ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.4.1 ਬੁਨਿਆਦੀ ਏਕੀਕਰਨ ਫਾਰਮੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
1.4.2 ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਮਹੱਤਵ ਸਮਝਾਓ।
1.4.3 ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.4.4 ਟਾਂਕ ਅਤੇ ਜੁੱਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਏਕੀਕਰਨ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਪੜ੍ਹੇ ਗਏ ਬੁਨਿਆਦੀ ਏਕੀਕਰਨ ਫਾਰਮੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ, ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ (ਜਦੋਂ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ) ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਜਦੋਂ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ)। ਇੱਕ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਏਕੀਕਰਨ ਨਾਲ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣੂ ਹੁੰਦੇ ਜਾਵੋਗੇ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਅਹਿਸਾਸ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਕਦੋਂ ਵਰਤਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਕਦੋਂ ਵਰਤਣਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਲਈ ਸਹੀ ਪਹੁੰਚ ਚੁਣੋਗੇ ਬਿਨਾਂ ਇਸ ਬਾਰੇ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੋਚੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਤੁਹਾਡੇ ਮਨ ਵਿੱਚ ਪੱਕੇ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦੇ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਸੋਚੋ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਜਾਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਅਤੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀ ਚੋਣ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ ਸਹੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ।
ਬੁਨਿਆਦੀ ਏਕੀਕਰਨ ਫਾਰਮੂਲ
ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿੱਚ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ਫਾਰਮੂਲ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਬਾਰੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਆਓ ਇਨ੍ਹਾਂ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.23
ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ ∫14t(1+t)dt.∫14t(1+t)dt. ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕੀਏ:
ਹੁਣ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰੋ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.21
f(x)=x2−3xf(x)=x2−3x ਦੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [1,3].[1,3] ਤੇ ਲੱਭੋ।
ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਥਿਊਰਮ
ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਥਿਊਰਮ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਏਕੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਵਾਂ ਮੁੱਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਲੱਸ ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਹੈ; ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 1.6
ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਥਿਊਰਮ
ਬਦਲ ਰਹੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਨਵਾਂ ਮੁੱਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਲੱਸ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ F(a)F(a) ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਨਾਲ ਦੂਜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਕਿਹੜਾ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਇਹ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਮਹੱਤਵ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ। ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਖੇਤਰਫਲ, ਦੂਰੀ, ਅਤੇ ਆਇਤਨ, ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਦੇਣ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਹੀ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਏਕੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਗਿਣਦਾ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਸ਼ੁੱਧ ਬਦਲਾਅ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ ਜਿਸਦਾ ਨਤੀਜਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦ ਡੈਫੀਨਾਈਟ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਉਦਾਹਰਨ ਵੇਖੀ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਾਰ ਦੁਪਹਿਰ 2 ਵਜੇ ਤੋਂ ਸ਼ਾਮ 4 ਵਜੇ ਤੱਕ 40 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਤਰ ਦਿਸ਼ਾ (ਧਨਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ) ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ, ਫਿਰ ਕਾਰ ਸ਼ਾਮ 4 ਵਜੇ ਤੋਂ ਸ਼ਾਮ 5 ਵਜੇ ਤੱਕ 30 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫਤਾਰ ਨਾਲ ਦੱਖਣ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਗਤੀ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 1.32 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਚਿੱਤਰ 1.32: ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਾਰ ਦੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਗਤੀ ਲਈ ਗਤੀ ਬਨਾਮ ਸਮਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
2. ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
3. ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ਾਮ 5 ਵਜੇ ਕਾਰ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 50 ਮੀਲ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
4. ਇਸ ਲਈ, ਦੁਪਹਿਰ 2 ਵਜੇ ਅਤੇ ਸ਼ਾਮ 5 ਵਜੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਕਾਰ ਨੇ ਕੁੱਲ 110 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ।
5. ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦੋਵੇਂ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੱਗੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਪਿੱਛੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰੋ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 1.24
7. ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਲੱਭਣਾ
8. ਸਮਾਂ t=0 ਤੋਂ ਸਮਾਂ t=3 ਤੱਕ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ v(t)=3t−5 (ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਣ ਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਹੱਲ
10. ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
11. ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ −32 ਮੀਟਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 1.33)।
12. ਚਿੱਤਰ 1.33: ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਣ ਲਈ ਵੇਗ ਬਨਾਮ ਸਮਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 1.25
14. ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣਾ
15. ਉਦਾਹਰਨ 1.24 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ v(t)=3t−5 ਮੀ/ਸੈਕ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲ [0,3] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦੋਵੇਂ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
18. ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਜਾਰੀ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ t-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਉੱਥੇ ਹੀ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਇਸ ਲਈ,
19. ਦੋ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [0,53] ਅਤੇ [53,3] ਹਨ। ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ [0,53] ਉੱਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ |v(t)|=−v(t) ਹੈ। [53,3] ਉੱਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ |v(t)|=v(t)। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
20. ਇਸ ਲਈ, ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ 416 ਮੀਟਰ ਹੈ।
21. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.22
22. ਅੰਤਰਾਲ [0,2] ਉੱਤੇ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t)=12et−2 ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
23. ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
24. ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਤਰਲ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਅਤੇ ਖਪਤ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 1.26 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
Example 1.26
How Many Gallons of Gasoline Are Consumed?
