ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.10.1 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
4.10.2 ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਅਤੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4.10.3 ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੱਸੋ।
4.10.4 ਸਧਾਰਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਵੇਂ ਗਿਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਵਾਲ ਪੁੱਛਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ff ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕਿਉਂ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਾਂਗੇ?
ਅਸੀਂ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸਵਾਲ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿੱਚ ਕਿਉਂ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ? ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਲੋੜ ਕਈ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਪਾਠ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਉਦਾਹਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੈਕਟੀਲੀਨੀਅਰ ਮੋਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਰੈਕਟੀਲੀਨੀਅਰ ਮੋਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਜਾਂਚ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਫੰਕਸ਼ਨ v(t) s(t) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ—ਯਾਨੀ, v(t)=s′(t)। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ a(t) ਵੇਲੋਸਿਟੀ v(t) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ—ਯਾਨੀ, a(t)=v′(t)=s″(t)। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ a ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਪਰ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਫੰਕਸ਼ਨ vv ਜਾਂ ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ s ਨਹੀਂ। ਕਿਉਂਕਿ a(t)=v′(t), ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ, ਕਿਉਂਕਿ v(t)=s′(t), ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਰੈਕਟੀਲੀਨੀਅਰ ਮੋਸ਼ਨ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਾਠ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਫਿਲਹਾਲ, ਆਓ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਅਤੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ, ਅਤੇ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ (ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦਾ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ) ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੇ ਹਨ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਉਲਟਾ ਸਵਾਲ ਪੁੱਛਦੇ ਹਾਂ। ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f ਹੋਵੇ? ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ FF ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ FF ਨੂੰ f ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ FF, ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ
f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ xx ਲਈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2x 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ F(x)=x^2, f ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ F'(x)=2x। ਕੀ f ਦੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ? ਹਾਂ; ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ C ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x^2+C ਵੀ 2x ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x^2+5 ਅਤੇ x^2−2 ਵੀ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ। ਕੀ ਕੋਈ ਹੋਰ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕ C ਦੇ ਰੂਪ x^2+C ਦੇ ਨਹੀਂ ਹਨ? ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਕੋਰੋਲਰੀ 22 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ FF ਅਤੇ GG ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ F'(x)=G'(x), ਤਾਂ F(x)−G(x)=C ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕ C ਲਈ। ਇਹ ਤੱਥ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਥਿਊਰਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 4.14
ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ
ਮੰਨ ਲਓ FF ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ff ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ। ਫਿਰ,
ਹਰੇਕ ਸਥਿਰਾਂਕ C ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ F(x)+C ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ff ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ;
ਜੇਕਰ GG ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ff ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ C ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ I 'ਤੇ G(x)=F(x)+C ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੰਤਰਾਲ II 'ਤੇ ff ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਰੂਪ F(x)+C ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਅਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਸਾਡੇ ਗਿਆਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਾਰੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.50
ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲੱਭਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲੱਭੋ।
f(x)=3x^2
f(x)=1x
f(x)=cosx
f(x)=ex
