Learning Objectives
4.8.1 Recognize when to apply L’Hôpital’s rule.
4.8.2 Identify indeterminate forms produced by quotients, products, subtractions, and powers, and apply L’Hôpital’s rule in each case.
4.8.3 Describe the relative growth rates of functions.
In this section, we examine a powerful tool for evaluating limits. This tool, known as L’Hôpital’s rule, uses derivatives to calculate limits. With this rule, we will be able to evaluate many limits we have not yet been able to determine. Instead of relying on numerical evidence to conjecture that a limit exists, we will be able to show definitively that a limit exists and to determine its exact value.
Applying L’Hôpital’s Rule
L’Hôpital’s rule can be used to evaluate limits involving the quotient of two functions. Consider
If limx→af(x)=L1andlimx→ag(x)=L2≠0,limx→af(x)=L1andlimx→ag(x)=L2≠0, then
However, what happens if limx→af(x)=0limx→af(x)=0 and limx→ag(x)=0?limx→ag(x)=0? We call this one of the indeterminate forms, of type 00.00. This is considered an indeterminate form because we cannot determine the exact behavior of f(x)g(x)f(x)g(x) as x→ax→a without further analysis. We have seen examples of this earlier in the text. For example, consider
For the first of these examples, we can evaluate the limit by factoring the numerator and writing
For limx→0sinxxlimx→0sinxx we were able to show, using a geometric argument, that
Here we use a different technique for evaluating limits such as these. Not only does this technique provide an easier way to evaluate these limits, but also, and more important, it provides us with a way to evaluate many other limits that we could not calculate previously.
The idea behind L’Hôpital’s rule can be explained using local linear approximations. Consider two differentiable functions ff and gg such that limx→af(x)=0=limx→ag(x)limx→af(x)=0=limx→ag(x) and such that g′(a)≠0g′(a)≠0 For xx near a,a, we can write
and
Therefore,
Figure 4.71: If limx→af(x)=limx→ag(x),limx→af(x)=limx→ag(x), then the ratio f(x)/g(x)f(x)/g(x) is approximately equal to the ratio of their linear approximations near a.a.
Since ff is differentiable at a,a, then ff is continuous at a,a, and therefore f(a)=limx→af(x)=0.f(a)=limx→af(x)=0. Similarly, g(a)=limx→ag(x)=0.g(a)=limx→ag(x)=0. If we also assume that f′f′ and g′g′ are continuous at x=a,x=a, then f′(a)=limx→af′(x)f′(a)=limx→af′(x) and g′(a)=limx→ag′(x).g′(a)=limx→ag′(x). Using these ideas, we conclude that
Note that the assumption that f′f′ and g′g′ are continuous at aa and g′(a)≠0g′(a)≠0 can be loosened. We state L’Hôpital’s rule formally for the indeterminate form 00.00. Also note that the notation 0000 does not mean we are actually dividing zero by zero. Rather, we are using the notation 0000 to represent a quotient of limits, each of which is zero.
Theorem 4.12
L’Hôpital’s Rule (0/0 Case)
Suppose ff and gg are differentiable functions over an open interval containing a,a, except possibly at a.a. If limx→af(x)=0limx→af(x)=0 and limx→ag(x)=0,limx→ag(x)=0, then
assuming the limit on the right exists or is ∞∞ or −∞.−∞. This result also holds if we are considering one-sided limits, or if a=∞and−∞.a=∞and−∞.
Proof
We provide a proof of this theorem in the special case when f,g,f′,f,g,f′, and g′g′ are all continuous over an open interval containing a.a. In that case, since limx→af(x)=0=limx→ag(x)limx→af(x)=0=limx→ag(x) and ff and gg are continuous at a,a, it follows that f(a)=0=g(a).f(a)=0=g(a). Therefore,
Note that L’Hôpital’s rule states we can calculate the limit of a quotient fgfg by considering the limit of the quotient of the derivatives f′g′.f′g′. It is important to realize that we are not calculating the derivative of the quotient fg.fg.
