ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.4.1 ਰੋਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਅਰਥ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰੋ।
4.4.2 ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਦੱਸੋ।
4.4.3 ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਤਿੰਨ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜੇ ਦੱਸੋ।
ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਥਿਊਰਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਕੁਝ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ, ਜਿਸਨੂੰ ਰੋਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਰੋਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ
ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਰੋਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਵਕਲਨਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਿੰਦੂ c ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ f′(c)=0। ਚਿੱਤਰ 4.21 ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.21: ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਵਕਲਨਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ f, f(a)=f(b) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਅਵਕਲਨ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ(ਆਂ) 'ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 4.4
ਰੋਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ
ਮੰਨ ਲਓ f ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨਯੋਗ ਹੈ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ (a,b) ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ f(a)=f(b)। ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ c∈(a,b) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f′(c)=0।
ਸਿੱਧ
ਮੰਨ ਲਓ k=f(a)=f(b)। ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਕੇਸਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
f(x)=k ਸਾਰੇ x∈(a,b) ਲਈ।
ਇੱਕ x∈(a,b) ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(x)>k।
ਇੱਕ x∈(a,b) ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(x)<k।
ਕੇਸ 1: ਜੇਕਰ f(x)=k ਸਾਰੇ x∈(a,b) ਲਈ ਹੈ, ਤਾਂ f′(x)=0 ਸਾਰੇ x∈(a,b) ਲਈ ਹੈ।
ਕੇਸ 2: ਕਿਉਂਕਿ f ਬੰਦ, ਸੀਮਿਤ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤਿਮ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਮਹੱਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x∈(a,b) ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(x)>k, ਨਿਰਪੇਖ ਮਹੱਤਮ k ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਨਿਰਪੇਖ ਮਹੱਤਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਵਾਪਰਦਾ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਨਿਰਪੇਖ ਮਹੱਤਮ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਿੰਦੂ c∈(a,b) 'ਤੇ ਵਾਪਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਿੰਦੂ c 'ਤੇ ਮਹੱਤਮ ਹੈ, ਅਤੇ f, c 'ਤੇ ਅਵਕਲਨਯੋਗ ਹੈ, ਫਰਮਾਟ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, f′(c)=0।
ਕੇਸ 3: ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x∈(a,b) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(x)<k, ਕੇਸ 2 ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਮ ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
□
ਰੋਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੀ ਅਵਕਲਨਯੋਗਤਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ f ਅਵਕਲਨਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵੀ, ਨਤੀਜਾ ਸ਼ਾਇਦ ਲਾਗੂ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=|x|−1, [−1,1] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ f(−1)=0=f(1), ਪਰ f′(c)≠0 ਕਿਸੇ ਵੀ c∈(−1,1) ਲਈ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.22: ਕਿਉਂਕਿ f(x)=|x|−1, x=0 'ਤੇ ਅਵਕਲਨਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਰੋਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ। ਦਰਅਸਲ, ਇੱਥੇ ਸਿੱਟਾ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ; ਕੋਈ ਵੀ c∈(−1,1) ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f′(c)=0।
ਆਓ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ ਜੋ ਰੋਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ explicit ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ c ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੀਏ ਜਿੱਥੇ f′(c)=0।
ਉਦਾਹਰਨ 4.14
ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਦੱਸੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ $c$ ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ $f'(c)=0$।
$f(x)=x^2+2x$ ਅੰਤਰਾਲ $[-2,0]$ ਉੱਤੇ
$f(x)=x^3-4x$ ਅੰਤਰਾਲ $[-2,2]$ ਉੱਤੇ
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ $f$ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ, ਇਹ ਹਰ ਥਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $f(-2)=0=f(0)$। ਇਸ ਲਈ, $f$ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮੁੱਲ $c \in (-2,0)$ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ $f'(c)=0$। ਕਿਉਂਕਿ $f'(x)=2x+2=2(x+1)$, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $f'(c)=2(c+1)=0$ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ $c=-1$, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.23 ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ $[-2,0]$ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ, $f'(c)=0$ ਜਦੋਂ $c=-1$।
