ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.3.1 ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
4.3.2 ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
4.3.3 ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸੋ।
4.3.4 ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸੋ।
ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਫਲਨ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸਹੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਵਿਹਾਰਕ ਮਹੱਤਵ ਵੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲਾਭ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨਾ, ਐਲੂਮੀਨੀਅਮ ਦੇ ਡੱਬੇ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰਨਾ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਰਾਕੇਟ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਲੱਭਣਾ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨ
ਫਲਨ f(x)=x2+1f(x)=x2+1 ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞).(−∞,∞) ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਿਵੇਂ x→±∞,x→±∞, f(x)→∞.f(x)→∞। ਇਸ ਲਈ, ਫਲਨ ਦਾ ਕੋਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ xx ਲਈ x2+1≥1x2+1≥1 ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ x=0,x=0, x2+1=1x2+1=1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਫਲਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ, 1, ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0.x=0। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 f(x)=x2+1f(x)=x2+1 ਦਾ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ x=0.x=0 ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x)=x2+1f(x)=x2+1 ਦਾ ਕੋਈ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 4.12: ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦਾ x=0.x=0 ਉੱਤੇ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ 1 ਹੈ। ਫਲਨ ਦਾ ਕੋਈ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ II ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫਲਨ ਹੈ ਅਤੇ c∈I.c∈I। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ II ਉੱਤੇ c ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I.x∈I ਲਈ f(c)≥f(x)f(c)≥f(x) ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ II ਉੱਤੇ c ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I.x∈I ਲਈ f(c)≤f(x)f(c)≤f(x) ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ II ਉੱਤੇ c ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਜਾਂ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ II ਉੱਤੇ c ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮੁੱਦਿਆਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੀਏ। ਪਹਿਲਾਂ, ਪਰਮ ਸ਼ਬਦ ਇੱਥੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ, ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ II ਉੱਤੇ c ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨ f(c).f(c) ਹੈ। ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ c ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞).(−∞,∞) ਉੱਤੇ ਫਲਨ f(x)=1/(x2+1)f(x)=1/(x2+1) ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ
ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ x,x ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (−∞,∞)(−∞,∞) ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ x=0.x=0 ਉੱਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ f(0)=1.f(0)=1 ਹੈ। ਇਹ x=0,x=0 ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.13(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਅਤਿਮਾਨ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.13 ਕਈ ਫਲਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਜਿਸਨੂੰ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬੰਦ, ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ff ਦਾ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 4.13: ਗ੍ਰਾਫ (a), (b), ਅਤੇ (c) (−∞,∞).(−∞,∞) ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫ (d), (e), ਅਤੇ (f) ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.1
ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ
ਜੇਕਰ ff ਇੱਕ ਬੰਦ, ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਹੈ, ਤਾਂ [a,b][a,b] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ff ਦਾ [a,b][a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ [a,b][a,b] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ff ਦਾ [a,b].[a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਅਸਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੇ ਕੋਰਸ ਵਿੱਚ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਬਿਆਨ ਬਾਰੇ ਨੋਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਲਈ, ਫਲਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੰਦ, ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅੰਤਰਾਲ II ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਡਿਸਕੰਟੀਨਿਊਟੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਵੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਦਾ II ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਜਾਂ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 4.13(d), (e), ਅਤੇ (f) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫਲਨਾਂ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨਾਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਗ੍ਰਾਫ (e) ਵਿੱਚ ਫਲਨ ਹੀ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਦੋਵੇਂ ਹਨ। ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ (d) ਅਤੇ (f) ਵਿੱਚ ਫਲਨਾਂ ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਫਲਨ ਬੰਦ, ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ (d) ਵਿੱਚ ਫਲਨ ਨੂੰ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [0,4],[0,4] ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫਲਨ x=2.x=2 ਉੱਤੇ ਡਿਸਕੰਟੀਨਿਊਅਸ ਹੈ। ਫਲਨ ਦਾ [0,4][0,4] ਉੱਤੇ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਹੈ ਪਰ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ (f) ਵਿੱਚ ਫਲਨ ਅਰਧ-ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,2),[0,2) ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਪਰ x=2,x=2 ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਬੰਦ, ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਫਲਨ ਦਾ [0,2),[0,2) ਉੱਤੇ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਹੈ, ਪਰ [0,2).[0,2) ਉੱਤੇ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਗ੍ਰਾਫ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਪਰਮ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ/ਅਤੇ/ਜਾਂ ਪਰਮ ਨਿਊਨਤਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਉਂ ਅਸਫਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਸੰਬੰਧਿਤ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਪਰਮ ਅਤਿਮਾਨਾਂ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ।
ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮਾਨ ਅਤੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ
1. ਅੰਕੜਾ 4.14 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦੇ ਕਾਰਜ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਵਾਦੀ ਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਪਹਾੜਾਂ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ ਉੱਚੀ ਚੋਟੀ 'ਤੇ, x=2 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, x=0 ਵੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ f(0) f ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(x) ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f, x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ ਕੋਈ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦਾ x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 1 ਦੇ ਨੇੜੇ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(1) f(x) ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
