ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.5.1 ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
4.5.2 ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
4.5.3 ਕਨਕੇਵਿਟੀ ਅਤੇ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
4.5.4 ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਕਨਕੇਵਿਟੀ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4.5.5 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4.5.6 ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲਈ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਦੱਸਿਆ ਸੀ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ c 'ਤੇ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ c, f ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੋਣ ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=x^3 ਦਾ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ f'(x)=3x^2, x=0 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਪਰ f ਦਾ x=0 'ਤੇ ਕੋਈ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਵੈਲਿਊ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਵਰਣਨ ਕਰਕੇ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਵਕਰਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਟੈਸਟ
ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਕੋਰੋਲਰੀ 33 ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ I ਉੱਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ II ਉੱਤੇ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.30: ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (a,b) ਉੱਤੇ ਵੱਧ ਰਹੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f'(x)>0 ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (a,b) ਉੱਤੇ ਘੱਟ ਰਹੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f'(x)<0 ਹੈ।
ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f, ਬਿੰਦੂ c 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੋਕਲ ਮੈਕਸਿਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ f, ਬਿੰਦੂ c 'ਤੇ ਵੱਧਣ ਤੋਂ ਘੱਟਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, f, c 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੋਕਲ ਮਿਨਿਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ f, c 'ਤੇ ਘੱਟਣ ਤੋਂ ਵੱਧਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ f, c ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ I ਉੱਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, c ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਤਾਂ f ਦਾ c 'ਤੇ ਵੱਧਣ ਤੋਂ ਘੱਟਣ (ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ) ਬਦਲਣ ਦਾ ਇਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ f' ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ x, c ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ f, c 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ f' ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਣ ਦਾ ਇਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਜਿਵੇਂ x, c ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ ਕਿ f'(c)=0। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ ਜੋ c ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ I ਉੱਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, c ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, f ਦਾ ਵੱਧਣ ਤੋਂ ਘੱਟਣ (ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ) ਬਦਲਣ ਦਾ ਇਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ f'(c)=0 ਜਾਂ f'(c) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ c ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ f'(c)=0 ਜਾਂ f'(c) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ f ਦੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f ਨੂੰ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਸਿਰਫ਼ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲਈ ਉਮੀਦਵਾਰ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 4.31 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ f ਦਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f' ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹੋਏ x ਦੇ ਵੱਧਣ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.31: ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਚਾਰ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹਨ: a, b, c, ਅਤੇ d। ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ a ਅਤੇ d 'ਤੇ ਲੋਕਲ ਮੈਕਸਿਮਾ ਹੈ, ਅਤੇ b 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੋਕਲ ਮਿਨਿਮਮ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ c 'ਤੇ ਕੋਈ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। f' ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਾਰੇ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ 'ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.31 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਸੰਬੰਧੀ ਮੁੱਖ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ c 'ਤੇ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ c 'ਤੇ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f' ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ c ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹੋਏ x ਦੇ ਵੱਧਣ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਪਰਖਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ c 'ਤੇ ਲੋਕਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ c ਦੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ f'(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 4.9
ਪਹਿਲਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ c ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ f, I ਉੱਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, c ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਤਾਂ f(c) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਰਣਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
ਜੇਕਰ f' ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ x<c 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਤੋਂ x>c 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ f(c), f ਦਾ ਇੱਕ ਲੋਕਲ ਮੈਕਸਿਮਮ ਹੈ।
