Learning Objectives
1.7.1 Integrate functions resulting in inverse trigonometric functions
In this section we focus on integrals that result in inverse trigonometric functions. We have worked with these functions before. Recall from Functions and Graphs that trigonometric functions are not one-to-one unless the domains are restricted. When working with inverses of trigonometric functions, we always need to be careful to take these restrictions into account. Also in Derivatives, we developed formulas for derivatives of inverse trigonometric functions. The formulas developed there give rise directly to integration formulas involving inverse trigonometric functions.
Integrals that Result in Inverse Sine Functions
Let us begin this last section of the chapter with the three formulas. Along with these formulas, we use substitution to evaluate the integrals. We prove the formula for the inverse sine integral.
Rule: Integration Formulas Resulting in Inverse Trigonometric Functions
The following integration formulas yield inverse trigonometric functions. Assume a>0a>0:
∫dua2−u2=sin-1ua+C∫dua2−u2=sin-1ua+C (1.23)
∫dua2+u2=1atan−1ua+C∫dua2+u2=1atan−1ua+C (1.24)
∫duuu2−a2=1asec−1|u|a+C∫duuu2−a2=1asec−1|u|a+C (1.25)
Proof
Let y=sin−1xa.y=sin−1xa. Then asiny=x.asiny=x. Now let’s use implicit differentiation. We obtain
For −π2≤y≤π2,cosy≥0.−π2≤y≤π2,cosy≥0. Thus, applying the Pythagorean identity sin2y+cos2y=1,sin2y+cos2y=1, we have cosy=1–sin2y.cosy=1–sin2y. This gives
Then for −a≤x≤a,−a≤x≤a, and generalizing to u, we have
□
Example 1.49
Evaluating a Definite Integral Using Inverse Trigonometric Functions
Evaluate the definite integral ∫012dx1−x2.∫012dx1−x2.
Solution
We can go directly to the formula for the antiderivative in the rule on integration formulas resulting in inverse trigonometric functions, and then evaluate the definite integral. We have
Checkpoint 1.40
Evaluate the integral ∫dx1−16x2.∫dx1−16x2.
Example 1.50
Finding an Antiderivative Involving an Inverse Trigonometric Function
1. ∫dx4−9x2 ਦਾ ਸੰਕਲਨ ਕਰੋ।
2. ਹੱਲ
3. u=3x ਮੰਨੋ। ਫਿਰ du=3dx ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
4. a=2 ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
5. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.41
6. ∫dx9−x2 ਲਈ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ਲੱਭੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 1.51
8. ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
9. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ∫03/2du1−u2 ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
10. ਹੱਲ
11. ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਫਾਰਮੈਟ ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
12. ਹੋਰ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨ
13. ਛੇ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਸੰਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੋਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਸਕਰਣ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕੋ ਫਰਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ। ਤਿੰਨ ਹੋਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਯਾਦ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਜੇਕਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਰਫ −1 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ ਅਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਕਲਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ। ਇਸ ਭਾਗ ਨੂੰ ਬੰਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਸੰਕਲਨ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 1.52
15. ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
16. ∫11+4x2dx ਦਾ ਸੰਕਲਨ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ tan−1u+C ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਗਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, u=2x ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਫਿਰ du=2dx ਅਤੇ 1/2du=dx ਹੋਵੇਗਾ। ਫਿਰ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
19. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.42
20. ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ∫dx25+4x2 ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 1.53
22. ਸੰਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
23. ∫19+x2dx ਦਾ ਸੰਕਲਨ ਕਰੋ।
24. ਹੱਲ
Apply the formula with a=3.a=3. Then,
Checkpoint 1.43
Evaluate the integral ∫dx16+x2.∫dx16+x2.
Example 1.54
Evaluating a Definite Integral
Evaluate the definite integral ∫3/33dx1+x2.∫3/33dx1+x2.
Solution
Use the formula for the inverse tangent. We have
Checkpoint 1.44
Evaluate the definite integral ∫02dx4+x2.∫02dx4+x2.
In the following exercises, evaluate each integral in terms of an inverse trigonometric function.
∫ 0 3 / 2 d x 1 − x 2 ∫ 0 3 / 2 d x 1 − x 2
∫ −1 / 2 1 / 2 d x 1 − x 2 ∫ −1 / 2 1 / 2 d x 1 − x 2
∫ 3 1 d x 1 + x 2 ∫ 3 1 d x 1 + x 2
∫ 1 / 3 3 d x 1 + x 2 ∫ 1 / 3 3 d x 1 + x 2
∫ 2 3 2 d x | x | x 2 − 1 ∫ 2 3 2 d x | x | x 2 − 1
∫ 2 2 d x | x | x 2 − 1 ∫ 2 2 d x | x | x 2 − 1
In the following exercises, find each indefinite integral, using appropriate substitutions.