2. ਅੰਕੜਾ 4.14: ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦੇ ਦੋ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹਨ। x=2 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੀ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।
3. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
4. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ cc ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਅੰਤਰਾਲ II ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ II, ff ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f(c)≥f(x) ਹੋਵੇ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ cc ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਅੰਤਰਾਲ II ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ II, ff ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f(c)≤f(x) ਹੋਵੇ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੋਵੇ।
5. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੈ ਅਤੇ ff ਨੂੰ cc ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ f(c) ਨੂੰ ਵੀ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਲਈ ਨਿਰਪੇਖ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਕਿਸੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਨਹੀਂ ਮੰਨਦੇ, ਬਲਕਿ ਇਸਨੂੰ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਕਈ ਵਾਰ ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੇਖਣਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦਿਲਚਸਪ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦੇ ਸਕਦੀਆਂ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਨਾਲ ਹੀ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ?
7. ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਆਓ ਅੰਕੜਾ 4.14 ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੀਏ। ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ x=0, x=1, ਅਤੇ x=2 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x=0 ਅਤੇ x=1 'ਤੇ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)=0 ਹੈ। x=2 'ਤੇ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ ਉੱਥੇ ਇੱਕ ਕੋਨਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ff ਦਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ x=c 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(c) ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ: ਜਾਂ ਤਾਂ f′(c)=0 ਜਾਂ f′(c) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ c ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਨੰਬਰ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।
8. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
9. ਮੰਨ ਲਓ c, f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ c, ff ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਨੰਬਰ ਹੈ ਜੇਕਰ f′(c)=0 ਜਾਂ f′(c) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (c, f(c)) ਨੂੰ ff ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਨੰਬਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਬਦ ਇਸ ਪਾਠ ਅਤੇ ਹੋਰ ਥਾਵਾਂ 'ਤੇ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਦਲਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
10. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੇਕਰ ff ਦਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ x=c 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੈ, ਤਾਂ c, f ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਨੰਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਫਰਮਾਟ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।
11. ਪ੍ਰਮੇਯ 4.2
12. ਫਰਮਾਟ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ
13. ਜੇਕਰ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੈ ਅਤੇ ff, c 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ f′(c)=0।
14. ਸਿੱਧ
15. ਮੰਨ ਲਓ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੈ ਅਤੇ ff, c 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ f′(c)=0। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ f′(c)≥0 ਅਤੇ f′(c)≤0, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ f′(c)=0। ਕਿਉਂਕਿ ff ਦਾ c 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੈ, ff ਦਾ c 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ff ਦਾ c 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਉਹ ਮਾਮਲਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਭਾਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਅੰਤਰਾਲ II ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f(c)≥f(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ff, c 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
16. ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਦੋਵੇਂ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੀ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਅਤੇ f′(c) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ,
17. ਅਤੇ
18. ਕਿਉਂਕਿ f(c) ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ c ਦੇ ਨੇੜੇ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(x)−f(c)≤0। ਇਸ ਲਈ, c ਦੇ ਨੇੜੇ, ਪਰ x>c, ਅਸੀਂ f(x)−f(c)x−c≤0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ 4.4 ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f′(c)≤0। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ f′(c)≥0। ਇਸ ਲਈ, f′(c)=0।
19. □
20. ਫਰਮਾਟ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ff ਦਾ c 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਾਂ ਤਾਂ f′(c)=0 ਜਾਂ f′(c) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਸਿਰਫ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਹੀ ਵਾਪਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
21. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇਹ ਦਾਅਵਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ ਕਿਸੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਬਲਕਿ, ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਲਈ ਉਮੀਦਵਾਰ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x³ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ f′(x)=3x²=0 ਹੈ ਜਦੋਂ x=0। ਇਸ ਲਈ, x=0 ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਨੰਬਰ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, f(x)=x³ (−∞,∞) ਉੱਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ff ਦਾ x=0 'ਤੇ ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅੰਕੜਾ 4.15 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਹੋਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਲਈ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
22. ਅੰਕੜਾ 4.15: (a–e) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ f′(c)=0 ਜਾਂ f′(c) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
Later in this chapter we look at analytical methods for determining whether a function actually has a local extremum at a critical point. For now, let’s turn our attention to finding critical points. We will use graphical observations to determine whether a critical point is associated with a local extremum.
