ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.4.1 ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, y = f ( x ) , y = f ( x ) , ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
6.4.2 ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, x = g ( y ) , x = g ( y ) , ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
6.4.3 ਘੁੰਮਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਉਸ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੇ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਚੱਲ ਰਹੇ ਹੋਈਏ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਰਾਕੇਟ ਇੱਕ ਪਰਵਲਈ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਲਾਂਚ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰਾਕੇਟ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਾਂ, ਜੇਕਰ ਨਕਸ਼ੇ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵਕਰ ਸੜਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਪਣੇ ਮੰਜ਼ਿਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਗੱਡੀ ਚਲਾਉਣੀ ਪਵੇਗੀ।
ਅਸੀਂ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਉਸੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। (ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਦੀਆਂ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਉਲਟੀਆਂ ਹਨ।) ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜੋ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਦੀ ਜਾਂਚ ਨਾਲ ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
y = f(x) ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਇੰਟੈਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਨੂੰ ਇੰਟੈਗਰੇਬਲ, ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਸਾਡੀ f(x)f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਸਖ਼ਤ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ f(x)f(x) ਨੂੰ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, f′(x),f′(x) ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਸਮੂਥ (smooth) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਇਹ ਗੁਣ ਬਾਅਦ ਦੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।)
ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) [a,b] 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਸਮੂਥ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (a,f(a))(a,f(a)) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (b,f(b))(b,f(b)) ਤੱਕ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। i=0,1,2,…,n,i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi}P={xi} ਨੂੰ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਮੰਨੋ। ਫਿਰ, i=1,2,…,n,i=1,2,…,n ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (xi−1,f(xi−1))(xi−1,f(xi−1)) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (xi,f(xi))(xi,f(xi)) ਤੱਕ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਤਰਕਪੂਰਨ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਵਕਰ ਦਾ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ। ਚਿੱਤਰ 6.37 n=5 ਲਈ ਇਸ ਨਿਰਮਾਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.37: ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ Δx.Δx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਅੰਤਰਾਲ ਤੱਕ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi],[xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ Δyi=f(xi)−f(xi−1)Δyi=f(xi)−f(xi−1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.38 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੁਝ (ਜਾਂ ਸਾਰੇ) ΔyiΔyi ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6.38: ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ, ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (Δx)2+(Δyi)2.(Δx)2+(Δyi)2 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ Δx1+((Δyi)/(Δx))2.Δx1+((Δyi)/(Δx))2 ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ, ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi]xi*∈[xi−1,xi] ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f′(xi*)=(Δyi)/(Δx).f′(xi*)=(Δyi)/(Δx)। ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ Δx1+[f′(xi*)]2.Δx1+[f′(xi*)]2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਹੈ। ਜਦੋਂ n→∞,n→∞, ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.4
y = f(x) ਲਈ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) ਅੰਤਰਾਲ [a,b] 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਮੂਥ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ, ਬਿੰਦੂ (a,f(a))(a,f(a)) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (b,f(b))(b,f(b)) ਤੱਕ, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ f′(x),f′(x) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੰਟੈਗਰੇਟ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ f′(x)f′(x) ਇੰਟੈਗਰੇਬਲ ਹੈ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ f(x)f(x) ਨੂੰ ਸਮੂਥ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.18
x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=2x3/2.f(x)=2x3/2। ਅੰਤਰਾਲ [0,1] 'ਤੇ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ f′(x)=3x1/2,f′(x)=3x1/2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ [f′(x)]2=9x.[f′(x)]2=9x। ਫਿਰ, ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਹੈ
u=1+9x. ਫਿਰ, du=9dx. ਜਦੋਂ x=0, ਤਾਂ u=1, ਅਤੇ ਜਦੋਂ x=1, ਤਾਂ u=10. ਇਸ ਲਈ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.18
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=(4/3)x^{3/2}. f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [0,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ. ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ.