ਜੇਕਰ f' ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ x<c 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਤੋਂ x>c 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ f(c), f ਦਾ ਇੱਕ ਲੋਕਲ ਮਿਨਿਮਮ ਹੈ।
1. ਜੇਕਰ x<cx<c ਅਤੇ x>c,x>c ਲਈ f′f′ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f(c)f(c) ਨਾ ਤਾਂ f.f ਦਾ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ।
2. ਅਸੀਂ ਸਥਾਨਕ ਪਰਮਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਇੱਕ ਰਣਨੀਤੀ ਵਜੋਂ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦਾ ਸਾਰ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
4. ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
5. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ II 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
6. ff ਦੇ ਸਾਰੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ ਨੂੰ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ ਅੰਤਰਾਲ II ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
7. ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ f′f′ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ f′f′ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ (ਜੋ ਕਿ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ f′f′ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ xx ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਉਸ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ f′f′ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ff ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਨੋਟ: ਜੇਕਰ f′f′ ਪੂਰੇ II 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ II ਨੂੰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਸਮੇਂ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ ਦੇ ਨਾਲ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ।
8. ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਅਤੇ ਕਦਮ 22 ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ff ਕੋਲ ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ, ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
9. ਹੁਣ ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇਸ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਖਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਕ ਪਰਮਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 4.17
11. ਸਥਾਨਕ ਪਰਮਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
12. f(x)=x3−3x2−9x−1.f(x)=x3−3x2−9x−1. ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਕ ਪਰਮਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਕਦਮ 1. ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)=3x2−6x−9.f′(x)=3x2−6x−9. ਹੈ। ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ f′(x)=0.f′(x)=0. ਕਿੱਥੇ ਹੈ। ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ
15. ਇਸ ਲਈ, ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ x=3,−1.x=3,−1. ਹਨ। ਹੁਣ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞)(−∞,∞) ਨੂੰ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ ਨੂੰ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (−∞,−1),(−1,3)ਅਤੇ(3,∞). (−∞,−1),(−1,3)ਅਤੇ(3,∞). ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
16. ਕਦਮ 2. ਕਿਉਂਕਿ f′f′ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f′(x)f′(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, (−∞,−1),(−1,3)ਅਤੇ(3,∞)(−∞,−1),(−1,3)ਅਤੇ(3,∞) ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਨਾ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ f′f′ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਆਓ x=−2,x=0,ਅਤੇx=4x=−2,x=0,ਅਤੇx=4 ਨੂੰ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟਸ ਵਜੋਂ ਚੁਣੀਏ।
17. ਕਤਾਰ: ਅੰਤਰਾਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ f′(x)=3(x−3)(x+1)f′(x)=3(x−3)(x+1) ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
18. ਕਤਾਰ: (−∞,−1)(−∞,−1) | x=−2x=−2 | (+)(−)(−)=+(+)(−)(−)=+ | ff ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
19. ਕਤਾਰ: (−1,3)(−1,3) | x=0x=0 | (+)(−)(+)=−(+)(−)(+)=− | ff ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
20. ਕਤਾਰ: (3,∞)(3,∞) | x=4x=4 | (+)(+)(+)=+(+)(+)(+)=+ | ff ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
21. ਕਦਮ 3. ਕਿਉਂਕਿ xx –1,f–1,f ਰਾਹੀਂ ਵਧਣ 'ਤੇ f′f′ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਤੋਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, f ਦਾ x=−1.x=−1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ xx 3,f3,f ਰਾਹੀਂ ਵਧਣ 'ਤੇ f′f′ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਤੋਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, f ਦਾ x=3.x=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਨਤੀਜੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹਨ।
22. ਚਿੱਤਰ 4.32: ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ x=−1x=−1 'ਤੇ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ x=3x=3 'ਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਹੈ।
23. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.16
24. f(x)=−x3+32x2+18x.f(x)=−x3+32x2+18x. ਲਈ ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਕ ਪਰਮਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4.18 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
f(x)=5x^1/3−x^5/3 ਲਈ ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1. ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)=0 ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 1−x^4/3=0। ਇਸ ਲਈ, f′(x)=0 x=±1 'ਤੇ ਹੈ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x) x=0 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿੰਨ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹਨ: x=0, x=1, ਅਤੇ x=−1। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞) ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (−∞,−1), (−1,0), (0,1), ਅਤੇ (1,∞) ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
ਕਦਮ 2: ਕਿਉਂਕਿ f′ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ xx ਚੁਣਨਾ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ f′ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ। ਪੁਆਇੰਟ x=−2, x=−1/2, x=1/2, ਅਤੇ x=2 ਇਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਲਈ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਹਨ।