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ddx(x3)=3x2, ਇਸ ਲਈ F(x)=x3, 3x2 ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 3x2 ਦਾ ਹਰ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ C, ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਈ, x3+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ x3+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹਰ ਫਲਨ 3x2 ਦਾ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=ln|x|. x>0 ਲਈ, f(x)=ln(x) ਅਤੇ ddx(lnx)=1x। x<0 ਲਈ, f(x)=ln(−x) ਅਤੇ ddx(ln(−x))=−1−x=1x। ਇਸ ਲਈ, ddx(ln|x|)=1x। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, F(x)=ln|x|, 1x ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 1x ਦਾ ਹਰ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ln|x|+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕ C ਲਈ, ਅਤੇ ln|x|+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹਰ ਫਲਨ 1x ਦਾ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ddx(sinx)=cosx, ਇਸ ਲਈ F(x)=sinx, cosx ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, cosx ਦਾ ਹਰ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ sinx+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕ C ਲਈ, ਅਤੇ sinx+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹਰ ਫਲਨ cosx ਦਾ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ddx(ex)=ex, ਇਸ ਲਈ F(x)=ex, ex ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ex ਦਾ ਹਰ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ex+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕ C ਲਈ, ਅਤੇ ex+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹਰ ਫਲਨ ex ਦਾ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.49
f(x)=sinx ਦੇ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਲੱਭੋ।
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਰਸਮੀ ਨਿਸ਼ਾਨੀ ਨੂੰ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਸਾਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਫਲਨ f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ f ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ f′(x) ਜਾਂ dfdx ਨਿਸ਼ਾਨੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮਾਂ ਲਈ ਨਿਸ਼ਾਨੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ F, f ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ F(x)+C, f ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ ਅਤੇ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
∫∫ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ∫f(x)dx, f ਦੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਫਲਨ f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f ਦਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ, ਜਿਸਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ
f ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ। ਜੇਕਰ F, f ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ, ਤਾਂ
f(x) ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰਾਂਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਚੱਲ x, ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਚੱਲ ਹੈ।
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਫਲਨ f ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਲੱਭਣ ਦੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ f ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫਲਨ f ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ F ਲਈ, F(x)+C, ਜਿੱਥੇ C ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਕਸਰ f ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਵਜੋਂ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ x2, 2x ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ ਹੈ ਅਤੇ 2x ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮ x2+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
x2+C, ਜਿੱਥੇ C ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਾਰੇ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ 2x ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.85 ਇਸ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.85: 2x ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮਾਂ ਦਾ ਪਰਿਵਾਰ x2+C, ਜਿੱਥੇ C ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਾਰੇ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਕੁਝ ਫਲਨਾਂ ਲਈ, ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਸਿੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, n≠−1 ਲਈ,
ਜੋ ਸਿੱਧਾ ਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਤੱਥ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਲਈ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Theorem 4.15
Power Rule for Integrals
For n≠−1,n≠−1,
Evaluating indefinite integrals for some other functions is also a straightforward calculation. The following table lists the indefinite integrals for several common functions. A more complete list appears in Appendix A.
row: Differentiation Formula | Indefinite Integral
row: ddx(k)=0ddx(k)=0 | ∫kdx=∫kx0dx=kx+C∫kdx=∫kx0dx=kx+C
row: ddx(xn)=nxn−1ddx(xn)=nxn−1 | ∫xndx=xn+1n+1+C∫xndx=xn+1n+1+C for n≠−1n≠−1
row: ddx(ln|x|)=1xddx(ln|x|)=1x | ∫1xdx=ln|x|+C∫1xdx=ln|x|+C
row: ddx(ex)=exddx(ex)=ex | ∫exdx=ex+C∫exdx=ex+C
row: ddx(sinx)=cosxddx(sinx)=cosx | ∫cosxdx=sinx+C∫cosxdx=sinx+C
row: ddx(cosx)=−sinxddx(cosx)=−sinx | ∫sinxdx=−cosx+C∫sinxdx=−cosx+C
row: ddx(tanx)=sec2xddx(tanx)=sec2x | ∫sec2xdx=tanx+C∫sec2xdx=tanx+C
row: ddx(cscx)=−cscxcotxddx(cscx)=−cscxcotx | ∫cscxcotxdx=−cscx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C
row: ddx(secx)=secxtanxddx(secx)=secxtanx | ∫secxtanxdx=secx+C∫secxtanxdx=secx+C
row: ddx(cotx)=−csc2xddx(cotx)=−csc2x | ∫csc2xdx=−cotx+C∫csc2xdx=−cotx+C
row: ddx(sin−1x)=11−x2ddx(sin−1x)=11−x2 | ∫11−x2dx=sin−1x+C∫11−x2dx=sin−1x+C
row: ddx(tan−1x)=11+x2ddx(tan−1x)=11+x2 | ∫11+x2dx=tan−1x+C∫11+x2dx=tan−1x+C
row: ddx(sec−1x)=1xx2−1ddx(sec−1x)=1xx2−1 | ∫1xx2−1dx=sec−1x+C∫1xx2−1dx=sec−1x+C
From the definition of indefinite integral of f,f, we know
if and only if FF is an antiderivative of f.f. Therefore, when claiming that
it is important to check whether this statement is correct by verifying that F′(x)=f(x).F′(x)=f(x).
Example 4.51
Verifying an Indefinite Integral
Each of the following statements is of the form ∫f(x)dx=F(x)+C.∫f(x)dx=F(x)+C. Verify that each statement is correct by showing that F′(x)=f(x).F′(x)=f(x).