□
Example 4.38
Applying L’Hôpital’s Rule (0/0 Case)
Evaluate each of the following limits by applying L’Hôpital’s rule.
limx→01−cosxxlimx→01−cosxx
limx→1sin(πx)lnxlimx→1sin(πx)lnx
limx→∞e1/x−11/xlimx→∞e1/x−11/x
limx→0sinx−xx2limx→0sinx−xx2
Solution
Since the numerator 1−cosx→01−cosx→0 and the denominator x→0,x→0, we can apply L’Hôpital’s rule to evaluate this limit. We have limx→01−cosxx=limx→0ddx(1−cosx)ddx(x)=limx→0sinx1=limx→0(sinx)limx→0(1)=01=0.limx→01−cosxx=limx→0ddx(1−cosx)ddx(x)=limx→0sinx1=limx→0(sinx)limx→0(1)=01=0.
As x→1,x→1, the numerator sin(πx)→0sin(πx)→0 and the denominator ln(x)→0.ln(x)→0. Therefore, we can apply L’Hôpital’s rule. We obtain limx→1sin(πx)lnx=limx→1πcos(πx)1/x=limx→1(πx)cos(πx)=(π·1)(−1)=−π.limx→1sin(πx)lnx=limx→1πcos(πx)1/x=limx→1(πx)cos(πx)=(π·1)(−1)=−π.
As x→∞,x→∞, the numerator e1/x−1→0e1/x−1→0 and the denominator (1x)→0.(1x)→0. Therefore, we can apply L’Hôpital’s rule. We obtain limx→∞e1/x−11x=limx→∞e1/x(−1x2)(−1x2)=limx→∞e1/x=e0=1.limx→∞e1/x−11x=limx→∞e1/x(−1x2)(−1x2)=limx→∞e1/x=e0=1.
As x→0,x→0, both the numerator and denominator approach zero. Therefore, we can apply L’Hôpital’s rule. We obtain limx→0sinx−xx2=limx→0cosx−12x.limx→0sinx−xx2=limx→0cosx−12x. Since the numerator and denominator of this new quotient both approach zero as x→0,x→0, we apply L’Hôpital’s rule again. In doing so, we see that limx→0cosx−12x=limx→0−sinx2=0.limx→0cosx−12x=limx→0−sinx2=0. Therefore, we conclude that limx→0sinx−xx2=0.limx→0sinx−xx2=0.
Checkpoint 4.37
Evaluate limx→0xtanx.limx→0xtanx.
We can also use L’Hôpital’s rule to evaluate limits of quotients f(x)g(x)f(x)g(x) in which f(x)→±∞f(x)→±∞ and g(x)→±∞.g(x)→±∞. Limits of this form are classified as indeterminate forms of type ∞/∞.∞/∞. Again, note that we are not actually dividing ∞∞ by ∞.∞. Since ∞∞ is not a real number, that is impossible; rather, ∞/∞.∞/∞. is used to represent a quotient of limits, each of which is ∞∞ or −∞.−∞.
Theorem 4.13
L’Hôpital’s Rule (∞/∞(∞/∞ Case)
Suppose ff and gg are differentiable functions over an open interval containing a,a, except possibly at a.a. Suppose limx→af(x)=∞limx→af(x)=∞ (or −∞)−∞) and limx→ag(x)=∞limx→ag(x)=∞ (or −∞).−∞). Then,
assuming the limit on the right exists or is ∞∞ or −∞.−∞. This result also holds if the limit is infinite, if a=∞a=∞ or −∞,−∞, or the limit is one-sided.