ਰੋ: ਅੰਤਰਾਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ f′(x)=5(1−x^4/3)/3x^2/3 ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
ਰੋ: (−∞,−1) | x=−2 | (+)(−)/+=− | f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਰੋ: (−1,0) | x=−1/2 | (+)(+)/+=+ | f ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਰੋ: (0,1) | x=1/2 | (+)(+)/+=+ | f ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਰੋ: (1,∞) | x=2 | (+)(−)/+=− | f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 3: ਕਿਉਂਕਿ f ਅੰਤਰਾਲ (−∞,−1) ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ (−1,0) ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, f ਦਾ x=−1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f ਅੰਤਰਾਲ (−1,0) ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ (0,1) ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, f ਦਾ x=0 'ਤੇ ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f ਅੰਤਰਾਲ (0,1) ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ (1,∞) ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, f ਦਾ x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਨਤੀਜੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 4.33: ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ x=−1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.17
f(x)=x−1/3 ਲਈ ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਨਕੇਵਿਟੀ ਅਤੇ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿੱਥੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮੁੱਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਵ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਹ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਕਰਵ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕਰਵ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕਨਕੇਵਿਟੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.34(a) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਕਰਵ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ xx ਵਧਦਾ ਹੈ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਣ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ xx ਵਧਣ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, f′ ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.34(b) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕਰਵ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ xx ਵਧਦਾ ਹੈ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਣ ਘਟਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ xx ਵਧਣ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ, f′ ਇੱਕ ਘਟ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ f ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਖੁੱਲੇ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ। ਜੇ f′ I ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f I ਉੱਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੈ। ਜੇ f′ I ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f I ਉੱਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.34: (a), (c) ਕਿਉਂਕਿ f′ ਅੰਤਰਾਲ (a,b) ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f (a,b) ਉੱਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੈ। (b), (d) ਕਿਉਂਕਿ f′ ਅੰਤਰਾਲ (a,b) ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f (a,b) ਉੱਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੈ।
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਕਨਕੇਵਿਟੀ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ f′ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਕੋਰੋਲਰੀ 3 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇ f′ ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ f′ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f″(x)>0। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਜੋ ਦੋ ਵਾਰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ f″(x)>0। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ f′ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f′ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f″(x)<0। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਦੋ ਵਾਰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕਨਕੇਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ f″(x)<0। ਇਸ ਤਰਕ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਕਨਕੇਵਿਟੀ ਟੈਸਟ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 4.10
ਅਵਤਲਤਾ ਲਈ ਪਰਖ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ff ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ I ਉੱਤੇ ਦੋ ਵਾਰ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫਲਨ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f″(x)>0 ਹੈ, ਤਾਂ ff, I ਉੱਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I ਲਈ f″(x)<0 ਹੈ, ਤਾਂ ff, I ਉੱਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਿੱਟੇ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ff ਦੀ ਅਵਤਲਤਾ ਦਾ ਪਤਾ, f ਦੇ ਦੂਜੇ ਅਵਕਲਜ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫਲਨ ff ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.35)। ਪਰ, ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ f″(x)=0 ਜਾਂ f″(x) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ff ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ x ਦੇ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ f″(x)=0 ਜਾਂ f″(x) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ff ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਉੱਤੇ f″ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਬਿੰਦੂ x, ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵੇਲੇ f″ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ff ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫਲਨ ff, ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਅਵਤਲਤਾ ਨਾ ਬਦਲੇ ਭਾਵੇਂ f″(x)=0 ਜਾਂ f″(x) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ff ਬਿੰਦੂ a 'ਤੇ ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ff, a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (a,f(a)), f ਦਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇਕਰ ff, a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ff, a 'ਤੇ ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ (a,f(a)), f ਦਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.35: ਕਿਉਂਕਿ x<a ਲਈ f″(x)>0 ਹੈ, ਫਲਨ ff, ਅੰਤਰਾਲ (−∞,a) ਉੱਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ x>a ਲਈ f″(x)<0 ਹੈ, ਫਲਨ ff, ਅੰਤਰਾਲ (a,∞) ਉੱਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ (a,f(a)), ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.19