ਹਾਲਾਂਕਿ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਹੋਣਾ ਚੰਗਾ ਹੈ, ਇਹ ਖਾਸ ਥਿਊਰਮ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਨਾ ਔਖਾ ਹੈ. ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ 'Introduction to Techniques of Integration' ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ. ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ.
ਉਦਾਹਰਨ 6.19
x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=x^2. f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ.
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ f'(x)=2x ਹੈ, ਇਸ ਲਈ [f'(x)]^2=4x^2. ਫਿਰ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.19
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=sinx. f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [0,π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ. ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ.
y = g(x) ਦੇ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਕਿਵੇਂ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਬਜਾਏ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ. ਚਿੱਤਰ 6.39 ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ.
ਚਿੱਤਰ 6.39: [yi−1,yi] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ.
ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (Δy)^2+(Δx)^2 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ Δy√{1+((Δx)/(Δy))^2} ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਸੇ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੀਏ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ x = g(y) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ.
ਥਿਊਰਮ 6.5
x = g(y) ਲਈ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਮੰਨ ਲਓ g(y) ਇੱਕ y ਅੰਤਰਾਲ [c,d] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ. ਫਿਰ, ਬਿੰਦੂ (g(d), d) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (g(c), c) ਤੱਕ g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 6.20
y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ g(y)=3y^3. g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ.
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ g'(y)=9y^2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ [g'(y)]^2=81y^4. ਫਿਰ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਇਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.20
ਮੰਨ ਲਓ g(y)=1/y। ਇੰਟਰਵਲ [1,4] ਉੱਤੇ g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਤਹ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਉਹ ਸੰਕਲਪ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਕਰ ਦੀ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੀ ਸਤਹ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਤਹ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਬਾਹਰੀ ਪਰਤ ਦਾ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਊਬ ਜਾਂ ਇੱਟਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ, ਵਸਤੂ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਉਸਦੇ ਸਾਰੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਕਰ ਸਤਹਾਂ ਲਈ, ਸਥਿਤੀ ਥੋੜੀ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਇੰਟਰਵਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਸਮੂਥ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ x-ਐਕਸਿਸ ਦੁਆਲੇ y=f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਤਹ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 6.40: (a) f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਇੱਕ ਵਕਰ। (b) x-ਐਕਸਿਸ ਦੁਆਲੇ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਸਤਹ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੰਟਰਵਲ [a,b] ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P={xi} [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ। ਫਿਰ, i=1,2,…,n ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (xi−1,f(xi−1)) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (xi,f(xi)) ਤੱਕ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਹੁਣ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਸਤਹ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ x-ਐਕਸਿਸ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਓ।
ਚਿੱਤਰ 6.41: (a) ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨਾਲ f(x) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ। (b) ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ x-ਐਕਸਿਸ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਸਤਹ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਬੈਂਡ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬੈਂਡ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੋਨ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਇੱਕ ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਕੋਨ ਦੇ ਨੁਕੀਲੇ ਸਿਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟੇ ਹੋਏ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ)। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਨ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਨੂੰ ਕੋਨ ਦਾ ਫ੍ਰਸਟਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਬੈਂਡ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫ੍ਰਸਟਮ ਦੇ ਪਾਰਸ਼ਵ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, S, ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ (ਕੇਵਲ ਫ੍ਰਸਟਮ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਬਾਹਰੀ ਸਤਹ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ)। ਮੰਨ ਲਓ r1 ਅਤੇ r2 ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਫ੍ਰਸਟਮ ਦੇ ਚੌੜੇ ਸਿਰੇ ਅਤੇ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਰੇ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ l ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਫ੍ਰਸਟਮ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.42: ਕੋਨ ਦਾ ਇੱਕ ਫ੍ਰਸਟਮ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਭਾਗ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਨ ਦਾ ਪਾਰਸ਼ਵ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ r ਕੋਨ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ s ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.43: ਕੋਨ ਦਾ ਪਾਰਸ਼ਵ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ πrs ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਫ੍ਰਸਟਮ ਨੂੰ ਕੋਨ ਦੇ ਇੱਕ ਟੁਕੜੇ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਫ੍ਰਸਟਮ ਦਾ ਪਾਰਸ਼ਵ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪੂਰੇ ਕੋਨ ਦੇ ਪਾਰਸ਼ਵ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੇ ਕੋਨ (ਨੁਕੀਲੇ ਸਿਰੇ) ਦੇ ਪਾਰਸ਼ਵ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੱਟਿਆ ਗਿਆ ਸੀ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.44: ਕੋਨ ਦੇ ਫ੍ਰਸਟਮ ਦੇ ਪਾਰਸ਼ਵ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ।