Example 4.39
Applying L’Hôpital’s Rule (∞/∞(∞/∞ Case)
Evaluate each of the following limits by applying L’Hôpital’s rule.
limx→∞3x+52x+1limx→∞3x+52x+1
limx→0+lnxcotxlimx→0+lnxcotx
Solution
Since 3x+53x+5 and 2x+12x+1 are first-degree polynomials with positive leading coefficients, limx→∞(3x+5)=∞limx→∞(3x+5)=∞ and limx→∞(2x+1)=∞.limx→∞(2x+1)=∞. Therefore, we apply L’Hôpital’s rule and obtain limx→∞3x+52x+1=limx→∞32=32.limx→∞3x+52x+1=limx→∞32=32. Note that this limit can also be calculated without invoking L’Hôpital’s rule. Earlier in the chapter we showed how to evaluate such a limit by dividing the numerator and denominator by the highest power of xx in the denominator. In doing so, we saw that limx→∞3x+52x+1=limx→∞3+5/x2+1/x=32.limx→∞3x+52x+1=limx→∞3+5/x2+1/x=32. L’Hôpital’s rule provides us with an alternative means of evaluating this type of limit.
Here, limx→0+lnx=−∞limx→0+lnx=−∞ and limx→0+cotx=∞.limx→0+cotx=∞. Therefore, we can apply L’Hôpital’s rule and obtain limx→0+lnxcotx=limx→0+1/x−csc2x=limx→0+1−xcsc2x.limx→0+lnxcotx=limx→0+1/x−csc2x=limx→0+1−xcsc2x. Now as x→0+,x→0+, csc2x→∞.csc2x→∞. Therefore, the first term in the denominator is approaching zero and the second term is getting really large. In such a case, anything can happen with the product. Therefore, we cannot make any conclusion yet. To evaluate the limit, we use the definition of cscxcscx to write limx→0+1−xcsc2x=limx→0+sin2x−x.limx→0+1−xcsc2x=limx→0+sin2x−x. Now limx→0+sin2x=0limx→0+sin2x=0 and limx→0+x=0,limx→0+x=0, so we apply L’Hôpital’s rule again. We find limx→0+sin2x−x=limx→0+2sinxcosx−1=0−1=0.limx→0+sin2x−x=limx→0+2sinxcosx−1=0−1=0. We conclude that limx→0+lnxcotx=0.limx→0+lnxcotx=0.
Checkpoint 4.38
Evaluate limx→∞lnx5x.limx→∞lnx5x.
As mentioned, L’Hôpital’s rule is an extremely useful tool for evaluating limits. It is important to remember, however, that to apply L’Hôpital’s rule to a quotient f(x)g(x),f(x)g(x), it is essential that the limit of f(x)g(x)f(x)g(x) be of the form 0000 or ∞/∞.∞/∞. Consider the following example.
Example 4.40
When L’Hôpital’s Rule Does Not Apply
Consider limx→1x2+53x+4.limx→1x2+53x+4. Show that the limit cannot be evaluated by applying L’Hôpital’s rule.
Solution
Because the limits of the numerator and denominator are not both zero and are not both infinite, we cannot apply L’Hôpital’s rule. If we try to do so, we get
and
At which point we would conclude erroneously that
However, since limx→1(x2+5)=6limx→1(x2+5)=6 and limx→1(3x+4)=7,limx→1(3x+4)=7, we actually have
We can conclude that
Checkpoint 4.39
Explain why we cannot apply L’Hôpital’s rule to evaluate limx→0+cosxx.limx→0+cosxx. Evaluate limx→0+cosxxlimx→0+cosxx by other means.
Other Indeterminate Forms
L’Hôpital’s rule is very useful for evaluating limits involving the indeterminate forms 0000 and ∞/∞.∞/∞. However, we can also use L’Hôpital’s rule to help evaluate limits involving other indeterminate forms that arise when evaluating limits. The expressions 0·∞,0·∞, ∞−∞,∞−∞, 1∞,1∞, ∞0,∞0, and 0000 are all considered indeterminate forms. These expressions are not real numbers. Rather, they represent forms that arise when trying to evaluate certain limits. Next we realize why these are indeterminate forms and then understand how to use L’Hôpital’s rule in these cases. The key idea is that we must rewrite the indeterminate forms in such a way that we arrive at the indeterminate form 0000 or ∞/∞.∞/∞.