If the motor on a motorboat is started at t=0t=0 and the boat consumes gasoline at the rate of 5-0.1t35-0.1t3 gal/hr, how much gasoline is used in the first 2 hours?
Solution
Express the problem as a definite integral, integrate, and evaluate using the Fundamental Theorem of Calculus. The limits of integration are the endpoints of the interval [0,2].[0,2]. We have
Thus, the motorboat uses 9.6 gal of gas in 2 hours.
Example 1.27
Chapter Opener: Iceboats
Figure 1.34: (credit: modification of work by Carter Brown, Flickr)
As we saw at the beginning of the chapter, top iceboat racers (Figure 1.1) can attain speeds of up to five times the wind speed. Andrew is an intermediate iceboater, though, so he attains speeds equal to only twice the wind speed. Suppose Andrew takes his iceboat out one morning when a light 5-mph breeze has been blowing all morning. As Andrew gets his iceboat set up, though, the wind begins to pick up. During his first half hour of iceboating, the wind speed increases according to the function v(t)=20t+5.v(t)=20t+5. For the second half hour of Andrew’s outing, the wind remains steady at 15 mph. In other words, the wind speed is given by
Recalling that Andrew’s iceboat travels at twice the wind speed, and assuming he moves in a straight line away from his starting point, how far is Andrew from his starting point after 1 hour?
Solution
To figure out how far Andrew has traveled, we need to integrate his velocity, which is twice the wind speed. Then
Distance =∫012v(t)dt.=∫012v(t)dt.
Substituting the expressions we were given for v(t),v(t), we get
Andrew is 25 mi from his starting point after 1 hour.
Checkpoint 1.23
Suppose that, instead of remaining steady during the second half hour of Andrew’s outing, the wind starts to die down according to the function v(t)=−10t+20.v(t)=−10t+20. In other words, the wind speed is given by
Under these conditions, how far from his starting point is Andrew after 1 hour?
Integrating Even and Odd Functions
We saw in Functions and Graphs that an even function is a function in which f(−x)=f(x)f(−x)=f(x) for all x in the domain—that is, the graph of the curve is unchanged when x is replaced with −x. The graphs of even functions are symmetric about the y-axis. An odd function is one in which f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x) for all x in the domain, and the graph of the function is symmetric about the origin.
Integrals of even functions, when the limits of integration are from −a to a, involve two equal areas, because they are symmetric about the y-axis. Integrals of odd functions, when the limits of integration are similarly [−a,a],[−a,a], evaluate to zero because the areas above and below the x-axis are equal.
Rule: Integrals of Even and Odd Functions
For continuous even functions such that f(−x)=f(x),f(−x)=f(x),
For continuous odd functions such that f(−x)=−f(x),f(−x)=−f(x),
Example 1.28
Integrating an Even Function
Integrate the even function ∫−22(3x8−2)dx∫−22(3x8−2)dx and verify that the integration formula for even functions holds.
Solution
The symmetry appears in the graphs in Figure 1.35. Graph (a) shows the region below the curve and above the x-axis. We have to zoom in to this graph by a huge amount to see the region. Graph (b) shows the region above the curve and below the x-axis. The signed area of this region is negative. Both views illustrate the symmetry about the y-axis of an even function. We have
To verify the integration formula for even functions, we can calculate the integral from 0 to 2 and double it, then check to make sure we get the same answer.
Since 2·5003=10003,2·5003=10003, we have verified the formula for even functions in this particular example.
Figure 1.35: Graph (a) shows the positive area between the curve and the x-axis, whereas graph (b) shows the negative area between the curve and the x-axis. Both views show the symmetry about the y-axis.
Example 1.29
Integrating an Odd Function
Evaluate the definite integral of the odd function −5sinx−5sinx over the interval [−π,π].[−π,π].
Solution
The graph is shown in Figure 1.36. We can see the symmetry about the origin by the positive area above the x-axis over [−π,0],[−π,0], and the negative area below the x-axis over [0,π].[0,π]. We have
Figure 1.36: The graph shows areas between a curve and the x-axis for an odd function.
Checkpoint 1.24
Integrate the function ∫−22x4dx.∫−22x4dx.
Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.