∫(x+ex)dx=x22+ex+C∫(x+ex)dx=x22+ex+C
∫xexdx=xex−ex+C∫xexdx=xex−ex+C
Solution
Since ddx(x22+ex+C)=x+ex,ddx(x22+ex+C)=x+ex, the statement ∫(x+ex)dx=x22+ex+C∫(x+ex)dx=x22+ex+C is correct. Note that we are verifying an indefinite integral for a sum. Furthermore, x22x22 and exex are antiderivatives of xx and ex,ex, respectively, and the sum of the antiderivatives is an antiderivative of the sum. We discuss this fact again later in this section.
Using the product rule, we see that ddx(xex−ex+C)=ex+xex−ex=xex.ddx(xex−ex+C)=ex+xex−ex=xex. Therefore, the statement ∫xexdx=xex−ex+C∫xexdx=xex−ex+C is correct. Note that we are verifying an indefinite integral for a product. The antiderivative xex−exxex−ex is not a product of the antiderivatives. Furthermore, the product of antiderivatives, x2ex/2x2ex/2 is not an antiderivative of xexxex since ddx(x2ex2)=xex+x2ex2≠xex.ddx(x2ex2)=xex+x2ex2≠xex. In general, the product of antiderivatives is not an antiderivative of a product.
Checkpoint 4.50
Verify that ∫xcosxdx=xsinx+cosx+C.∫xcosxdx=xsinx+cosx+C.
In Table 4.13, we listed the indefinite integrals for many elementary functions. Let’s now turn our attention to evaluating indefinite integrals for more complicated functions. For example, consider finding an antiderivative of a sum f+g.f+g. In Example 4.51a. we showed that an antiderivative of the sum x+exx+ex is given by the sum (x22)+ex(x22)+ex—that is, an antiderivative of a sum is given by a sum of antiderivatives. This result was not specific to this example. In general, if FF and GG are antiderivatives of any functions ff and g,g, respectively, then
Therefore, F(x)+G(x)F(x)+G(x) is an antiderivative of f(x)+g(x)f(x)+g(x) and we have
Similarly,
In addition, consider the task of finding an antiderivative of kf(x),kf(x), where kk is any real number. Since
for any real number k,k, we conclude that
These properties are summarized next.
Theorem 4.16
Properties of Indefinite Integrals
Let FF and GG be antiderivatives of ff and g,g, respectively, and let kk be any real number.
Sums and Differences
Constant Multiples
From this theorem, we can evaluate any integral involving a sum, difference, or constant multiple of functions with antiderivatives that are known. Evaluating integrals involving products, quotients, or compositions is more complicated (see Example 4.51b. for an example involving an antiderivative of a product.) We look at and address integrals involving these more complicated functions in Introduction to Integration. In the next example, we examine how to use this theorem to calculate the indefinite integrals of several functions.
Example 4.52
Evaluating Indefinite Integrals
Evaluate each of the following indefinite integrals:
∫(5x3−7x2+3x+4)dx∫(5x3−7x2+3x+4)dx
∫x2+4x3xdx∫x2+4x3xdx
∫41+x2dx∫41+x2dx
∫tanxcosxdx∫tanxcosxdx
Solution
Using Properties of Indefinite Integrals, we can integrate each of the four terms in the integrand separately. We obtain ∫(5x3−7x2+3x+4)dx=∫5x3dx−∫7x2dx+∫3xdx+∫4dx.∫(5x3−7x2+3x+4)dx=∫5x3dx−∫7x2dx+∫3xdx+∫4dx. From the second part of Properties of Indefinite Integrals, each coefficient can be written in front of the integral sign, which gives ∫5x3dx−∫7x2dx+∫3xdx+∫4dx=5∫x3dx−7∫x2dx+3∫xdx+4∫1dx.∫5x3dx−∫7x2dx+∫3xdx+∫4dx=5∫x3dx−7∫x2dx+3∫xdx+4∫1dx. Using the power rule for integrals, we conclude that ∫(5x3−7x2+3x+4)dx=54x4−73x3+32x2+4x+C.∫(5x3−7x2+3x+4)dx=54x4−73x3+32x2+4x+C.