Indeterminate Form of Type 0·∞0·∞
Suppose we want to evaluate limx→a(f(x)·g(x)),limx→a(f(x)·g(x)), where f(x)→0f(x)→0 and g(x)→∞g(x)→∞ (or −∞)−∞) as x→a.x→a. Since one term in the product is approaching zero but the other term is becoming arbitrarily large (in magnitude), anything can happen to the product. We use the notation 0·∞0·∞ to denote the form that arises in this situation. The expression 0·∞0·∞ is considered indeterminate because we cannot determine without further analysis the exact behavior of the product f(x)g(x)f(x)g(x) as x→a.x→a. For example, let nn be a positive integer and consider
As x→∞,x→∞, f(x)→0f(x)→0 and g(x)→∞.g(x)→∞. However, the limit as x→∞x→∞ of f(x)g(x)=3x2(xn+1)f(x)g(x)=3x2(xn+1) varies, depending on n.n. If n=2,n=2, then limx→∞f(x)g(x)=3.limx→∞f(x)g(x)=3. If n=1,n=1, then limx→∞f(x)g(x)=∞.limx→∞f(x)g(x)=∞. If n=3,n=3, then limx→∞f(x)g(x)=0.limx→∞f(x)g(x)=0. Here we consider another limit involving the indeterminate form 0·∞0·∞ and show how to rewrite the function as a quotient to use L’Hôpital’s rule.
4.41 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
0·∞ ਰੂਪ ਦੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ
limx→0+xlnx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ xlnx ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਤਾਂ ਜੋ L’Hôpital ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ x→0+ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ lnx→−∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ x→0+ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ 1x→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ L’Hôpital ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਚਿੱਤਰ 4.72: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=xlnx ਦਾ x=0 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣਾ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.40
limx→0xcotx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
∞−∞ ਰੂਪ ਦੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੂਪ ∞−∞ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ f(x)=3xn ਅਤੇ g(x)=3x2+5 ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x→∞, f(x)→∞ ਅਤੇ g(x)→∞। ਅਸੀਂ limx→∞(f(x)−g(x)) ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x) ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, g(x) ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਉਹ ਇੱਕੋ ਰੇਟ 'ਤੇ ਵਧਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f(x)→∞ ਅਤੇ g(x)→∞, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੀਮਾ ਦੇ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ∞−∞ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡੇ ਹੋਰ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪਾਂ ਵਾਂਗ, ∞−∞ ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=3xn ਵਿੱਚ ਘਾਤ n=3 ਹੈ, ਤਾਂ
ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇ n=2, ਤਾਂ
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇ n=1, ਤਾਂ
ਇਸ ਲਈ, ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ∞−∞ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ L’Hôpital ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ∞−∞ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਕਿਵੇਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ ਹੈ।
4.42 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
∞−∞ ਰੂਪ ਦੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ
limx→0+(1x2−1tanx) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਭਾਗਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ x2tanx ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ x→0+, ਅੰਸ਼ tanx−x2→0 ਅਤੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ x2tanx→0। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ L’Hôpital ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈ ਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ x→0+, (sec2x)−2x→1 ਅਤੇ x2sec2x+2xtanx→0। ਕਿਉਂਕਿ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੇ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਧਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.41
1. limx→0+(1x−1sinx) ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਜੋ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਉਭਰਦੀ ਹੈ, ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। 00, ∞0, ਅਤੇ 1∞ ਵਰਗੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ ਹਨ। ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਰਥਹੀਣ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਵਾਂਗ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਸਗੋਂ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਜਿਹੇ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਵੇਲੇ ਉਭਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ L’Hôpital’s rule ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