∫ ( x − 1 x ) d x ∫ ( x − 1 x ) d x
∫ ( e 2 x − 1 2 e x / 2 ) d x ∫ ( e 2 x − 1 2 e x / 2 ) d x
∫ d x 2 x ∫ d x 2 x
∫ x − 1 x 2 d x ∫ x − 1 x 2 d x
∫ 0 π ( sin x − cos x ) d x ∫ 0 π ( sin x − cos x ) d x
∫ 0 π / 2 ( x − sin x ) d x ∫ 0 π / 2 ( x − sin x ) d x
1. ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੇ ਘੇਰੇ P(s)P(s) ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਇਸਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਤੋਂ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ∫_2^4 4 ds = [4s]_2^4 = 4(4) - 4(2) = 16 - 8 = 8
2. ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ A(s)=s^2A(s)=s^2 ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ S ਇਕਾਈਆਂ ਤੋਂ 2S ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ∫_S^{2S} 2s ds = [s^2]_S^{2S} = (2S)^2 - S^2 = 4S^2 - S^2 = 3S^2
3. ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ N-ਗਨ (N-ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲਾ ਬਹੁਭੁਜ ਜਿਸਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਰਾਬਰ s ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੈਂਟਾਗਨ ਜਾਂ ਹੈਕਸਾਗਨ) ਦਾ ਘੇਰਾ Ns ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ N-ਗਨ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 1 ਇਕਾਈ ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ∫_1^2 N ds = [Ns]_1^2 = N(2) - N(1) = 2N - N = N
4. ਸਾਈਡ ਲੰਬਾਈ a>0a>0 ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਪੈਂਟਾਗਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ pa^2 ਹੈ ਜਿੱਥੇ p=1/4√(5+2√5).p=1/4√(5+2√5). ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਪੈਂਟਾਗਨ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 360 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਬਾਹਰੀ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 920 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਪਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪੈਂਟਾਗਨ ਦੀ ਛੱਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਇਸ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ∫_360^920 p ds = [ps]_360^920 = p(920) - p(360) = p(920 - 360) = 560p = 560 * (1/4 * √(5+2√5)) = 140√(5+2√5)
5. ਇੱਕ ਡੋਡੈਕਾਹੇਡਰਨ ਇੱਕ ਪਲੈਟੋਨਿਕ ਸੋਲਿਡ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਵਿੱਚ 12 ਪੈਂਟਾਗਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਹਰੇਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਡੋਡੈਕਾਹੇਡਰਨ ਦੇ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਵਾਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਹਰੇਕ ਪੈਂਟਾਗਨ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 1 ਇਕਾਈ ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ? ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ A = 12 * (ਖੇਤਰਫਲ ਪੈਂਟਾਗਨ ਦਾ) = 12 * p * s^2 ∫_1^2 12 * p * 2s ds = [12ps^2]_1^2 = 12p(2^2) - 12p(1^2) = 12p(4) - 12p(1) = 48p - 12p = 36p = 36 * (1/4 * √(5+2√5)) = 9√(5+2√5)
6. ਇੱਕ ਆਈਕੋਸਾਹੇਡਰਨ ਇੱਕ ਪਲੈਟੋਨਿਕ ਸੋਲਿਡ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਵਿੱਚ 20 ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਆਈਕੋਸਾਹੇਡਰਨ ਦੇ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਵਾਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਹਰੇਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ a ਇਕਾਈ ਤੋਂ 2a ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ? ਖੇਤਰਫਲ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ = (√3/4) * s^2 ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ A = 20 * (√3/4) * s^2 = 5√3 * s^2 ∫_a^{2a} 5√3 * 2s ds = [5√3 * s^2]_a^{2a} = 5√3 * (2a)^2 - 5√3 * a^2 = 5√3 * 4a^2 - 5√3 * a^2 = 20√3 a^2 - 5√3 a^2 = 15√3 a^2
7. ਇੱਕ ਘਣ ਦੇ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਇਸਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s ਇਕਾਈ ਤੋਂ 2s ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ A = 6s^2 ∫_s^{2s} 6 * 2s ds = [6s^2]_s^{2s} = 6(2s)^2 - 6s^2 = 6(4s^2) - 6s^2 = 24s^2 - 6s^2 = 18s^2
8. ਇੱਕ ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s ਇਕਾਈ ਤੋਂ 2s ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਆਇਤਨ V = s^3 ∫_s^{2s} 3s^2 ds = [s^3]_s^{2s} = (2s)^3 - s^3 = 8s^3 - s^3 = 7s^3
9. ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦੇ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਇਸਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ R ਇਕਾਈ ਤੋਂ 2R ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ A = 4πr^2 ∫_R^{2R} 4π * 2r dr = [4πr^2]_R^{2R} = 4π(2R)^2 - 4πR^2 = 4π(4R^2) - 4πR^2 = 16πR^2 - 4πR^2 = 12πR^2
10. ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਇਸਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ R ਇਕਾਈ ਤੋਂ 2R ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਆਇਤਨ V = (4/3)πr^3 ∫_R^{2R} 4πr^2 dr = [(4/3)πr^3]_R^{2R} = (4/3)π(2R)^3 - (4/3)πR^3 = (4/3)π(8R^3) - (4/3)πR^3 = (32/3)πR^3 - (4/3)πR^3 = (28/3)πR^3
11. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਣ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਵੇਗ v(t)=4−2t,v(t)=4−2t, ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 0≤t≤20≤t≤2 (ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ)। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਸਥਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ t=2t=2 ਤੱਕ ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਥਾਨਾਂਤਰ: ∫_0^2 (4-2t) dt = [4t - t^2]_0^2 = (4*2 - 2^2) - (0) = 8 - 4 = 4 ਮੀਟਰ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ: ਵੇਗ ਨੂੰ 0 'ਤੇ ਸੈੱਟ ਕਰੋ: 4-2t=0 => t=2. ਇਸ ਲਈ, ਵੇਗ 0 ਤੋਂ 2 ਤੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ∫_0^2 |4-2t| dt = ∫_0^2 (4-2t) dt = 4 ਮੀਟਰ
12. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਣ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਵੇਗ v(t)=t^2−3t−18,v(t)=t^2−3t−18, ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 0≤t≤60≤t≤6 (ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ)। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਸਥਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ t=6t=6 ਤੱਕ ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਥਾਨਾਂਤਰ: ∫_0^6 (t^2 - 3t - 18) dt = [t^3/3 - 3t^2/2 - 18t]_0^6 = (6^3/3 - 3*6^2/2 - 18*6) - (0) = (216/3 - 3*36/2 - 108) = (72 - 54 - 108) = -90 ਮੀਟਰ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ: ਵੇਗ ਨੂੰ 0 'ਤੇ ਸੈੱਟ ਕਰੋ: t^2 - 3t - 18 = 0 => (t-6)(t+3) = 0. t=6 ਜਾਂ t=-3. ਇਸ ਲਈ, 0 ਤੋਂ 6 ਤੱਕ, ਵੇਗ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ∫_0^6 |t^2 - 3t - 18| dt = ∫_0^6 -(t^2 - 3t - 18) dt = [-t^3/3 + 3t^2/2 + 18t]_0^6 = (-6^3/3 + 3*6^2/2 + 18*6) - (0) = (-216/3 + 3*36/2 + 108) = (-72 + 54 + 108) = 90 ਮੀਟਰ
13. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਣ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਵੇਗ v(t)=|2t−6|,v(t)=|2t−6|, ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 0≤t≤60≤t≤6 (ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ)। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਸਥਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ t=6t=6 ਤੱਕ ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਥਾਨਾਂਤਰ: ∫_0^6 |2t-6| dt. |2t-6| = 0 ਜਦੋਂ t=3. ∫_0^3 -(2t-6) dt + ∫_3^6 (2t-6) dt = [-t^2+6t]_0^3 + [t^2-6t]_3^6 = (-3^2+6*3) - (0) + (6^2-6*6) - (3^2-6*3) = (-9+18) + (36-36) - (9-18) = 9 + 0 - (-9) = 18 ਮੀਟਰ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ: ∫_0^6 |2t-6| dt = 18 ਮੀਟਰ (ਉੱਪਰ ਵਾਂਗ ਹੀ)
14. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਣ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਪ੍ਰਵੇਗ a(t)=t−3,a(t)=t−3, ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 0≤t≤60≤t≤6 (ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ)। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਵੇਗ ਅਤੇ ਸਥਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ t=6t=6 ਤੱਕ ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ v(0)=3v(0)=3 ਅਤੇ d(0)=0.d(0)=0. ਵੇਗ: v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ (t-3) dt = t^2/2 - 3t + C. v(0)=3 => 0^2/2 - 3*0 + C = 3 => C=3. v(t) = t^2/2 - 3t + 3. ਸਥਾਨਾਂਤਰ: d(t) = ∫ v(t) dt = ∫ (t^2/2 - 3t + 3) dt = t^3/6 - 3t^2/2 + 3t + D. d(0)=0 => 0^3/6 - 3*0^2/2 + 3*0 + D = 0 => D=0. d(t) = t^3/6 - 3t^2/2 + 3t. t=6 ਤੱਕ ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ: ਵੇਗ ਨੂੰ 0 'ਤੇ ਸੈੱਟ ਕਰੋ: t^2/2 - 3t + 3 = 0 => t^2 - 6t + 6 = 0. t = (6 ± √(36 - 24))/2 = (6 ± √12)/2 = 3 ± √3. t = 3-√3 ≈ 1.27, t = 3+√3 ≈ 4.73. ∫_0^{3-√3} (t^2/2 - 3t + 3) dt + ∫_{3-√3}^{3+√3} -(t^2/2 - 3t + 3) dt + ∫_{3+√3}^6 (t^2/2 - 3t + 3) dt d(0) = 0 d(3-√3) = (3-√3)^3/6 - 3(3-√3)^2/2 + 3(3-√3) ≈ 2.15 d(3+√3) = (3+√3)^3/6 - 3(3+√3)^2/2 + 3(3+√3) ≈ -2.15 d(6) = 6^3/6 - 3*6^2/2 + 3*6 = 36 - 54 + 18 = 0 ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ = |d(3-√3) - d(0)| + |d(3+√3) - d(3-√3)| + |d(6) - d(3+√3)| = |2.15 - 0| + |-2.15 - 2.15| + |0 - (-2.15)| = 2.15 + 4.30 + 2.15 = 8.60 ਮੀਟਰ
15. ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 1.5 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ 40 ਮੀਟਰ/ਸੈਕੰਡ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ −9.8 ਮੀਟਰ/ਸੈਕੰਡ^2 ਹੈ। ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ t ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਗੇਂਦ ਦੇ ਵੇਗ v(t)v(t) ਅਤੇ ਉਚਾਈ h(t)h(t) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। a(t) = -9.8 v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ -9.8 dt = -9.8t + C. v(0) = 40 => -9.8*0 + C = 40 => C = 40. v(t) = -9.8t + 40. h(t) = ∫ v(t) dt = ∫ (-9.8t + 40) dt = -4.9t^2 + 40t + D. h(0) = 1.5 => -4.9*0^2 + 40*0 + D = 1.5 => D = 1.5. h(t) = -4.9t^2 + 40t + 1.5.
16. ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 3 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ 60 ਮੀਟਰ/ਸੈਕੰਡ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ −9.8 ਮੀਟਰ/ਸੈਕੰਡ^2 ਹੈ। ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ t ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਗੇਂਦ ਦੇ ਵੇਗ v(t)v(t) ਅਤੇ ਉਚਾਈ h(t)h(t) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। a(t) = -9.8 v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ -9.8 dt = -9.8t + C. v(0) = 60 => -9.8*0 + C = 60 => C = 60. v(t) = -9.8t + 60. h(t) = ∫ v(t) dt = ∫ (-9.8t + 60) dt = -4.9t^2 + 60t + D. h(0) = 3 => -4.9*0^2 + 60*0 + D = 3 => D = 3. h(t) = -4.9t^2 + 60t + 3.
17. ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਆਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A(t)A(t) ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮੇਂ t=2t=2 ਅਤੇ t=3,t=3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ 4π ਇਕਾਈਆਂ ਤੋਂ 9π ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। A(t) = πr(t)^2 dA/dt = k (constant rate) A(2) = 4π => πr(2)^2 = 4π => r(2)^2 = 4 => r(2) = 2 A(3) = 9π => πr(3)^2 = 9π => r(3)^2 = 9 => r(3) = 3 ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ = r(3) - r(2) = 3 - 2 = 1 ਇਕਾਈ।
18. ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਫੁਲਾਇਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮੇਂ t=30t=30 ਅਤੇ t=60t=60 ਸਕਿੰਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਗੁਬਾਰੇ ਦਾ ਆਇਤਨ 36π ਇੰਚ^3 ਤੋਂ 288π ਇੰਚ^3 ਤੱਕ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਗੁਬਾਰੇ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। V = (4/3)πr^3 V(30) = 36π => (4/3)πr(30)^3 = 36π => r(30)^3 = 36 * (3/4) = 27 => r(30) = 3 ਇੰਚ। V(60) = 288π => (4/3)πr(60)^3 = 288π => r(60)^3 = 288 * (3/4) = 216 => r(60) = 6 ਇੰਚ। ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ = r(60) - r(30) = 6 - 3 = 3 ਇੰਚ।
19. ਇੱਕ ਕੋਨਿਕਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਵਗਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰਫਲ πx^2 ਹੈ ਉਚਾਈ x 'ਤੇ ਅਤੇ ਆਇਤਨ πx^3/3 ਹੈ ਉਚਾਈ x ਤੱਕ। ਜੇਕਰ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 1 ਮੀਟਰ^3/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਵਗਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ। 5 ਮਿੰਟਾਂ ਅਤੇ 10 ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਉਚਾਈ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। V = πx^3/3 dV/dt = 1 ਮੀਟਰ^3/ਮਿੰਟ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਆਇਤਨ = 1 * 5 = 5 ਮੀਟਰ^3 5 = πx^3/3 => x^3 = 15/π => x = (15/π)^(1/3) ਮੀਟਰ (5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ) 10 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਆਇਤਨ = 1 * 10 = 10 ਮੀਟਰ^3 10 = πx^3/3 => x^3 = 30/π => x = (30/π)^(1/3) ਮੀਟਰ (10 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ) 5 ਮਿੰਟਾਂ ਅਤੇ 10 ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਉਚਾਈ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ = (30/π)^(1/3) - (15/π)^(1/3) ਮੀਟਰ।
20. ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਟੈਂਕ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰਫਲ A(x)=4(6x−x^2)m^2A(x)=4(6x−x^2)m^2 ਹੈ ਜਦੋਂ x ਮੀਟਰ ਉਚਾਈ ਤਲ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੈ ਜਦੋਂ x≤3.x≤3.
21. ਉਚਾਈਆਂ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ∫_a^b A(x)dx.∫_a^b A(x)dx. ਹੈ। 2 ਮੀਟਰ ਅਤੇ 3 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ∫_2^3 4(6x - x^2) dx = 4 ∫_2^3 (6x - x^2) dx = 4 [3x^2 - x^3/3]_2^3 = 4 [(3*3^2 - 3^3/3) - (3*2^2 - 2^3/3)] = 4 [(27 - 9) - (12 - 8/3)] = 4 [18 - (36/3 - 8/3)] = 4 [18 - 28/3] = 4 [54/3 - 28/3] = 4 [26/3] = 104/3 ਮੀਟਰ^3
22. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 50 L/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਤੇਲ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਚੇਨ ਰੂਲ, dxdt=dxdVdVdt,dxdt=dxdVdVdt, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਤੇਲ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੇ ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ, x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਉਚਾਈ x ਮੀਟਰ 'ਤੇ ਹੈ? dV/dt = 50 L/min = 0.05 m^3/min (1 L = 0.001 m^3) A(x) = 4(6x - x^2) m^2 dV = A(x) dx dV/dt = A(x) dx/dt 0.05 = 4(6x - x^2) dx/dt dx/dt = 0.05 / (4(6x - x^2)) = 0.0125 / (6x - x^2) ਮੀਟਰ/ਮਿੰਟ
