ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ, ਸੈੱਲ ਵਾਧੇ, ਅਤੇ ਵਿੱਤੀ ਵਾਧੇ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਘਾਟ, ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਸੜਨ, ਅਤੇ ਸਰੋਤ ਦੀ ਖਪਤ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਇਦ ਸਭ ਤੋਂ ਕੁਸ਼ਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, y=ex,y=ex, ਇਸਦਾ ਆਪਣਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਆਪਣਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.37
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ e−x ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, u=−x,u=−x, ਸੈੱਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ du=−1dx.du=−1dx। du ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ −du=dx.−du=dx ਹੋਵੇ। ਫਿਰ,
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.31
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ: x2e−2x3.x2e−2x3.
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਵੇਲੇ ਇੱਕ ਆਮ ਗਲਤੀ e 'ਤੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੰਨਣਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ e 'ਤੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਲਈ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਇਹ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਦੋਂ ਭੰਬਲਭੂਸਾ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕੋ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਿਛਲੇ ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ ਵਿੱਚ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੁਬਾਰਾ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਹੀ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.38
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ex1+ex.ex1+ex ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ:
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, u=1+ex.u=1+ex, ਚੁਣੋ। ਫਿਰ, du=exdx.du=exdx। ਸਾਡੇ ਕੋਲ (ਚਿੱਤਰ 1.37) ਹੈ
ਫਿਰ
ਚਿੱਤਰ 1.37: ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਚੌਕੀ 1.32
2. ex(3ex−2)2 ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 1.39
4. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਬਦਲਵੇਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
5. ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫3x2e2x3dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6. ਹੱਲ
7. ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ u ਨੂੰ e ਦੇ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ u=2x3 ਅਤੇ du=6x2dx। ਦੁਬਾਰਾ, du ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਘੱਟ ਹੈ; ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 3x2 ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੈ, 6x2 ਦਾ ਨਹੀਂ। u ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ, x ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 1/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
8. u ਵਿੱਚ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ u ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ x ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਵਾਪਸ ਪਾਓ:
9. ਚੌਕੀ 1.33
10. ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫2x3ex4dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਅਸਲ-ਜੀਵਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੋਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸੰਖਿਆ e ਅਕਸਰ ਸੰਯੁਕਤ ਜਾਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਾਧੇ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਬਾਰੇ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਜਾਂ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਕੁੱਲ ਤਬਦੀਲੀ ਜਾਂ ਕੁੱਲ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੀਏ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਮ ਵਪਾਰਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
12. ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਮੰਗੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਕੀਮਤ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਮੰਗੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਕੀਮਤ ਘਟਦੀ ਹੈ। ਮਾਰਜਨਲ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਤਪਾਦਨ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਕੀਮਤ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਪਾਰ ਵਿੱਚ ਮੰਗ ਦੀ ਕੀਮਤ-ਲਚਕਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਤੇ ਕੰਪਨੀਆਂ ਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਉਤਪਾਦਨ ਦੇ ਪੱਧਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋਵੇਗਾ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 1.40
14. ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
15. ਇੱਕ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਚੇਨ ਲਈ ਟੂਥਪੇਸਟ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਬ੍ਰਾਂਡ ਲਈ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਮੰਗ 50 ਟਿਊਬ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ $2.35 ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਊਬ ਹੈ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਮਾਰਜਨਲ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ, p′(x), x ਟਿਊਬਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਲਈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
16. ਜੇਕਰ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਚੇਨ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 100 ਟਿਊਬਾਂ ਵੇਚਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਕੀਮਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
17. ਹੱਲ
18. ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਮਾਰਜਨਲ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ਵੇਰਵਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
19. ਬਦਲਵੇਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ u=−0.01x ਅਤੇ du=−0.01dx। ਫਿਰ, du ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −0.01 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
20. ਅਗਲਾ ਕਦਮ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੀਮਤ $2.35 ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਊਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੰਗ 50 ਟਿਊਬਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ
21. ਹੁਣ, ਸਿਰਫ਼ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
22. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
23. ਜੇਕਰ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 100 ਟਿਊਬਾਂ ਟੂਥਪੇਸਟ ਵੇਚਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀਮਤ ਹੋਵੇਗੀ
24. ਜੇਕਰ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 100 ਟਿਊਬਾਂ ਵੇਚ ਰਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਊਬ $1.99 ਵਸੂਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
Example 1.41
Evaluating a Definite Integral Involving an Exponential Function
Evaluate the definite integral ∫12e1−xdx.∫12e1−xdx.