ਭਾਗ (a) ਵਾਂਗ। $f$ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਹਰ ਥਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, $f(-2)=0=f(2)$। ਇਹ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, $f$ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਵਕਲਨ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $f'(x)=3x^2-4$। ਇਸ ਲਈ, $f'(c)=0$ ਜਦੋਂ $x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$। ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਅੰਤਰਾਲ $[-2,2]$ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਸਿੱਟੇ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.24 ਇਸ ਬਹੁਪਦ ਲਈ $[-2,2]$ ਉੱਤੇ, $f'(c)=0$ $x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ ਉੱਤੇ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.14
ਤਸਦੀਕ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=2x^2-8x+6$ ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ $[1,3]$ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ $c$ ਲੱਭੋ।
ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਅਰਥ
ਰੋਲ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ। ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ $[a,b]$ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ $f$ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $f(a)=f(b)$। ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੇ ਮੁੱਲ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਇੱਕ ਢਲਾਣ ਵਾਲਾ ਸੰਸਕਰਣ (ਚਿੱਤਰ 4.25) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ $f$ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ $[a,b]$ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ $(a,b)$ ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $c \in (a,b)$ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ $c$ ਤੇ $f$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ $(a,f(a))$ ਅਤੇ $(b,f(b))$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.25: ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਦੋ ਮੁੱਲ $c_1$ ਅਤੇ $c_2$ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ $c_1$ ਅਤੇ $c_2$ ਤੇ $f$ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.5
ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਜੇਕਰ $f$ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ $[a,b]$ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ $(a,b)$ ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ। ਤਾਂ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $c \in (a,b)$ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ
ਸਬੂਤ
ਸਬੂਤ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ ਇੱਕ ਉਚਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੇਸ਼ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। $(a,f(a))$ ਅਤੇ $(b,f(b))$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਉਸ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੈ
ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਬਿੰਦੂ $(a,f(a))$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਮੰਨ ਲਓ $g(x)$ ਉਸ ਰੇਖਾ ਤੇ ਬਿੰਦੂ $(x,y)$ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ $(x,f(x))$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਲੰਬਵਤ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਚਿੱਤਰ 4.26: $g(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ $(a,f(a))$ ਅਤੇ $(b,f(b))$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਤੇ ਬਿੰਦੂ $(x,y)$ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ $(x,f(x))$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਲੰਬਵਤ ਅੰਤਰ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ $f$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ $x=a$ ਅਤੇ $x=b$ ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $g(a)=0=g(b)$। ਕਿਉਂਕਿ $f$ ਇੱਕ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ $(a,b)$ ਉੱਤੇ, $g$ ਵੀ $(a,b)$ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ $f$ $[a,b]$ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, $g$ ਵੀ $[a,b]$ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $g$ ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $c \in (a,b)$ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ $g'(c)=0$। ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਕਿਉਂਕਿ $g'(c)=0$, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
□
1. ਮਿਸਾਲ 4.15
2. ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰਨਾ ਕਿ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
3. f(x)=x ਲਈ [0,9] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ f ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ (0,9) ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮੁੱਲ c ਅਜਿਹਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ f′(c) (0,f(0)) ਅਤੇ (9,f(9)) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ ਗਾਰੰਟੀਸ਼ੁਦਾ ਇਹਨਾਂ c ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x)=x [0,9] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ (0,9) ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ (0,9) ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮੁੱਲ c ਅਜਿਹਾ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ f′(c) (0,f(0)) ਅਤੇ (9,f(9)) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ (ਚਿੱਤਰ 4.27)। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ c ਮੁੱਲ(ਮੁੱਲਾਂ) ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਹੈ, ਪਹਿਲਾਂ f ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਗਿਣੋ। ਅਵਕਲਜ f′(x)=1/(2x) ਹੈ। (0,f(0)) ਅਤੇ (9,f(9)) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:
