ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.6.1 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ।
4.6.2 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
4.6.3 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ।
4.6.4 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
4.6.5 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਕੇ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਨਬਾਉਂਡਡ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ x→±∞ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਵੀ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸੀਮਾਵਾਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਮਨਮਾਨੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੋਣ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਅਨੰਤ ਸੀਮਾ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ, ਅਸੀਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ; ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਤਿਰਛੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਦੇ ਹਾਂ।
ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ limx→af(x)=L ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ f(x) LL ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ xx a ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2+1x 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.40 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਅਤੇ ਟੇਬਲ 4.2 ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ xx ਦੇ ਮੁੱਲ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ 2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x) ਦੀ ∞ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੀ ਸੀਮਾ 2 ਹੈ ਅਤੇ limx→∞f(x)=2 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, x<0 ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ |x| ਦੇ ਮੁੱਲ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ 2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x) ਦੀ −∞ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੀ ਸੀਮਾ 2 ਹੈ ਅਤੇ limx→-∞f(x)=2 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 4.40: ਫੰਕਸ਼ਨ ±∞ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵੇਲੇ y=2 ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
xx | 10 | 100 | 1,000 | 10,000
2+1x | 2.1 | 2.01 | 2.001 | 2.0001
xx | −10 | −100 | −1000 | −10,000
2+1x | 1.9 | 1.99 | 1.999 | 1.9999
ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x) ਦੀ ∞ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੀ ਸੀਮਾ LL ਹੈ ਜੇ f(x) LL ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ xx ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ limx→∞f(x)=L ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x) ਦੀ −∞ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੀ ਸੀਮਾ LL ਹੈ ਜੇ f(x) LL ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ x<0 ਅਤੇ |x| ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ limx→−∞f(x)=L ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਹੋਣ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
(ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ) ਜੇ f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ LL ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ xx ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੀ ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਜੇ f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ x<0 ਲਈ LL ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ |x| ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੀ ਨੈਗੇਟਿਵ ਇਨਫਿਨਿਟੀ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਜੇ f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ LL ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੋ ਰਹੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞ ਜਾਂ x→−∞, ਤਾਂ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y=L ਲਾਈਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, y=L ਲਾਈਨ f (ਚਿੱਤਰ 4.41) ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1x ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ limx→∞f(x)=0, y=0 ਲਾਈਨ f(x)=1x ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇ limx→∞f(x)=L ਜਾਂ limx→−∞f(x)=L, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ y=L ਲਾਈਨ f ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.41: (a) ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞, f ਦੇ ਮੁੱਲ L ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੋ ਰਹੇ ਹਨ। y=L ਲਾਈਨ f ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੈ। (b) ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→−∞, f ਦੇ ਮੁੱਲ M ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੋ ਰਹੇ ਹਨ। y=M ਲਾਈਨ f ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ (vertical asymptote) ਨੂੰ ਪਾਰ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਤੋਂ ਅਨੰਤ (infinity) (ਜਾਂ −∞) ਵੱਲ ਵਧਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ (horizontal asymptote) ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਅਸੀਮਤ ਵਾਰ ਪਾਰ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=(cosx)/x+1, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.42 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=1 ਨੂੰ ਅਸੀਮਤ ਵਾਰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਘੱਟਦੀ ਹੋਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ (amplitude) ਨਾਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.42: f(x)=(cosx)/x+1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਆਪਣੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=1 ਨੂੰ ਅਸੀਮਤ ਵਾਰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।
ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਲਿਮਿਟ ਲਾਅ (algebraic limit laws) ਅਤੇ ਸਕਵੀਜ਼ ਥਿਊਰਮ (squeeze theorem) ਜੋ ਅਸੀਂ ਲਿਮਿਟਸ ਦੇ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ (Introduction to Limits) ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਸਨ, ਉਹ ਅਨੰਤਤਾ (infinity) ਤੇ ਲਿਮਿਟਾਂ (limits at infinity) ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਅਨੰਤਤਾ ਤੇ ਲਿਮਿਟਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.21
ਅਨੰਤਤਾ ਤੇ ਲਿਮਿਟਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, limx→∞f(x) ਅਤੇ limx→−∞f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f ਲਈ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ(ਟਾਂ) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
f(x)=5−2x²
f(x)=sin(x)/x
f(x)=tan⁻¹(x)
ਹੱਲ
ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਲਿਮਿਟ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ limx→∞(5−2x²)=limx→∞5−2(limx→∞1/x).(limx→∞1/x)=5−2·0=5 ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, limx→−∞f(x)=5 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f(x)=5−2x² ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=5 ਹੈ ਅਤੇ f ਇਸ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→±∞, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.43 ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ x→±∞ ਵੱਲ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ −1≤sin(x)≤1 ਹਰ x ਲਈ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ −1/x≤sin(x)/x≤1/x ਹਰ x≠0 ਲਈ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ limx→∞−1/x=0=limx→∞1/x, ਅਸੀਂ ਸਕਵੀਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ limx→∞sin(x)/x=0 ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, limx→−∞sin(x)/x=0 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, f(x)=sin(x)/x ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਹੈ ਅਤੇ f(x) ਇਸ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→±∞, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.44 ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।
limx→∞tan⁻¹(x) ਅਤੇ limx→−∞tan⁻¹(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ y=tan(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (−π/2,π/2) ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.45 tan(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x=±π/2 ਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ
ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ
ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, y=π/2 ਅਤੇ y=−π/2 f(x)=tan⁻¹(x) ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.46: ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਦੋ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹਨ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.20
limx→−∞(3+4x) ਅਤੇ limx→∞(3+4x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(x)=3+4x ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ(ਟਾਂ) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ।
ਅਨੰਤਤਾ ਤੇ ਅਨੰਤ ਲਿਮਿਟਾਂ
ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਮੁੱਲ ਬੇਰੋਕ ਵੱਡੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞ (ਜਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→−∞)। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ limx→∞f(x)=∞ (ਜਾਂ limx→−∞f(x)=∞) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇ f ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ ਪਰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ (magnitude) ਵਿੱਚ ਬੇਰੋਕ ਵੱਡੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞ (ਜਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→−∞), ਅਸੀਂ limx→∞f(x)=−∞ (ਜਾਂ limx→−∞f(x)=−∞) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x³ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੇਬਲ 4.3 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 4.47 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞, f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ ਬੇਰੋਕ ਵੱਡੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, limx→∞x³=∞ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→−∞, f(x)=x³ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ ਪਰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਿੱਚ ਬੇਰੋਕ ਵੱਡੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, limx→−∞x³=−∞ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: xx | 1010 | 2020 | 5050 | 100100 | 10001000
2. ਕਤਾਰ: x3x3 | 10001000 | 80008000 | 125,000125,000 | 1,000,0001,000,000 | 1,000,000,0001,000,000,000
3. ਕਤਾਰ: xx | −10−10 | −20−20 | −50−50 | −100−100 | −1000−1000
4. ਕਤਾਰ: x3x3 | −1000−1000 | −8000−8000 | −125,000−125,000 | −1,000,000−1,000,000 | −1,000,000,000−1,000,000,000
5. ਚਿੱਤਰ 4.47: ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਮੁੱਲ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ x→±∞.x→±∞.
6. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
7. (ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ) ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਕੋਲ ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਸੀਮਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
8. ਜੇਕਰ f(x)f(x) ਬੇਅੰਤ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ xx ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲ ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਸੀਮਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
9. ਜੇਕਰ f(x)<0f(x)<0 ਅਤੇ |f(x)||f(x)| ਬੇਅੰਤ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ xx ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ x→−∞.x→−∞. ਵਜੋਂ ਅਨੰਤ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ
11. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬੇਅੰਤ ਨੇੜੇ, ਬੇਅੰਤ ਵੱਡੇ, ਅਤੇ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਸ਼ਬਦ ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਸਹੀ ਵਰਣਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਵਧੇਰੇ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
12. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
13. (ਰਸਮੀ) ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਕੋਲ ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ LL ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ε>0,ε>0 ਲਈ, ਇੱਕ N>0N>0 ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
14. ਸਾਰੇ x>N.x>N ਲਈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
15. (ਚਿੱਤਰ 4.48 ਦੇਖੋ)।
16. ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਕੋਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ LL ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ε>0,ε>0 ਲਈ, ਇੱਕ N<0N<0 ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
17. ਸਾਰੇ x<N.x<N ਲਈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
18. ਚਿੱਤਰ 4.48: ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਸਾਰੇ x>N.x>N ਲਈ, |f(x)−L|<ε.|f(x)−L|<ε.
19. ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 4.40 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਸਬੂਤ ਅਤੇ ਸਾਰਣੀ 4.2 ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਸਬੂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ ਕਿ limx→∞(2+1x)=2.limx→∞(2+1x)=2. ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਦੀ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 4.22
21. ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੀਮਾ ਉਦਾਹਰਨ
22. ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ limx→∞(2+1x)=2.limx→∞(2+1x)=2. ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਦੀ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਹੱਲ
24. ε>0.ε>0 ਮੰਨੋ। N=1ε.N=1ε ਮੰਨੋ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਰੇ x>N.x>N ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
Checkpoint 4.21
Use the formal definition of limit at infinity to prove that limx→∞(3−1x2)=3.limx→∞(3−1x2)=3.
We now turn our attention to a more precise definition for an infinite limit at infinity.
Definition
(Formal) We say a function ff has an infinite limit at infinity and write
if for all M>0,M>0, there exists an N>0N>0 such that
for all x>Nx>N (see Figure 4.49).
We say a function has a negative infinite limit at infinity and write
if for all M<0,M<0, there exists an N>0N>0 such that
for all x>N.x>N.
Similarly we can define limits as x→−∞.x→−∞.
Figure 4.49: For a function with an infinite limit at infinity, for all x>N,x>N, f(x)>M.f(x)>M.
Earlier, we used graphical evidence (Figure 4.47) and numerical evidence (Table 4.3) to conclude that limx→∞x3=∞.limx→∞x3=∞. Here we use the formal definition of infinite limit at infinity to prove that result.
Example 4.23
An Infinite Limit at Infinity
Use the formal definition of infinite limit at infinity to prove that limx→∞x3=∞.limx→∞x3=∞.
Solution
Let M>0.M>0. Let N=M3.N=M3. Then, for all x>N,x>N, we have
Therefore, limx→∞x3=∞.limx→∞x3=∞.
Checkpoint 4.22
Use the formal definition of infinite limit at infinity to prove that limx→∞3x2=∞.limx→∞3x2=∞.
End Behavior
The behavior of a function as x→±∞x→±∞ is called the function’s end behavior. At each of the function’s ends, the function could exhibit one of the following types of behavior:
The function f(x)f(x) approaches a horizontal asymptote y=L.y=L.
The function f(x)→∞f(x)→∞ or f(x)→−∞.f(x)→−∞.
The function does not approach a finite limit, nor does it approach ∞∞ or −∞.−∞. In this case, the function may have some oscillatory behavior.
Let’s consider several classes of functions here and look at the different types of end behaviors for these functions.
End Behavior for Polynomial Functions
Consider the power function f(x)=xnf(x)=xn where nn is a positive integer. From Figure 4.50 and Figure 4.51, we see that
and
Figure 4.50: For power functions with an even exponent of n,n, limx→∞xn=∞=limx→−∞xn.limx→∞xn=∞=limx→−∞xn.
Figure 4.51: For power functions with an odd exponent of n,n, limx→∞xn=∞limx→∞xn=∞ and limx→−∞xn=−∞.limx→−∞xn=−∞.
Using these facts, it is not difficult to evaluate limx→∞cxnlimx→∞cxn and limx→−∞cxn,limx→−∞cxn, where cc is any constant and nn is a positive integer. If c>0,c>0, the graph of y=cxny=cxn is a vertical stretch or compression of y=xn,y=xn, and therefore
If c<0,c<0, the graph of y=cxny=cxn is a vertical stretch or compression combined with a reflection about the xx-axis, and therefore
If c=0,y=cxn=0,c=0,y=cxn=0, in which case limx→∞cxn=0=limx→−∞cxn.limx→∞cxn=0=limx→−∞cxn.
