ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.9.1 ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
4.9.2 ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ।
4.9.3 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਕਦੋਂ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ।
4.9.4 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਸ਼ੁੱਧ ਅਤੇ ਲਾਗੂ ਗਣਿਤ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ f(x)=0 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਿਣਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ—ਜੇ ਅਸੰਭਵ ਨਾ ਹੋਵੇ—ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਕੁਸ਼ਲ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਤਕਨੀਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਕਸਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਵਿਧੀ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਹੈ।
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ
f(x)=0 ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ f ਪਹਿਲੀ-ਡਿਗਰੀ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ f(x)=ax+b ਹੈ, ਤਾਂ f(x)=0 ਦਾ ਹੱਲ x=−ba ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ f ਦੂਜੀ-ਡਿਗਰੀ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ f(x)=ax2+bx+c ਹੈ, ਤਾਂ f(x)=0 ਦੇ ਹੱਲ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਵਰਗ ਫਾਰਮੂਲਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, 3 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਲਈ, ff ਦੇ ਰੂਟ ਲੱਭਣਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਤੀਜੀ ਅਤੇ ਚੌਥੀ-ਡਿਗਰੀ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਉਹ ਕਾਫ਼ੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹਨ। ਨਾਲ ਹੀ, ਜੇਕਰ ff 5 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲਾ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਕੋਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
f(x)=0 ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੋਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਗੈਰ-ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਹੀ ਮੁਸ਼ਕਲਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, tan(x)−x=0 ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਲਈ ਕੋਈ ਸਧਾਰਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰੂਟਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ f(x)=0 ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ। f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ f(x)=0 ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਟ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ x0 ਕਹੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ x0 'ਤੇ f ਦੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ f′(x0)≠0, ਤਾਂ ਇਹ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ (x1,0) 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਹੁਣ x1 ਨੂੰ ਅਸਲ ਰੂਟ ਦਾ ਅਗਲਾ ਅਨੁਮਾਨ ਮੰਨੋ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, x1 ਅਸਲ ਰੂਟ ਦੇ x0 ਨਾਲੋਂ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ x1 'ਤੇ f ਦੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ f′(x1)≠0, ਤਾਂ ਇਹ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਵੀ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੋਰ ਅਨੁਮਾਨ, x2, ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x0,x1,x2,...। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, x0,x1,x2,... ਨੰਬਰ ਜਲਦੀ ਹੀ ਇੱਕ ਅਸਲ ਰੂਟ x* ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.77: ਅਨੁਮਾਨ x0,x1,x2,... ਅਸਲ ਰੂਟ x* ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਅਨੁਮਾਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਹੁਣ ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨ x0,x1,x2,... ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ x0 ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ, ਤਾਂ x1 ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ (x1,0) ਨੂੰ x0 'ਤੇ f ਦੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, x1 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x1 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਿੰਦੂ (x2,0) x1 'ਤੇ f ਦੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦਾ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x2 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, n>0 ਲਈ, xn ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ f(x)=x3−3x+1 ਦੇ ਰੂਟ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.46
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਰੂਟ ਲੱਭਣਾ
f(x)=x3−3x+1 ਦੇ ਇੰਟਰਵਲ [1,2] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੂਟ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x0=2 ਮੰਨੋ ਅਤੇ x1,x2,x3,x4, ਅਤੇ x5 ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 4.78 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f ਕੋਲ (1,2) ਇੰਟਰਵਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੂਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ x0=2 ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਪਹਿਲਾ ਅਨੁਮਾਨ ਜਾਪਦਾ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ f(x)=x3−3x+1 ਹੈ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)=3x2−3 ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ n=1 (ਅਤੇ 10 ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ) ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਗਲਾ ਅਨੁਮਾਨ, x2, ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ n=2 ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਸਟੋਰ ਕੀਤੇ x1 ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ x5x5 ਅਤੇ x6.x6 ਲਈ ਇੱਕੋ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਅਗਲਾ ਉਪਯੋਗ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ xn.xn ਲਈ ਇੱਕੋ ਮੁੱਲ ਦੇਵੇਗਾ।
ਚਿੱਤਰ 4.78: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x3−3x+1f(x)=x3−3x+1 ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [1,2].[1,2] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਮੂਲ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.45
x0=0,x0=0 ਮੰਨ ਕੇ, ਆਓ ਅੰਤਰਾਲ [0,1][0,1] ਉੱਤੇ f(x)=x3−3x+1f(x)=x3−3x+1 ਦੇ ਮੂਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ, x1x1 ਅਤੇ x2.x2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ।
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ 2.2 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸੋਧਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.47
ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਲੱਭਣਾ
22 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 4.79)। f(x)=x2−2,f(x)=x2−2 ਮੰਨੋ, x0=2,x0=2 ਮੰਨੋ, ਅਤੇ x1,x2,x3,x4,x5.x1,x2,x3,x4,x5 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। (ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ f(x)=x2−2f(x)=x2−2 ਦਾ 2,2 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ x0=2x0=2 2 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਚੋਣ ਹੈ।)2.)
