, the values of exponential functions for all rational numbers were defined—beginning with the definition of bn,bn, where nn is a positive integer—as the product of bb multiplied by itself nn times. Later, we defined b0=1,b−n=1bn,b0=1,b−n=1bn, for a positive integer n,n, and bs/t=(bt)sbs/t=(bt)s for positive integers ss and t.t. These definitions leave open the question of the value of brbr where rr is an arbitrary real number. By assuming the continuity of B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, we may interpret brbr as limx→rbxlimx→rbx where the values of xx as we take the limit are rational. For example, we may view 4π4π as the number satisfying
As we see in the following table, 4π≈77.88.4π≈77.88.
row: xx | 4x4x | xx | 4x4x
row: 33 | 64 | 3.1415933.141593 | 77.8802710486
row: 3.13.1 | 73.5166947198 | 3.14163.1416 | 77.8810268071
row: 3.143.14 | 77.7084726013 | 3.1423.142 | 77.9242251944
row: 3.1413.141 | 77.8162741237 | 3.153.15 | 78.7932424541
row: 3.14153.1415 | 77.8702309526 | 3.23.2 | 84.4485062895
row: 3.141593.14159 | 77.8799471543 | 44 | 256
We also assume that for B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, the value B′(0)B′(0) of the derivative exists. In this section, we show that by making this one additional assumption, it is possible to prove that the function B(x)B(x) is differentiable everywhere.
We make one final assumption: that there is a unique value of b>0b>0 for which B′(0)=1.B′(0)=1. We define ee to be this unique value, as we did in Introduction to Functions and Graphs. Figure 3.33 provides graphs of the functions y=2x,y=3x,y=2.7x,y=2x,y=3x,y=2.7x, and y=2.8x.y=2.8x. A visual estimate of the slopes of the tangent lines to these functions at 0 provides evidence that the value of e lies somewhere between 2.7 and 2.8. The function E(x)=exE(x)=ex is called the natural exponential function. Its inverse, L(x)=logex=lnxL(x)=logex=lnx is called the natural logarithmic function.
Figure 3.33: The graph of E(x)=exE(x)=ex is between y=2xy=2x and y=3x.y=3x.
For a better estimate of e,e, we may construct a table of estimates of B′(0)B′(0) for functions of the form B(x)=bx.B(x)=bx. Before doing this, recall that
for values of xx very close to zero. For our estimates, we choose x=0.00001x=0.00001 and x=−0.00001x=−0.00001 to obtain the estimate
See the following table.
row: bb | b−0.00001−1−0.00001<B′(0)<b0.00001−10.00001b−0.00001−1−0.00001<B′(0)<b0.00001−10.00001 | bb | b−0.00001−1−0.00001<B′(0)<b0.00001−10.00001b−0.00001−1−0.00001<B′(0)<b0.00001−10.00001
row: 22 | 0.693145<B′(0)<0.693150.693145<B′(0)<0.69315 | 2.71832.7183 | 1.000002<B′(0)<1.0000121.000002<B′(0)<1.000012
1. ਕਤਾਰ: 2.72.7 | 0.993247<B′(0)<0.9932570.993247<B′(0)<0.993257 | 2.7192.719 | 1.000259<B′(0)<1.0002691.000259<B′(0)<1.000269
2. ਕਤਾਰ: 2.712.71 | 0.996944<B′(0)<0.9969540.996944<B′(0)<0.996954 | 2.722.72 | 1.000627<B′(0)<1.0006371.000627<B′(0)<1.000637
3. ਕਤਾਰ: 2.7182.718 | 0.999891<B′(0)<0.9999010.999891<B′(0)<0.999901 | 2.82.8 | 1.029614<B′(0)<1.0296251.029614<B′(0)<1.029625
4. ਕਤਾਰ: 2.71822.7182 | 0.999965<B′(0)<0.9999750.999965<B′(0)<0.999975 | 33 | 1.098606<B′(0)<1.0986181.098606<B′(0)<1.098618
5. ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਬੂਤ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ 2.7182<e<2.7183.2.7182<e<2.7183.