ਅਵਤਲਤਾ ਲਈ ਪਰਖ
ਫਲਨ f(x)=x^3−6x^2+9x+30 ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿੱਥੇ ff ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿੱਥੇ ff ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ। f ਲਈ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। ਆਪਣੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਵਤਲਤਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਦੂਜਾ ਅਵਕਲਜ f″(x) ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਅਵਕਲਜ f′(x)=3x^2−12x+9 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਦੂਜਾ ਅਵਕਲਜ f″(x)=6x−12 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਫਲਨ ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਜਾਂ ਤਾਂ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ f″(x)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ f″(x) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f″ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ f″(x)=0 ਕਿੱਥੇ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 6x−12=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=2 ਹੀ ਉਹ ਇਕੱਲਾ ਸਥਾਨ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ff ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,2) ਅਤੇ (2,∞) ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਰਖ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ f ਦੀ ਅਵਤਲਤਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਬਿੰਦੂ x=0 ਅਤੇ x=3 ਇਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਲਈ ਪਰਖ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
ਸਾਰਣੀ: ਅੰਤਰਾਲ | ਪਰਖ ਬਿੰਦੂ | ਪਰਖ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ f″(x)=6x−12 ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
ਸਾਰਣੀ: (−∞,2) | x=0 | − | ff ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ
ਸਾਰਣੀ: (2,∞) | x=3 | + | ff ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਿੱਟੇ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ff, ਅੰਤਰਾਲ (−∞,2) ਉੱਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ (2,∞) ਉੱਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ff, x=2 'ਤੇ ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ (2,f(2))=(2,32), ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.36 ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.36: ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦਾ (2,32) 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.18
f(x)=−x^3+32x^2+18x ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿੱਥੇ ff ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿੱਥੇ ff ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ, ਸਾਰਣੀ 4.1 ਵਿੱਚ, ਉਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਫਲਨ ff ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਅਵਕਲਜ, f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 4.37 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਰਣੀ: f′ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | f″ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਕੀ ff ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ? | ਅਵਤਲਤਾ
ਸਾਰਣੀ: ਧਨ | ਧਨ | ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ | ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ
ਸਾਰਣੀ: ਧਨ | ਰਿਣ | ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ | ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ
1. ਕਤਾਰ: ਨਕਾਰਾਤਮਕ | ਸਕਾਰਾਤਮਕ | ਘਟ ਰਿਹਾ | ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ
2. ਕਤਾਰ: ਨਕਾਰਾਤਮਕ | ਨਕਾਰਾਤਮਕ | ਘਟ ਰਿਹਾ | ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ
3. ਚਿੱਤਰ 4.37: ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ I.I. ਉੱਪਰ ਦੋ ਵਾਰ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫਲਨ ff 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I,x∈I ਲਈ f′(x)>0f′(x)>0 ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ I.I. ਉੱਪਰ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I,x∈I ਲਈ f′(x)<0f′(x)<0 ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ I.I. ਉੱਪਰ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I,x∈I ਲਈ f″(x)>0f″(x)>0 ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x∈I,x∈I ਲਈ f″(x)<0f″(x)<0 ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ I.I. ਉੱਪਰ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ।
4. ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ
5. ਪਹਿਲੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਮਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਸਾਧਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਤਿਅੰਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਵਾਰ ਪਹਿਲੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਸਰਲ ਵਿਧੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
6. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਂਤਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਕ੍ਰਾਂਤਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਮ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਕ੍ਰਾਂਤਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਮ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ff ਇੱਕ ਦੋ ਵਾਰ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f′(a)=0f′(a)=0 ਅਤੇ f″f″ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ II ਵਿੱਚ ਜੋ a.a. ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ, ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ f″(a)<0.f″(a)<0. ਕਿਉਂਕਿ f″f″, I ਉੱਪਰ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, I ਉੱਪਰ ਸਾਰੇ x∈Ix∈I ਲਈ f″(x)<0f″(x)<0 ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.38)। ਫਿਰ, ਕਾਰਲਰੀ 3,3, ਅਨੁਸਾਰ, f′f′, I ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਘਟ ਰਿਹਾ ਫਲਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f′(a)=0,f′(a)=0, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ x∈I,f′(x)>0x∈I,f′(x)>0 ਜੇਕਰ x<ax<a ਅਤੇ f′(x)<0f′(x)<0 ਜੇਕਰ x>a.x>a। ਇਸ ਲਈ, ਪਹਿਲੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅਨੁਸਾਰ, ff ਦਾ x=a.x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ bb ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f′(b)=0f′(b)=0 ਪਰ f″(b)>0.f″(b)>0। ਕਿਉਂਕਿ f″f″, ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ II ਵਿੱਚ ਜੋ b.b. ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ, ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ II ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x∈Ix∈I ਲਈ f″(x)>0f″(x)>0 ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.38)। ਫਿਰ, ਕਾਰਲਰੀ 3,f′3,f′ ਅਨੁਸਾਰ, f′f′, I ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਫਲਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f′(b)=0,f′(b)=0, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ x∈I,x∈I ਲਈ, f′(x)<0f′(x)<0 ਜੇਕਰ x<bx<b ਅਤੇ f′(x)>0f′(x)>0 ਜੇਕਰ x>b.x>b। ਇਸ ਲਈ, ਪਹਿਲੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅਨੁਸਾਰ, ff ਦਾ x=b.x=b 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
7. ਚਿੱਤਰ 4.38: ਇੱਕ ਦੋ ਵਾਰ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫਲਨ ff 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f″f″ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f′(a)=0f′(a)=0 ਅਤੇ f″(a)<0,f″(a)<0, ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ II ਹੈ ਜੋ aa ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ I,I ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ xx ਲਈ, ff ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x<ax<a ਅਤੇ ff ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x>a.x>a। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ff ਦਾ x=a.x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f′(b)=0f′(b)=0 ਅਤੇ f″(b)>0,f″(b)>0, ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ II ਹੈ ਜੋ bb ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ I,I ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ xx ਲਈ, ff ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x<bx<b ਅਤੇ ff ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x>b.x>b। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ff ਦਾ x=b.x=b 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
8. ਥਿਊਰਮ 4.11
9. ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ
10. ਮੰਨ ਲਓ f′(c)=0,f″f′(c)=0, c.c. ਨੂੰ ਘੇਰਨ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਪਰ f″ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
11. ਜੇਕਰ f″(c)>0,f″(c)>0, ਤਾਂ ff ਦਾ c.c. 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
12. ਜੇਕਰ f″(c)<0,f″(c)<0, ਤਾਂ ff ਦਾ c.c. 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।
13. ਜੇਕਰ f″(c)=0,f″(c)=0, ਤਾਂ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
14. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੇਸ iii. ਲਈ ਜਦੋਂ f″(c)=0,f″(c)=0, ਤਾਂ ff ਦਾ c.c. 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ, ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫਲਨ f(x)=x3,f(x)=x3, f(x)=x4,f(x)=x4, ਅਤੇ f(x)=−x4f(x)=−x4 ਸਾਰਿਆਂ ਦੇ x=0.x=0 'ਤੇ ਕ੍ਰਾਂਤਕ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ x=0.x=0 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਫਲਨ f(x)=x4f(x)=x4 ਦਾ x=0x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਫਲਨ f(x)=−x4f(x)=−x4 ਦਾ x,x 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਲਨ f(x)=x3f(x)=x3 ਦਾ x=0.x=0 'ਤੇ ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਮ ਨਹੀਂ ਹੈ।
15. ਆਓ ਹੁਣ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ff ਦਾ ਕ੍ਰਾਂਤਕ ਬਿੰਦੂ cc 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ ਜਿੱਥੇ f′(c)=0.f′(c)=0 ਹੈ, ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 4.20
17. ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
18. f(x)=x5−5x3.f(x)=x5−5x3. ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਮਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
19. ਹੱਲ
20. ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਕ੍ਰਾਂਤਕ ਬਿੰਦੂ cc ਲੱਭਣੇ ਪੈਣਗੇ ਜਿੱਥੇ f′(c)=0.f′(c)=0। ਅਵਕਲਨੀਯ f′(x)=5x4−15x2.f′(x)=5x4−15x2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f′(x)=5x4−15x2=5x2(x2−3)=0f′(x)=5x4−15x2=5x2(x2−3)=0 ਜਦੋਂ x=0,±3.x=0,±3।
21. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ff ਦਾ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਮ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ f″f″ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ
22. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਾਂਤਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੂਜੀ ਅਵਕਲਨੀਯ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ff ਦਾ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
23. ਕਤਾਰ: xx | f″(x)f″(x) | ਸਿੱਟਾ
24. ਕਤਾਰ: −3−3 | −303−303 | ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ
1. ਕਤਾਰ: 00 | 00 | ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ
1. ਕਤਾਰ: 33 | 303303 | ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ
ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $x=-3$ 'ਤੇ $f$ ਦਾ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਹੈ ਅਤੇ $x=3$ 'ਤੇ $f$ ਦਾ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਹੈ। $x=0$ 'ਤੇ ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ $x=0$ 'ਤੇ $f$ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। $x \in (-3,0)$ ਅਤੇ $x \in (0,3)$ ਲਈ $f'(x) = 5x^2(x^2-3)$ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਓ $x=-1$ ਅਤੇ $x=1$ ਨੂੰ ਦੋ ਟੈਸਟ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ ਲਈਏ। ਕਿਉਂਕਿ $f'(-1)<0$ ਅਤੇ $f'(1)<0$, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $f$ ਦੋਵੇਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, $f$ ਦੇ $x=0$ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 4.39: ਫਲਨ ff ਦਾ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ x=−3x=−3 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟਤਮ x=3x=3 'ਤੇ ਹੈ