Rewrite the integrand as x2+4x3x=x2x+4x3x.x2+4x3x=x2x+4x3x. Then, to evaluate the integral, integrate each of these terms separately. Using the power rule, we have ∫(x+4x2/3)dx=∫xdx+4∫x−2/3dx=12x2+41(−23)+1x(−2/3)+1+C=12x2+12x1/3+C.∫(x+4x2/3)dx=∫xdx+4∫x−2/3dx=12x2+41(−23)+1x(−2/3)+1+C=12x2+12x1/3+C.
Using Properties of Indefinite Integrals, write the integral as 4∫11+x2dx.4∫11+x2dx. Then, use the fact that tan−1(x)tan−1(x) is an antiderivative of 1(1+x2)1(1+x2) to conclude that ∫41+x2dx=4tan−1(x)+C.∫41+x2dx=4tan−1(x)+C.
Rewrite the integrand as tanxcosx=sinxcosxcosx=sinx.tanxcosx=sinxcosxcosx=sinx. Therefore, ∫tanxcosx=∫sinx=−cosx+C.∫tanxcosx=∫sinx=−cosx+C.
Checkpoint 4.51
Evaluate ∫(4x3−5x2+x−7)dx.∫(4x3−5x2+x−7)dx.
Initial-Value Problems
We look at techniques for integrating a large variety of functions involving products, quotients, and compositions later in the text. Here we turn to one common use for antiderivatives that arises often in many applications: solving differential equations.
A differential equation is an equation that relates an unknown function and one or more of its derivatives. The equation
is a simple example of a differential equation. Solving this equation means finding a function yy with a derivative f.f. Therefore, the solutions of Equation 4.9 are the antiderivatives of f.f. If FF is one antiderivative of f,f, every function of the form y=F(x)+Cy=F(x)+C is a solution of that differential equation. For example, the solutions of
are given by
Sometimes we are interested in determining whether a particular solution curve passes through a certain point (x0,y0)(x0,y0)—that is, y(x0)=y0.y(x0)=y0. The problem of finding a function yy that satisfies a differential equation
with the additional condition
is an example of an initial-value problem. The condition y(x0)=y0y(x0)=y0 is known as an initial condition. For example, looking for a function yy that satisfies the differential equation
and the initial condition
is an example of an initial-value problem. Since the solutions of the differential equation are y=2x3+C,y=2x3+C, to find a function yy that also satisfies the initial condition, we need to find CC such that y(1)=2(1)3+C=5.y(1)=2(1)3+C=5. From this equation, we see that C=3,C=3, and we conclude that y=2x3+3y=2x3+3 is the solution of this initial-value problem as shown in the following graph.
Figure 4.86: Some of the solution curves of the differential equation dydx=6x2dydx=6x2 are displayed. The function y=2x3+3y=2x3+3 satisfies the differential equation and the initial condition y(1)=5.y(1)=5.
Example 4.53
Solving an Initial-Value Problem
Solve the initial-value problem
Solution
First we need to solve the differential equation. If dydx=sinx,dydx=sinx, then
Next we need to look for a solution yy that satisfies the initial condition. The initial condition y(0)=5y(0)=5 means we need a constant CC such that −cosx+C=5.−cosx+C=5. Therefore,
The solution of the initial-value problem is y=−cosx+6.y=−cosx+6.
Checkpoint 4.52
Solve the initial value problem dydx=3x−2,y(1)=2.dydx=3x−2,y(1)=2.
Initial-value problems arise in many applications. Next we consider a problem in which a driver applies the brakes in a car. We are interested in how long it takes for the car to stop. Recall that the velocity function v(t)v(t) is the derivative of a position function s(t),s(t), and the acceleration a(t)a(t) is the derivative of the velocity function. In earlier examples in the text, we could calculate the velocity from the position and then compute the acceleration from the velocity. In the next example we work the other way around. Given an acceleration function, we calculate the velocity function. We then use the velocity function to determine the position function.
Example 4.54
Decelerating Car
A car is traveling at the rate of 8888 ft/sec (60(60 mph) when the brakes are applied. The car begins decelerating at a constant rate of 1515 ft/sec2.
How many seconds elapse before the car stops?
How far does the car travel during that time?