ਹੱਲ
f(x)=x2−2,f′(x)=2x.f(x)=x2−2,f′(x)=2x ਲਈ। ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ,
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ x4x4 ਅਤੇ x5,x5 ਲਈ ਇੱਕੋ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਮੁੱਲ xnxn ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਗਲੇ ਉਪਯੋਗ 'ਤੇ ਬਦਲੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2≈1.414213562.2≈1.414213562।
ਚਿੱਤਰ 4.79: ਅਸੀਂ 2.2 ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.46
f(x)=x2−3f(x)=x2−3 ਅਤੇ x0=3.x0=3 ਮੰਨ ਕੇ 33 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x1x1 ਅਤੇ x2.x2 ਲੱਭੋ।
ਜਦੋਂ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਨੁਮਾਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਹਰ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਅਨੁਮਾਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ F(x)=x−[f(x)f′(x)],F(x)=x−[f(x)f′(x)] ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਨੂੰ xn=F(xn−1).xn=F(xn−1) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ, ਜਿੱਥੇ ਹਰ xnxn ਨੂੰ xn−1xn−1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾ ਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਜਲਦੀ ਹੀ, ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੇ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋਣ ਦੇ ਕਾਰਨਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀਆਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕਾਫ਼ੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਚੀਜ਼ਾਂ ਗਲਤ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੁਝ ਕਾਰਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਕਰਕੇ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਅਸਫਲ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:
ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ xn,xn, ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′f′ xn,xn, ਉੱਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਪਰ f(xn)≠0.f(xn)≠0। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, xnxn ਉੱਤੇ fff ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ xx-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਜਾਰੀ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੇ।
ਅਨੁਮਾਨ x0,x1,x2,…x0,x1,x2,… ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਮੂਲ ਵੱਲ ਵੱਧ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੂਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡੇ ਅਨੁਮਾਨ ਉਸ ਮੂਲ ਵੱਲ ਨਾ ਵਧਣ ਜਿਸ ਦੀ ਅਸੀਂ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਬਲਕਿ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਮੂਲ ਵੱਲ ਵਧਣ (ਚਿੱਤਰ 4.80 ਦੇਖੋ)। ਇਹ ਘਟਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ x0x0 ਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦੇ ਮੂਲ ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਨਹੀਂ ਚੁਣਦੇ।
ਅਨੁਮਾਨ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੂਲ ਵੱਲ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4.48 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਨੁਮਾਨ x0x0 ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ ਲਗਾਤਾਰ ਅਨੁਮਾਨ ਕਦੇ ਵੀ ਮੂਲ ਵੱਲ ਨਹੀਂ ਵਧਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਲਗਾਤਾਰ ਅਨੁਮਾਨ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਬਦਲਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 4.80: ਜੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਨੁਮਾਨ x0x0 ਭਾਲੇ ਜਾ ਰਹੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਮੂਲ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.48
ਜਦੋਂ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x³−2x+2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। f(x)=x³−2x+2। ਮੰਨ ਲਓ x₀=0। x₀=0। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਲੜੀ x₁, x₂, … x₁, x₂, … f ਦੇ ਮੂਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। f।
ਹੱਲ
f(x)=x³−2x+2, f(x)=x³−2x+2 ਲਈ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)=3x²−2 ਹੈ। f′(x)=3x²−2। ਇਸ ਲਈ,
ਅਗਲੇ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ,
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਸੰਖਿਆਵਾਂ x₀, x₁, x₂, … x₀, x₁, x₂, … 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਵਾਪਸ ਉਛਾਲਦੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ f ਦੇ ਮੂਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਜੋ ਕਿ [−2, −1] [−2, −1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.81 ਦੇਖੋ)। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਮੂਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਨੁਮਾਨ x₀ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਬਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 4.81: ਅਨੁਮਾਨ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ f ਦੇ ਮੂਲ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚਦੇ। f।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.47
f(x)=x³−2x+2, f(x)=x³−2x+2 ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ x₀=−1.5 x₀=−1.5 ਅਤੇ x₁ x₁ ਅਤੇ x₂ ਲੱਭੋ। x₂।