Example 4.12
Locating Critical Points
For each of the following functions, find all critical points. Use a graphing utility to determine whether the function has a local extremum at each of the critical points.
f(x)=13x3−52x2+4xf(x)=13x3−52x2+4x
f(x)=(x2−1)3f(x)=(x2−1)3
f(x)=4x1+x2f(x)=4x1+x2
Solution
The derivative f′(x)=x2−5x+4f′(x)=x2−5x+4 is defined for all real numbers x.x. Therefore, we only need to find the values for xx where f′(x)=0.f′(x)=0. Since f′(x)=x2−5x+4=(x−4)(x−1),f′(x)=x2−5x+4=(x−4)(x−1), the critical numbers are x=1x=1 and x=4.x=4. From the graph of ff in Figure 4.16, we see that ff has a local maximum at x=1x=1 and a local minimum at x=4.x=4. Figure 4.16 This function has a local maximum and a local minimum.
Using the chain rule, we see the derivative is f′(x)=3(x2−1)2(2x)=6x(x2−1)2.f′(x)=3(x2−1)2(2x)=6x(x2−1)2. Therefore, ff has critical points when x=0x=0 and when x2−1=0.x2−1=0. We conclude that the critical numbers are x=0,±1.x=0,±1. From the graph of ff in Figure 4.17, we see that ff has a local (and absolute) minimum at x=0,x=0, but does not have a local extremum at x=1x=1 or x=−1.x=−1. Figure 4.17 This function has three critical numbers: x=0,x=0, x=1,x=1, and x=−1.x=−1. The function has a local (and absolute) minimum at x=0,x=0, but does not have extrema at the other two critical points.
By the quotient rule, we see that the derivative is f'(x)=(1+x2)(4)−4x(2x)(1+x2)2=4−4x2(1+x2)2.f'(x)=(1+x2)(4)−4x(2x)(1+x2)2=4−4x2(1+x2)2. The derivative is defined everywhere. Therefore, we only need to find values for xx where f′(x)=0.f′(x)=0. Solving f′(x)=0,f′(x)=0, we see that 4−4x2=0,4−4x2=0, which implies x=±1.x=±1. Therefore, the critical numbers are x=±1.x=±1. From the graph of ff in Figure 4.18, we see that ff has an absolute maximum at x=1x=1 and an absolute minimum at x=−1.x=−1. Hence, ff has a local maximum at x=1x=1 and a local minimum at x=−1.x=−1. (Note that if ff has an absolute extremum over an interval II at a point cc that is not an endpoint of I,I, then ff has a local extremum at c.)c.) Figure 4.18 This function has an absolute maximum and an absolute minimum.
Checkpoint 4.12
Find all critical points for f(x)=x3−12x2−2x+1.f(x)=x3−12x2−2x+1.
Locating Absolute Extrema
The extreme value theorem states that a continuous function over a closed, bounded interval has an absolute maximum and an absolute minimum. As shown in Figure 4.13, one or both of these absolute extrema could occur at an endpoint. If an absolute extremum does not occur at an endpoint, however, it must occur at an interior point, in which case the absolute extremum is a local extremum. Therefore, by Fermat’s Theorem, the point cc at which the local extremum occurs must be a critical point. We summarize this result in the following theorem.