Example 4.24
Limits at Infinity for Power Functions
For each function f,f, evaluate limx→∞f(x)limx→∞f(x) and limx→−∞f(x).limx→−∞f(x).
f(x)=−5x3f(x)=−5x3
f(x)=2x4f(x)=2x4
Solution
Since the coefficient of x3x3 is −5,−5, the graph of f(x)=−5x3f(x)=−5x3 involves a vertical stretch and reflection of the graph of y=x3y=x3 about the xx-axis. Therefore, limx→∞(−5x3)=−∞limx→∞(−5x3)=−∞ and limx→−∞(−5x3)=∞.limx→−∞(−5x3)=∞.
Since the coefficient of x4x4 is 2,2, the graph of f(x)=2x4f(x)=2x4 is a vertical stretch of the graph of y=x4.y=x4. Therefore, limx→∞2x4=∞limx→∞2x4=∞ and limx→−∞2x4=∞.limx→−∞2x4=∞.
Checkpoint 4.23
Let f(x)=−3x4.f(x)=−3x4. Find limx→∞f(x).limx→∞f(x).
We now look at how the limits at infinity for power functions can be used to determine limx→±∞f(x)limx→±∞f(x) for any polynomial function f.f. Consider a polynomial function
of degree n≥1n≥1 so that an≠0.an≠0. Factoring, we see that
As x→±∞,x→±∞, all the terms inside the parentheses approach zero except the first term. We conclude that
1. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.52 ਅਤੇ ਸਾਰਣੀ 4.4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=5x³−3x²+4, ਜਦੋਂ x→±∞, g(x)=5x³ ਵਾਂਗ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
2. ਚਿੱਤਰ 4.52: ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਪਦ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
3. ਕਤਾਰ: xx | 10 | 100 | 1000
4. ਕਤਾਰ: f(x)=5x³−3x²+4 | 4704 | 4,970,004 | 4,997,000,004
5. ਕਤਾਰ: g(x)=5x³ | 5000 | 5,000,000 | 5,000,000,000
6. ਕਤਾਰ: xx | −10 | −100 | −1000
7. ਕਤਾਰ: f(x)=5x³−3x²+4 | −5296 | −5,029,996 | −5,002,999,996
8. ਕਤਾਰ: g(x)=5x³ | −5000 | −5,000,000 | −5,000,000,000
9. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ
10. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਰੈਡੀਕਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4.25 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=p(x)/q(x) ਦੀਆਂ ਅਨੰਤਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਅੰਸ਼ ਦੇ ਘਾਤ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਘਾਤ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਅਨੰਤਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ x ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸ਼ਕਤੀ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਮੁੱਚੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਉਸ ਪਦ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ x ਦੇ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪਾਉਂਦਾ ਹੈ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 4.25
12. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, x→∞ ਅਤੇ x→−∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. f(x)=3x−1 / 2x+5 (ਨੋਟ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਘਾਤ ਸਮਾਨ ਹਨ।)
15. f(x)=3x²+2 / 4x³−5x+7 (ਨੋਟ: ਅੰਸ਼ ਦਾ ਘਾਤ ਹਰ ਦੇ ਘਾਤ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।)
16. f(x)=3x²+4x / x+2 (ਨੋਟ: ਅੰਸ਼ ਦਾ ਘਾਤ ਹਰ ਦੇ ਘਾਤ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।)
17. ਹੱਲ
18. ਹਰ ਵਿੱਚ x ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸ਼ਕਤੀ x ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ x ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ ਅਤੇ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸੀਮਾ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limx→±∞(3x−1)/(2x+5) = limx→±∞(3−1/x)/(2+5/x) = limx→±∞(3−1/x) / limx→±∞(2+5/x) = limx→±∞3 − limx→±∞1/x / limx→±∞2 + limx→±∞5/x = 3−0 / 2+0 = 3/2। ਕਿਉਂਕਿ limx→±∞f(x)=3/2, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ y=3/2 ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.53 ਇਸ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x→±∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
19. ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ x ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸ਼ਕਤੀ x³ ਹੈ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ x³ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸੀਮਾ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ limx→±∞(3x²+2)/(4x³−5x+7) = limx→±∞(3/x+2/x²)/(4−5/x²+7/x³) = (3(0)+2(0))/(4−5(0)+7(0)) = 0/4 = 0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, f ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.54 ਇਸ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ x→±∞।
20. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ x ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ limx→±∞(3x²+4x)/(x+2) = limx→±∞(3x+4)/(1+2/x) ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x→±∞, ਹਰ 1 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x→∞, ਅੰਸ਼ +∞ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x→−∞, ਅੰਸ਼ −∞ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ limx→∞f(x)=∞, ਜਦੋਂ ਕਿ limx→−∞f(x)=−∞ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.55 ਜਿਵੇਂ x→∞, ਮੁੱਲ f(x)→∞। ਜਿਵੇਂ x→−∞, ਮੁੱਲ f(x)→−∞।
21. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.24
22. limx→±∞(3x²+2x−1)/(5x²−4x+7) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ ਅਤੇ f(x)=(3x²+2x−1)/(5x²−4x+7) ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, f(x)=(3x²+4x)/(x+2) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 4.56 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x→∞ ਅਤੇ x→−∞, ff ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਲਗਭਗ ਰੇਖੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ff ਯਕੀਨੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ff ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਕਿਉਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਲੰਬੇ ਭਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
24. ਕਿਉਂਕਿ 4(x+2)→0 ਜਿਵੇਂ x→±∞, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
1. ਇਸ ਲਈ, f(f) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ y=3x−2y=3x−2 ਰੇਖਾ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ x→±∞.x→±∞. ਇਹ ਰੇਖਾ f(f) ਲਈ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਅਸੀਮਾ (oblique asymptote) ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.56)।
4.56 ਚਿੱਤਰ: ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ f(x)=(3x^2+4x)/(x+2)f(x)=(3x^2+4x)/(x+2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਜਿਵੇਂ x→±∞x→±∞, ਤਿਰਛੀ ਅਸੀਮਾ y=3x−2y=3x−2 ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
4.25 ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਸਾਰ ਕੱਢ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਸੰਬੰਧੀ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਿੱਟੇ ਤੇ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ,
ਜਿੱਥੇ an≠0 ਅਤੇ bm≠0। an≠0 ਅਤੇ bm≠0।
ਜੇ ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੀ ਘਾਤ (degree) ਹਰ (denominator) ਦੀ ਘਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ (n=m), ਤਾਂ f(x) ਦਾ y=an/bm ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮ (horizontal asymptote) ਹੋਵੇਗਾ ਜਿਵੇਂ x→±∞।
ਜੇ ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੀ ਘਾਤ ਹਰ (denominator) ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ (n<m), ਤਾਂ f(x) ਦਾ y=0 ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ (horizontal asymptote) ਹੋਵੇਗਾ ਜਦੋਂ x→±∞.