6. ਅਸੀਂ c ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ f′(c)=1/3। ਭਾਵ, ਅਸੀਂ c ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ:
7. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ c=9/4 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
8. ਚਿੱਤਰ 4.27: c=9/4 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ (0,0) ਅਤੇ (9,3) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
9. ਇੱਕ ਉਪਯੋਗ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਗਤੀ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕਾਰ ਨੂੰ 1 ਘੰਟੇ ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਸੜਕ 'ਤੇ 45 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਨਾਲ ਚਲਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ s(t) ਅਤੇ v(t) ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਕਾਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, 0≤t≤1 ਘੰਟੇ ਲਈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t) ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕਿ, ਕੁਝ ਸਮੇਂ c∈(0,1) 'ਤੇ, ਕਾਰ ਦੀ ਗਤੀ ਬਿਲਕੁਲ ਸੀ:
10. ਮਿਸਾਲ 4.16
11. ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਗਤੀ
12. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚੱਟਾਨ ਨੂੰ 100 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗਣ ਤੱਕ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t)=−16t^2+100 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
13. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਚੱਟਾਨ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।
14. ਚੱਟਾਨ ਦੇ ਜਾਰੀ ਹੋਣ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ v_avg ਲੱਭੋ।
15. ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ ਗਾਰੰਟੀਸ਼ੁਦਾ ਸਮਾਂ t ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ v_avg ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
16. ਹੱਲ
17. ਜਦੋਂ ਚੱਟਾਨ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ s(t)=0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ −16t^2+100=0 ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ t=±5/2 ਸਕਿੰਟ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ t≥0 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਗੇਂਦ ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ 5/2 ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗੇਗੀ।
18. ਔਸਤ ਗਤੀ v_avg = (s(5/2) - s(0)) / (5/2 - 0) = (0 - 100) / (5/2) = -40 ft/sec ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
19. ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਂ t ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿੱਥੇ v(t) = s′(t) = v_avg = -40 ft/sec। ਕਿਉਂਕਿ s(t) ਅੰਤਰਾਲ [0, 5/2] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ (0, 5/2) ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ, ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ c∈(0, 5/2) ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ s′(c) = (s(5/2) - s(0)) / (5/2 - 0) = -40। ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t) ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਲੈਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ s′(t) = -32t। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ s′(c) = -32c = -40 ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ c = 5/4 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਚੱਟਾਨ ਦੇ ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ 5/4 ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ, ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਮੁਫਤ ਗਿਰਾਵਟ ਦੌਰਾਨ ਔਸਤ ਗਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ: -40 ft/sec। ਚਿੱਤਰ 4.28 ਸਮਾਂ t=5/4 ਸਕਿੰਟ 'ਤੇ, ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਗਤੀ ਉਸ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਜਦੋਂ ਇਹ ਸੁੱਟੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਡਿੱਗਦੀ, ਉਸਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
20. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.15
21. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 200 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ s(t) = -16t^2 + 200 ਹੈ। ਉਹ ਸਮਾਂ t ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਗੇਂਦ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਉਸਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
22. ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸਿੱਟੇ
23. ਆਓ ਹੁਣ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਿੱਟਿਆਂ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
24. ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਜ਼ੀਰੋ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ f′(x)=0 ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ I ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਹੈ, ਤਾਂ f(x) ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਅਨੁਭਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹਨ ਜੋ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ 'ਤੇ ਜਲਦੀ ਹੀ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.6