3. ਕਿਉਂਕਿ L’Hôpital’s rule ਭਾਗਫਲ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ limx→af(x)g(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ∞0 ਦਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। (00 ਅਤੇ 1∞ ਦੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਭਾਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।) ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ
4. ਫਿਰ,
5. ਇਸ ਲਈ,
6. ਕਿਉਂਕਿ limx→af(x)=∞, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limx→aln(f(x))=∞। ਇਸ ਲਈ, limx→ag(x)ln(f(x)) 0·∞ ਦੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ g(x)ln(f(x)) ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ L’Hôpital’s rule ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ limx→ag(x)ln(f(x))=L, ਜਿੱਥੇ L, ∞ ਜਾਂ −∞ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ
7. ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
8. ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
9. ਉਦਾਹਰਨ 4.43
10. ∞0 ਕਿਸਮ ਦਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ
11. limx→∞x1/x ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. ਮੰਨ ਲਓ y=x1/x। ਫਿਰ,
14. ਸਾਨੂੰ limx→∞lnxx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। L’Hôpital’s rule ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
15. ਇਸ ਲਈ, limx→∞lny=0। ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
16. ਜੋ ਅਗਵਾਈ ਕਰਦਾ ਹੈ
17. ਇਸ ਲਈ,
18. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.42
19. limx→∞x1/ln(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 4.44
21. 00 ਕਿਸਮ ਦਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ
22. limx→0+xsinx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
23. ਹੱਲ
24. ਮੰਨ ਲਓ
ਇਸ ਲਈ,
ਅਸੀਂ ਹੁਣ limx→0+sinxlnx ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ limx→0+sinx=0 ਅਤੇ limx→0+lnx=−∞, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ 0·∞ ਹੈ। L’Hôpital ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ sinxlnx ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਜਾਂ
ਪਹਿਲੇ ਵਿਕਲਪ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, L’Hôpital ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ
ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ 0·∞ ਦੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਨਵਾਂ ਸੀਮਾ ਮੁੱਲ ਉਸ ਨਾਲੋਂ ਵੀ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਵਿਕਲਪ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ L’Hôpital ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ cscx=1sinx ਅਤੇ cotx=cosxsinx, ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limx→0+lny=0। ਇਸ ਲਈ, ln(limx→0+y)=0 ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.43
limx→0+xx ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਾਧਾ ਦਰ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਅਤੇ gg ਦੋਵੇਂ x→∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਭਾਵੇਂ ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ xx ਦੇ ਮੁੱਲ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=x2 ਅਤੇ g(x)=x3 ਦੋਵੇਂ x→∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, x3 ਦੇ ਮੁੱਲ x2 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧ ਰਹੇ ਹਨ।
ਸਤਰ: xx | 10 | 100 | 1000 | 10,000
ਸਤਰ: f(x)=x2 | 100 | 10,000 | 1,000,000 | 100,000,000
ਸਤਰ: g(x)=x3 | 1000 | 1,000,000 | 1,000,000,000 | 1,000,000,000,000
ਦਰਅਸਲ,
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x3, x→∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ x2 ਨਾਲੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, f(x)=x2 ਅਤੇ g(x)=3x2+4x+1 ਲਈ, ਭਾਵੇਂ x>0 ਲਈ g(x) ਦੇ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ f(x) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, g(x) ਦਾ ਹਰ ਮੁੱਲ x→∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ f(x) ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲ ਦਾ ਲਗਭਗ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ,
ਸਤਰ: xx | 10 | 100 | 1000 | 10,000
ਸਤਰ: f(x)=x2 | 100 | 10,000 | 1,000,000 | 100,000,000
ਸਤਰ: g(x)=3x2+4x+1 | 341 | 30,401 | 3,004,001 | 300,040,001
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x2 ਅਤੇ 3x2+4x+1, x→∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਹੇ ਹਨ।
ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ff ਅਤੇ gg ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜੋ x→∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ gg, x→∞ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ff ਨਾਲੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ
ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸਥਿਰ M≠0 ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ
we say ff and gg grow at the same rate as x→∞.x→∞.
Next we see how to use L’Hôpital’s rule to compare the growth rates of power, exponential, and logarithmic functions.