1. ਜੇ ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੀ ਘਾਤ (degree) ਹਰ (denominator) ਦੀ ਘਾਤ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇ (n>m), ਤਾਂ f(x) ਦਾ ਕੋਈ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਾ (horizontal asymptote) ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਨੰਤ (infinity) ਉੱਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ (limits) ਜਾਂ ਤਾਂ ਧਨ (positive) ਜਾਂ ਰਿਣ (negative) ਅਨੰਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦਾਂ (leading terms) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ (signs) ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਲੰਬੀ ਵੰਡ (long division) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਫਲਨ (function) ਨੂੰ f(x)=g(x)+r(x)/q(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r(x) ਦੀ ਘਾਤ q(x) ਦੀ ਘਾਤ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, limx→±∞r(x)/q(x)=0। ਇਸ ਲਈ, [f(x)−g(x)] ਦੇ ਮੁੱਲ x→±∞ ਵੱਲ ਵਧਣ ਉੱਤੇ ਸਿਫ਼ਰ (zero) ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਜੇ p(x) ਦੀ ਘਾਤ q(x) ਦੀ ਘਾਤ ਨਾਲੋਂ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੋਵੇ (n=m+1), ਤਾਂ g(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ (linear function) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ g(x) ਨੂੰ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਅਸੀਮਾ (oblique asymptote) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਆਓ ਆਪਾਂ ਕਰਣੀ (radical) ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ (end behavior) ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 4.26
1. ਮੂਲ ਵਾਲੇ ਫਲਨ (function) ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ x→∞ ਅਤੇ x→−∞ ਹੋਵੇ ਤਾਂ f(x)=3x−24x2+5 ਦੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲੱਭੋ ਅਤੇ f ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਆਓ ਆਪਾਂ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਫਲਨ (rational functions) ਵਾਸਤੇ ਵਰਤੀ ਰਣਨੀਤੀ ਹੀ ਵਰਤੀਏ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ x ਦੀ ਘਾਤ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੀਏ। x ਦੀ ਉਚਿਤ ਘਾਤ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰ ਵਿੱਚ 4x² + 54x² + 5 ਵਾਲੇ ਪਦ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਕਿਉਂਕਿ
1. ਜਦੋਂ xx ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ xx ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲੀ ਘਾਤ (power) ਵਾਂਗ ਹੀ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ |x| ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ x>0 ਲਈ |x|=x, x<0 ਲਈ |x|=−x, ਅਤੇ ਸਾਰੇ x ਲਈ |x|=x^2, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸੀਮਾਵਾਂ (limits) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਲਈ, f(x)f(x) x→∞x→∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਾ y=32y=32 ਅਤੇ x→−∞x→−∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਾ y=−32y=−32 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
4.57 ਚਿੱਤਰ: ਇਸ ਫਲਨ (function) ਦੇ ਦੋ ਖਿਤਿਜੀ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (horizontal asymptotes) ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।
ਚੌਥਾ ਪੜਾਅ, ਸਵਾ ਪੱਚੀ।
limx→∞3x2+4x+6.
1. ਅਲੌਕਿਕ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਛੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਆਵਰਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜਦੋਂ x→±∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, sinx 1 ਅਤੇ -1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਡੋਲਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.58)। tanx ਫਲਨ, ਜਦੋਂ x→±∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੰਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਾਂ ਰੱਖਦਾ ਹੈ; ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਜਦੋਂ x→±∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ±∞ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.59 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 4.58: ਫਲਨ f(x)=sinx, ਜਿਵੇਂ x→±∞, 1 ਅਤੇ -1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਡੋਲਦਾ ਹੈ।
4.59 ਅੰਕ: ਫਲਨ f(x)=tanxf(x)=tanx ਕੋਈ ਹੱਦ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ x→±∞x→±∞ ਵਾਂਗ ±∞±∞ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
1. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ b>0,b≠1 ਲਈ, ਫਲਨ y=bx ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (−∞,∞) ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ (0,∞) ਹੈ। ਜੇਕਰ b>1, ਤਾਂ y=bx, (−∞,∞) ਉੱਤੇ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ 0<b<1, ਤਾਂ y=bx, (−∞,∞) ਉੱਤੇ ਘੱਟ ਰਹੀ ਹੈ। ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ f(x)=ex ਲਈ, e≈2.718>1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f(x)=ex, (−∞,∞) ਉੱਤੇ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ (0,∞) ਹੈ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ f(x)=ex, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 4.5 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 4.60 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, x→∞ ਜਿਵੇਂ ∞ ਵੱਲ ਵਧਦੀ ਹੈ ਅਤੇ x→−∞ ਜਿਵੇਂ 0 ਵੱਲ ਘਟਦੀ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: xx | −5−5 | −2−2 | 00 | 22 | 55
1. ਕਤਾਰ: ਉਦਾਹਰਣ | 0.006740.00674 | 0.1350.135 | 11 | 7.3897.389 | 148.413148.413
4.60 ਅੰਕ: ਘਾਤ ਅੰਕ ਫਲਨ (exponential function) ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ x→−∞x→−∞ ਅਤੇ ∞ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ x→∞.x→∞.
1. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨ f(x)=ln(x) ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ y=e^x ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f(x)=ln(x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ (0,∞) ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਂਜ (−∞,∞) ਹੈ। f(x)=ln(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y=e^x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ln(x)→−∞ ਜਿਵੇਂ x→0+ ਅਤੇ ln(x)→∞ ਜਿਵੇਂ x→∞, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.61 ਅਤੇ ਸਾਰਣੀ 4.6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਸਤਰ: xx | 0.010.01 | 0.10.1 | 11 | 1010 | 100100
1. ਕਤਾਰ: ਲੌਗ(ਐਕਸ)ਲੌਗ(ਐਕਸ) | −4.605−4.605 | −2.303−2.303 | 00 | 2.3032.303 | 4.6054.605
4.61: ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਨਕ ਫਲਨ (natural logarithm function) ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞, ∞ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 4.27
1. ਅਨੰਤ ਗੁਣਾਂ ਵਾਲੇ ਫਲਨ (transcendental function) ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਹਾਰ ਦਾ ਨਿਰਣਾ
ਜਦੋਂ x→∞x→∞ ਅਤੇ x→−∞x→−∞, f(x)=(2+3eˣ)(7−5eˣ)f(x)=(2+3eˣ)(7−5eˣ) ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਲੱਭੋ ਅਤੇ f.f. ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਵਿਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
x→∞,x→∞, ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ e^x ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ:e^x:
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.60 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ x→∞, ex→∞ex→∞। ਇਸ ਲਈ,
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਿੱਟੇ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limx→∞f(x)=−35, ਅਤੇ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x→∞ ਵਾਂਗ ਹੀ y=−35 ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟ (horizontal asymptote) ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। x→−∞ ਵਾਂਗ ਹੀ ਸੀਮਾ (limit) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ x→−∞ ਵਾਂਗ ਹੀ ex→0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕੀਏ ਕਿ limx→∞f(x)=27, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ x→−∞ ਵਾਂਗ ਹੀ y=27 ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਚੌਥਾ ਪੜਾਅ, ਸਤਵੰਜਾ ਅੰਕ।
1. ਜਦੋਂ x→∞x→∞ ਅਤੇ x→−∞x→−∞, ਤਾਂ f(x)=(3e^x−4)(5e^x+2) ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਲੱਭੋ।
1. ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਸਾਧਨਾਂ ਨਾਲ ਇੰਨੇ ਸਮਰੱਥ ਹੋ ਗਏ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਅਤੇ ਅਤੀਤਿਕ ਫਲਨਾਂ (functions) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਫਲਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਕਿਸੇ ਵੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਵਰਤਣ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਰਣਨੀਤੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਨਿਵਾਰਨ ਰਣਨੀਤੀ
1. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
1. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f,f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f,f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
1. ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
1. xx- ਅਤੇ yy-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
1. ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ limx→∞f(x) ਅਤੇ limx→−∞f(x) ਦਾ ਮੂਲਯੰਕਨ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸੀਮਾ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੰਖਿਆ L ਹੈ, ਤਾਂ y=L ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸੀਮਾ ∞ ਜਾਂ −∞ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ f ਕੋਲ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਅਸੀਮ ਹੈ। ਜੇਕਰ f ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x)=p(x)q(x), ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਘਾਤ ਹਰ ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ f ਨੂੰ f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r(x) ਦੀ ਘਾਤ q(x) ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ x→±∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ g(x) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ g(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਤਿਰਛੀ ਅਸੀਮ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. f(x) ਦੇ ਕੋਈ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
f′.f′. ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਸਾਰੇ ਕ੍ਰਾਂਤਿਕ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿੱਥੇ f ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿੱਥੇ f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ f ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
f″.f″. ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ff ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ff ਦੇ ਕੋਈ ਨਿਮਨਤਾ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ff ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਜਾਂ ਤਸਦੀਕ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬਦਲਵੇਂ ਸਾਧਨ ਵਜੋਂ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਹੁਣ ਆਓ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਸ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.28
ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=(x−1)2(x+2).f(x)=(x−1)2(x+2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1. ਕਿਉਂਕਿ ff ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ।
ਕਦਮ 2. ਜਦੋਂ x=0, f(x)=2. ਇਸ ਲਈ, y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,2) ਹੈ। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (x−1)2(x+2)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ (1,0) ਅਤੇ (−2,0) ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
ਕਦਮ 3. ਸਾਨੂੰ f.f. ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x→∞, (x−1)2→∞ ਅਤੇ (x+2)→∞। ਇਸ ਲਈ, limx→∞f(x)=∞। ਜਿਵੇਂ x→−∞, (x−1)2→∞ ਅਤੇ (x+2)→−∞। ਇਸ ਲਈ, limx→−∞f(x)=−∞। f.f. ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ f.f. ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਕਿਉਂਕਿ ff ਦਾ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ x3 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ff, x→±∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y=x3 ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 4. ਕਿਉਂਕਿ ff ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਕਦਮ 5. ff ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ff ਦੇ ਦੋ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ ਹਨ: x=1,−1। ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞) ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ: (−∞,−1), (−1,1), ਅਤੇ (1,∞)। ਫਿਰ, ਇਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਤੋਂ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ x=−2, x=0, ਅਤੇ x=2 ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ f′(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
row: ਅੰਤਰਾਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1) ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
row: (−∞,−1) | x=−2 | (+)(−)(−)=+ | ff ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
row: (−1,1) | x=0 | (+)(−)(+)=− | ff ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
row: (1,∞) | x=2 | (+)(+)(+)=+ | ff ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ff ਦਾ x=−1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਅਤੇ x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ f(x) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਮੁੱਲ f(−1)=4 ਹੈ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਮੁੱਲ f(1)=0 ਹੈ।
ਕਦਮ 6. ff ਦਾ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ
ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ x=0 'ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f.f. ਦੀ ਅਵਤਲਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞) ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (−∞,0) ਅਤੇ (0,∞) ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ff ਦੀ ਅਵਤਲਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ x=−1 ਅਤੇ x=1 ਚੁਣੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
row: ਅੰਤਰਾਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | f″(x)=6x ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
row: (−∞,0) | x=−1 | − | ff ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ।
row: (0,∞) | x=1 | + | ff ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਵਤਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਿਛਲੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਕਦਮ 5 ਵਿੱਚ ਪਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਿ ff ਦਾ x=−1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਅਤੇ x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਦਮ 5 ਵਿੱਚ ਪਾਈ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ—ਨਾਮ, ff ਦਾ x=−1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਅਤੇ x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ f′(x)=0 ਹੈ—ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਨਾਲ ਮਿਲ ਕੇ ਕਿ f″f″ ਸਿਰਫ x=0 'ਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਕਦਮ 6 ਵਿੱਚ f.f. ਦੀ ਅਵਤਲਤਾ ਬਾਰੇ ਮਿਲੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ f(x)=(x−1)2(x+2)f(x)=(x−1)2(x+2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.27
f(x)=(x−1)3(x+2).f(x)=(x−1)3(x+2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.29
ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=x2(1−x2).f(x)=x2(1−x2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਫੰਕਸ਼ਨ f ਉਦੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਹਰ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਲਈ, ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ xx ਸਿਵਾਏ x=±1.x=±1।
ਦੂਜਾ ਕਦਮ। ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ x=0,x=0, ਤਾਂ f(x)=0,f(x)=0, ਇਸ ਲਈ 00 ਇੱਕ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ y=0,y=0, ਤਾਂ x2(1−x2)=0,x2(1−x2)=0, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ x=0.x=0। ਇਸ ਲਈ, (0,0)(0,0) ਇਕਲੌਤਾ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
ਤੀਜਾ ਕਦਮ। ਅਨੰਤਤਾ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ f ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਅਤੇ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸ਼ਕਤੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ: x2.x2। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਲਈ, f ਕੋਲ y=−1y=−1 ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ ਜਿਵੇਂ x→∞x→∞ ਅਤੇ x→−∞.x→−∞।
ਚੌਥਾ ਕਦਮ। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ f ਕੋਲ ਕੋਈ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹਨ, ਪਹਿਲਾਂ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਕੋਲ ਕੋਈ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ x=±1.x=±1। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਲਾਈਨਾਂ x=1x=1 ਜਾਂ x=−1x=−1, f,f ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹਨ, limx→1f(x)limx→1f(x) ਅਤੇ limx→−1f(x).limx→−1f(x) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ। x→1,x→1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, x→−1,x→−1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਪੰਜਵਾਂ ਕਦਮ। ਪਹਿਲੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ xx ਜਿੱਥੇ f′(x)=0f′(x)=0 ਜਾਂ f′(x)f′(x) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f′(x)=0f′(x)=0 ਜਦੋਂ x=0.x=0। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′f′ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। f.f. ਹਾਲਾਂਕਿ, x=±1x=±1 f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ। f.f. ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ f ਕਿੱਥੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿੱਥੇ f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞)(−∞,∞) ਨੂੰ ਚਾਰ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ: (−∞,−1),(−∞,−1), (−1,0),(−1,0), (0,1),(0,1), ਅਤੇ (1,∞),(1,∞), ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਚੁਣੋ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ f′(x)f′(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਮੁੱਲ x=−2,x=−2, x=−12,x=−12, x=12,x=12, ਅਤੇ x=2x=2 ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਲਈ ਚੰਗੇ ਵਿਕਲਪ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਅੰਤਰਾਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | f′(x)=2x(1−x2)2f′(x)=2x(1−x2)2 ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
ਸਾਰਣੀ: (−∞,−1)(−∞,−1) | x=−2x=−2 | −/+=−−/+=− | f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: (−1,0)(−1,0) | x=−1/2x=−1/2 | −/+=−−/+=− | f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: (0,1)(0,1) | x=1/2x=1/2 | +/+=++/+=+ | f ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: (1,∞)(1,∞) | x=2x=2 | +/+=++/+=+ | f ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਇਸ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f ਕੋਲ x=0x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ ਪਰ ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਛੇਵਾਂ ਕਦਮ। ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ f ਕਿੱਥੇ ਅਵਤਲ ਉੱਪਰ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿੱਥੇ f ਅਵਤਲ ਹੇਠਾਂ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ xx ਲੱਭਣੇ ਪੈਣਗੇ ਜਿੱਥੇ f″(x)=0f″(x)=0 ਜਾਂ f″(x)f″(x) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਊਮਰੇਟਰ 6x2+2≠06x2+2≠0 ਕਿਸੇ ਵੀ x,x ਲਈ, f″(x)f″(x) ਕਦੇ ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, f″f″ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ xx ਲਈ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। f.f. ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, x=±1x=±1 f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ। f.f. ਇਸ ਲਈ, f,f ਦੀ ਅਵਤਲਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞)(−∞,∞) ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (−∞,−1),(−∞,−1), (−1,−1),(−1,−1), ਅਤੇ (1,∞),(1,∞) ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ f″(x).f″(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਮੁੱਲ x=−2,x=−2, x=0,x=0, ਅਤੇ x=2x=2 ਸੰਭਾਵੀ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਅੰਤਰਾਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | f″(x)=6x2+2(1−x2)3f″(x)=6x2+2(1−x2)3 ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
(−∞,−1) | x=−2 | +/−=− | f ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਉੱਤਲ ਹੈ।
(−1,−1) | x=0 | +/+=++ | f ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਉੱਤਲ ਹੈ।
(1,∞) | x=2 | +/−=− | f ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਉੱਤਲ ਹੈ।
ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੂਚਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, ਭਾਵੇਂ f, x=−1 ਅਤੇ x=1 'ਤੇ ਉੱਤਲਤਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋਨਾਂ ਥਾਵਾਂ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ f, x=−1 ਜਾਂ x=1 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.28
f(x)=(3x+5)(8+4x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.30
ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਤਿਰਛਾ ਅਸੀਮਟੋਟ ਹੋਵੇ
f(x)=x²(x−1) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1. f ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ x=1 ਦੇ।
ਕਦਮ 2. ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭੋ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ x=0, f(x)=0, ਇਸ ਲਈ (0,0) ਹੀ ਇਕਲੌਤਾ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
