ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨੇ ਸਾਨੂੰ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦਿੱਤਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਵਿਧੀ ਦਾ ਨੁਕਸ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ, ਜਿਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਵਿਧੀ ਸਾਨੂੰ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਮਾਕਲਨ ਇੱਕ ਚੇਨ-ਰੂਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਪਹੁੰਚ ਬਹੁਤ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਕਾਰਜ ਹੈ—ਭਾਵ, ਸਮਾਕਲਨ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਕਰਨਾ ਹੈ; ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਤਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਦੇਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ? ਅਸੀਂ f[g(x)]g′(x)dx ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ∫(x2−3)32xdx ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(x)=x3, g(x)=x2−3, ਅਤੇ g′(x)=2x ਹੈ। ਫਿਰ,
ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਸਮਾਕਲਨ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ u ਨਾਲ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ du ਨਾਲ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਬਦਲਾਵ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 1.7
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ
ਮੰਨ ਲਓ u=g(x), ਜਿੱਥੇ g′(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ f(x) g ਦੀ ਸੰਗਤ ਰੇਂਜ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ F(x) f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ। ਫਿਰ,
ਸਿੱਧ
ਮੰਨ ਲਓ f, g, u, ਅਤੇ F ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ। ਫਿਰ
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹੁਣ u=g(x), ਅਤੇ du=g'(x)dx, ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
□
ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਦੇਖੇ ਗਏ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ u=x2−3 ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ du=2xdx। ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ:
ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
x ਲਈ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਆਮ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ
ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ g(x) ਚੁਣੋ ਜਿਸਨੂੰ u ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਆਓ g(x) ਚੁਣੀਏ ਤਾਂ ਜੋ g′(x) ਵੀ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੋਵੇ।
ਸਮਾਕਲਨ ਵਿੱਚ u=g(x) ਅਤੇ du=g′(x)dx ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ u ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਵਾਪਸ ਜਾ ਕੇ u ਵਜੋਂ ਵਰਤਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸਮੀਕਰਨ ਚੁਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
u ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜਾ x ਅਤੇ ਵਿਅੰਜਨ g(x).g(x) ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.30
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਨੁਕਲਨ ਲੱਭਣਾ
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਨੁਕਲਨ ∫6x(3x2+4)4dx ਲੱਭੋ।∫6x(3x2+4)4dx.
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ u ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਚੁਣਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ u=3x2+4u=3x2+4 ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਫਿਰ du=6xdx,du=6xdx, ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਅਨੁਕਲਨ ਵਿੱਚ du ਹੈ। ਅਨੁਕਲਨ ਨੂੰ u ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਲਿਖੋ:
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ du, u ਲਈ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ u ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਲੈ ਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। C ਦਾ ਮੁੱਲ 1 ਲੈ ਕੇ, ਅਸੀਂ y=15(3x2+4)5+1.y=15(3x2+4)5+1 ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ
ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਉਹੀ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.25
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਨੁਕਲਨ ∫3x2(x3−3)2dx ਲੱਭੋ।∫3x2(x3−3)2dx.
ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਅਨੁਕਲਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਰਹੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨਾਲ ਬਿਲਕੁਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.31
ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫zz2−5dz ਲੱਭੋ।∫zz2−5dz.
ਹੱਲ
ਅਨੁਕਲਨ ਨੂੰ ∫z(z2−5)1/2dz ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।∫z(z2−5)1/2dz. ਮੰਨ ਲਓ u=z2−5u=z2−5 ਅਤੇ du=2zdz.du=2zdz. ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ du=2zdzdu=2zdz ਅਤੇ ਮੂਲ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ zdz.zdz ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ du ਦੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਪਵੇਗਾ ਜਾਂ u ਵਿੱਚ ਅਨੁਕਲਨ ਦੁੱਗਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿੰਨਾ ਇਸਨੂੰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ du ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 12.12 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਅਨੁਕਲਨ ਨੂੰ u ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਲਿਖੋ, ਪਰ 1212 ਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਬਾਹਰ ਖਿੱਚੋ:
u ਵਿੱਚ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰੋ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.26
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫x2(x3+5)9dx ਲੱਭੋ।∫x2(x3+5)9dx.