Solution
Again, substitution is the method to use. Let u=1−x,u=1−x, so du=−1dxdu=−1dx or −du=dx.−du=dx. Then ∫e1−xdx=−∫eudu.∫e1−xdx=−∫eudu. Next, change the limits of integration. Using the equation u=1−x,u=1−x, we have
The integral then becomes
See Figure 1.38.
Figure 1.38: The indicated area can be calculated by evaluating a definite integral using substitution.
Checkpoint 1.34
Evaluate ∫02e2xdx.∫02e2xdx.
Example 1.42
Growth of Bacteria in a Culture
Suppose the rate of growth of bacteria in a Petri dish is given by q(t)=3t,q(t)=3t, where t is given in hours and q(t)q(t) is given in thousands of bacteria per hour. If a culture starts with 10,000 bacteria, find a function Q(t)Q(t) that gives the number of bacteria in the Petri dish at any time t. How many bacteria are in the dish after 2 hours?
Solution
We have
Then, at t=0t=0 we have Q(0)=10=1ln3+C,Q(0)=10=1ln3+C, so C≈9.090C≈9.090 and we get
At time t=2,t=2, we have
After 2 hours, there are 17,282 bacteria in the dish.
Checkpoint 1.35
From Example 1.42, suppose the bacteria grow at a rate of q(t)=2t.q(t)=2t. Assume the culture still starts with 10,000 bacteria. Find Q(t).Q(t). How many bacteria are in the dish after 3 hours?
Example 1.43
Fruit Fly Population Growth
Suppose a population of fruit flies increases at a rate of g(t)=2e0.02t,g(t)=2e0.02t, in flies per day. If the initial population of fruit flies is 100 flies, how many flies are in the population after 10 days?
Solution
G(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁੱਧ ਪਰਿਵਰਤਨ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
10 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ 122 ਮੱਖੀਆਂ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.36
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮੱਖੀ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ g(t)=e0.01t,g(t)=e0.01t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੱਖੀ ਆਬਾਦੀ 100 ਮੱਖੀਆਂ ਹੈ। 15 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਮੱਖੀਆਂ ਹਨ?
ਉਦਾਹਰਨ 1.44
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ: ∫12e1/xx2dx.∫12e1/xx2dx.
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਮੁੜ-ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, e 'ਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ x ਦੇ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ-ਲਿਖੋ, ਫਿਰ ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ x2 ਨੂੰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਲਿਆਓ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
u=x−1,u=x−1 ਮੰਨ ਲਓ, ਜੋ ਕਿ e 'ਤੇ ਘਾਤ ਹੈ। ਫਿਰ
ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਬਾਹਰ ਲਿਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਸਮੱਸਿਆ ਹੁਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੜ੍ਹੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਅੱਗੇ, ਏਕੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਦਲੋ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹੁਣ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.37
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ: ∫121x3e4x−2dx.∫121x3e4x−2dx.
ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗਰਲ
f(x)=x−1f(x)=x−1 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੋਰ ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x)=lnxf(x)=lnx ਅਤੇ f(x)=logax,f(x)=logax, ਲਈ ਇੰਟੀਗਰਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵੀ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਨਿਯਮ: ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.45
lnxlnx ਵਾਲੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ 3x−10.3x−10 ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ 3 ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। ਫਿਰ u−1 ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
1. ਚਿੱਤਰ 1.39 ਵੇਖੋ।
2. ਚਿੱਤਰ 1.39: ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ x≠10 ਹੈ।
3. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.38
4. 1x+2 ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 1.46
6. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
7. 2x3+3xx4+3x2 ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
8. ਹੱਲ
9. ਇਸਨੂੰ ∫(2x3+3x)(x4+3x2)−1dx ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ u=x4+3x2, ਫਿਰ du=4x3+6x। 2 ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਕੇ du ਨੂੰ ਬਦਲੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
10. u ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ:
11. ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
12. ਉਦਾਹਰਨ 1.47
13. ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
14. ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ log2x ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
15. ਹੱਲ
16. ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਬਾਰੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੈਟ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਫਾਰਮੈਟ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
17. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.39
18. log3x ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 1.48 ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ, ਸਾਨੂੰ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਗੁਣ ਜਾਂ ਪਛਾਣ ਲਾਗੂ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਦਾ ਸਹੀ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਕੁੰਜੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 1.48
21. ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
22. ∫0π/2sinx1+cosxdx ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲੱਭੋ।
23. ਹੱਲ
24. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ u=1+cosx, ਤਾਂ du=−sinxdx। ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਬਦਲੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
Then
In the following exercises, compute each indefinite integral.
∫ e 2 x d x ∫ e 2 x d x
∫ e −3 x d x ∫ e −3 x d x
∫ 2 x d x ∫ 2 x d x
∫ 3 − x d x ∫ 3 − x d x
∫ 1 2 x d x ∫ 1 2 x d x
∫ 2 x d x ∫ 2 x d x
∫ 1 x 2 d x ∫ 1 x 2 d x
∫ 1 x d x ∫ 1 x d x
In the following exercises, find each indefinite integral by using appropriate substitutions.
∫ ln x x d x ∫ ln x x d x
∫ d x x ( ln x ) 2 ∫ d x x ( ln x ) 2
∫ d x x ln x ( x > 1 ) ∫ d x x ln x ( x > 1 )
∫ d x x ln x ln ( ln x ) ∫ d x x ln x ln ( ln x )
∫ tan θ d θ ∫ tan θ d θ
∫ cos x − x sin x x cos x d x ∫ cos x − x sin x x cos x d x
∫ ln ( sin x ) tan x d x ∫ ln ( sin x ) tan x d x
∫ ln ( cos x ) tan x d x ∫ ln ( cos x ) tan x d x
∫ x e − x 2 d x ∫ x e − x 2 d x
∫ x 2 e − x 3 d x ∫ x 2 e − x 3 d x
∫ e sin x cos x d x ∫ e sin x cos x d x
∫ e tan x sec 2 x d x ∫ e tan x sec 2 x d x
∫ e ln x d x x ∫ e ln x d x x
∫ e ln ( 1 − t ) 1 − t d t ∫ e ln ( 1 − t ) 1 − t d t
In the following exercises, verify by differentiation that ∫lnxdx=x(lnx−1)+C,∫lnxdx=x(lnx−1)+C, then use appropriate changes of variables to compute the integral.
∫x lnxdx∫x lnxdx (Hint:∫x lnxdx=12∫x ln(x2)dx)(Hint:∫x lnxdx=12∫x ln(x2)dx)
∫ x 2 ln( x 2 ) d x ∫ x 2 ln( x 2 ) d x
∫lnxx2dx∫lnxx2dx (Hint:Setu=1x.)(Hint:Setu=1x.)
∫lnxxdx∫lnxxdx (Hint:Setu=x.)(Hint:Setu=x.)
Write an integral to express the area under the graph of y=1ty=1t from t=1t=1 to ex and evaluate the integral.
Write an integral to express the area under the graph of y=ety=et between t=0t=0 and t=lnx,t=lnx, and evaluate the integral.
In the following exercises, use appropriate substitutions to express the trigonometric integrals in terms of compositions with logarithms.
∫ tan ( 2 x ) d x ∫ tan ( 2 x ) d x
∫ sin ( 3 x ) − cos ( 3 x ) sin ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x ∫ sin ( 3 x ) − cos ( 3 x ) sin ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x
∫ x sin ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x ∫ x sin ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x
∫ x csc ( x 2 ) d x ∫ x csc ( x 2 ) d x
∫ ln ( cos x ) tan x d x ∫ ln ( cos x ) tan x d x
∫ ln ( csc x ) cot x d x ∫ ln ( csc x ) cot x d x
∫ e x − e − x e x + e − x d x ∫ e x − e − x e x + e − x d x
In the following exercises, evaluate the definite integral.
∫ 1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x ∫ 1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x
∫ 0 π / 4 tan x d x ∫ 0 π / 4 tan x d x
∫ 0 π / 3 sin x − cos x sin x + cos x d x ∫ 0 π / 3 sin x − cos x sin x + cos x d x
∫ π / 6 π / 2 csc x d x ∫ π / 6 π / 2 csc x d x
∫ π / 4 π / 3 cot x d x ∫ π / 4 π / 3 cot x d x
In the following exercises, integrate using the indicated substitution.
∫ x x − 100 d x ; u = x − 100 ∫ x x − 100 d x ; u = x − 100
∫ y − 1 y + 1 d y ; u = y + 1 ∫ y − 1 y + 1 d y ; u = y + 1
∫ 1 − x 2 3 x − x 3 d x ; u = 3 x − x 3 ∫ 1 − x 2 3 x − x 3 d x ; u = 3 x − x 3
∫ sin x + cos x sin x − cos x d x ; u = sin x − cos x ∫ sin x + cos x sin x − cos x d x ; u = sin x − cos x
∫ e 2 x 1 − e 2 x d x ; u = e 2 x ∫ e 2 x 1 − e 2 x d x ; u = e 2 x
∫ ln ( x ) 1 − ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x ∫ ln ( x ) 1 − ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x
In the following exercises, does the right-endpoint approximation overestimate or underestimate the exact area? Calculate the right endpoint estimate R50 and solve for the exact area.
[T] y=exy=ex over [0,1][0,1]
[T] y=e−xy=e−x over [0,1][0,1]
[T] y=ln(x)y=ln(x) over [1,2][1,2]
[T] y=x+1x2+2x+6y=x+1x2+2x+6 over [0,1][0,1]
[T] y=2xy=2x over [−1,0][−1,0]
[T] y=−2−xy=−2−x over [0,1][0,1]
In the following exercises, f(x)≥0f(x)≥0 for a≤x≤b.a≤x≤b. Find the area under the graph of f(x)f(x) between the given values a and b by integrating.
f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100 f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100
f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64 f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64
f ( x ) = 2 − x ; a = 1 , b = 2 f ( x ) = 2 − x ; a = 1 , b = 2
f ( x ) = 2 − x ; a = 3 , b = 4 f ( x ) = 2 − x ; a = 3 , b = 4
Find the area under the graph of the function f(x)=xe−x2f(x)=xe−x2 between x=0x=0 and x=5.x=5.
Compute the integral of f(x)=xe−x2f(x)=xe−x2 and find the smallest value of N such that the area under the graph f(x)=xe−x2f(x)=xe−x2 between x=Nx=N and x=N+1x=N+1 is, at most, 0.01.
Find the limit, as N tends to infinity, of the area under the graph of f(x)=xe−x2f(x)=xe−x2 between x=0x=0 and x=N.x=N.
Show that ∫abdtt=∫1/b1/adtt∫abdtt=∫1/b1/adtt when 0<a≤b.0<a≤b.
Suppose that f(x)>0f(x)>0 for all x and that f and g are differentiable. Use the identity fg=eglnffg=eglnf and the chain rule to find the derivative of fg.fg.
Use the previous exercise to find the antiderivative of h(x)=xx(1+lnx)h(x)=xx(1+lnx) and evaluate ∫23xx(1+lnx)dx.∫23xx(1+lnx)dx.
Show that if c>0,c>0, then the integral of 1/x1/x from ac to bc (0<a<b)(0<a<b) is the same as the integral of 1/x1/x from a to b.
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ln(x)=∫1xdtt ਤੋਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ (natural logarithm) ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਭਿੰਨ (definite integral) ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
2. ਪਛਾਣ ln(x)=∫1xdtt ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ln(1x)=−lnx ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
3. ਅਭਿੰਨ ∫1xy1tdt ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ (change of variable) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ x,y>0 ਲਈ lnxy=lnx+lny।
4. ਪਛਾਣ lnx=∫1xdtt ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ln(x) [0,∞) ਉੱਤੇ x ਦਾ ਇੱਕ ਵਧਦਾ ਹੋਇਆ ਫਲਨ (increasing function) ਹੈ, ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ln(x) ਦਾ ਪਰਿਸਰ (range) (−∞,∞) ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਧਾਰਨਾ ਦੇ, ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢੋ ਕਿ ln(x) ਦਾ (−∞,∞) ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫਲਨ (inverse function) ਹੈ।
5. ਪਲ ਭਰ ਲਈ ਇਹ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ ਕਿ ex, ln(x) ਦਾ ਉਲਟ ਫਲਨ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ln(x) ਦਾ (−∞,∞) ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫਲਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ E ਕਹੋ। ਪਛਾਣ lnxy=lnx+lny ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a, b ਲਈ E(a+b)=E(a)E(b)।
6. ਪਲ ਭਰ ਲਈ ਇਹ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ ਕਿ ex, lnx ਦਾ ਉਲਟ ਫਲਨ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ lnx ਦਾ (−∞,∞) ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫਲਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ E ਕਹੋ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ E'(t)=E(t)।
7. ਸਾਈਨ ਅਭਿੰਨ (sine integral), ਜਿਸਨੂੰ S(x)=∫0xsinttdt ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਾਤਰਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਸੂਤਰ (closed formula) ਨਹੀਂ ਹੈ, ਵੱਡੇ x ਲਈ ਇਸਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ k≥1 ਲਈ, |S(2πk)−S(2π(k+1))|≤1k(2k+1)π। (ਸੰਕੇਤ: sin(t+π)=−sint)
8. ਸੰਭਾਵਨਾ (probability) ਵਿੱਚ ਆਮ ਵੰਡ (normal distribution) p(x)=1σ2πe−(x−μ)2/2σ2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ σ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ (standard deviation) ਅਤੇ μ ਔਸਤ (average) ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ, ps, μ=0 ਅਤੇ σ=1 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। ∫−1112πe−x22dx ਦੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤਮ ਅਨੁਮਾਨ (right endpoint estimates) R10 ਅਤੇ R100 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
9. ∫−35122πe−(x−1)2/8 ਦੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤਮ ਅਨੁਮਾਨ R50 ਅਤੇ R100 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।