ਕਦਮ 3. ਅਨੰਤ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਹਾਰ ਦਾ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ, f ਦਾ ਇੱਕ ਤਿਰਛਾ ਅਸੀਮਟੋਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਤਿਰਛੇ ਅਸੀਮਟੋਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਲੰਬੇ ਭਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਕਿਉਂਕਿ 1/(x−1)→0 ਜਦੋਂ x→±∞, f(x) ਲਾਈਨ y=x+1 ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x→±∞। ਲਾਈਨ y=x+1, f ਲਈ ਇੱਕ ਤਿਰਛਾ ਅਸੀਮਟੋਟ ਹੈ।
ਕਦਮ 4. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੇਖੋ ਕਿ ਹਾਰ ਕਿੱਥੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਹਾਰ x=1 'ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਜਦੋਂ x→1, ਦੋਨੋਂ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਲਈ, x=1 ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੀਮਟੋਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ f ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x, 1 ਦੇ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 5. ਪਹਿਲੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
ਸਾਡੇ ਕੋਲ f′(x)=0 ਹੈ ਜਦੋਂ x²−2x=x(x−2)=0। ਇਸ ਲਈ, x=0 ਅਤੇ x=2 ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ f, x=1 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇੰਟਰਵਲ (−∞,∞) ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਇੰਟਰਵਲਾਂ (−∞,0), (0,1), (1,2), ਅਤੇ (2,∞) ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਇੰਟਰਵਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਚੁਣ ਕੇ ਇਹਨਾਂ ਛੋਟੇ ਇੰਟਰਵਲਾਂ ਵਿੱਚ f′(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, x=−1, x=1/2, x=3/2, ਅਤੇ x=3 ਨੂੰ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਵਜੋਂ ਲਓ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੰਟਰਵਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | f′(x)=x²−2x/(x−1)²=x(x−2)/(x−1)² ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
(−∞,0) | x=−1 | (−)(−)/+=+ | f ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
(0,1) | x=1/2 | (+)(−)/+=− | f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
(1,2) | x=3/2 | (+)(−)/+=− | f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
(2,∞) | x=3 | (+)(+)/+=+ | f ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f ਦਾ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਅਤੇ x=2 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨੀਮਮ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ 'ਤੇ f ਦਾ ਮੁੱਲ f(0)=0 ਹੈ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨੀਮਮ 'ਤੇ f ਦਾ ਮੁੱਲ f(2)=4 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, (0,0) ਅਤੇ (2,4) ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
6. ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
8. ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f″(x) f″(x) f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ xx ਲਈ ਕਦੇ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਜਾਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f, x=1 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਅਵਤਲਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞) ਨੂੰ ਦੋ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (−∞,1) ਅਤੇ (1,∞) ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ f″(x) f″(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਮੁੱਲ x=0 ਅਤੇ x=2 ਸੰਭਾਵੀ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
10. ਅੰਤਰਾਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | f″(x)=2(x−1)3 f″(x)=2(x−1)3 ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
12. (−∞,1) | x=0 | +/−=− | f, ਅਵਤਲ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।
14. (1,∞) | x=2 | +/+=+ | f, ਅਵਤਲ ਉੱਪਰ ਹੈ।
16. ਇਕੱਠੀ ਕੀਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ f ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ।
18. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.29
20. f(x)=(3x3−2x+1)(2x2−4) ਲਈ ਤਿਰਛੀ ਅਸਮਤੋਟ ਲੱਭੋ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 4.31
24. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਸਪ ਨਾਲ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
26. f(x)=(x−1)2/3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
28. ਹੱਲ
30. ਕਦਮ 1. ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਊਬ-ਰੂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ xx ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ (x−1)2/3=(x−13)2, f ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ।
32. ਕਦਮ 2: y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, f(0) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ f(0)=1, y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,1) ਹੈ। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, (x−1)2/3=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ x=1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (1,0) ਹੈ।
34. ਕਦਮ 3: ਕਿਉਂਕਿ limx→±∞(x−1)2/3=∞, ਫੰਕਸ਼ਨ x→∞ ਅਤੇ x→−∞ ਵਾਂਗ ਬੇਅੰਤ ਵਧਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
36. ਕਦਮ 4: ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕੋਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ ਹੈ।
38. ਕਦਮ 5: ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ f ਕਿੱਥੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, f′ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
40. ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਤੇ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ x=1 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਕਲੌਤਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ x=1 ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞) ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (−∞,1) ਅਤੇ (1,∞) ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਚੁਣੋ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ f′(x) f′(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ। x=0 ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ ਮੰਨੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
42. ਅੰਤਰਾਲ | ਟੈਸਟ ਪੁਆਇੰਟ | f′(x)=23(x−1)1/3 f′(x)=23(x−1)1/3 ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸਿੱਟਾ
44. (−∞,1) | x=0 | +/−=− | f, ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
46. (1,∞) | x=2 | +/+=+ | f, ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
48. ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f, x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ। x=1 'ਤੇ f ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 'ਤੇ f ਦਾ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f′(1) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ limx→1f′(x) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ-ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
50. ਇਸ ਲਈ, f, x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਸਪ ਹੈ।
52. ਕਦਮ 6: ਅਵਤਲਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ f:f: ਦੀ ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
We find that f″(x)f″(x) is defined for all x,x, but is undefined when x=1.x=1. Therefore, divide the interval (−∞,∞)(−∞,∞) into the smaller intervals (−∞,1)(−∞,1) and (1,∞),(1,∞), and choose test points to evaluate the sign of f″(x)f″(x) in each of these intervals. As we did earlier, let x=0x=0 and x=2x=2 be test points as shown in the following table.
row: Interval | Test Point | Sign of f″(x)=−29(x−1)4/3f″(x)=−29(x−1)4/3 | Conclusion
row: (−∞,1)(−∞,1) | x=0x=0 | −/+=−−/+=− | ff is concave down.
row: (1,∞)(1,∞) | x=2x=2 | −/+=−−/+=− | ff is concave down.
From this table, we conclude that ff is concave down everywhere. Combining all of this information, we arrive at the following graph for f.f.
Checkpoint 4.30
Consider the function f(x)=5−x2/3.f(x)=5−x2/3. Determine the point on the graph where a cusp is located. Determine the end behavior of f.f.