1. ਉਦਾਹਰਨ 1.32
2. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਨਾਲ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
3. ਇੰਟੀਗਰਲ ∫sintcos3tdt.∫sintcos3tdt. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ costcost ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ −sint,−sint ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ u=cost.u=cost. ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ du=−sintdt.du=−sintdt. ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
6. ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
7. ਜਵਾਬ ਨੂੰ t ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਰੱਖਣ ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
8. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.27
9. ਇੰਟੀਗਰਲ ∫costsin2tdt.∫costsin2tdt. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸੰਭਾਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਸਾਰੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਅਸਲ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ u ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਇਕਲੌਤਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸਲ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਨਾ। ਇਹ ਤਕਨੀਕ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 1.33
12. u-ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
13. ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ∫xx−1dx.∫xx−1dx. ਲੱਭਣ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ u=x−1,u=x−1, ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ du=dx.du=dx. ਪਰ ਇਹ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਦੇ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਵਿੱਚ x ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਸਾਨੂੰ x ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜੇਕਰ u=x−1,u=x−1, ਤਾਂ x=u+1.x=u+1. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
16. ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, u ਨੂੰ ਅਸਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
17. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.28
18. ਇੰਟੀਗਰਲ ∫cos3tsintdt.∫cos3tsintdt. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
19. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ
20. ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਨਾਲ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੀ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
21. ਥਿਊਰਮ 1.8
22. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਨਾਲ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ
23. ਮੰਨ ਲਓ u=g(x)u=g(x) ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ g′g′ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b],[a,b], ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ f, u=g(x).u=g(x) ਦੀ ਰੇਂਜ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਫਿਰ,
24. ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਇਸਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਢੰਗ ਦੇ ਨਿਯਮ ਤੋਂ, ਜੇਕਰ F(x)F(x) f(x),f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਤਾਂ
ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਦਾ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.34
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01x2(1+2x3)5dx.∫01x2(1+2x3)5dx. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ u=1+2x3,u=1+2x3, ਇਸ ਲਈ du=6x2dx.du=6x2dx. ਕਿਉਂਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ x2 ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਅਤੇ du=6x2dx,du=6x2dx, du ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 1/6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।1/6. ਫਿਰ,
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ x=0,u=1+2(0)=1,x=0,u=1+2(0)=1, ਅਤੇ ਜਦੋਂ x=1,u=1+2(1)=3.x=1,u=1+2(1)=3. ਫਿਰ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.29
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫−10y(2y2−3)5dy.∫−10y(2y2−3)5dy. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.35
ਘਾਤ ਅੰਕ (Exponential Function) ਨਾਲ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01xe4x2+3dx.∫01xe4x2+3dx. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ u=4x2+3.u=4x2+3. ਫਿਰ, du=8xdx.du=8xdx. ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ x=0,u=3,x=0,u=3, ਅਤੇ ਜਦੋਂ x=1,u=7.x=1,u=7. ਇਸ ਲਈ ਸਾਡਾ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.30
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01x2cos(π2x3)dx.∫01x2cos(π2x3)dx. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਅਤੇ ਨਿਯਮ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣ (trigonometric identity) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (antiderivative) ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ u ਲਈ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਵਿਕਲਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਪਹੁੰਚਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.36 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.36
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫0π/2cos2θdθ.∫0π/2cos2θdθ. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣ cos2θ=1+cos2θ2cos2θ=1+cos2θ2 ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ
Then,
We can evaluate the first integral as it is, but we need to make a substitution to evaluate the second integral. Let u=2θ.u=2θ. Then, du=2dθ,du=2dθ, or 12du=dθ.12du=dθ. Also, when θ=0,u=0,θ=0,u=0, and when θ=π/2,u=π.θ=π/2,u=π. Expressing the second integral in terms of u, we have
Why is u-substitution referred to as change of variable?