ਉਦਾਹਰਨ 4.48 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਇਹ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਲੜੀ ਮੂਲ ਤੱਕ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਿਲੇ ਮੂਲ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਲੜੀ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾਵਾਂ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੇ ਗ੍ਰੰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਹੋਰ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ F ਅਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸੰਖਿਆ x₀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। x₀। ਬਾਅਦ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ xn xn ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲਾ xn=F(xn−1) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। xn=F(xn−1)। ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ ਜੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x₀, x₁, x₂, …, xn, … x₀, x₁, x₂, …, xn, … ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ nn ਦੇ ਵੱਡੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੰਖਿਆ x* x* ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ। ਉਦਾਹਰਨ 4.49 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ F ਅਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਨੁਮਾਨ x₀ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਨਤੀਜਾ ਸੂਚੀ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.49
ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਲਈ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ F(x)=½x+4 F(x)=½x+4 ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ x₀=0। x₀=0। ਸਾਰੇ n≥1, n≥1 ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ xn=F(xn−1)। xn=F(xn−1)। ਮੁੱਲ x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ ਲੱਭੋ। x₁, x₂, x₃, x₄, x₅। ਇਸ ਸੂਚੀ x₁, x₂, x₃…, xn,… x₁, x₂, x₃…, xn,… ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਕਿ n→∞। n→∞। ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x₁, x₂, x₃,… x₁, x₂, x₃,… ਦੀ ਸੂਚੀ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੰਖਿਆ x* x* ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ x* x* x*=F(x*) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, x*=F(x*) ਅਤੇ x* x* ਨੂੰ F ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। F।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ x₀=0, x₀=0, ਤਾਂ
ਇਸ ਸੂਚੀ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੁੱਲ xn xn 8 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। 8।
ਚਿੱਤਰ 4.82 ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਦਲੀਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੁੱਲ n→∞। n→∞। (x₀, x₀) (x₀, x₀) ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ (x₀, F(x₀)) (x₀, F(x₀)) ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡੀ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਅਗਲੀ ਸੰਖਿਆ x₁=F(x₀) ਹੈ। x₁=F(x₀)। ਅਸੀਂ x₂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ x₁ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x₂। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ (x₀, x₁) (x₀, x₁) ਨੂੰ y=x y=x ਰੇਖਾ 'ਤੇ (x₁, x₁) (x₁, x₁) ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ (x₁, x₁) (x₁, x₁) ਨੂੰ (x1, F(x1)) (x1, F(x1)) ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਆਉਟਪੁੱਟ F(x₁) F(x₁) x₂ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x₂। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਅਨੰਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਰੇਖਾ ਖੰਡ F(x)=x²+4 F(x)=x²+4 ਅਤੇ y=x y=x ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਫਸੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ x=F(x) ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। x=F(x)। ਸਮੀਕਰਨ x=x²+4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ, x=x²+4, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ x=8 ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। x=8। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡਾ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਸਬੂਤ ਸਾਡੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x₀, x₁, x₂, … x₀, x₁, x₂, … ਦੀ ਸੂਚੀ x*=8 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। x*=8 ਜਿਵੇਂ n→∞। n→∞।
ਚਿੱਤਰ 4.82: ਇਹ ਇਟਰੇਟਿਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਮੁੱਲ x*=8 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। x*=8।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.48
ਫੰਕਸ਼ਨ F(x)=⅓x+6 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। F(x)=⅓x+6। ਮੰਨ ਲਓ x₀=0 x₀=0 ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ xn=F(xn−1) xn=F(xn−1) n≥2 ਲਈ। n≥2। x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ ਲੱਭੋ। x₁, x₂, x₃, x₄, x₅। ਇਸ ਸੂਚੀ x₁, x₂, x₃…xn… x₁, x₂, x₃…xn… ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਕਿ n→∞। n→∞।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਅਰਾਜਕਤਾ
ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕੁਝ ਬਹੁਤ ਦਿਲਚਸਪ ਵਿਵਹਾਰ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕਈ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਵੱਲ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਣ 4.48 ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਵਾਪਸ ਉਛਾਲੀ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ 22-ਚੱਕਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਵਰਤੀਆਂ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰਾਂ ਵੱਲ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 2−ਚੱਕਰ, 4−ਚੱਕਰ (ਜਿੱਥੇ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਚਾਰ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦੀ ਹੈ), 8-ਚੱਕਰ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ।
ਕੁਝ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਉਹ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਰਾਜਕਤਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਪਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਛਾਲ ਮਾਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕਦੇ ਵੀ ਇਕੱਠੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਜਾਂ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਰਾਜਕਤਾ ਦੀ ਪੂਰੀ ਪੜਚੋਲ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਇਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਰਾਜਕ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ: ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਨਿਰਭਰਤਾ। ਇਹ ਗੁਣ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ ਬਦਲਾਅ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਨਾਟਕੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੱਖਰੇ ਵਿਵਹਾਰ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਸ਼ਾਇਦ ਅਰਾਜਕਤਾ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਮਸ਼ਹੂਰ ਉਦਾਹਰਣ ਮੰਡਲਬ੍ਰੋਟ ਸੈੱਟ (ਚਿੱਤਰ 4.83 ਦੇਖੋ) ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਬੇਨੋਇਟ ਮੰਡਲਬ੍ਰੋਟ (1924–2010) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਅਰਾਜਕਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕੀਤੀ। ਮੰਡਲਬ੍ਰੋਟ ਸੈੱਟ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵਾਧੇ 'ਤੇ ਮਨਮੋਹਕ ਵੇਰਵੇ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਦੀ ਸਵੈ-ਨਕਲ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਸੈੱਟ ਦੇ ਕਈ ਰੰਗੀਨ ਸੰਸਕਰਣ ਅਜਾਇਬ ਘਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ 'ਤੇ ਔਨਲਾਈਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕਿਤਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਮਿਲ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 4.83: ਮੰਡਲਬ੍ਰੋਟ ਸੈੱਟ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੀ ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਸਧਾਰਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਅਰਾਜਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਲਾਗੂਤਕ ਨਕਸ਼ਾ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ
ਸਾਡੀ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ। ਲਾਗੂਤਕ ਨਕਸ਼ਾ ਇੱਕ ਧੋਖੇ ਨਾਲ ਸਧਾਰਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ; ਪਰ, r ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਕੁਝ ਬਹੁਤ ਦਿਲਚਸਪ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ, ਚੱਕਰਾਂ ਅਤੇ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਅਰਾਜਕਤਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਲਾਗੂਤਕ ਨਕਸ਼ੇ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੇ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੋਬਵੇਬ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਸਾਧਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਬਿੰਦੂ (x0,0) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x0,f(x0))=(x0,x1) ਤੱਕ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x1,x1) ਤੱਕ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ (x1,f(x1))=(x1,x2) ਤੱਕ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ। ਚਿੱਤਰ 4.84 ਲਾਗੂਤਕ ਨਕਸ਼ੇ ਦੇ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ r=3.55 ਅਤੇ x0=0.2। (ਪਹਿਲੇ 100 ਇਟਰੇਸ਼ਨ ਪਲੌਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।) ਇਸ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ 88-ਚੱਕਰ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.84: f(x)=3.55x(1−x) ਲਈ ਇੱਕ ਕੋਬਵੇਬ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਇੱਥੇ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ 88-ਚੱਕਰ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ r=0.5 ਅਤੇ x0=0.2 ਚੁਣੋ। ਹੱਥ ਨਾਲ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ 10 ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਕ੍ਰਮ ਇਕੱਠਾ ਹੁੰਦਾ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕਿਸ ਮੁੱਲ ਵੱਲ? ਕੀ ਇਹ ਚੱਕਰ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਚੱਕਰ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 2−ਚੱਕਰ, 4−ਚੱਕਰ)?