ਸਿੱਟਾ 1: ਸਿਫ਼ਰ ਅਵਕਲਨ ਵਾਲੇ ਫਲਨ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ f ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f′(x)=0 ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f(x)=ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਕਿਉਂਕਿ f, I ਉੱਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ f, I ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x) I ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਤਾਂ, a,b∈I ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a≠b ਅਤੇ f(a)≠f(b)। ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣੋ ਕਿ a<b। ਇਸ ਲਈ,
ਕਿਉਂਕਿ f ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਕ ਫਲਨ ਹੈ, ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, c∈(a,b) ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ
ਇਸ ਲਈ, c∈I ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f′(c)≠0, ਜੋ ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਵਿਰੋਧ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f′(x)=0 ਹੈ।
□
ਸਿੱਟਾ 1: ਸਿਫ਼ਰ ਅਵਕਲਨ ਵਾਲੇ ਫਲਨ ਤੋਂ, ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਹ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਭਿੰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.7
ਸਿੱਟਾ 2: ਸਥਿਰ ਭਿੰਨ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਜੇਕਰ f ਅਤੇ g ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹਨ ਅਤੇ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f′(x)=g′(x) ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ C ਲਈ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f(x)=g(x)+C ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਮੰਨ ਲਓ h(x)=f(x)−g(x)। ਤਾਂ, ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ h′(x)=f′(x)−g′(x)=0 ਹੈ। ਸਿੱਟਾ 1 ਅਨੁਸਾਰ, ਕੋਈ ਸਥਿਰ C ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ h(x)=C ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f(x)=g(x)+C ਹੈ।
□
ਇਹ ਤੱਥ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਫਲਨ f ਲਈ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫਲਨ F ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ F′(x)=f(x) ਹੈ, ਤਾਂ f ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਅਵਕਲਨ ਵਾਲੇ ਕੇਵਲ ਹੋਰ ਫਲਨ F(x)+C ਹਨ, ਜਿੱਥੇ C ਕੋਈ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਚਰਚਾ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਤੀਜਾ ਸਿੱਟਾ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਦੋਂ ਕੋਈ ਫਲਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਦੋਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫਲਨ f, ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x1<x2 ਹੋਣ 'ਤੇ f(x1)<f(x2) ਹੋਵੇ, ਜਦੋਂ ਕਿ f, ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x1<x2 ਹੋਣ 'ਤੇ f(x)1>f(x2) ਹੋਵੇ। ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਧਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਅਵਕਲਨ ਣ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.29)। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਸਦੇ ਅਵਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.29: ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦਾ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਧਨ ਅਵਕਲਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਵਧਦਾ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਅਵਕਲਨ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਣ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਘਟਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.8
ਸਿੱਟਾ 3: ਵਧਦੇ ਅਤੇ ਘਟਦੇ ਫਲਨ
ਮੰਨ ਲਓ f ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ (a,b) ਉੱਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈(a,b) ਲਈ f′(x)>0 ਹੈ, ਤਾਂ f, [a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਧਦਾ ਹੋਇਆ ਫਲਨ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈(a,b) ਲਈ f′(x)<0 ਹੈ, ਤਾਂ f, [a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਘਟਦਾ ਹੋਇਆ ਫਲਨ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
We will prove i.; the proof of ii. is similar. Suppose ff is continuous and differentiable over an interval II and f'x>0f'x>0 for all x∈Ix∈I. By way of contradiction, suppose that ff is not an increasing function on II. Then there exist aa and bb in II such that a<ba<b, but fa>fbfa>fb. Since ff is a differentiable function over II, the Mean Value Theorem guarantees that there is some value c∈a,bc∈a,b such that
Now a<ba<b, so b-a>0b-a>0. Because fa>fbfa>fb, it follows that fb-fa<0fb-fa<0. It follows that the quotient of fb-fafb-fa and b-ab-a is negative. So, for c,
However, f′(x)>0f′(x)>0 for all x∈Ix∈I including cc. This is a contradiction. The assumption that ff is not an increasing function on II is false. Therefore, ff must be increasing throughout II.
□
Why do you need continuity to apply the Mean Value Theorem? Construct a counterexample.
Why do you need differentiability to apply the Mean Value Theorem? Find a counterexample.
When are Rolle’s theorem and the Mean Value Theorem equivalent?
If you have a function with a discontinuity, is it still possible to have f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)?f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)? Draw such an example or prove why not.
For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.
y = sin ( π x ) y = sin ( π x )
y = 1 x 3 y = 1 x 3
y = 4 − x 2 y = 4 − x 2
y = x 2 − 4 y = x 2 − 4
y = ln ( 3 x − 5 ) y = ln ( 3 x − 5 )
For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points cc such that f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).