ਚੌਥਾ ਪੜਾਅ 4.19
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x3−(32)x2−18x ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂ c=3,−2, f′(c)=0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ f(x) ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸੀਮਮ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨੀਮਮ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਹ ਸਾਧਨ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰ ਲਏ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਫਲਨ ਕਿੱਥੇ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿੱਥੇ ਘਟ ਰਹੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਮੂਲ ਆਕਾਰ ਦੀ ਸਮਝ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਈ ਹੈ। ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਜਦੋਂ x→±∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਫਲਨ ਨਾਲ ਕੀ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਸਾਧਨ ਹੋਣਗੇ।
1. ਜੇਕਰ c, f(x), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਂਤਿਕ ਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ c 'ਤੇ ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਕਦੋਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ? ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
1. y=x³ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਕੀ x=0 ਇੱਕ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ/ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੋਵੇਂ ਹੈ?
1. y=x³ ਲਈ, ਕੀ x=0 ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ?
ਕੀ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ cc, ਦੋ ਵਾਰ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫਲਨ (function) ਦਾ ਇੱਕ ਝੁਕਾਅ ਬਿੰਦੂ (inflection point) ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਚਰਮ (local extremum) ਦੋਵੇਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?
1. ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਲੋੜ ਕਿਉਂ ਪੈਂਦੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।
ਕੀ ਇੱਕ ਅਵਤਲ-ਹੇਠਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ y=0 ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
22 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦ (polynomial) ਵਿੱਚ ਝੁਕਾਅ ਬਿੰਦੂ (inflection point) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਸ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ (polynomial) ਦਾ ਝੁਕਾਅ ਬਿੰਦੂ (inflection point) ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਉਸਦੇ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (second derivative) ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਿਫਰ (zero) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ (undefined) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ $P(x)$ ਜਿਸਦੀ ਡਿਗਰੀ $n$ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $P''(x)$ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿਸਦੀ ਡਿਗਰੀ $n-2$ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ 22 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ $n=22$. ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $P''(x)$ ਦੀ ਡਿਗਰੀ $22-2 = 20$ ਹੋਵੇਗੀ। ਇੱਕ 20 ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਬਹੁਪਦ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 20 ਅਸਲ ਮੂਲ (real roots) ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ $P''(x)=0$ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 20 ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ $P''(x)=0$ ਦੇ ਹੱਲ ਅਸਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ $P''(x)$ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਝੁਕਾਅ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਗੇ। ਕਿਉਂਕਿ 20 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ 20 ਅਸਲ ਮੂਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ 22 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ 20 ਸੰਭਾਵੀ ਝੁਕਾਅ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਹਾਂ, 22 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਝੁਕਾਅ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f′ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਉਹ ਸਾਰੇ ਅੰਤਰਾਲ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ f ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f′, f′ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਸਾਰੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ ਜਿੱਥੇ
1. ff ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ
ਨਿਊਨਤਮ ਅਤੇ ਅਧਿਕਤਮ ਸਥਿਤ ਹਨ।
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f′ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਸਾਰੇ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ f ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਅਵਤਲ ਹੈ।
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਜੋ ਡੋਮੇਨ xϵ[−3,3] ਲਈ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਜਾਂ ਅਵਕਲਯੋਗ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਜਿੱਥੇ x>1, −3<x<0, ਉੱਥੇ f(x)>0, f′(x)>0 ਅਤੇ ਜਿੱਥੇ 0<x<1, ਉੱਥੇ f′(x)=0
ਜਦੋਂ x>2, −3<x<−1, ਅਤੇ −1<x<2 ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ f′(x)>0 ਹੋਵੇ, ਅਤੇ −1<x<2 ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ f′(x)<0 ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਸਾਰੇ x ਲਈ f″(x)<0 ਹੋਵੇ।
1. −1<x<1 ਵਿੱਚ f″(x)<0, −3<x<−1 ਅਤੇ 1<x<3 ਵਿੱਚ f″(x)>0, x=0 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ, x=±2 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ।
x=2,x=2 ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਉੱਤਮ ਹੈ, x=1,x=1 ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾ ਤਾਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਅਵਤਲ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਅਵਤਲ ਹੈ।
There are local maxima at x=±1,x=±1, the function is concave up for all x,x, and the function remains positive for all x.x.