Solution
First we introduce variables for this problem. Let tt be the time (in seconds) after the brakes are first applied. Let a(t)a(t) be the acceleration of the car (in feet per seconds squared) at time t.t. Let v(t)v(t) be the velocity of the car (in feet per second) at time t.t. Let s(t)s(t) be the car’s position (in feet) beyond the point where the brakes are applied at time t.t. The car is traveling at a rate of 88ft/sec.88ft/sec. Therefore, the initial velocity is v(0)=88v(0)=88 ft/sec. Since the car is decelerating, the acceleration is a(t)=−15ft/s2.a(t)=−15ft/s2. The acceleration is the derivative of the velocity, v′(t)=−15.v′(t)=−15. Therefore, we have an initial-value problem to solve: v′(t)=−15,v(0)=88.v′(t)=−15,v(0)=88. Integrating, we find that v(t)=−15t+C.v(t)=−15t+C. Since v(0)=88,C=88.v(0)=88,C=88. Thus, the velocity function is v(t)=−15t+88.v(t)=−15t+88. To find how long it takes for the car to stop, we need to find the time tt such that the velocity is zero. Solving −15t+88=0,−15t+88=0, we obtain t=8815t=8815 sec.
To find how far the car travels during this time, we need to find the position of the car after 88158815 sec. We know the velocity v(t)v(t) is the derivative of the position s(t).s(t). Consider the initial position to be s(0)=0.s(0)=0. Therefore, we need to solve the initial-value problem s′(t)=−15t+88,s(0)=0.s′(t)=−15t+88,s(0)=0. Integrating, we have s(t)=−152t2+88t+C.s(t)=−152t2+88t+C. Since s(0)=0,s(0)=0, the constant is C=0.C=0. Therefore, the position function is s(t)=−152t2+88t.s(t)=−152t2+88t. After t=8815t=8815 sec, the position is s(8815)≈258.133s(8815)≈258.133 ft.
Checkpoint 4.53
Suppose the car is traveling at the rate of 4444 ft/sec. How long does it take for the car to stop? How far will the car travel?
For the following exercises, show that F(x)F(x) are antiderivatives of f(x).f(x).
F ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 , f ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 , f ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3
F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , f ( x ) = 2 x + 4 F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , f ( x ) = 2 x + 4
F ( x ) = x 2 e x , f ( x ) = e x ( x 2 + 2 x ) F ( x ) = x 2 e x , f ( x ) = e x ( x 2 + 2 x )
F ( x ) = cos x , f ( x ) = − sin x F ( x ) = cos x , f ( x ) = − sin x
F ( x ) = e x , f ( x ) = e x F ( x ) = e x , f ( x ) = e x
For the following exercises, find the general form for the antiderivative of the function.
f ( x ) = 1 x 2 + x f ( x ) = 1 x 2 + x
f ( x ) = e x − 3 x 2 + sin x f ( x ) = e x − 3 x 2 + sin x
f ( x ) = e x + 3 x − x 2 f ( x ) = e x + 3 x − x 2
f ( x ) = x − 1 + 4 sin ( 2 x ) f ( x ) = x − 1 + 4 sin ( 2 x )
For the following exercises, find the general form for the antiderivative F(x)F(x) of each function f(x).f(x).
f ( x ) = 5 x 4 + 4 x 5 f ( x ) = 5 x 4 + 4 x 5
f ( x ) = x + 12 x 2 f ( x ) = x + 12 x 2
f ( x ) = 1 x f ( x ) = 1 x
f ( x ) = ( x ) 3 f ( x ) = ( x ) 3
f ( x ) = x 1 / 3 + ( 2 x ) 1 / 3 f ( x ) = x 1 / 3 + ( 2 x ) 1 / 3
f ( x ) = x 1 / 3 x 2 / 3 f ( x ) = x 1 / 3 x 2 / 3
f ( x ) = 2 sin ( x ) + sin ( 2 x ) f ( x ) = 2 sin ( x ) + sin ( 2 x )
f ( x ) = sec 2 ( x ) + 1 f ( x ) = sec 2 ( x ) + 1
f ( x ) = sin x cos x f ( x ) = sin x cos x
f ( x ) = sin 2 ( x ) cos ( x ) f ( x ) = sin 2 ( x ) cos ( x )
f ( x ) = 0 f ( x ) = 0
f ( x ) = 1 2 csc 2 ( x ) + 1 x 2 f ( x ) = 1 2 csc 2 ( x ) + 1 x 2
f ( x ) = csc x cot x + 3 x f ( x ) = csc x cot x + 3 x
f ( x ) = 4 csc x cot x − sec x tan x f ( x ) = 4 csc x cot x − sec x tan x
f ( x ) = 8 sec x ( sec x − 4 tan x ) f ( x ) = 8 sec x ( sec x − 4 tan x )
f ( x ) = 1 2 e −4 x + sin x f ( x ) = 1 2 e −4 x + sin x
For the following exercises, evaluate the integral.