6. E(x)=exE(x)=ex ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, y=x+1y=x+1 ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ, ਚਿੱਤਰ 3.34 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਰੇਖਾ x=0.x=0 ਉੱਤੇ E(x)=exE(x)=ex ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ।
7. ਚਿੱਤਰ 3.34: x=0x=0 ਉੱਤੇ E(x)=exE(x)=ex ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ 1 ਹੈ।
8. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ B(x)=bx,b>0.B(x)=bx,b>0 ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਕੇ ਆਪਣੀ ਜਾਂਚ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿ B′(0)B′(0) ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਉੱਤੇ ਸੀਮਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
9. B′(x),B′(x) ਵੱਲ ਮੁੜਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
10. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਕਿ B(x)=bxB(x)=bx, 0 ਉੱਤੇ ਵਿਭੇਦਨੀਯ ਹੈ, B(x)0,B(x) ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਹਰ ਥਾਂ ਵਿਭੇਦਨੀਯ ਹੈ, ਬਲਕਿ ਇਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ
11. E(x)=exE(x)=ex ਲਈ, E′(0)=1.E′(0)=1. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ E′(x)=ex.E′(x)=ex ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। (B(x)=bx,b>0.B(x)=bx,b>0 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਫਲਨ ਲਈ B′(0)B′(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।)
12. ਥਿਊਰਮ 3.14
13. ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤ ਅੰਕ ਫਲਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
14. ਮੰਨ ਲਓ E(x)=exE(x)=ex ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤ ਅੰਕ ਫਲਨ ਹੈ। ਫਿਰ
15. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ,
16. ਉਦਾਹਰਨ 3.74
17. ਘਾਤ ਅੰਕ ਫਲਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
18. f(x)=etan(2x).f(x)=etan(2x) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਹੱਲ
20. ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ,
21. ਉਦਾਹਰਨ 3.75
22. ਵਿਭੇਦਨ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
23. y=ex2x.y=ex2x ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
24. ਹੱਲ
ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ (natural exponential function) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (derivative) ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ (quotient rule) ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ (chain rule) ਰਾਹੀਂ ਕਰੋ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.50
h(x)=xe^2x ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.76
ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਮੱਛਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਬਸਤੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ 1000 ਹੈ। tt ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ, ਆਬਾਦੀ A(t)=1000e^0.3t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ, A′(t), ਅਤੇ ਆਬਾਦੀ, A(t) ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ A′(t) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ A′(t)=300e^0.3t ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਅਤੇ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਅਤੇ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ 0.3 ਦਾ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.51
ਜੇਕਰ A(t)=1000e^0.3t ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਂਗ tt ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਮੱਛਰਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 4 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ A(t) ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਕੀ ਹੈ?
ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ (natural logarithmic function) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ (implicit differentiation) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 3.15
ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਜੇਕਰ x>0 ਅਤੇ y=lnx, ਤਾਂ
ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ g(x) ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। xx ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਜਿੱਥੇ g(x)>0, h(x)=ln(g(x)) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਸਿੱਧ
ਜੇਕਰ x>0 ਅਤੇ y=lnx, ਤਾਂ e^y=x। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
dy/dx ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ x=e^y ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ (inverse function theorem) ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ y=g(x)=lnx, f(x)=e^x ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ h(x)=ln(g(x)) 'ਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
□
y=lnx ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ dydx=1x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 3.35 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.35: ਫੰਕਸ਼ਨ y=lnx (0,+∞) ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ y′=1x (0,+∞) ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.77
ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਲਘੂਰਿਦਮ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਣਾ
f(x)=ln(x³+3x−4) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ 3.31 ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.78
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਿੱਚ ਲਘੂਰਿਦਮ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
f(x)=ln(x²sinx/2x+1) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲੀ ਨਜ਼ਰੇ, ਇਸ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੈਣਾ ਕਾਫ਼ੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਲਘੂਰਿਦਮ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.52
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰੋ: f(x)=ln(3x+2)⁵।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਲਘੂਰਿਦਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ y=logbˣ ਅਤੇ y=bˣ ਲਈ b>0, b≠1 ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 3.16
ਆਮ ਘਾਤਕ ਅਤੇ ਲਘੂਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਮੰਨ ਲਓ b>0, b≠1, ਅਤੇ g(x) ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਜੇਕਰ, y=logbˣ, ਤਾਂ dydx=1xlnb। (3.32) ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ h(x)=logb(g(x)), ਤਾਂ x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਜਿੱਥੇ g(x)>0, h′(x)=g′(x)g(x)lnb। (3.33)
ਜੇਕਰ y=bˣ, ਤਾਂ dydx=bˣlnb। (3.34) ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ h(x)=bg(x), ਤਾਂ h′(x)=bg(x)g′(x)lnb। (3.35)
ਸਿੱਧ
ਜੇਕਰ y=logbˣ, ਤਾਂ bʸ=x। ਇਸ ਲਈ ln(bʸ)=lnx। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ylnb=lnx। y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ y=lnx/lnb ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ lnb ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਸਮੀਕਰਨ 3.32 ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੁਣ ਚੇਨ ਰੂਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ y=bˣ, ਤਾਂ lny=xlnb। ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦੁਬਾਰਾ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ lnb ਸਥਿਰ ਹੈ, ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ 1ydydx=lnb। dydx ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ y=bˣ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਸੰਕਲਨ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਰੂਪ (ਸਮੀਕਰਨ 3.35) ਚੇਨ ਰੂਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
□
ਉਦਾਹਰਨ 3.79
ਅਵਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦਾ ਉਪਯੋਗ
h(x)=3x^3x+2 ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਆਮ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.80
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
y=log2(3x+1) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x=1 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ x=1 'ਤੇ dy/dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਸਮੀਕਰਨ 3.33 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
x=1 'ਤੇ ਅਵਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.53
y=3x ਨੂੰ x=2 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਅਵਕਲਨ
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ y=(g(x))^n ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ n ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ y=b^g(x) ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ, ਜਿੱਥੇ b>0 ਅਤੇ b≠1। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਜੇ ਤੱਕ ਸਾਨੂੰ y=x^x ਜਾਂ y=x^π ਵਰਗੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਨ ਦਾ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕੀ ਅਵਕਲਨ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ h(x)=g(x)^f(x) ਰੂਪ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਜਟਿਲ ਅਵਕਲਨ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਰਲ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ y=x^2x+1*e^x*sin^3x ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ
ਲਘੂਗਣਕੀ ਅਵਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
y=h(x) ਦਾ ਲਘੂਗਣਕੀ ਅਵਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਲਓ ਤਾਂ ਜੋ ln(y)=ln(h(x)) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ।
ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ln(h(x)) ਨੂੰ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਕਰੋ। ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸਾਨੂੰ 1/y * dy/dx ਮਿਲੇਗਾ।
dy/dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ y ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
y ਨੂੰ h(x) ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
Example 3.81
Using Logarithmic Differentiation
Find the derivative of y=(2x4+1)tanx.y=(2x4+1)tanx.
Solution
Use logarithmic differentiation to find this derivative.
Example 3.82
Using Logarithmic Differentiation
Find the derivative of y=x2x+1exsin3x.y=x2x+1exsin3x.
Solution
This problem really makes use of the properties of logarithms and the differentiation rules given in this chapter.
Example 3.83
Extending the Power Rule
Find the derivative of y=xry=xr where rr is an arbitrary real number.
Solution
The process is the same as in Example 3.82, though with fewer complications.
Checkpoint 3.54
Use logarithmic differentiation to find the derivative of y=xx.y=xx.
Checkpoint 3.55
Find the derivative of y=(tanx)π.y=(tanx)π.
For the following exercises, find f′(x)f′(x) for each function.
f ( x ) = x 2 e x f ( x ) = x 2 e x
f ( x ) = e − x x f ( x ) = e − x x
f ( x ) = e x 3 ln x f ( x ) = e x 3 ln x
f ( x ) = e 2 x + 2 x f ( x ) = e 2 x + 2 x
f ( x ) = e x − e − x e x + e − x f ( x ) = e x − e − x e x + e − x
f ( x ) = 10 x ln 10 f ( x ) = 10 x ln 10
f ( x ) = 2 4 x + 4 x 2 f ( x ) = 2 4 x + 4 x 2
f ( x ) = 3 sin 3 x f ( x ) = 3 sin 3 x
f ( x ) = x π · π x f ( x ) = x π · π x
f ( x ) = ln ( 4 x 3 + x ) f ( x ) = ln ( 4 x 3 + x )
f ( x ) = ln 5 x − 7 f ( x ) = ln 5 x − 7
f ( x ) = x 2 ln 9 x f ( x ) = x 2 ln 9 x
f ( x ) = log ( sec x ) f ( x ) = log ( sec x )
f ( x ) = log 7 ( 6 x 4 + 3 ) 5 f ( x ) = log 7 ( 6 x 4 + 3 ) 5
f ( x ) = 2 x · log 3 7 x 2 − 4 f ( x ) = 2 x · log 3 7 x 2 − 4
For the following exercises, use logarithmic differentiation to find dydx.dydx.
y = x x y = x x
y = ( sin 2 x ) 4 x y = ( sin 2 x ) 4 x
y = ( ln x ) ln x y = ( ln x ) ln x
y = x log 2 x y = x log 2 x
y = ( x 2 − 1 ) ln x y = ( x 2 − 1 ) ln x
y = x cot x y = x cot x
y = x + 11 x 2 − 4 3 y = x + 11 x 2 − 4 3
y = x −1 / 2 ( x 2 + 3 ) 2 / 3 ( 3 x − 4 ) 4 y = x −1 / 2 ( x 2 + 3 ) 2 / 3 ( 3 x − 4 ) 4
[T] Find an equation of the tangent line to the graph of f(x)=4xe(x2−1)f(x)=4xe(x2−1) at the point where
x=−1.x=−1. Graph both the function and the tangent line.
[T] Find an equation of the line that is normal to the graph of f(x)=x·5xf(x)=x·5x at the point where x=1.x=1. Graph both the function and the normal line.
[T] Find an equation of the tangent line to the graph of x3−xlny+y3=2x+5x3−xlny+y3=2x+5 at the point (2, 1). (Hint: Use implicit differentiation to find dydx.)dydx.) Graph both the curve and the tangent line.
1. x>0 ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ y=x1/xy=x1/x 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
2. ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ।
3. ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ y′>0y′>0 ਅਤੇ ਉਹ ਜਿੱਥੇ y′<0.y′<0.
4. ਫਾਰਮੂਲਾ I(t)=sintetI(t)=sintet ਇੱਕ ਘਟਦੀ ਹੋਈ ਬਦਲਵੀਂ ਧਾਰਾ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ।
5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। tt sintetsintet 0 (i) π2π2 (ii) ππ (iii) 3π23π2 (iv) 2π2π (v) 5π25π2 (vi) 3π3π (vii) 7π27π2 (viii) 4π4π (ix)
6. ਸਿਰਫ਼ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ I(t)I(t) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਕਿੱਥੇ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ।
7. [T] 2000 ਵਿੱਚ ਟੋਲੇਡੋ, ਓਹੀਓ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਗਭਗ 500,000 ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 5% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ।
8. ਉਸ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲਿਖੋ ਜੋ t.t ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਕੁੱਲ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
9. tt ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ a. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ b. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
11. [T] ਐਰਬੀਅਮ ਤੱਤ ਦਾ ਇੱਕ ਆਈਸੋਟੋਪ ਲਗਭਗ 12 ਘੰਟਿਆਂ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਆਈਸੋਟੋਪ ਦੇ 9 ਗ੍ਰਾਮ ਮੌਜੂਦ ਹਨ।
12. ਉਸ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲਿਖੋ ਜੋ t,t ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਬਚੇ ਹੋਏ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
13. tt ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਘਟਣ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ a. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. t=4t=4 ਘੰਟਿਆਂ 'ਤੇ ਘਟਣ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ b. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. [T] 1960 ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਤੋਂ 1964 ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਤੱਕ ਨਿਊਯਾਰਕ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ ਇਨਫਲੂਐਂਜ਼ਾ ਦੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ
16. N(t)=5.3e0.093t2−0.87t,(0≤t≤4),N(t)=5.3e0.093t2−0.87t,(0≤t≤4), ਜਿੱਥੇ N(t)N(t) ਮਾਮਲਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ t ਨੂੰ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t=0t=0 1960 ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ।
17. N(0)N(0) ਅਤੇ N(4).N(4) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਮ ਦਿਖਾਓ। ਨਿਊਯਾਰਕ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ ਬਿਮਾਰੀ ਬਾਰੇ ਇਹ ਮੁੱਲ ਕੀ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸੋ।
18. N′(0)N′(0) ਅਤੇ N′(3).N′(3) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਮ ਦਿਖਾਓ। ਨਿਊਯਾਰਕ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ ਬਿਮਾਰੀ ਬਾਰੇ ਇਹ ਮੁੱਲ ਕੀ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸੋ।
19. [T] ਇੱਕ ਵਿਭਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x)y=f(x) ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ 100·f′(x)f(x)% ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਇੱਕ ਗੋਂਪਰਟਜ਼ ਵਾਧਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜੋ P(x)=ae−b·e−cxP(x)=ae−b·e−cx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ a,b,a,b, ਅਤੇ cc ਸਥਿਰ ਹਨ।
20. ਜਨਰਲ ਗੋਂਪਰਟਜ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
21. ਜਦੋਂ a=204,b=0.0198,a=204,b=0.0198, ਅਤੇ c=0.15.c=0.15 ਹੋਵੇ ਤਾਂ x=20x=20 ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ a. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. b. ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ, ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
23. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, 1790 ਤੋਂ 1860 ਤੱਕ ਨਿਊਯਾਰਕ ਸ਼ਹਿਰ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
24. ਕਤਾਰ: 1790 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਾਲ | ਆਬਾਦੀ
row: 0 | 33,131
row: 10 | 60,515
row: 20 | 96,373
row: 30 | 123,706
row: 40 | 202,300
row: 50 | 312,710
row: 60 | 515,547
row: 70 | 813,669
Table 3.8: Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Largest_cities_in_the_United_States _by_population_by_decade.
[T] Using a computer program or a calculator, fit a growth curve to the data of the form p=abt.p=abt.
[T] Using the exponential best fit for the data, write a table containing the derivatives evaluated at each year.
[T] Using the exponential best fit for the data, write a table containing the second derivatives evaluated at each year.
[T] Using the tables of first and second derivatives and the best fit, answer the following questions:
Will the model be accurate in predicting the future population of New York City? Why or why not?
Estimate the population in 2010. Was the prediction correct from a.?