2. If f=g∘h,f=g∘h, when reversing the chain rule, ddx(g∘h)(x)=g′(h(x))h′(x),ddx(g∘h)(x)=g′(h(x))h′(x), should you take u=g(x)u=g(x) or u=h(x)?u=h(x)?
In the following exercises, verify each identity using differentiation. Then, using the indicated u-substitution, identify f such that the integral takes the form ∫f(u)du.∫f(u)du.
∫ x x + 1 d x = 2 15 ( x + 1 ) 3 / 2 ( 3 x − 2 ) + C ; u = x + 1 ∫ x x + 1 d x = 2 15 ( x + 1 ) 3 / 2 ( 3 x − 2 ) + C ; u = x + 1
For x>1:∫x2x−1dx=215x−1(3x2+4x+8)+C;u=x−1x>1:∫x2x−1dx=215x−1(3x2+4x+8)+C;u=x−1
∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 12 ( 4 x 2 + 9 ) 3 / 2 + C ; u = 4 x 2 + 9 ∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 12 ( 4 x 2 + 9 ) 3 / 2 + C ; u = 4 x 2 + 9
∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 4 4 x 2 + 9 + C ; u = 4 x 2 + 9 ∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 4 4 x 2 + 9 + C ; u = 4 x 2 + 9
∫ x ( 4 x 2 + 9 ) 2 d x = − 1 8 ( 4 x 2 + 9 ) ; u = 4 x 2 + 9 ∫ x ( 4 x 2 + 9 ) 2 d x = − 1 8 ( 4 x 2 + 9 ) ; u = 4 x 2 + 9
In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.
∫ ( x + 1 ) 4 d x ; u = x + 1 ∫ ( x + 1 ) 4 d x ; u = x + 1
∫ ( x − 1 ) 5 d x ; u = x − 1 ∫ ( x − 1 ) 5 d x ; u = x − 1
∫ ( 2 x − 3 ) −7 d x ; u = 2 x − 3 ∫ ( 2 x − 3 ) −7 d x ; u = 2 x − 3
∫ ( 3 x − 2 ) −11 d x ; u = 3 x − 2 ∫ ( 3 x − 2 ) −11 d x ; u = 3 x − 2
∫ x x 2 + 1 d x ; u = x 2 + 1 ∫ x x 2 + 1 d x ; u = x 2 + 1
∫ x 1 − x 2 d x ; u = 1 − x 2 ∫ x 1 − x 2 d x ; u = 1 − x 2
∫ ( x − 1 ) ( x 2 − 2 x ) 3 d x ; u = x 2 − 2 x ∫ ( x − 1 ) ( x 2 − 2 x ) 3 d x ; u = x 2 − 2 x
∫ ( x 2 − 2 x ) ( x 3 − 3 x 2 ) 2 d x ; u = x 3 – 3 x 2 ∫ ( x 2 − 2 x ) ( x 3 − 3 x 2 ) 2 d x ; u = x 3 – 3 x 2
∫cos3θdθ;u=sinθ∫cos3θdθ;u=sinθ (Hint:cos2θ=1−sin2θ)(Hint:cos2θ=1−sin2θ)
∫sin3θdθ;u=cosθ∫sin3θdθ;u=cosθ (Hint:sin2θ=1−cos2θ)(Hint:sin2θ=1−cos2θ)
In the following exercises, use a suitable change of variables to determine the indefinite integral.