ਛੋਟੇ ਕੋਨ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਕੋਨ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਸਮਾਨ ਤਿਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
s ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਫਿਰ ਫ੍ਰਸਟਮ ਦਾ ਪਾਰਸ਼ਵ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ (SA) ਹੈ
ਆਓ ਹੁਣ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ x-ਐਕਸਿਸ ਦੁਆਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਹਰੇਕ ਬੈਂਡ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੀਏ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਬੈਂਡ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.45: ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਬੈਂਡ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਫ੍ਰਸਟਮ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ ਸਿਰਫ਼ ਉਸ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਲਈ, ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹੁਣ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਸ ਨਾਲ f′(xi*)=(Δyi)/Δx ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ xi**∈[xi−1,xi] ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ f(xi**)=(1/2)[f(xi−1)+f(xi)] ਹੋਵੇ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਤਾਂ ਫਿਰ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਲਗਭਗ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਾਂਗ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜੋ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ, $x_i^*x_i^*$ ਅਤੇ $x_i^{**}x_i^{**}$, 'ਤੇ ਅੰਤਰਾਲ $[x_{i-1},x_i]$ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਵੇਰਵਿਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, ਇਹ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ $f(x)f(x)$ ਸੁਚਾਰੂ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $n\to\infty$ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵੀ ਸੀਮਾ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਅਨੁਭਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ। $x_i^*x_i^*$ ਅਤੇ $x_i^{**}x_i^{**}$ ਦੋਵੇਂ ਅੰਤਰਾਲ $[x_{i-1},x_i]$ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ $n\to\infty$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, $x_i^*x_i^*$ ਅਤੇ $x_i^{**}x_i^{**}$ ਦੋਵੇਂ $x$ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਵੇਰਵਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉੱਨਤ ਕੈਲਕੂਲਸ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕ ਦੇਖਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
$n\to\infty$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ $y$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵਿਕਾਸ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.6
ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਮੰਨ ਲਓ $f(x)f(x)$ ਅੰਤਰਾਲ $[a,b]$ 'ਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੁਚਾਰੂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਤਾਂ, $f(x)f(x)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ $g(y)g(y)$ ਅੰਤਰਾਲ $[c,d]$ 'ਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੁਚਾਰੂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਤਾਂ, $g(y)g(y)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 6.21
ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਗਿਣਨਾ 1
ਮੰਨ ਲਓ $f(x)=x$ ਅੰਤਰਾਲ $[1,4]$ 'ਤੇ ਹੈ। $f(x)f(x)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
$f(x)f(x)$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.46: (a) $f(x)f(x)$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। (b) ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ $f(x)=x$ ਹੈ। ਫਿਰ, $f'(x)=1/(2x)$ ਅਤੇ $(f'(x))^2=1/(4x)$। ਫਿਰ,
ਮੰਨ ਲਓ $u=x+1/4$। ਫਿਰ, $du=dx$। ਜਦੋਂ $x=1$, $u=5/4$, ਅਤੇ ਜਦੋਂ $x=4$, $u=17/4$। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.21
ਮੰਨ ਲਓ $f(x)=1-x$ ਅੰਤਰਾਲ $[0,1/2]$ 'ਤੇ ਹੈ। $f(x)f(x)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.22
ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਗਿਣਨਾ 2
ਮੰਨ ਲਓ $f(x)=y=3x^3$। ਵਕਰ ਦੇ ਉਸ ਹਿੱਸੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ $0\le y\le 2$। $f(x)f(x)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ $y$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ $y$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ $x=g(y)=(1/3)y^3$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। $g(y)g(y)$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.47: (a) $g(y)g(y)$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। (b) ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਸਤ੍ਹਾ।
We have g(y)=(1/3)y3,g(y)=(1/3)y3, so g′(y)=y2g′(y)=y2 and (g′(y))2=y4.(g′(y))2=y4. Then
Let u=y4+1.u=y4+1. Then du=4y3dy.du=4y3dy. When y=0,y=0, u=1,u=1, and when y=2,y=2, u=17.u=17. Then
Checkpoint 6.22
Let g(y)=9−y2g(y)=9−y2 over the interval y∈[0,2].y∈[0,2]. Find the surface area of the surface generated by revolving the graph of g(y)g(y) around the y-axis.y-axis.