Theorem 4.3
Location of Absolute Extrema
Let ff be a continuous function over a closed, bounded interval I.I. The absolute maximum of ff over II and the absolute minimum of ff over II must occur at endpoints of II or at critical points of ff in I.I.
With this idea in mind, let’s examine a procedure for locating absolute extrema.
Problem-Solving Strategy
Locating Absolute Extrema over a Closed Interval
Consider a continuous function ff defined over the closed interval [a,b].[a,b].
Evaluate ff at the endpoints x=ax=a and x=b.x=b.
Find all critical points of ff that lie over the interval (a,b)(a,b) and evaluate ff at those critical points.
1. (1) ਅਤੇ (2) ਵਿੱਚ ਮਿਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। ਪਰਮ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਤੋਂ, ਪਰਮ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਅੰਤਾਂ 'ਤੇ ਜਾਂ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਕੀਮਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ f.f. ਦਾ ਪਰਮਤਮ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਕੀਮਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ f.f. ਦਾ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਹੈ।
2. ਹੁਣ ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਪਰਮਤਮ ਅਤੇ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 4.13
4. ਪਰਮ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਥਾਨ ਨਿਰਧਾਰਨ
5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫਲਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਪਰਮਤਮ ਅਤੇ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਦੱਸੋ ਕਿ ਉਹ ਮੁੱਲ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ।
6. f(x)=−x2+3x−2f(x)=−x2+3x−2 ਅੰਤਰਾਲ [1,3].[1,3] ਉੱਤੇ।
7. f(x)=x2−3x2/3f(x)=x2−3x2/3 ਅੰਤਰਾਲ [0,2].[0,2] ਉੱਤੇ।
8. ਹੱਲ
9. ਕਦਮ 1. ਅੰਤਾਂ x=1x=1 ਅਤੇ x=3.x=3 'ਤੇ ff ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(1)=0andf(3)=−2f(1)=0andf(3)=−2 ਕਦਮ 2. ਕਿਉਂਕਿ f′(x)=−2x+3,f′(x)=−2x+3, f′f′ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x.x ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਅਵਕਲਜ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਬਾਕੀ ਹੈ ਕਿ f′(x)=0.f′(x)=0 ਕਿੱਥੇ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f′(x)=−2x+3=0f′(x)=−2x+3=0 x=32x=32 'ਤੇ ਅਤੇ 3232 ਅੰਤਰਾਲ [1,3].[1,3] ਵਿੱਚ ਹੈ, f(32)f(32) ਅੰਤਰਾਲ [1,3].[1,3] ਉੱਤੇ ff ਦੇ ਪਰਮ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ f(32)f(32) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ f(32)=14.f(32)=14 ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਕਦਮ 3. ਅਸੀਂ ਕਦਮ 1 ਅਤੇ 2 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। xx f(x)f(x) ਸਿੱਟਾ 11 00 3232 1414 ਪਰਮਤਮ 33 −2−2 ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਤਰਾਲ [1, 3] ਉੱਤੇ ff ਦਾ ਪਰਮਤਮ 14,14 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ x=32.x=32 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ [1, 3] ਉੱਤੇ ff ਦਾ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ −2,−2 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ x=3x=3 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.19 ਇਸ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਪਰਮਤਮ ਅਤੇ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਦੋਵੇਂ ਹਨ।
10. ਕਦਮ 1. ਅੰਤਾਂ x=0x=0 ਅਤੇ x=2.x=2 'ਤੇ ff ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(0)=0andf(2)=4−343≈−0.762f(0)=0andf(2)=4−343≈−0.762 ਕਦਮ 2. ff ਦਾ ਅਵਕਲਜ f′(x)=2x−2x1/3=2x4/3−2x1/3f′(x)=2x−2x1/3=2x4/3−2x1/3 x≠0.x≠0 ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਵਕਲਜ ਉਦੋਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 2x4/3−2=0,2x4/3−2=0, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ x=±1.x=±1। ਅਵਕਲਜ x=0.x=0 'ਤੇ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ff ਦੇ ਨਾਜ਼ੁਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x=0,1,−1.x=0,1,−1 ਹਨ। ਬਿੰਦੂ x=0x=0 ਇੱਕ ਅੰਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ f(0)f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਬਿੰਦੂ x=−1x=−1 ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ f(1).f(1) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(1)=−2.f(1)=−2। ਕਦਮ 3. ਅਸੀਂ ਕਦਮ 1 ਅਤੇ 2 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। xx f(x)f(x) ਸਿੱਟਾ 00 00 ਪਰਮਤਮ 11 −2−2 ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ 22 −0.762−0.762 ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਤਰਾਲ [0, 2] ਉੱਤੇ ff ਦਾ ਪਰਮਤਮ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ x=0.x=0 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ −2 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ x=1x=1 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.20 ਇਸ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਮਤਮ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਇੱਕ ਅੰਤ 'ਤੇ ਹੈ।
11. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.13
12. f(x)=x2−4x+3f(x)=x2−4x+3 ਦਾ ਪਰਮਤਮ ਅਤੇ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਅੰਤਰਾਲ [1,4].[1,4] ਉੱਤੇ ਲੱਭੋ।
13. ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਪਰਮ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਥਾਨ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਫਲਨ ff ਦਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ c 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ cc, f.f. ਦਾ ਇੱਕ ਨਾਜ਼ੁਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, cc ਦਾ ਇੱਕ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਾ, ff ਦਾ cc 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ ਲਈ ਇੱਕ ਪਰਿਪੂਰਨ ਸ਼ਰਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰੇਗਾ।
14. ਪ੍ਰੀ-ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ y=ax2+bx+c,y=ax2+bx+c ਦੇ ਪਰਮਤਮ ਜਾਂ ਨਿਊਨਤਮ ਦੇ ਸਥਾਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਸਿੱਖਿਆ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ h=−b(2a).h=−b(2a) ਸੀ। ਇਸ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਿੱਧ ਕਰੋ।
15. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b],[a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਅੰਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਿਉਂ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ? ਆਪਣੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
16. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ (a,b),(a,b) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ, ਜਿੱਥੇ aa ਅਤੇ bb ਸੀਮਿਤ ਹਨ, ਤਾਂ ਕੀ ਪਰਮਤਮ ਜਾਂ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਨਾ ਹੋਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ?
17. ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਵੀ ਕਿਉਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿੱਥੇ f'(x)f'(x) ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਆਪਣੀ ਵਿਆਖਿਆ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
18. ਕੀ y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c ਦਾ (−∞,∞)(−∞,∞) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਪਰਮਤਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਦਲੀਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
19. ਕੀ y=ax3+bx2+cx+dy=ax3+bx2+cx+d ਦਾ (−∞,∞)(−∞,∞) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਪਰਮਤਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ a ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੈ? ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਦਲੀਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
20. ਮੰਨ ਲਓ mm ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ MM ਸਥਾਨਕ ਪਰਮਤਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫਲਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜਿੱਥੇ M>m+2?M>m+2? ਆਪਣੀ ਵਿਆਖਿਆ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
21. ਕੀ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਰਮਤਮ ਹੋਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ? ਆਪਣੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਦਲੀਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. ਕੀ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਲਈ ਕੋਈ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਜਾਂ ਪਰਮਤਮ ਨਾ ਹੋਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਜਿਹਾ ਫਲਨ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇਹ ਸੰਭਵ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
23. [T] ਫਲਨ y=eax.y=eax ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਨੰਤ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ a.a. ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਪਰਮਨਿਊਨਤਮ ਅਤੇ ਪਰਮਤਮ ਹੋਵੇਗਾ?
24. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਪਰਮ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਬਿੰਦੂ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੇਕ ਫਲਨ ਦਾ ਪੂਰਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ, x-ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
For the following problems, draw graphs of f(x),f(x), which is continuous, over the interval [−4,4][−4,4] with the following properties:
Absolute maximum at x=2x=2 and absolute minima at x=±3x=±3
Absolute minimum at x=1x=1 and absolute maximum at x=2x=2
Absolute maximum at x=4,x=4, absolute minimum at x=−1,x=−1, local maximum at x=−2,x=−2, and a critical point that is not a maximum or minimum at x=2x=2
Absolute maxima at x=2x=2 and x=−3,x=−3, local minimum at x=1,x=1, and absolute minimum at x=4x=4
For the following exercises, find the critical numbers in the domains of the following functions.