For the following exercises, examine the graphs. Identify where the vertical asymptotes are located.
For the following functions f(x),f(x), determine whether there is an asymptote at x=a.x=a. Justify your answer without graphing on a calculator.
f ( x ) = x + 1 x 2 + 5 x + 4 , a = −1 f ( x ) = x + 1 x 2 + 5 x + 4 , a = −1
f ( x ) = x x − 2 , a = 2 f ( x ) = x x − 2 , a = 2
f ( x ) = ( x + 2 ) 3 / 2 , a = −2 f ( x ) = ( x + 2 ) 3 / 2 , a = −2
f ( x ) = ( x − 1 ) −1 / 3 , a = 1 f ( x ) = ( x − 1 ) −1 / 3 , a = 1
f ( x ) = 1 + x −2 / 5 , a = 1 f ( x ) = 1 + x −2 / 5 , a = 1
For the following exercises, evaluate the limit.
lim x → ∞ 1 3 x + 6 lim x → ∞ 1 3 x + 6
lim x → ∞ 2 x − 5 4 x lim x → ∞ 2 x − 5 4 x
lim x → ∞ x 2 − 2 x + 5 x + 2 lim x → ∞ x 2 − 2 x + 5 x + 2
lim x → − ∞ 3 x 3 − 2 x x 2 + 2 x + 8 lim x → − ∞ 3 x 3 − 2 x x 2 + 2 x + 8
lim x → − ∞ x 4 − 4 x 3 + 1 2 − 2 x 2 − 7 x 4 lim x → − ∞ x 4 − 4 x 3 + 1 2 − 2 x 2 − 7 x 4
lim x → ∞ 3 x x 2 + 1 lim x → ∞ 3 x x 2 + 1
lim x → − ∞ 4 x 2 − 1 x + 2 lim x → − ∞ 4 x 2 − 1 x + 2
lim x → ∞ 4 x x 2 − 1 lim x → ∞ 4 x x 2 − 1
lim x → − ∞ 4 x x 2 − 1 lim x → − ∞ 4 x x 2 − 1
lim x → ∞ 2 x x − x + 1 lim x → ∞ 2 x x − x + 1
For the following exercises, find the horizontal and vertical asymptotes.
f ( x ) = x − 9 x f ( x ) = x − 9 x
f ( x ) = 1 1 − x 2 f ( x ) = 1 1 − x 2
f ( x ) = x 3 4 − x 2 f ( x ) = x 3 4 − x 2
f ( x ) = x 2 + 3 x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 3 x 2 + 1
f ( x ) = sin ( x ) sin ( 2 x ) f ( x ) = sin ( x ) sin ( 2 x )
f ( x ) = cos x + cos ( 3 x ) + cos ( 5 x ) f ( x ) = cos x + cos ( 3 x ) + cos ( 5 x )
f ( x ) = x sin ( x ) x 2 − 1 f ( x ) = x sin ( x ) x 2 − 1
f ( x ) = x sin ( x ) f ( x ) = x sin ( x )
f ( x ) = 1 x 3 + x 2 f ( x ) = 1 x 3 + x 2
f ( x ) = 1 x − 1 − 2 x f ( x ) = 1 x − 1 − 2 x
f ( x ) = x 3 + 1 x 3 − 1 f ( x ) = x 3 + 1 x 3 − 1
f ( x ) = sin x + cos x sin x − cos x f ( x ) = sin x + cos x sin x − cos x
f ( x ) = x − sin x f ( x ) = x − sin x
f ( x ) = 1 x − x f ( x ) = 1 x − x
For the following exercises, construct a function f(x)f(x) that has the given asymptotes.
x=1x=1 and y=2y=2
x=1x=1 and y=0y=0
y=4,y=4, x=−1x=−1
x = 0 x = 0
For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window x=[−5,5]x=[−5,5] and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.
[T] f(x)=1x+10f(x)=1x+10
[T] f(x)=x+1x2+7x+6f(x)=x+1x2+7x+6
[T] limx→−∞x2+10x+25limx→−∞x2+10x+25
[T] limx→−∞x+2x2+7x+6limx→−∞x+2x2+7x+6
[T] limx→∞3x+2x+5limx→∞3x+2x+5
For the following exercises, draw a graph of the functions without using a calculator. Be sure to notice all important features of the graph: local maxima and minima, inflection points, and asymptotic behavior.
y = 3 x 2 + 2 x + 4 y = 3 x 2 + 2 x + 4
y = x 3 − 3 x 2 + 4 y = x 3 − 3 x 2 + 4
y = 2 x + 1 x 2 + 6 x + 5 y = 2 x + 1 x 2 + 6 x + 5
y = x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 x + 9 y = x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 x + 9
y = x 2 + x − 2 x 2 − 3 x − 4 y = x 2 + x − 2 x 2 − 3 x − 4
y = x 2 − 5 x + 4 y = x 2 − 5 x + 4
y = 2 x 16 − x 2 y = 2 x 16 − x 2
y=cosxx,y=cosxx, on x=[−2π,2π]x=[−2π,2π]
y = x 2 + 2 x + 1 y = x 2 + 2 x + 1
y = x tan x , x = [ − π , π ] y = x tan x , x = [ − π , π ]
y = x ln ( x ) , x > 0 y = x ln ( x ) , x > 0
y = x 2 sin ( x ) , x = [ −2 π , 2 π ] y = x 2 sin ( x ) , x = [ −2 π , 2 π ]
For f(x)=P(x)Q(x)f(x)=P(x)Q(x) to have an asymptote at y=2y=2 then the polynomials P(x)P(x) and Q(x)Q(x) must have what relation?
For f(x)=P(x)Q(x)f(x)=P(x)Q(x) to have an asymptote at x=0,x=0, then the polynomials P(x)P(x) and Q(x).Q(x). must have what relation?
If f′(x)f′(x) has asymptotes at y=3y=3 and x=1,x=1, then f(x)f(x) has what asymptotes?
Both f(x)=1(x−1)f(x)=1(x−1) and g(x)=1(x−1)2g(x)=1(x−1)2 have asymptotes at x=1x=1 and y=0.y=0. What is the most obvious difference between these two functions?
True or false: Every ratio of polynomials has vertical asymptotes.