[T] y=3x3+2x+1y=3x3+2x+1 over [−1,1][−1,1]
[T] y=tan(π4x)y=tan(π4x) over [−32,32][−32,32]
[T] y=x2cos(πx)y=x2cos(πx) over [−2,2][−2,2]
[T] y=x6−34x5−98x4+1516x3+332x2+316x+132y=x6−34x5−98x4+1516x3+332x2+316x+132 over [−1,1][−1,1]
For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).
f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3
f ( x ) = sin ( π x ) f ( x ) = sin ( π x )
f ( x ) = cos ( 2 π x ) f ( x ) = cos ( 2 π x )
f ( x ) = 1 + x + x 2 f ( x ) = 1 + x + x 2
f ( x ) = ( x − 1 ) 10
f ( x ) = ( x − 1 ) 9
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ 'c' ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(1)−f(−1)=f′(c)(2) ਹੋਵੇ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਅੰਤਰਾਲ [−1,1] ਉੱਤੇ ਕਿਉਂ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।
f ( x ) = | x − 1 2 |
f ( x ) = 1 x 2
f ( x ) = | x |
f(x)=⌊x⌋ (ਸੰਕੇਤ: ਇਸਨੂੰ ਫਲੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ f(x) x ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
y=ex ਅੰਤਰਾਲ [0,1] ਉੱਤੇ
y=ln(2x+3) ਅੰਤਰਾਲ [−32,0] ਉੱਤੇ
f(x)=tan(2πx) ਅੰਤਰਾਲ [0,2] ਉੱਤੇ
y=9−x2 ਅੰਤਰਾਲ [−3,3] ਉੱਤੇ
y=1|x+1| ਅੰਤਰਾਲ [0,3] ਉੱਤੇ
y=x3+2x+1 ਅੰਤਰਾਲ [0,6] ਉੱਤੇ
y=x2+3x+2x ਅੰਤਰਾਲ [−1,1] ਉੱਤੇ
y=xsin(πx)+1 ਅੰਤਰਾਲ [0,1] ਉੱਤੇ
y=ln(x+1) ਅੰਤਰਾਲ [0,e−1] ਉੱਤੇ
y=xsin(πx) ਅੰਤਰਾਲ [0,2] ਉੱਤੇ
y=5+|x| ਅੰਤਰਾਲ [−1,1] ਉੱਤੇ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੂਲਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ y=x3+4x+16 ਦਾ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਅਸਲ ਮੂਲ ਹੈ। ਇਹ ਕੀ ਹੈ?
ਸਮੀਕਰਨ y=x2+bx+c ਲਈ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਮੂਲ (ਡਬਲ ਰੂਟ) ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਲੱਭੋ।
y=ex−b ਲਈ ਇੱਕ ਮੂਲ ਹੋਣ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਲੱਭੋ। ਕੀ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੂਲ ਹੋਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ?
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ a ਤੋਂ b ਤੱਕ ਸੈਕੰਟ ਲਾਈਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ ਗਾਰੰਟੀਸ਼ੁਦਾ ਸਾਰੇ c ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ c ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ, ਜਾਂ ਅੰਤਿਮ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਚਾਰ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
[T] y=tan(πx)y=tan(πx) over [−14,14][−14,14]
[T] y=1x+1y=1x+1 over [0,3][0,3]
[T] y=|x2+2x−4|y=|x2+2x−4| over [−4,0][−4,0]
[T] y=x+1xy=x+1x over [12,4][12,4]
[T] y=x+1+1x2y=x+1+1x2 over [3,8][3,8]
At 10:17 a.m., you pass a police car at 55 mph that is stopped on the freeway. You pass a second police car at 55 mph at 10:53 a.m., which is located 39 mi from the first police car. If the speed limit is 60 mph, can the police cite you for speeding?
Two cars drive from one stoplight to the next, leaving at the same time and arriving at the same time. Is there ever a time when they are going the same speed? Prove or disprove.
Show that y=sec2xy=sec2x and y=tan2xy=tan2x have the same derivative. What can you say about y=sec2x−tan2x?y=sec2x−tan2x?
Show that y=csc2xy=csc2x and y=cot2xy=cot2x have the same derivative. What can you say about y=csc2x−cot2x?y=csc2x−cot2x?