For the following exercises, find the length of the functions over the given interval.
y = 5 x from x = 0 to x = 2 y = 5 x from x = 0 to x = 2
y = − 1 2 x + 25 from x = 1 to x = 4 y = − 1 2 x + 25 from x = 1 to x = 4
x = 4 y from y = −1 to y = 1 x = 4 y from y = −1 to y = 1
Pick an arbitrary linear function x=g(y)x=g(y) over any interval of your choice (y1,y2).(y1,y2). Determine the length of the function and then prove the length is correct by using geometry.
Find the surface area of the volume generated when the curve y=xy=x revolves around the x-axisx-axis from (1,1)(1,1) to (4,2),(4,2), as seen here.
Find the surface area of the volume generated when the curve y=x2y=x2 revolves around the y-axisy-axis from (1,1)(1,1) to (3,9).(3,9).
For the following exercises, find the lengths of the functions of xx over the given interval. If you cannot evaluate the integral exactly, use technology to approximate it.
y=x3/2y=x3/2 from (0,0)to(1,1)(0,0)to(1,1)
y=x2/3y=x2/3 from (1,1)to(8,4)(1,1)to(8,4)
y=13(x2+2)3/2y=13(x2+2)3/2 from x=0tox=1x=0tox=1
y=13(x2−2)3/2y=13(x2−2)3/2 from x=2x=2 to x=4x=4
[T] y=exy=ex on x=0x=0 to x=1x=1
y=x33+14xy=x33+14x from x=1tox=3x=1tox=3
y=x44+18x2y=x44+18x2 from x=1tox=2x=1tox=2
y=2x3/23−x1/22y=2x3/23−x1/22 from x=1tox=4x=1tox=4
y=127(9x2+6)3/2y=127(9x2+6)3/2 from x=0tox=2x=0tox=2
[T] y=sinxy=sinx on x=0tox=πx=0tox=π
For the following exercises, find the lengths of the functions of yy over the given interval. If you cannot evaluate the integral exactly, use technology to approximate it.
y=5−3x4y=5−3x4 from y=0y=0 to y=4y=4
x=12(ey+e−y)x=12(ey+e−y) from y=−1toy=1y=−1toy=1
x=5y3/2x=5y3/2 from y=0y=0 to y=1y=1
[T] x=y2x=y2 from y=0y=0 to y=1y=1
x=yx=y from y=0toy=1y=0toy=1
x=23(y2+1)3/2x=23(y2+1)3/2 from y=1y=1 to y=3y=3
[T] x=tanyx=tany from y=0y=0 to y=34y=34
[T] x=cos2yx=cos2y from y=−π2y=−π2 to y=π2y=π2
[T] x=4yx=4y from y=0toy=2y=0toy=2
[T] x=ln(y)x=ln(y) on y=1ey=1e to y=ey=e
For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the x-axis.x-axis. If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.