ਜਦੋਂ r=2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
r=3.2 ਅਤੇ r=3.5 ਲਈ, ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ 100 ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਲਈ ਇੱਕ ਕੋਬਵੇਬ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਤਿਆਰ ਕਰੋ। (ਔਨਲਾਈਨ ਕਈ ਮੁਫਤ ਐਪਲੇਟ ਉਪਲਬਧ ਹਨ ਜੋ ਲਾਗੂਤਕ ਨਕਸ਼ੇ ਲਈ ਕੋਬਵੇਬ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਤਿਆਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।) ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਕੀ ਹੈ?
ਹੁਣ r=4 ਮੰਨ ਲਓ। ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ 100 ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੋਬਵੇਬ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਤਿਆਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਕੀ ਹੈ?
r=4 ਲਈ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਓ, ਪਰ x0=0.201 ਮੰਨ ਲਓ। ਇਹ ਵਿਵਹਾਰ x0=0.2 ਲਈ ਵਿਵਹਾਰ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f(x)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ xn+1=F(xn) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
f ( x ) = x 2 + 1
f ( x ) = x 3 + 2 x + 1
f ( x ) = sin x
f ( x ) = e x
f ( x ) = x 3 + 3 x e x
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਟਰੇਸ਼ਨ xn+1=xn−cf(xn) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਜੋ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਇੱਕ c ਲੱਭੋ ਜੋ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ c ਲੱਭੋ ਜੋ ਇਕੱਠਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, c=0 ਦੇ ਅਪਵਾਦ ਦੇ ਨਾਲ।
f(x)=x2−4, x0=0 ਦੇ ਨਾਲ
f(x)=x2−4x+3, x0=2 ਦੇ ਨਾਲ
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਲਈ "c" ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?
For the following exercises, start at
a. x0=0.6x0=0.6 and
b. x0=2.x0=2.
Compute x1x1 and x2x2 using the specified iterative method.
x n + 1 = x n 2 − 1 2 x n + 1 = x n 2 − 1 2
x n + 1 = 2 x n ( 1 − x n ) x n + 1 = 2 x n ( 1 − x n )
x n + 1 = x n x n + 1 = x n
x n + 1 = 1 x n x n + 1 = 1 x n
x n + 1 = 3 x n ( 1 − x n ) x n + 1 = 3 x n ( 1 − x n )
x n + 1 = x n 2 + x n − 2 x n + 1 = x n 2 + x n − 2
x n + 1 = 1 2 x n − 1 x n + 1 = 1 2 x n − 1
x n + 1 = | x n | x n + 1 = | x n |
For the following exercises, solve to four decimal places using Newton’s method and a computer or calculator. Choose any initial guess x0x0 that is not the exact root.
x 2 − 10 = 0 x 2 − 10 = 0
x 4 − 100 = 0 x 4 − 100 = 0
x 2 − x = 0 x 2 − x = 0
x 3 − x = 0 x 3 − x = 0
x + 5 cos ( x ) = 0 x + 5 cos ( x ) = 0
x+tan(x)=0,x+tan(x)=0, choose x0∈(−π2,π2)x0∈(−π2,π2)
1 1 − x = 2 1 1 − x = 2
1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 2 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 2
x 3 + ( x + 1 ) 3 = 10 3 x 3 + ( x + 1 ) 3 = 10 3
x = sin 2 ( x ) x = sin 2 ( x )
For the following exercises, use Newton’s method to find the fixed points of the function where f(x)=x;f(x)=x; round to three decimals.