23. 2 ਮੀਟਰ ਦੇ ਭਰਨ ਪੱਧਰ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ 3 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਟੈਂਕ ਨੂੰ ਭਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ? ∫_2^3 A(x) dx = 104/3 m^3 (ਪਿਛਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਤੋਂ) dV/dt = 0.05 m^3/min ਸਮਾਂ = ਆਇਤਨ / ਦਰ = (104/3) / 0.05 = (104/3) / (1/20) = 104/3 * 20 = 2080/3 ਮਿੰਟ।
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਇੱਕ ਖਾਸ 24-ਘੰਟੇ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਖਾਸ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਬਿਜਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਗੀਗਾਵਾਟ ਵਿੱਚ—ਊਰਜਾ ਦੀ ਖਪਤ ਦੀ ਦਰ—ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਘੰਟਾ 1 ਮੱਧ-ਰਾਤ ਤੋਂ 1 ਵਜੇ ਤੱਕ ਦਾ ਸਮਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਘੰਟਾ | ਸ਼ਕਤੀ | ਘੰਟਾ | ਸ਼ਕਤੀ
2. 1 | 28 | 13 | 48
3. 2 | 25 | 14 | 49
4. 3 | 24 | 15 | 49
5. 4 | 23 | 16 | 50
6. 5 | 24 | 17 | 50
7. 6 | 27 | 18 | 50
8. 7 | 29 | 19 | 46
9. 8 | 32 | 20 | 43
10. 9 | 34 | 21 | 42
11. 10 | 39 | 22 | 40
12. 11 | 42 | 23 | 37
13. 12 | 46 | 24 | 34
14. ਇੱਕ ਆਮ 24-ਘੰਟੇ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ ਸ਼ਹਿਰ ਦੁਆਰਾ ਖਪਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਗੀਗਾਵਾਟ-ਘੰਟਿਆਂ (gW-h) ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਔਸਤ ਰਿਹਾਇਸ਼ੀ ਬਿਜਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ (ਸੈਂਕੜੇ ਵਾਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
16. ਘੰਟਾ | ਸ਼ਕਤੀ | ਘੰਟਾ | ਸ਼ਕਤੀ
17. 1 | 8 | 13 | 12
18. 2 | 6 | 14 | 13
19. 3 | 5 | 15 | 14
20. 4 | 4 | 16 | 15
21. 5 | 5 | 17 | 17
22. 6 | 6 | 18 | 19
23. 7 | 7 | 19 | 18
24. 8 | 8 | 20 | 17
row: 9 | 9 | 21 | 16
row: 10 | 10 | 22 | 16
row: 11 | 10 | 23 | 13
row: 12 | 11 | 24 | 11
Compute the average total energy used in a day in kilowatt-hours (kWh).
If a ton of coal generates 1842 kWh, how long does it take for an average residence to burn a ton of coal?
Explain why the data might fit a plot of the form p(t)=11.5−7.5sin(πt12).p(t)=11.5−7.5sin(πt12).
The data in the following table are used to estimate the average power output produced by Peter Sagan for each of the last 18 sec of Stage 1 of the 2012 Tour de France.
row: Second | Watts | Second | Watts
row: 1 | 600 | 10 | 1200
row: 2 | 500 | 11 | 1170
row: 3 | 575 | 12 | 1125
row: 4 | 1050 | 13 | 1100
row: 5 | 925 | 14 | 1075
row: 6 | 950 | 15 | 1000
row: 7 | 1050 | 16 | 950
row: 8 | 950 | 17 | 900
row: 9 | 1100 | 18 | 780
Table 1.6: Source: sportsexercisengineering.com
Estimate the net energy used in kilojoules (kJ), noting that 1W = 1 J/s, and the average power output by Sagan during this time interval.
The data in the following table are used to estimate the average power output produced by Peter Sagan for each 15-min interval of Stage 1 of the 2012 Tour de France.
row: Minutes | Watts | Minutes | Watts
row: 15 | 200 | 165 | 170
row: 30 | 180 | 180 | 220
row: 45 | 190 | 195 | 140
row: 60 | 230 | 210 | 225
row: 75 | 240 | 225 | 170
row: 90 | 210 | 240 | 210
row: 105 | 210 | 255 | 200
row: 120 | 220 | 270 | 220
row: 135 | 210 | 285 | 250
row: 150 | 150 | 300 | 400
Table 1.7: Source: sportsexercisengineering.com
Estimate the net energy used in kilojoules, noting that 1W = 1 J/s.
The distribution of incomes as of 2012 in the United States in $5000 increments is given in the following table. The kth row denotes the percentage of households with incomes between $5000xk$5000xk and 5000xk+4999.5000xk+4999. The row k=40k=40 contains all households with income between $200,000 and $250,000.
row: 0 | 3.5 | 11 | 3.5 | 21 | 1.5 | 31 | 0.6
row: 1 | 4.1 | 12 | 3.7 | 22 | 1.4 | 32 | 0.5
row: 2 | 5.9 | 13 | 3.2 | 23 | 1.3 | 33 | 0.5
row: 3 | 5.7 | 14 | 3.0 | 24 | 1.3 | 34 | 0.4
row: 4 | 5.9 | 15 | 2.8 | 25 | 1.1 | 35 | 0.3
row: 5 | 5.4 | 16 | 2.5 | 26 | 1.0 | 36 | 0.3
row: 6 | 5.5 | 17 | 2.2 | 27 | 0.75 | 37 | 0.3
row: 7 | 5.1 | 18 | 2.2 | 28 | 0.8 | 38 | 0.2
row: 8 | 4.8 | 19 | 1.8 | 29 | 1.0 | 39 | 1.8
row: 9 | 4.1 | 20 | 2.1 | 30 | 0.6 | 40 | 2.3
row: 10 | 4.3
Table 1.8: Source: http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf
Estimate the percentage of U.S. households in 2012 with incomes less than $55,000.
What percentage of households had incomes exceeding $85,000?
Plot the data and try to fit its shape to that of a graph of the form a(x+c)e−b(x+e)a(x+c)e−b(x+e) for suitable a,b,c.a,b,c.
Newton’s law of gravity states that the gravitational force exerted by an object of mass M and one of mass m with centers that are separated by a distance r is F=GmMr2,F=GmMr2, with G an empirical constant G=6.67x10−11m3/(kg·s2).G=6.67x10−11m3/(kg·s2). The work done by a variable force over an interval [a,b][a,b] is defined as W=∫abF(x)dx.W=∫abF(x)dx. If Earth has mass 5.97219×10245.97219×1024 and radius 6371 km, compute the amount of work to elevate a polar weather satellite of mass 1400 kg to its orbiting altitude of 850 km above Earth.
For a given motor vehicle, the maximum achievable deceleration from braking is approximately 7 m/sec2 on dry concrete. On wet asphalt, it is approximately 2.5 m/sec2. Given that 1 mph corresponds to 0.447 m/sec, find the total distance that a car travels in meters on dry concrete after the brakes are applied until it comes to a complete stop if the initial velocity is 67 mph (30 m/sec) or if the initial braking velocity is 56 mph (25 m/sec). Find the corresponding distances if the surface is slippery wet asphalt.
John is a 25-year old man who weighs 160 lb. He burns 500−50t500−50t calories/hr while riding his bike for t hours. If an oatmeal cookie has 55 cal and John eats cookies at a rate of 4t calories during the tth hour, how many net calories has he lost after 3 hours riding his bike?
Sandra is a 25-year old woman who weighs 120 lb. She burns 300−50t300−50t cal/hr while walking on her treadmill. Her caloric intake from drinking Gatorade is 100t calories/hour during the tth hour. What is her net decrease in calories after walking for 3 hours?
A motor vehicle has a maximum efficiency of 33 mpg at a cruising speed of 40 mph. The efficiency drops at a rate of 0.1 mpg/mph between 40 mph and 50 mph, and at a rate of 0.4 mpg/mph between 50 mph and 80 mph. What is the efficiency in miles per gallon if the car is cruising at 50 mph? What is the efficiency in miles per gallon if the car is cruising at 80 mph? If gasoline costs $3.50/gal, what is the cost of fuel to drive 50 mi at 40 mph, at 50 mph, and at 80 mph?
Although some engines are more efficient at given a horsepower than others, on average, fuel efficiency decreases with horsepower at a rate of 1/251/25 mpg/horsepower. If a typical 50-horsepower engine has an average fuel efficiency of 32 mpg, what is the average fuel efficiency of an engine with the following horsepower: 150, 300, 450?
[T] The following table lists the 2013 schedule of federal income tax versus taxable income.
row: Taxable Income Range | The Tax Is … | … Of the Amount Over
row: $0–$8925 | 10% | $0
row: $8925–$36,250 | $892.50 + 15% | $8925
row: $36,250–$87,850 | $4,991.25 + 25% | $36,250
row: $87,850–$183,250 | $17,891.25 + 28% | $87,850
row: $183,250–$398,350 | $44,603.25 + 33% | $183,250
row: $398,350–$400,000 | $115,586.25 + 35% | $398,350
row: > $400,000 | $116,163.75 + 39.6% | $400,000
Table 1.9: Source: http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf.
Suppose that Steve just received a $10,000 raise. How much of this raise is left after federal taxes if Steve’s salary before receiving the raise was $40,000? If it was $90,000? If it was $385,000?
[T] The following table provides hypothetical data regarding the level of service for a certain highway.
row: Highway Speed Range (mph) | Vehicles per Hour per Lane | Density Range (vehicles/mi)
row: > 60 | < 600 | < 10
row: 60–57 | 600–1000 | 10–20
row: 57–54 | 1000–1500 | 20–30
row: 54–46 | 1500–1900 | 30–45
row: 46–30 | 1900–2100 | 45–70
row: <30 | Unstable | 70–200
Plot vehicles per hour per lane on the x-axis and highway speed on the y-axis.
Compute the average decrease in speed (in miles per hour) per unit increase in congestion (vehicles per hour per lane) as the latter increases from 600 to 1000, from 1000 to 1500, and from 1500 to 2100. Does the decrease in miles per hour depend linearly on the increase in vehicles per hour per lane?
Plot minutes per mile (60 times the reciprocal of miles per hour) as a function of vehicles per hour per lane. Is this function linear?
For the next two exercises use the data in the following table, which displays bald eagle populations from 1963 to 2000 in the continental United States.
row: Year | Population of Breeding Pairs of Bald Eagles
row: 1963 | 487
row: 1974 | 791
row: 1981 | 1188
row: 1986 | 1875
row: 1992 | 3749
row: 1996 | 5094
row: 2000 | 6471
Table 1.11: Source: http://www.fws.gov/Midwest/eagle/population/chtofprs.html.