∫ x ( 1 − x ) 99 d x ∫ x ( 1 − x ) 99 d x
∫ t ( 1 − t 2 ) 10 d t ∫ t ( 1 − t 2 ) 10 d t
∫ ( 11 x − 7 ) −3 d x ∫ ( 11 x − 7 ) −3 d x
∫ ( 7 x − 11 ) 4 d x ∫ ( 7 x − 11 ) 4 d x
∫ cos 3 θ sin θ d θ ∫ cos 3 θ sin θ d θ
∫ sin 7 θ cos θ d θ ∫ sin 7 θ cos θ d θ
∫ cos 2 ( π t ) sin ( π t ) d t ∫ cos 2 ( π t ) sin ( π t ) d t
∫sin2xcos3xdx∫sin2xcos3xdx (Hint:sin2x+cos2x=1)(Hint:sin2x+cos2x=1)
∫ t sin ( t 2 ) cos ( t 2 ) d t ∫ t sin ( t 2 ) cos ( t 2 ) d t
∫ t 2 cos 2 ( t 3 ) sin ( t 3 ) d t ∫ t 2 cos 2 ( t 3 ) sin ( t 3 ) d t
∫ x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x ∫ x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x
∫ x 3 1 − x 2 d x ∫ x 3 1 − x 2 d x
∫ y 5 ( 1 − y 3 ) 3 / 2 d y ∫ y 5 ( 1 − y 3 ) 3 / 2 d y
∫ cos θ ( 1 − cos θ ) 99 sin θ d θ ∫ cos θ ( 1 − cos θ ) 99 sin θ d θ
∫ ( 1 − cos 3 θ ) 10 cos 2 θ sin θ d θ ∫ ( 1 − cos 3 θ ) 10 cos 2 θ sin θ d θ
∫ ( cos θ − 1 ) ( cos 2 θ − 2 cos θ ) 3 sin θ d θ ∫ ( cos θ − 1 ) ( cos 2 θ − 2 cos θ ) 3 sin θ d θ
∫ ( sin 2 θ − 2 sin θ ) ( sin 3 θ − 3 sin 2 θ ) 3 cos θ d θ ∫ ( sin 2 θ − 2 sin θ ) ( sin 3 θ − 3 sin 2 θ ) 3 cos θ d θ
In the following exercises, use a calculator to estimate the area under the curve using left Riemann sums with 50 terms, then use substitution to solve for the exact answer.
[T] y=3(1−x)2y=3(1−x)2 over [0,2][0,2]
[T] y=x(1−x2)3y=x(1−x2)3 over [−1,2][−1,2]
[T] y=sinx(1−cosx)2y=sinx(1−cosx)2 over [0,π][0,π]
[T] y=x(x2+1)2y=x(x2+1)2 over [−1,1][−1,1]
In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.
∫ 0 1 x 1 − x 2 d x ∫ 0 1 x 1 − x 2 d x
∫ 0 1 x 1 + x 2 d x ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x
∫ 0 2 t 5 + t 2 d t ∫ 0 2 t 5 + t 2 d t
∫ 0 1 t 2 1 + t 3 d t ∫ 0 1 t 2 1 + t 3 d t
∫ 0 π / 4 sec 2 θ tan θ d θ ∫ 0 π / 4 sec 2 θ tan θ d θ
∫ 0 π / 4 sin θ cos 4 θ d θ ∫ 0 π / 4 sin θ cos 4 θ d θ
In the following exercises, evaluate the indefinite integral ∫f(x)dx∫f(x)dx with constant C=0C=0 using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral F(x)=∫axf(t)dt,F(x)=∫axf(t)dt, with a the left endpoint of the given interval.
[T] ∫(2x+1)ex2+x−6dx∫(2x+1)ex2+x−6dx over [−3,2][−3,2]
[T] ∫cos(ln(2x))xdx∫cos(ln(2x))xdx on [0,2][0,2]
[T] ∫3x2+2x+1x3+x2+x+4dx∫3x2+2x+1x3+x2+x+4dx over [−1,2][−1,2]
[T] ∫sinxcos3xdx∫sinxcos3xdx over [−π3,π3][−π3,π3]
[T] ∫(x+2)e−x2−4x+3dx∫(x+2)e−x2−4x+3dx over [−5,1][−5,1]
[T] ∫3x22x3+1dx∫3x22x3+1dx over [0,1][0,1]
If h(a)=h(b)h(a)=h(b) in ∫abg′(h(x))h′(x)dx,∫abg′(h(x))h′(x)dx, what can you say about the value of the integral?