ਸਾਈਨ x ਗੁਣਾ ਸਾਈਨ x
ਟੈਨ x ਗੁਣਾ ਟੈਨ x, ਜਿੱਥੇ x = (π/2, 3π/2)
e ਦੀ ਘਾਤ x ਘਟਾਓ 2, ਸਾਰੇ ਨੂੰ e ਦੀ ਘਾਤ x ਘਟਾਓ 2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ
ਲੌਗਰੀਦਮ ਆਫ x ਜਮਾ 2, ਸਾਰੇ ਨੂੰ ਲੌਗਰੀਦਮ ਆਫ x ਜਮਾ 2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇਸਦੀਆਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫੰਕਸ਼ਨ f′(x)f′(x) ਉੱਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਧੀ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਉਮੀਦਵਾਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ f′(x)=0 ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਦੇ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਸ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ xn+1=xn−f′(xn)f″(xn)x_{n+1}=x_{n}-\frac{f'(x_{n})}{f''(x_{n})} ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਉੱਤੇ ਕਿਹੜੀਆਂ ਵਾਧੂ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਨ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ; ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
f(x)=x^2+2x+4 ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ
f(x)=3x^3+2x^2−16 ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ
f(x)=x^2e^x ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ
f(x)=x+1/x ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ
f(x)=x^3+10x^2+15x−2 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ
f(x)=x−x^3/x ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ
f(x)=x^2sinx, x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ
f(x)=x^4+x^3+3x^2+12x+6 ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹ ਕੰਮ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ, x^2+2=0
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ, 0=e^x
ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ, 0=1+x^2, x0=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
xn+1=−xn^3, x0=−1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਕ ਇਟਰੇਟਿਵ ਵਿਧੀ, ਸੇਕੈਂਟ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
0=x^2−x−3 ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਟ ਲੱਭੋ, ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਸਹੀ।
0=sinx+3x ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਟ ਲੱਭੋ, ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਸਹੀ।
1. 0=ex−20=ex−2 ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ln(x+2)=12ln(x+2)=12 ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਸੈਕੈਂਟ ਵਿਧੀ (secant method) ਨੂੰ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ (Newton's method) ਉੱਤੇ ਕਿਉਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਵੇਗਾ? f(x) ਉੱਤੇ ਕਿਹੜੀਆਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਹਨ?
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਸੈਕੈਂਟ ਵਿਧੀ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੂਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਦੇ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਹਰੇਕ ਕਿੰਨੇ ਪੁਨਰਾਵਰਤਨਾਂ (iterations) ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸੈਕੈਂਟ ਵਿਧੀ ਲਈ, ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਪਹਿਲੇ ਅਨੁਮਾਨ (guess) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. f(x) = x^2 + 2x + 1, x_0 = 1
6. f(x) = x^2, x_0 = 1
7. f(x) = sin x, x_0 = 1
8. f(x) = e^x - 1, x_0 = 2
9. f(x) = x^3 + 2x + 4, x_0 = 0
10. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਹਿਣ ਗਤੀ (planetary orbits) ਸੰਬੰਧੀ ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ (Kepler's equation) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, M=E−εsin(E), ਜਿੱਥੇ M ਮਾਧਿਅਮ ਵਿਸ਼ਮਤਾ (mean anomaly) ਹੈ, E ਵਿਸੰਗਤ ਵਿਸ਼ਮਤਾ (eccentric anomaly) ਹੈ, ਅਤੇ ε ਉਪਕੇਂਦ੍ਰਤਾ (eccentricity) ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
11. ਜਦੋਂ ਮਾਧਿਅਮ ਵਿਸ਼ਮਤਾ M=π/3 ਅਤੇ ਕਸ਼ਕ (orbit) ਦੀ ਉਪਕੇਂਦ੍ਰਤਾ ε=0.25 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵਿਸੰਗਤ ਵਿਸ਼ਮਤਾ E ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ; ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
12. ਜਦੋਂ ਮਾਧਿਅਮ ਵਿਸ਼ਮਤਾ M=3π/2 ਅਤੇ ਕਸ਼ਕ ਦੀ ਉਪਕੇਂਦ੍ਰਤਾ ε=0.8 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵਿਸੰਗਤ ਵਿਸ਼ਮਤਾ E ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ; ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
13. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਦੋ ਕਸਰਤਾਂ ਇੱਕ ਬੈਂਕ ਨਿਵੇਸ਼ (bank investment) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੁੱਢਲਾ ਨਿਵੇਸ਼ $10,000 ਹੈ। 25 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਨਿਵੇਸ਼ ਤਿਗੁਣਾ ਹੋ ਕੇ $30,000 ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ।
14. ਜੇ ਵਿਆਜ ਸਾਲਾਨਾ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਤਾਂ ਵਿਆਜ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. ਜੇ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਤਾਂ ਵਿਆਜ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. xx ਕਿਤਾਬਾਂ ਛਾਪਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ C(x)=1000+12x+(1/2)x^(2/3) ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਪ੍ਰਿੰਟਰ ਹਰੇਕ ਕਿਤਾਬ $20 ਵਿੱਚ ਵੇਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਰੇਕ-ਇਵਨ ਪੁਆਇੰਟ (break-even point) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।