[T] The graph below plots the quadratic p(t)=6.48t2−80.31t+585.69p(t)=6.48t2−80.31t+585.69 against the data in preceding table, normalized so that t=0t=0 corresponds to 1963. Estimate the average number of bald eagles per year present for the 37 years by computing the average value of p over [0,37].[0,37].
[T] The graph below plots the cubic p(t)=0.07t3+2.42t2−25.63t+521.23p(t)=0.07t3+2.42t2−25.63t+521.23 against the data in the preceding table, normalized so that t=0t=0 corresponds to 1963. Estimate the average number of bald eagles per year present for the 37 years by computing the average value of p over [0,37].[0,37].
[T] Suppose you go on a road trip and record your speed at every half hour, as compiled in the following table. The best quadratic fit to the data is q(t)=5x2−11x+49,q(t)=5x2−11x+49, shown in the accompanying graph. Integrate q to estimate the total distance driven over the 3 hours.
row: Time (hr) | Speed (mph)
row: 0 (start) | 50
row: 1 | 40
row: 2 | 50
row: 3 | 60
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਕਾਰ ਤੇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦਰ 'ਤੇ ਤੇਜ਼ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ; ਸਗੋਂ, ਪ੍ਰਵੇਗ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡਰਾਈਵਰ ਫ੍ਰੀਵੇਅ 'ਤੇ ਮਿਲਣ ਵੇਲੇ ਹਰ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਪ੍ਰਵੇਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਸਮਾਂ (ਸੈਕਿੰਡ) | ਪ੍ਰਵੇਗ (mph/sec)
ਸਾਰਣੀ: 1 | 11.2
ਸਾਰਣੀ: 2 | 10.6
ਸਾਰਣੀ: 3 | 8.1
ਸਾਰਣੀ: 4 | 5.4
ਸਾਰਣੀ: 5 | 0
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਕਾਰ ਤੇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦਰ 'ਤੇ ਤੇਜ਼ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ; ਸਗੋਂ, ਪ੍ਰਵੇਗ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਗਲੇ ਤਿੰਨ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡਰਾਈਵਰ ਫ੍ਰੀਵੇਅ 'ਤੇ ਮਿਲਣ ਵੇਲੇ ਹਰ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਪ੍ਰਵੇਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਸਮਾਂ (ਸੈਕਿੰਡ) | ਪ੍ਰਵੇਗ (mph/sec)
ਸਾਰਣੀ: 1 | 11.2
ਸਾਰਣੀ: 2 | 10.6
ਸਾਰਣੀ: 3 | 8.1
ਸਾਰਣੀ: 4 | 5.4
ਸਾਰਣੀ: 5 | 0
[ਟੀ] ਨਾਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਗ੍ਰਾਫ ਪਿਛਲੀ ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਡਾਟੇ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫਿੱਟ, a(t)=−0.70t2+1.44t+10.44, ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। t=0 ਅਤੇ t=5 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਪ੍ਰਵੇਗ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ a(t) ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
[ਟੀ] ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੇਗ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ 65 mph ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਸਮਾਂ t=0 'ਤੇ ਵੇਗ ਲੱਭੋ।
[ਟੀ] ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਵੇਗ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੂਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਤੁਹਾਡੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਦੂਰੀ 0 ਮੀਲ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀ ਕਾਰ ਨੂੰ ਤੇਜ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਸੀ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ? (ਸੰਕੇਤ: ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।)
[ਟੀ] ਇੱਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਵਿੱਚ ਦਿਨ ਭਰ ਵਿਕਣ ਵਾਲੇ ਹੈਮਬਰਗਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਾਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਗ੍ਰਾਫ ਡਾਟੇ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਘਣ ਫਿੱਟ, b(t)=0.12t3−2.13t2+12.13t+3.91, ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t=0 ਸਵੇਰੇ 9 ਵਜੇ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ ਅਤੇ t=12 ਰਾਤ 9 ਵਜੇ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈਮਬਰਗਰਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ b(t) ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਮੱਧ-ਰਾਤ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਘੰਟੇ | ਬਰਗਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿਕੀ
ਸਾਰਣੀ: 9 | 3
ਸਾਰਣੀ: 12 | 28
ਸਾਰਣੀ: 15 | 20
ਸਾਰਣੀ: 18 | 30
ਸਾਰਣੀ: 21 | 45
1. ਇੱਕ ਐਥਲੀਟ ਇੱਕ ਮੋਸ਼ਨ ਡਿਟੈਕਟਰ ਕੋਲੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਉਸਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਰਿਕਾਰਡ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਡਾਟਾ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਲੀਨੀਅਰ ਫਿੱਟ, ℓ(t)=−0.068t+5.14, ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੌੜਾਕ ਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ t=0 ਅਤੇ t=40 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ℓ(t) ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਮਿੰਟ | ਗਤੀ (ਮੀ/ਸੈ)
3. ਕਤਾਰ: 0 | 5
4. ਕਤਾਰ: 10 | 4.8
5. ਕਤਾਰ: 20 | 3.6
6. ਕਤਾਰ: 30 | 3.0
7. ਕਤਾਰ: 40 | 2.5