y = 4 x 3 − 3 x y = 4 x 3 − 3 x
y = 4 x − x 2 y = 4 x − x 2
y = 1 x − 1 y = 1 x − 1
y = ln ( x − 2 ) y = ln ( x − 2 )
y = tan ( x ) y = tan ( x )
y = 4 − x 2 y = 4 − x 2
y = x 3 / 2 − 3 x 5 / 2 y = x 3 / 2 − 3 x 5 / 2
y = x 2 − 1 x 2 + 2 x − 3 y = x 2 − 1 x 2 + 2 x − 3
y = sin 2 ( x ) y = sin 2 ( x )
y = x + 1 x y = x + 1 x
For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.
f(x)=x2+3f(x)=x2+3 over [−1,4][−1,4]
y=x2+2xy=x2+2x over [1,4][1,4]
y=(x−x2)2y=(x−x2)2 over [−1,1][−1,1]
y=1(x−x2)y=1(x−x2) over (0,1)(0,1)
y=9−xy=9−x over [1,9][1,9]
y=x+sin(x)y=x+sin(x) over [0,2π][0,2π]
y=x1+xy=x1+x over [0,100][0,100]
y=|x+1|+|x−1| ਜਦੋਂ x [−3,2] ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ
y=x−x3 ਜਦੋਂ x [0,4] ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ
y=sinx+cosx ਜਦੋਂ x [0,2π] ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ
y=4sinθ−3cosθ ਜਦੋਂ θ [0,2π] ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ (−∞,∞) ਉੱਤੇ ਲੱਭੋ।
y = x 2 + 4 x + 5
y = x 3 − 12 x
y = 3 x 4 + 8 x 3 − 18 x 2
y = x 3 ( 1 − x ) 6
y = x 2 + x + 6 x − 1
y = x 2 − 1 x − 1
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰੋ।
y=3x1−x2
y=x+sin(x)
y=12x5+45x4+20x3−90x2−120x+3
y=x3+6x2−x−30x−2
y=4−x24+x2
ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੰਪਨੀ ਦਾ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ C=x2−1200x+36,400 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ C ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗਤ ਹੈ ਅਤੇ x ਸੈੱਲ ਫੋਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਹੈ। ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਇਕਾਈ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਇਸ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਘੱਟ ਕਰਦੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ h(t)=−4.9t2+60t+5m ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਉਚਾਈ ਲੱਭੋ ਜਿਸ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਚੜ੍ਹਨਾ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਸੁੱਟਣ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਬਾਅਦ ਇਹ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ?
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਕੈਲੀਫੋਰਨੀਆ ਗੋਲਡ ਰਸ਼ (1848–1888) ਦੌਰਾਨ ਸੋਨੇ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸੋਨੇ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਨੂੰ G(t)=(25t)(t2+16) ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਰਸ਼ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ (0≤t≤40) ਅਤੇ G ਲੱਖਾਂ ਔਂਸ ਸੋਨੇ ਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਹੈ। ਡੇਟਾ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਹ ਸਮਾਂ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ) ਸੋਨੇ ਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਹੋਇਆ ਸੀ, ਅਤੇ ਉਸ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੌਰਾਨ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਸੋਨੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ।
ਉਹ ਸਮਾਂ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ (ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ) ਸੋਨੇ ਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਇਸ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੌਰਾਨ ਕਿੰਨੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਸੋਨਾ ਪੈਦਾ ਹੋਇਆ ਸੀ?
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ, ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋ।
y = { x 2 − 4 x 0 ≤ x ≤ 1 x 2 − 4 1 < x ≤ 2
y = { x 2 + 1 ਜੇਕਰ x ≤ 1 y = { x 2 + 1 ਜੇਕਰ x ≤ 1 x 2 − 4 x + 5 ਜੇਕਰ x > 1 x 2 − 4 x + 5 ਜੇਕਰ x > 1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ (critical points) ਲੱਭੋ। ਕੀ ਉਹ ਮੈਕਸਿਮਾ (maxima), ਮਿਨੀਮਾ (minima), ਜਾਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹਨ? ਜ਼ਰੂਰੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੱਸੋ।
y=ax2+bx+c, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ a>0
y=(x−1)a, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ a>1 ਅਤੇ a ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।