∫ ( −1 ) d x ∫ ( −1 ) d x
∫ sin x d x ∫ sin x d x
∫ ( 4 x + x ) d x ∫ ( 4 x + x ) d x
∫ 3 x 2 + 2 x 2 d x ∫ 3 x 2 + 2 x 2 d x
∫ ( sec x tan x + 4 x ) d x ∫ ( sec x tan x + 4 x ) d x
∫ ( 4 x + x 4 ) d x ∫ ( 4 x + x 4 ) d x
∫ ( x −1 / 3 − x 2 / 3 ) d x ∫ ( x −1 / 3 − x 2 / 3 ) d x
∫ 14 x 3 + 2 x + 1 x 3 d x ∫ 14 x 3 + 2 x + 1 x 3 d x
∫ ( e x + e − x ) d x ∫ ( e x + e − x ) d x
For the following exercises, solve the initial value problem.
f ′ ( x ) = x −3 , f ( 1 ) = 1 f ′ ( x ) = x −3 , f ( 1 ) = 1
f ′ ( x ) = x + x 2 , f ( 0 ) = 2 f ′ ( x ) = x + x 2 , f ( 0 ) = 2
f ′ ( x ) = cos x + sec 2 ( x ) , f ( π 4 ) = 2 + 2 2 f ′ ( x ) = cos x + sec 2 ( x ) , f ( π 4 ) = 2 + 2 2
f ′ ( x ) = x 3 − 8 x 2 + 16 x + 1 , f ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) = x 3 − 8 x 2 + 16 x + 1 , f ( 0 ) = 0
f ′ ( x ) = 2 x 2 − x 2 2 , f ( 1 ) = 0 f ′ ( x ) = 2 x 2 − x 2 2 , f ( 1 ) = 0
For the following exercises, find two possible functions ff given the second- or third-order derivatives.
f ″ ( x ) = x 2 + 2 f ″ ( x ) = x 2 + 2
f ″ ( x ) = e − x f ″ ( x ) = e − x
f ″ ( x ) = 1 + x f ″ ( x ) = 1 + x
f ‴ ( x ) = cos x f ‴ ( x ) = cos x
f ‴ ( x ) = 8 e −2 x − sin x f ‴ ( x ) = 8 e −2 x − sin x
A car is being driven at a rate of 4040 mph when the brakes are applied. The car decelerates at a constant rate of 1010 ft/sec2. How long before the car stops?
In the preceding problem, calculate how far the car travels in the time it takes to stop.
You are merging onto the freeway, accelerating from rest at a constant rate of 1212 ft/sec2. How long does it take you to reach merging speed at 6060 mph?
Based on the previous problem, how far does the car travel to reach merging speed?
A car company wants to ensure its newest model can stop in 88 sec when traveling at 7575 mph. If we assume constant deceleration, find the value of deceleration that accomplishes this.
A car company wants to ensure its newest model can stop in less than 450450 ft when traveling at 6060 mph. If we assume constant deceleration, find the value of deceleration that accomplishes this.
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ F(0)=0।
2. f(x)=x^2+2
3. f(x)=4x-x
4. f(x)=sin(x)+2x
5. f(x)=e^x
6. f(x)=1/(x+1)^2
7. f(x)=e^{-2x}+3x^2
8. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠ। ਇਸਨੂੰ ਸੱਚ ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਜਾਂ ਜੇ ਇਹ ਝੂਠ ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧੀ ਉਦਾਹਰਨ ਲੱਭੋ।
9. ਜੇ f(x), v(x) ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ 2f(x), 2v(x) ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ।
10. ਜੇ f(x), v(x) ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ f(2x), v(2x) ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ।
11. ਜੇ f(x), v(x) ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ f(x)+1, v(x)+1 ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ।
12. ਜੇ f(x), v(x) ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ (f(x))^2, (v(x))^2 ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ।