ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.3.1 ਅਖੰਡਾਂ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਅਰਥ ਦੱਸੋ।
1.3.2 ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1 ਦਾ ਅਰਥ ਦੱਸੋ।
1.3.3 ਅਖੰਡਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.3.4 ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਦਾ ਅਰਥ ਦੱਸੋ।
1.3.5 ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.3.6 ਵਿਭੇਦਨ ਅਤੇ ਅਖੰਡੀਕਰਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡ ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨਾਲ ਇਸਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਵੇਖਿਆ ਹੈ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਹੁਣ ਤੱਕ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡ ਦਾ ਮੁੱਲ ਗਿਣਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਪਲਬਧ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਸਾਧਨ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਖੇਤਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਤੇ ਰੀਮਨ ਸੱਮਾਂ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਹੁੰਚ ਬਹੁਤ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਵਧੇਰੇ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਨਵੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਭੇਦਨ ਅਤੇ ਅਖੰਡੀਕਰਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਖੋਜ ਅਤੇ ਪੜਚੋਲ ਸਰ ਆਈਜ਼ਕ ਨਿਊਟਨ ਅਤੇ ਗੌਟਫ੍ਰਾਈਡ ਵਿਲਹੈਲਮ ਲੀਬਨਿਜ਼ (ਹੋਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਦੁਆਰਾ 1600 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਅਖੀਰ ਅਤੇ 1700 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਹ ਉਸ ਵਿੱਚ ਸੰਹਿਤ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦੇ ਦੋ ਭਾਗ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਹੀ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਸਮੁੱਚੇ ਵਿਕਾਸ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀਤਾ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਆਈਜ਼ਕ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਯੋਗਦਾਨ ਨੇ ਦੁਨੀਆ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਦੇ ਸਾਡੇ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ। ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜੇ ਗਏ ਸਬੰਧ, ਜੋ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਅਤੇ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਜੋਂ ਸੰਹਿਤ ਹਨ, ਅੱਜ ਵੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਮੱਗਰੀ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਪੂਰੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਲਈ, ਮਲਟੀਮੀਡੀਆ ਕਲਿੱਪਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਸੰਖੇਪ ਜੀਵਨੀ ਪੜ੍ਹੋ।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਥਿਊਰਮ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਥਿਊਰਮ, ਅਖੰਡਾਂ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ, ਜਿਸਦੀ ਲੋੜ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹੈ।
ਅਖੰਡਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ
ਅਖੰਡਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਆਪਣਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਥਿਊਰਮ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ c ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ c ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ [a,b] ਉੱਤੇ f(x) ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਥਿਊਰਮ 1.3
ਅਖੰਡਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ
ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ c∈[a,b] ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ
ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਸਿੱਧ
ਕਿਉਂਕਿ f(x) [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤਿਅੰਤ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ (ਦੇਖੋ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ) ਦੁਆਰਾ, ਇਹ [a,b] ਉੱਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ—ਕ੍ਰਮਵਾਰ m ਅਤੇ M—ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, [a,b] ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ m≤f(x)≤M ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਤੁਲਨਾ ਥਿਊਰਮ (ਦੇਖੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡ) ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
b−a ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ 1b−a∫abf(x)dx, m ਅਤੇ M ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ [a,b] ਉੱਤੇ m ਅਤੇ M ਮੁੱਲ ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ (ਦੇਖੋ ਨਿਰੰਤਰਤਾ) ਦੁਆਰਾ, [a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ c ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ
ਅਤੇ ਸਿੱਧ ਪੂਰਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ।
□
1. ਉਦਾਹਰਨ 1.15
2. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
3. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=8−2x ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [0,4] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ c ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ [0,4] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
4. ਹੱਲ
5. ਸੂਤਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x) ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
6. ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1.26 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A=12(ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ) ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
7. ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ 1/(4−0) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਹੈ:
8. ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ f(c) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਅਤੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. c=2 'ਤੇ, f(2)=4 ਹੈ।
10. ਚਿੱਤਰ 1.26: ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਆਪਣੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵਾਰ c 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
11. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.14
12. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x^2 ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [0,6] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ c ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ [0,6] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 1.16
14. ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣਾ ਜਿੱਥੇ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ
15. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ∫03x^2dx=9, c ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ f(x)=x^2 ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [0,3] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
16. ਹੱਲ
17. ਅਸੀਂ c ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਲਈ:
18. f(c) ਨੂੰ c^2 ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
19. ਕਿਉਂਕਿ -3 ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਸਿਰਫ਼ ਧਨ ਮੁੱਲ ਲਓ। ਇਸ ਲਈ, c=3 (ਚਿੱਤਰ 1.27)।
20. ਚਿੱਤਰ 1.27: ਅੰਤਰਾਲ [0,3] ਉੱਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x^2 ਆਪਣੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ c=3 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
21. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.15
22. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ∫03(2x^2−1)dx=15, c ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ f(x)=2x^2−1 ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [0,3] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
23. ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੁੱਢਲਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਭਾਗ 1: ਸਮਾਕਲਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਨ
24. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੁੱਢਲਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਹੈ ਜੋ ਅਵਕਲਨ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਜਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਦੋ ਭਾਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲਾ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੁੱਢਲਾ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 1, ਇੱਥੇ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਭਾਗ 1 ਅਵਕਲਨ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 1.4
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 1
ਜੇਕਰ f(x) ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਫਲਨ F(x) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇ
ਤਾਂ F′(x)=f(x) ਅੰਤਰਾਲ (a,b) ਉੱਤੇ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਕੁਝ ਸੂਖਮਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਨਾ ਯੋਗ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਨਿਸ਼ਾਨੀ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਟਿੱਪਣੀ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫਲਨ, F(x), ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਫਲਨ, f(t), ਦੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ a ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ x ਤੱਕ। ਪਹਿਲੀ ਨਜ਼ਰੇ, ਇਹ ਭੰਬਲਭੂਸਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕਿਹਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਥੇ ਇਹ ਇੱਕ ਫਲਨ ਜਾਪਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਮੁੱਖ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ x ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮੁੱਲ ਲਈ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਫਲਨ F(x) ਹਰੇਕ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ (ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ) ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜਾ, ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਟਿੱਪਣੀ ਕਰਨਾ ਯੋਗ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕਹਿਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਹੈ। ਇਹ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਸਮਾਕਲਨ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਵੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮਾਕਲਨਯੋਗ ਫਲਨ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿ-ਅਵਕਲਜ (antiderivative) ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਆਖਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1h∫xx+hf(t)dt ਫਲਨ f(x) ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਹੈ ਅੰਤਰਾਲ [x,x+h] ਉੱਤੇ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਮੇਯ (The Mean Value Theorem for Integrals) ਦੁਆਰਾ, [x,x+h] ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ c ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ c, x ਅਤੇ x + h ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਜਦੋਂ h ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ c, x ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ limh→0f(c)=limc→xf(c)=f(x)। ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ ਸਿੱਧ ਪੂਰਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ।
□
ਉਦਾਹਰਨ 1.17
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨਾਲ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਵਕਲਜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.16
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ g(r)=∫0rx2+4dx ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.18
ਅਵਕਲਜਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਮੰਨ ਲਓ F(x)=∫1xsintdt। F′(x) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
u(x)=x ਮੰਨ ਕੇ, ਅਸੀਂ F(x)=∫1u(x)sintdt ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੁਆਰਾ,
Checkpoint 1.17
Let F(x)=∫1x3costdt.F(x)=∫1x3costdt. Find F′(x).F′(x).
Example 1.19
Using the Fundamental Theorem of Calculus with Two Variable Limits of Integration
Let F(x)=∫x2xt3dt.F(x)=∫x2xt3dt. Find F′(x).F′(x).
Solution
We have F(x)=∫x2xt3dt.F(x)=∫x2xt3dt. Both limits of integration are variable, so we need to split this into two integrals. We get
Differentiating the first term, we obtain
Differentiating the second term, we first let u(x)=2x.u(x)=2x. Then,
Thus,
Checkpoint 1.18
Let F(x)=∫xx2costdt.F(x)=∫xx2costdt. Find F′(x).F′(x).
Fundamental Theorem of Calculus, Part 2: The Evaluation Theorem
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, is perhaps the most important theorem in calculus. After tireless efforts by mathematicians for approximately 500 years, new techniques emerged that provided scientists with the necessary tools to explain many phenomena. Using calculus, astronomers could finally determine distances in space and map planetary orbits. Everyday financial problems such as calculating marginal costs or predicting total profit could now be handled with simplicity and accuracy. Engineers could calculate the bending strength of materials or the three-dimensional motion of objects. Our view of the world was forever changed with calculus.
After finding approximate areas by adding the areas of n rectangles, the application of this theorem is straightforward by comparison. It almost seems too simple that the area of an entire curved region can be calculated by just evaluating an antiderivative at the first and last endpoints of an interval.
Theorem 1.5
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2
If f is continuous over the interval [a,b][a,b] and F(x)F(x) is any antiderivative of f(x),f(x), then
We often see the notation F(x)|abF(x)|ab to denote the expression F(b)−F(a).F(b)−F(a). We use this vertical bar and associated limits a and b to indicate that we should evaluate the function F(x)F(x) at the upper limit (in this case, b), and subtract the value of the function F(x)F(x) evaluated at the lower limit (in this case, a).
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2 (also known as the evaluation theorem) states that if we can find an antiderivative for the integrand, then we can evaluate the definite integral by evaluating the antiderivative at the endpoints of the interval and subtracting.
Proof
Let P={xi},i=0,1,…,nP={xi},i=0,1,…,n be a regular partition of [a,b].[a,b]. Then, we can write
Now, we know F is an antiderivative of f over [a,b],[a,b], so by the Mean Value Theorem (see The Mean Value Theorem) for i=0,1,…,ni=0,1,…,n we can find cici in [xi−1,xi][xi−1,xi] such that
Then, substituting into the previous equation, we have
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਹੱਦ n→∞,n→∞ ਲੈਣ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
□
ਉਦਾਹਰਨ 1.20
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ
ਹੱਲ
ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਯਾਦ ਕਰੋ:
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਿਖਿਆ ਸੀ ਤਾਂ ਅਸੀਂ “+ C” ਟਰਮ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਅਨੁਸਾਰ, ਕੋਈ ਵੀ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਹੂਲਤ ਲਈ, ਅਸੀਂ C=0 ਵਾਲਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਚੁਣਿਆ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਚੁਣਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਸਥਿਰ ਟਰਮ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੀ। ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਿਸ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਹ ਚਿੱਤਰ 1.28 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਸਾਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਖੇਤਰਫਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ (ਇੱਕ ਨੈੱਟ ਸਾਈਨਡ ਏਰੀਆ) ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਲਾਭ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੰਪਨੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘਾਟੇ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.28: ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਖੇਤਰਫਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.21
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਉੱਤੇ ਲਿਖ ਕੇ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ:
ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਹੁਣ, ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰੋ:
ਚਿੱਤਰ 1.29 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 1.29: x=1x=1 ਤੋਂ x=9x=9 ਤੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.19
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫12x−4dx.∫12x−4dx. ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.22
1. ਰੋਲਰ-ਸਕੇਟਿੰਗ ਦੌੜ
2. ਜੇਮਜ਼ ਅਤੇ ਕੈਥੀ ਰੋਲਰ ਸਕੇਟਾਂ 'ਤੇ ਦੌੜ ਲਗਾ ਰਹੇ ਹਨ। ਉਹ ਇੱਕ ਲੰਬੇ, ਸਿੱਧੇ ਟਰੈਕ 'ਤੇ ਦੌੜਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਇਨਾਮ ਜਿੱਤਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜੇਮਜ਼ f(t)=5+2t ft/sec ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਕੇਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੈਥੀ g(t)=10+cos(π2t) ft/sec ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਕੇਟ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੌੜ ਕੌਣ ਜਿੱਤੇਗਾ?
3. ਹੱਲ
4. ਸਾਨੂੰ ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ [0,5] ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਦੇਖਣਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਜੇਮਜ਼ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
5. ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
6. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਮਜ਼ ਨੇ 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 50 ਫੁੱਟ ਸਕੇਟ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਕੈਥੀ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
7. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sin(t) cos(t) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਉਮੀਦ ਕਰਨਾ ਵਾਜਬ ਹੈ ਕਿ cos(π2t) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ sin(π2t) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੇਗਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ sin(π2t) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ π2cos(π2t) ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਵਾਧੂ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖਣਾ ਪਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
8. ਕੈਥੀ ਨੇ 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਲਗਭਗ 50.6 ਫੁੱਟ ਸਕੇਟ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਕੈਥੀ ਜਿੱਤ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਨਹੀਂ!
9. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.20
10. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਜੇਮਜ਼ ਅਤੇ ਕੈਥੀ ਦਾ ਮੁੜ-ਮੁਕਾਬਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਵਾਰ ਅਧਿਕਾਰੀ ਸਿਰਫ਼ 3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਮੁਕਾਬਲਾ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਇਸ ਨਾਲ ਨਤੀਜਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ?
11. ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
12. ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਰਾਸ਼ੂਟਿਸਟ
13. ਚਿੱਤਰ 1.30: ਸਕਾਈਡਾਈਵਰ ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਦੌਰਾਨ ਆਪਣੇ ਸਰੀਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਬਦਲ ਕੇ ਆਪਣੀ ਡਾਈਵ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਜੇਰੇਮੀ ਟੀ. ਲਾਕ)
14. ਜੂਲੀ ਇੱਕ ਉਤਸ਼ਾਹੀ ਸਕਾਈਡਾਈਵਰ ਹੈ। ਉਸਨੇ 300 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜੰਪ ਕੀਤੇ ਹਨ ਅਤੇ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ ਬਦਲ ਕੇ ਇਹ ਕੰਟਰੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਕਲਾ ਵਿੱਚ ਮੁਹਾਰਤ ਹਾਸਲ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਆਪਣੀ ਪਿੱਠ ਨੂੰ ਆਰਚ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਆਪਣਾ ਪੇਟ ਜ਼ਮੀਨ ਵੱਲ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਲਗਭਗ 120 mph (176 ft/sec) ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। ਜੇ, ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਉਹ ਆਪਣੇ ਸਿਰ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਹੇਠਾਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਸਰੀਰ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ, 150 mph (220 ft/sec) ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
15. ਕਿਉਂਕਿ ਜੂਲੀ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ (ਡਿੱਗ ਰਹੀ) ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਕਰੇਗੀ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਜੂਲੀ 12,500 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਆਪਣੀ ਜੰਪ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਤੁਰੰਤ v(t)=32t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਗਤੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਇਸ ਗਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਤੇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ। ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਉਸਦੀ ਗਤੀ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਆਪਣੀ ਰਿਪਕੋਰਡ ਨਹੀਂ ਖਿੱਚਦੀ ਅਤੇ ਉਤਰਨ ਲਈ ਹੌਲੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦੀ।
16. ਦਿਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਪਹਿਲੀ ਜੰਪ 'ਤੇ, ਜੂਲੀ ਹੌਲੀ "ਬੈਲੀ ਡਾਊਨ" ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ (ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ 176 ft/sec ਹੈ)। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
17. ਜਹਾਜ਼ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਣ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਬਾਅਦ ਜੂਲੀ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
18. ਸਵਾਲ 1 ਦੇ ਤੁਹਾਡੇ ਜਵਾਬ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਜੋ 30 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜੂਲੀ ਦੁਆਰਾ ਡਿੱਗੇ ਗਏ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
19. ਜੇ ਜੂਲੀ 3000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਆਪਣੀ ਰਿਪਕੋਰਡ ਖਿੱਚਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਉਂਦੀ ਹੈ?
20. ਜੂਲੀ 3000 ਫੁੱਟ 'ਤੇ ਆਪਣੀ ਰਿਪਕੋਰਡ ਖਿੱਚਦੀ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਪੈਰਾਸ਼ੂਟ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਅਤੇ ਹੌਲੀ ਹੋਣ ਵਿੱਚ 5 ਸਕਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਦੌਰਾਨ ਉਹ ਇੱਕ ਹੋਰ 400 ਫੁੱਟ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਕੈਨੋਪੀ ਦੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਉਸਦੀ ਗਤੀ 16 ft/sec ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਛੱਡਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਉਸਦੇ ਪੈਰ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਛੂਹਣ ਤੱਕ, ਜੂਲੀ ਦੁਆਰਾ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਬਿਤਾਏ ਕੁੱਲ ਸਮੇਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਦਿਨ ਦੀ ਜੂਲੀ ਦੀ ਦੂਜੀ ਜੰਪ 'ਤੇ, ਉਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਥੋੜ੍ਹਾ ਤੇਜ਼ ਡਿੱਗਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ "ਹੈੱਡ ਡਾਊਨ" ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ 220 ft/sec ਹੈ। ਇਸ ਗਤੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਇਹਨਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦਿਓ:
21. ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਜੂਲੀ ਨੂੰ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
22. ਆਪਣੀ ਰਿਪਕੋਰਡ ਖਿੱਚਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਜੂਲੀ ਆਪਣੇ ਸਰੀਰ ਨੂੰ "ਬੈਲੀ ਡਾਊਨ" ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉਸਦਾ ਪੈਰਾਸ਼ੂਟ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵੇਲੇ ਉਹ ਇੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਗਤੀ ਨਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਉਹ 4000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਇਹ ਮੈਨੂਵਰ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਮੁੜ-ਸਥਾਪਤੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਉਂਦੀ ਹੈ? ਕੁਝ ਜੰਪਰ "ਵਿੰਗਸੂਟ" (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 1.31) ਪਹਿਨਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਸੂਟ ਹੱਥਾਂ ਅਤੇ ਲੱਤਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਫੈਬਰਿਕ ਪੈਨਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਪਹਿਨਣ ਵਾਲੇ ਨੂੰ ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਉੱਡਣ ਵਾਲੀ ਗਿਲਹਰੀ ਵਾਂਗ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। (ਦਰਅਸਲ, ਸੂਟਾਂ ਨੂੰ ਕਦੇ-ਕਦੇ "ਉੱਡਣ ਵਾਲੀ ਗਿਲਹਰੀ ਸੂਟ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।) ਜਦੋਂ ਇਹ ਸੂਟ ਪਹਿਨੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਲਗਭਗ 30 mph (44 ft/sec) ਤੱਕ ਘੱਟ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਪਹਿਨਣ ਵਾਲਿਆਂ ਨੂੰ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਸਮਾਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਵਿੰਗਸੂਟ ਫਲਾਇਰਜ਼ ਅਜੇ ਵੀ ਉਤਰਨ ਲਈ ਪੈਰਾਸ਼ੂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਹਾਲਾਂਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਗਤੀ ਸੁਰੱਖਿਆ ਦੇ ਮਾਰਜਿਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ, ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਗਤੀ 70 mph ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਉਤਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ ਹੈ।
23. ਚਿੱਤਰ 1.31: ਵਿੰਗਸੂਟ ਦੇ ਹੱਥਾਂ ਅਤੇ ਲੱਤਾਂ 'ਤੇ ਫੈਬਰਿਕ ਪੈਨਲ ਇੱਕ ਸਕਾਈਡਾਈਵਰ ਦੇ ਪਤਨ ਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦਾ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਰਿਚਰਡ ਸ਼ਨੀਡਰ)
24. ਵਿੰਗਸੂਟ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
If Julie dons a wingsuit before her third jump of the day, and she pulls her ripcord at an altitude of 3000 ft, how long does she get to spend gliding around in the air?
Consider two athletes running at variable speeds v1(t)v1(t) and v2(t).v2(t). The runners start and finish a race at exactly the same time. Explain why the two runners must be going the same speed at some point.
Two mountain climbers start their climb at base camp, taking two different routes, one steeper than the other, and arrive at the peak at exactly the same time. Is it necessarily true that, at some point, both climbers increased in altitude at the same rate?
To get on a certain toll road a driver has to take a card that lists the mile entrance point. The card also has a timestamp. When going to pay the toll at the exit, the driver is surprised to receive a speeding ticket along with the toll. Explain how this can happen.
Set F(x)=∫1x(1−t)dt.F(x)=∫1x(1−t)dt. Find F′(2)F′(2) and the average value of F′F′ over [1,2].[1,2].
In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.
d d x ∫ 1 x e − t 2 d t d d x ∫ 1 x e − t 2 d t
d d x ∫ 1 x e cos t d t d d x ∫ 1 x e cos t d t
d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y
d d x ∫ 3 x d s 16 − s 2 d d x ∫ 3 x d s 16 − s 2
d d x ∫ x 2 x t d t d d x ∫ x 2 x t d t
d d x ∫ 0 x t d t d d x ∫ 0 x t d t
d d x ∫ 0 sin x 1 − t 2 d t d d x ∫ 0 sin x 1 − t 2 d t
d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t
d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t
d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t
d d x ∫ 0 ln x e t d t d d x ∫ 0 ln x e t d t
d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u
The graph of y=∫0xf(t)dt,y=∫0xf(t)dt, where f is a piecewise constant function, is shown here.
Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero?
What are the maximum and minimum values of f?
What is the average value of f?
The graph of y=∫0xf(t)dt,y=∫0xf(t)dt, where f is a piecewise constant function, is shown here.
Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero?
What are the maximum and minimum values of f?
What is the average value of f?
The graph of y=∫0xℓ(t)dt,y=∫0xℓ(t)dt, where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.
Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero?
Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which, if any, is it constant?
What is the average value of ℓ?
The graph of y=∫0xℓ(t)dt,y=∫0xℓ(t)dt, where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.
Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero?
Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which intervals, if any, is it constant?
What is the average value of ℓ?
In the following exercises, use a calculator to estimate the area under the curve by computing T10, the average of the left- and right-endpoint Riemann sums using N=10N=10 rectangles. Then, using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, determine the exact area.
[T] y=x2y=x2 over [0,4][0,4]
[T] y=x3+6x2+x−5y=x3+6x2+x−5 over [−4,2][−4,2]
[T] y=x3y=x3 over [0,6][0,6]
[T] y=x+x2y=x+x2 over [1,9][1,9]
[T] ∫(cosx−sinx)dx∫(cosx−sinx)dx over [0,π][0,π]
[T] ∫4x2dx∫4x2dx over [1,4][1,4]
In the following exercises, evaluate each definite integral using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.
∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x ∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x
∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x ∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x
∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t ∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t
∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t ∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t
∫ 1 2 x 9 d x ∫ 1 2 x 9 d x
∫ 0 1 x 99 d x ∫ 0 1 x 99 d x
∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t ∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t
∫ 1 / 4 4 ( x 2 − 1 x 2 ) d x ∫ 1 / 4 4 ( x 2 − 1 x 2 ) d x
∫ 1 2 2 x 3 d x ∫ 1 2 2 x 3 d x
∫ 1 4 1 2 x d x ∫ 1 4 1 2 x d x
∫ 1 4 2 − t t 2 d t ∫ 1 4 2 − t t 2 d t
∫ 1 16 d t t 1 / 4 ∫ 1 16 d t t 1 / 4
∫ 0 2 π cos θ d θ ∫ 0 2 π cos θ d θ
∫ 0 π / 2 sin θ d θ ∫ 0 π / 2 sin θ d θ
∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ ∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ
∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ ∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ
∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ ∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ
∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ ∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ
∫ 1 2 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t ∫ 1 2 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t
∫ −2 −1 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t ∫ −2 −1 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t
In the following exercises, use the evaluation theorem to express the integral as a function F(x).F(x).
∫ a x t 2 d t ∫ a x t 2 d t
∫ 1 x e t d t ∫ 1 x e t d t
∫ 0 x cos t d t ∫ 0 x cos t d t
∫ − x x sin t d t ∫ − x x sin t d t
In the following exercises, identify the roots of the integrand to remove absolute values, then evaluate using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.
∫ −2 3 | x | d x ∫ −2 3 | x | d x
∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t ∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t
∫ 0 π | cos t | d t ∫ 0 π | cos t | d t
∫ − π / 2 π / 2 | sin t | d t ∫ − π / 2 π / 2 | sin t | d t
1. ਸੀਐਟਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਦਿਨ ਦਿਨ-ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ −3.75cos(πt6)+12.25, −3.75cos(πt6)+12.25 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ t=0 ਸਰਦ ਰੁੱਤ ਦੇ ਸੰਕ੍ਰਮਣ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
2. ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਦਿਨ-ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਘੰਟੇ ਕਿੰਨੇ ਹਨ?
3. ਕਿਹੜੇ ਸਮੇਂ t1 ਅਤੇ t2, ਜਿੱਥੇ 0≤t1<t2<12, 0≤t1<t2<12, ਦਿਨ-ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਔਸਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?
4. t1 ਅਤੇ t2, t2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੀਐਟਲ ਵਿੱਚ ਦਿਨ-ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਘੰਟਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਿਖੋ।
5. t1 ਅਤੇ t2, 0≤t1<t2<12, 0≤t1<t2<12, ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੀਐਟਲ ਵਿੱਚ ਦਿਨ-ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਔਸਤ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ t2 ਅਤੇ t1, t1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਅਤੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਦਿਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਔਸਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
6. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਸਾਲ ਦੌਰਾਨ ਗੈਸੋਲੀਨ ਦੀ ਖਪਤ ਦੀ ਦਰ (11.21−cos(πt6))×109 (11.21−cos(πt6))×109 ਗੈਲ/ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਈਨੋਸੋਈਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
7. ਔਸਤ ਮਾਸਿਕ ਖਪਤ ਕਿੰਨੀ ਹੈ, ਅਤੇ t ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਦਰ ਔਸਤ ਦਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?
8. ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਗੈਲਨ ਗੈਸੋਲੀਨ ਦੀ ਖਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?
9. ਅਪ੍ਰੈਲ (t=3) ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਅਤੇ ਸਤੰਬਰ (t=9) ਦੇ ਅੰਤ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਲ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੌਰਾਨ ਔਸਤ ਮਾਸਿਕ ਯੂ.ਐਸ. ਗੈਸ ਦੀ ਖਪਤ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਿਖੋ।
10. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇ f [a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ c∈[a,b] c∈[a,b] ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(c)=1b−a∫abf(t)dt.f(c)=1b−a∫abf(t)dt.
11. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇ f [a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ M∈[a,b] M∈[a,b] ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(M)>1b−a∫abf(t)dtf(M)>1b−a∫abf(t)dt ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ m∈[a,b] m∈[a,b] ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(m)<1b−a∫abf(t)dt.f(m)<1b−a∫abf(t)dt.
12. ਕੇਪਲਰ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਾਨੂੰਨ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿ ਸੂਰਜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਸ਼ੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਹਿ ਕਸ਼ੇਤਰ ਦਾ ਸੂਰਜ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ (ਧਰਤੀ ਲਈ, ਇਹ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 3 ਜਨਵਰੀ ਨੂੰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਅਫੇਲੀਅਨ (ਧਰਤੀ ਲਈ, ਇਹ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 4 ਜੁਲਾਈ ਨੂੰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕੇਪਲਰ ਦਾ ਦੂਜਾ ਕਾਨੂੰਨ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿ ਬਰਾਬਰ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਸ਼ੇਤਰਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਸਵੀਪ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਦੋ ਆਰਕ ਬਰਾਬਰ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਸਵੀਪ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸਾਲ ਦੇ ਕਿਸ ਸਮੇਂ ਧਰਤੀ ਆਪਣੀ ਕਸ਼ੇਤਰ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚਲ ਰਹੀ ਹੈ? ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਹੌਲੀ ਕਦੋਂ ਚਲ ਰਹੀ ਹੈ?
13. ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ 2a ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਾ 2b ਹੈ, ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (acosθ,bsinθ), 0≤θ≤2π ਹਨ।
14. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ (−c,0) (−c,0) 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ d(θ)=a+ccosθ, d(θ)=a+ccosθ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c=a2−b2. c=a2−b2.
15. ਇਹਨਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫੋਕਸ (−c,0) (−c,0) ਤੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ d– d– , ਕੋਣ θ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ, a ਹੈ।
16. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਅਨੁਸਾਰ, ਧਰਤੀ ਦਾ ਕਸ਼ੇਤਰ ਸੂਰਜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਧਰਤੀ ਦੇ ਕਸ਼ੇਤਰ ਲਈ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ 147,098,290 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਅਤੇ ਅਫੇਲੀਅਨ 152,098,232 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਹੈ।
17. ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਰੱਖ ਕੇ, ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਧਰਤੀ ਤੱਕ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ ਲੱਭੋ।
18. ਇੱਕ ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਇਕਾਈ (AU) ਦੀ ਕਲਾਸਿਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਧਰਤੀ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ ਅਤੇ ਅਫੇਲੀਅਨ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਔਸਤ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਕੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਜਾਇਜ਼ ਹੈ?
19. ਸੂਰਜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਵਿਚਕਾਰ ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਬਲ F(θ)=GmMr2(θ), F(θ)=GmMr2(θ) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ m ਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ, M ਸੂਰਜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ, G ਇੱਕ ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਅਤੇ r(θ) r(θ) ਸੂਰਜ ਅਤੇ ਗ੍ਰਹਿ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਗ੍ਰਹਿ ਆਪਣੇ ਕਸ਼ੇਤਰ ਦੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਨਾਲ θ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ M, m, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ a ਅਤੇ b (ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀ ਅੱਧੀ ਲੰਬਾਈ) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, G,m,M,a,b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਅਤੇ ਗ੍ਰਹਿ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਬਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸੈੱਟ ਕਰੋ — ਪਰ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਾ ਕੱਢੋ।
20. ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਪੁੰਜ ਦੇ ਰੈਸਟ ਤੋਂ ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਸਮੀਕਰਨ x(t)=Acos(ωt−ϕ), x(t)=Acos(ωt−ϕ) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ϕ ϕ ਇੱਕ ਫੇਜ਼ ਸਥਿਰ ਹੈ, ω ਕੋਣਵਾਰ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਹੈ, ਅਤੇ A ਐਮਪਲੀਟਿਊਡ ਹੈ। ਪੁੰਜ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ, ਔਸਤ ਸਪੀਡ (ਵੇਗ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ), ਔਸਤ ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ, ਅਤੇ ਰੈਸਟ ਤੋਂ ਔਸਤ ਦੂਰੀ (ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ) ਲੱਭੋ।