Example 4.45
Comparing the Growth Rates of ln(x),ln(x), x2,x2, and exex
For each of the following pairs of functions, use L’Hôpital’s rule to evaluate limx→∞(f(x)g(x)).limx→∞(f(x)g(x)).
f(x)=x2andg(x)=exf(x)=x2andg(x)=ex
f(x)=ln(x)andg(x)=x2f(x)=ln(x)andg(x)=x2
Solution
Since limx→∞x2=∞limx→∞x2=∞ and limx→∞ex=∞,limx→∞ex=∞, we can use L’Hôpital’s rule to evaluate limx→∞[x2ex].limx→∞[x2ex]. We obtain limx→∞x2ex=limx→∞2xex.limx→∞x2ex=limx→∞2xex. Since limx→∞2x=∞limx→∞2x=∞ and limx→∞ex=∞,limx→∞ex=∞, we can apply L’Hôpital’s rule again. Since limx→∞2xex=limx→∞2ex=0,limx→∞2xex=limx→∞2ex=0, we conclude that limx→∞x2ex=0.limx→∞x2ex=0. Therefore, exex grows more rapidly than x2x2 as x→∞x→∞ (See Figure 4.73 and Table 4.9). Figure 4.73 An exponential function grows at a faster rate than a power function. xx 55 1010 1515 2020 x2x2 2525 100100 225225 400400 exex 148148 22,02622,026 3,269,0173,269,017 485,165,195485,165,195 Table 4.9 Growth rates of a power function and an exponential function.
Since limx→∞lnx=∞limx→∞lnx=∞ and limx→∞x2=∞,limx→∞x2=∞, we can use L’Hôpital’s rule to evaluate limx→∞lnxx2.limx→∞lnxx2. We obtain limx→∞lnxx2=limx→∞1/x2x=limx→∞12x2=0.limx→∞lnxx2=limx→∞1/x2x=limx→∞12x2=0. Thus, x2x2 grows more rapidly than lnxlnx as x→∞x→∞ (see Figure 4.74 and Table 4.10). Figure 4.74 A power function grows at a faster rate than a logarithmic function. xx 1010 100100 10001000 10,00010,000 ln(x)ln(x) 2.3032.303 4.6054.605 6.9086.908 9.2109.210 x2x2 100100 10,00010,000 1,000,0001,000,000 100,000,000100,000,000 Table 4.10 Growth rates of a power function and a logarithmic function
Checkpoint 4.44
Compare the growth rates of x100x100 and 2x.2x.
Using the same ideas as in Example 4.45a. it is not difficult to show that exex grows more rapidly than xpxp for any p>0.p>0. In Figure 4.75 and Table 4.11, we compare exex with x3x3 and x4x4 as x→∞.x→∞.
Figure 4.75: The exponential function exex grows faster than xpxp for any p>0.p>0. (a) A comparison of exex with x3.x3. (b) A comparison of exex with x4.x4.
row: xx | 55 | 1010 | 1515 | 2020
row: x3x3 | 125125 | 10001000 | 33753375 | 80008000
row: x4x4 | 625625 | 10,00010,000 | 50,62550,625 | 160,000160,000
row: exex | 148148 | 22,02622,026 | 3,269,0173,269,017 | 485,165,195485,165,195
Similarly, it is not difficult to show that xpxp grows more rapidly than lnxlnx for any p>0.p>0. In Figure 4.76 and Table 4.12, we compare lnxlnx with x3x3 and x.x.
Figure 4.76: The function y=ln(x)y=ln(x) grows more slowly than xpxp for any p>0p>0 as x→∞.x→∞.
row: xx | 1010 | 100100 | 10001000 | 10,00010,000
row: ln(x)ln(x) | 2.3032.303 | 4.6054.605 | 6.9086.908 | 9.2109.210
row: x3x3 | 2.1542.154 | 4.6424.642 | 1010 | 21.54421.544
row: xx | 3.1623.162 | 1010 | 31.62331.623 | 100100
For the following exercises, evaluate the limit.
Evaluate the limit limx→∞exx.limx→∞exx.
Evaluate the limit limx→∞exxk.limx→∞exxk.
Evaluate the limit limx→∞lnxxk.limx→∞lnxxk.
Evaluate the limit limx→ax−ax2−a2,a≠0limx→ax−ax2−a2,a≠0.
Evaluate the limit limx→ax−ax3−a3,a≠0limx→ax−ax3−a3,a≠0.
Evaluate the limit limx→ax−axn−an,a≠0limx→ax−axn−an,a≠0.