y=xy=x from x=2x=2 to x=6x=6
y=x3y=x3 from x=0x=0 to x=1x=1
y=7xy=7x from x=−1tox=1x=−1tox=1
[T] y=1x2y=1x2 from x=1tox=3x=1tox=3
y=4−x2y=4−x2 from x=0tox=2x=0tox=2
y=4−x2y=4−x2 from x=−1tox=1x=−1tox=1
y=5xy=5x from x=1tox=5x=1tox=5
[T] y=tanxy=tanx from x=−π4tox=π4x=−π4tox=π4
For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the y-axis.y-axis. If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.
y=x2y=x2 from x=0tox=2x=0tox=2
y=12x2+12y=12x2+12 from x=0tox=1x=0tox=1
y=x+1y=x+1 from x=0tox=3x=0tox=3
[T] y=1xy=1x from x=12x=12 to x=1x=1
y=x3y=x3 from x=1tox=27x=1tox=27
[T] y=3x4y=3x4 from x=0x=0 to x=1x=1
[T] y=1xy=1x from x=1x=1 to x=3x=3
[T] y=cosxy=cosx from x=0x=0 to x=π2x=π2
The base of a lamp is constructed by revolving a quarter circle y=2x−x2y=2x−x2 around the y-axisy-axis from x=1x=1 to x=2,x=2, as seen here. Create an integral for the surface area of this curve and compute it.
A light bulb is a sphere with radius 1/21/2 in. with the bottom sliced off to fit exactly onto a cylinder of radius 1/41/4 in. and length 1/31/3 in., as seen here. The sphere is cut off at the bottom to fit exactly onto the cylinder, so the radius of the cut is 1/41/4 in. Find the surface area (not including the top or bottom of the cylinder).
[T] A lampshade is constructed by rotating y=1/xy=1/x around the x-axisx-axis from y=1y=1 to y=2,y=2, as seen here. Determine how much material you would need to construct this lampshade—that is, the surface area—accurate to four decimal places.
[T] An anchor drags behind a boat according to the function y=24e−x/2−24,y=24e−x/2−24, where yy represents the depth beneath the boat and xx is the horizontal distance of the anchor from the back of the boat. If the anchor is 2323 ft below the boat, how much rope do you have to pull to reach the anchor? Round your answer to three decimal places.
[T] You are building a bridge that will span 1010 ft. You intend to add decorative rope in the shape of y=5|sin((xπ)/5)|,y=5|sin((xπ)/5)|, where xx is the distance in feet from one end of the bridge. Find out how much rope you need to buy, measured in a whole number of feet.
For the following exercises, find the exact arc length for the following problems over the given interval.
y=ln(sinx)y=ln(sinx) from x=π/4x=π/4 to x=(3π)/4.x=(3π)/4. (Hint: Recall trigonometric identities.)
[T] Draw graphs of y=x2,y=x2, y=x6,y=x6, and y=x10.y=x10. For y=xn,y=xn, as nn increases, formulate a prediction on the arc length from (0,0)(0,0) to (1,1).(1,1). Now, compute the lengths of these three functions and determine whether your prediction is correct.
Compare the lengths of the parabola x=y2x=y2 and the line x=byx=by from (0,0)to(b2,b)(0,0)to(b2,b) as bb increases. What do you notice?
Solve for the length of x=y2x=y2 from (0,0)to(1,1).(0,0)to(1,1). Show that x=(1/2)y2x=(1/2)y2 from (0,0)(0,0) to (2,2)(2,2) is twice as long. Graph both functions and explain why this is so.
[T] Which is longer between (1,1)(1,1) and (2,1/2):(2,1/2): the hyperbola y=1/xy=1/x or the graph of x+2y=3?x+2y=3?
Explain why the surface area is infinite when y=1/xy=1/x is rotated around the x-axisx-axis for 1≤x<∞,1≤x<∞, but the volume is finite.