Is the substitution u=1−x2u=1−x2 in the definite integral ∫02x1−x2dx∫02x1−x2dx okay? If not, why not?
In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.
∫ 0 π cos 2 ( 2 θ ) sin ( 2 θ ) d θ ∫ 0 π cos 2 ( 2 θ ) sin ( 2 θ ) d θ
∫ 0 π t cos ( t 2 ) sin ( t 2 ) d t ∫ 0 π t cos ( t 2 ) sin ( t 2 ) d t
∫ 0 1 ( 1 − 2 t ) d t ∫ 0 1 ( 1 − 2 t ) d t
∫ 0 1 1 − 2 t ( 1 + ( t − 1 2 ) 2 ) d t ∫ 0 1 1 − 2 t ( 1 + ( t − 1 2 ) 2 ) d t
∫ 0 π sin ( ( t − π 2 ) 3 ) cos ( t − π 2 ) d t ∫ 0 π sin ( ( t − π 2 ) 3 ) cos ( t − π 2 ) d t
∫ 0 2 ( 1 − t ) cos ( π t ) d t ∫ 0 2 ( 1 − t ) cos ( π t ) d t
∫ π / 4 3 π / 4 sin 2 t cos t d t ∫ π / 4 3 π / 4 sin 2 t cos t d t
Show that the average value of f(x)f(x) over an interval [a,b][a,b] is the same as the average value of f(cx)f(cx) over the interval [ac,bc][ac,bc] for c>0.c>0.
Find the area under the graph of f(t)=t(1+t2)af(t)=t(1+t2)a between t=0t=0 and t=xt=x where a>0a>0 and a≠1a≠1 is fixed, and evaluate the limit as x→∞.x→∞.
Find the area under the graph of g(t)=t(1−t2)ag(t)=t(1−t2)a between t=0t=0 and t=x,t=x, where 0<x<10<x<1 and a>0a>0 is fixed. Evaluate the limit as x→1.x→1.
The area of a semicircle of radius 1 can be expressed as ∫−111−x2dx.∫−111−x2dx. Use the substitution x=costx=cost to express the area of a semicircle as the integral of a trigonometric function. You do not need to compute the integral.
1. ਇੱਕ ਅੰਡ-ਅਕਸ਼ (ellipse) ਦੇ ਉੱਪਰੀ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਖ ਅਕਸ਼ x-ਅਕਸ਼ ਹੈ ਅਤੇ x=−ax=−a ਤੋਂ x=ax=a ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਗੌਣ ਅਕਸ਼ y-ਅਕਸ਼ ਹੈ ਅਤੇ y=−by=−b ਤੋਂ y=by=b ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਨੂੰ ∫−aab1−x2a2dx.∫−aab1−x2a2dx. ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ (trigonometric function) ਦੇ ਸੰਕਲਨ (integral) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ x=acostx=acost ਦਾ ਪ੍ਰਤਿ-ਸਥਾਪਨ (substitution) ਵਰਤੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਸੰਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
2. [T] ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(t)=asin(nt)+bsin(mt).f(t)=asin(nt)+bsin(mt). ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ (function) ਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਾਂਕ (coefficients) a ਅਤੇ b, ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (frequency parameters) n ਅਤੇ m ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ∫0πf(t)dt.∫0πf(t)dt. ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।
3. [T] ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(x)=acos(nt)+bcos(mt).f(x)=acos(nt)+bcos(mt). ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ (function) ਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਾਂਕ (coefficients) a ਅਤੇ b ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (frequency parameters) n ਅਤੇ m ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ∫0π2f(t)dt.∫0π2f(t)dt. ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।