For the following exercises, determine
intervals where ff is increasing or decreasing and
local minima and maxima of f.f.
If needed, use a calculator to graph the functions, but show your work.
f(x)=sinx+sin3xf(x)=sinx+sin3x over −π<x<π−π<x<π
f ( x ) = x 2 + cos x f ( x ) = x 2 + cos x
For the following exercises, determine a. intervals where ff is concave up or concave down, and b. the inflection points of f.f.
f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 2 f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 2
For the following exercises, determine
intervals where ff is increasing or decreasing,
local minima and maxima of f,f,
intervals where ff is concave up and concave down, and
the inflection points of f.f.
f ( x ) = x 2 − 6 x f ( x ) = x 2 − 6 x
f ( x ) = x 3 − 6 x 2 f ( x ) = x 3 − 6 x 2
f ( x ) = x 4 − 6 x 3 f ( x ) = x 4 − 6 x 3
f ( x ) = x 11 − 6 x 10 f ( x ) = x 11 − 6 x 10
f ( x ) = x + x 2 − x 3 f ( x ) = x + x 2 − x 3
f ( x ) = x 2 + x + 1 f ( x ) = x 2 + x + 1
f ( x ) = x 3 + x 4 f ( x ) = x 3 + x 4
For the following exercises, determine
intervals where ff is increasing or decreasing,
local minima and maxima of f,f,
intervals where ff is concave up and concave down, and
the inflection points of f.f. Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.
[T] f(x)=sin(πx)−cos(πx)f(x)=sin(πx)−cos(πx) over x=[−1,1]x=[−1,1]
[T] f(x)=x+sin(2x)f(x)=x+sin(2x) over x=[−π2,π2]x=[−π2,π2]
[T] f(x)=sinx+tanxf(x)=sinx+tanx over (−π2,π2)(−π2,π2)
[T] f(x)=(x−2)2(x−4)2f(x)=(x−2)2(x−4)2
[T] f(x)=11−x,x≠1f(x)=11−x,x≠1
[T] f(x)=sinxxf(x)=sinxx over x=x= [2π,0)∪(0,2π][2π,0)∪(0,2π]
f(x)=sin(x)exf(x)=sin(x)ex over x=[−π,π]x=[−π,π]
f ( x ) = ( ln x ) x , x > 0 f ( x ) = ( ln x ) x , x > 0
f ( x ) = 1 4 x + 1 x , x > 0 f ( x ) = 1 4 x + 1 x , x > 0
f ( x ) = e x x , x ≠ 0 f ( x ) = e x x , x ≠ 0
For the following exercises, interpret the sentences in terms of f,f′,andf″.f,f′,andf″.
The population is growing more slowly. Here ff is the population.
A bike accelerates faster, but a car goes faster. Here f=f= Bike’s position minus Car’s position.
The airplane lands smoothly. Here ff is the plane’s altitude.
A company tracks labor costs over the course of a year. On July 1, costs are at their peak. Here ff represents the cost of labor.
The economy is picking up speed. Here ff is a measure of the economy, such as GDP.
For the following exercises, consider a third-degree polynomial f(x),f(x), which has the properties f′(1)=0,f′(3)=0f′(1)=0,f′(3)=0 (not applicable to Exercises 249 and 250). Determine whether the following statements are true or false. Justify your answer.
f(x)=0f(x)=0 for some 1≤x≤31≤x≤3
f″(x)=0f″(x)=0 for some 1≤x≤31≤x≤3
There is no absolute maximum at x=3x=3
If f(x)f(x) has three roots, then it has 11 inflection point.
If f(x)f(x) has one inflection point, then it has three real roots.