For the following exercises, determine whether you can apply L’Hôpital’s rule directly. Explain why or why not. Then, indicate if there is some way you can alter the limit so you can apply L’Hôpital’s rule.
lim x → 0 + x 2 ln x lim x → 0 + x 2 ln x
lim x → ∞ x 1 / x lim x → ∞ x 1 / x
lim x → 0 x 2 / x lim x → 0 x 2 / x
lim x → 0 x 2 1 / x lim x → 0 x 2 1 / x
lim x → ∞ e x x lim x → ∞ e x x
For the following exercises, evaluate the limits with either L’Hôpital’s rule or previously learned methods.
lim x → 3 x 2 − 9 x − 3 lim x → 3 x 2 − 9 x − 3
lim x → 3 x 2 − 9 x + 3 lim x → 3 x 2 − 9 x + 3
lim x → 0 ( 1 + x ) −2 − 1 x lim x → 0 ( 1 + x ) −2 − 1 x
lim x → π / 2 cos x π 2 − x lim x → π / 2 cos x π 2 − x
lim x → π x − π sin x lim x → π x − π sin x
lim x → 1 x − 1 sin x lim x → 1 x − 1 sin x
lim x → 0 ( 1 + x ) n − 1 x lim x → 0 ( 1 + x ) n − 1 x
lim x → 0 ( 1 + x ) n − 1 − n x x 2 lim x → 0 ( 1 + x ) n − 1 − n x x 2
lim x → 0 sin x − tan x x 3 lim x → 0 sin x − tan x x 3
lim x → 0 1 + x − 1 − x x lim x → 0 1 + x − 1 − x x
lim x → 0 e x − x − 1 x 2 lim x → 0 e x − x − 1 x 2
lim x → 0 + tan x x lim x → 0 + tan x x
lim x → 1 x − 1 ln x lim x → 1 x − 1 ln x
lim x → 0 ( x + 1 ) 1 / x lim x → 0 ( x + 1 ) 1 / x
lim x → 1 x − x 3 x − 1 lim x → 1 x − x 3 x − 1
lim x → 0 + x 2 x lim x → 0 + x 2 x
lim x → ∞ x sin ( 1 x ) lim x → ∞ x sin ( 1 x )
lim x → 0 sin x − x x 2 lim x → 0 sin x − x x 2
lim x → 0 + x ln ( x 4 ) lim x → 0 + x ln ( x 4 )
lim x → ∞ ( x − e x ) lim x → ∞ ( x − e x )
lim x → ∞ x 2 e − x lim x → ∞ x 2 e − x
lim x → 0 3 x − 2 x x lim x → 0 3 x − 2 x x
lim x → 0 1 + 1 / x 1 − 1 / x lim x → 0 1 + 1 / x 1 − 1 / x
lim x → π / 4 ( 1 − tan x ) cot x lim x → π / 4 ( 1 − tan x ) cot x
lim x → ∞ x e 1 / x lim x → ∞ x e 1 / x
lim x → 0 + x 1 / cos x lim x → 0 + x 1 / cos x
lim x → 0 + x 1 / x lim x → 0 + x 1 / x
lim x → 0 - ( 1 − 1 x ) x lim x → 0 - ( 1 − 1 x ) x
lim x → ∞ ( 1 − 1 x ) x lim x → ∞ ( 1 − 1 x ) x
For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.
[T] limx→0ex−1xlimx→0ex−1x
[T] limx→0xsin(1x)limx→0xsin(1x)
[T] limx→1x−11−cos(πx)limx→1x−11−cos(πx)
[T] limx→1e(x−1)−1x−1limx→1e(x−1)−1x−1
[T] limx→1(x−1)2lnxlimx→1(x−1)2lnx
[T] limx→π1+cosxsinxlimx→π1+cosxsinx
[T] limx→0(cscx−1x)limx→0(cscx−1x)
[T] limx→0+tan(xx)limx→0+tan(xx)
[T] limx→0+lnxsinxlimx→0+lnxsinx
[T] limx→0ex−e−xxlimx→0ex−e−xx