∫ d x 9 − x 2 ∫ d x 9 − x 2
∫ d x 1 − 16 x 2 ∫ d x 1 − 16 x 2
∫ d x 9 + x 2 ∫ d x 9 + x 2
∫ d x 25 + 16 x 2 ∫ d x 25 + 16 x 2
∫ d x | x | x 2 − 9 ∫ d x | x | x 2 − 9
∫ d x | x | 4 x 2 − 16 ∫ d x | x | 4 x 2 − 16
Explain the relationship −cos−1t+C=∫dt1−t2=sin−1t+C.−cos−1t+C=∫dt1−t2=sin−1t+C. Is it true, in general, that cos−1t=−sin−1t?cos−1t=−sin−1t?
Explain the relationship sec−1t+C=∫dt|t|t2−1=−csc−1t+C.sec−1t+C=∫dt|t|t2−1=−csc−1t+C. Is it true, in general, that sec−1t=−csc−1t?sec−1t=−csc−1t?
Explain what is wrong with the following integral: ∫12dt1−t2.∫12dt1−t2.
Explain what is wrong with the following integral: ∫−11dt|t|t2−1.∫−11dt|t|t2−1.
In the following exercises, solve for the antiderivative ∫f∫f of f with C=0,C=0, then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval [a,b].[a,b]. Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)=∫axf(t)dt.
[T] ∫19−x2dx∫19−x2dx over [−3,3][−3,3]
[T] ∫99+x2dx∫99+x2dx over [−6,6][−6,6]
[T] ∫cosx4+sin2xdx∫cosx4+sin2xdx over [−6,6][−6,6]
[T] ∫ex1+e2xdx∫ex1+e2xdx over [−6,6][−6,6]
In the following exercises, compute the antiderivative using appropriate substitutions.
∫ sin −1 t d t 1 − t 2 ∫ sin −1 t d t 1 − t 2
∫ d t sin −1 t 1 − t 2 ∫ d t sin −1 t 1 − t 2
∫ tan −1 ( 2 t ) 1 + 4 t 2 d t ∫ tan −1 ( 2 t ) 1 + 4 t 2 d t
∫ t tan −1 ( t 2 ) 1 + t 4 d t ∫ t tan −1 ( t 2 ) 1 + t 4 d t
∫ sec −1 ( t 2 ) | t | t 2 − 4 d t ∫ sec −1 ( t 2 ) | t | t 2 − 4 d t
∫ t sec −1 ( t 2 ) t 2 t 4 − 1 d t ∫ t sec −1 ( t 2 ) t 2 t 4 − 1 d t
In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative ∫f∫f with C=0C=0 over the given interval [a,b].[a,b]. Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)=∫axf(t)dt.
[T] ∫1xx2−4dx∫1xx2−4dx over [2,6][2,6]
[T] ∫1(2x+2)xdx∫1(2x+2)xdx over [0,6][0,6]
[T] ∫(sinx+xcosx)1+x2sin2xdx∫(sinx+xcosx)1+x2sin2xdx over [−6,6][−6,6]
[T] ∫2e−2x1−e−4xdx∫2e−2x1−e−4xdx over [0,2][0,2]
[T] ∫1x+xln2xdx∫1x+xln2xdx over [0,2][0,2]
[T] ∫sin−1x1−x2dx∫sin−1x1−x2dx over [−1,1][−1,1]
In the following exercises, compute each integral using appropriate substitutions.
∫ e t 1 − e 2 t d t ∫ e t 1 − e 2 t d t
∫ e t 1 + e 2 t d t ∫ e t 1 + e 2 t d t
∫ d t t 1 − ln 2 t ∫ d t t 1 − ln 2 t
∫ d t t ( 1 + ln 2 t ) ∫ d t t ( 1 + ln 2 t )
∫ cos −1 ( 2 t ) 1 − 4 t 2 d t ∫ cos −1 ( 2 t ) 1 − 4 t 2 d t
∫ e t cos −1 ( e t ) 1 − e 2 t d t ∫ e t cos −1 ( e t ) 1 − e 2 t d t
In the following exercises, compute each definite integral.
∫ 0 1 / 2 tan ( sin −1 t ) 1 − t 2 d t ∫ 0 1 / 2 tan ( sin −1 t ) 1 − t 2 d t
∫ 1 / 4 1 / 2 tan ( cos −1 t ) 1 − t 2 d t ∫ 1 / 4 1 / 2 tan ( cos −1 t ) 1 − t 2 d t
∫ 0 1 / 2 sin ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t ∫ 0 1 / 2 sin ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t
∫ 0 1 / 2 cos ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t ∫ 0 1 / 2 cos ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t
For A>0,A>0, compute I(A)=∫−AAdt1+t2I(A)=∫−AAdt1+t2 and evaluate limA→∞I(A),limA→∞I(A), the area under the graph of 11+t211+t2 on [−∞,∞].[−∞,∞].
For 1<B<∞,1<B<∞, compute I(B)=∫1Bdttt2−1I(B)=∫1Bdttt2−1 and evaluate limB→∞I(B),limB→∞I(B), the area under the graph of 1tt2−11tt2−1 over [1,∞).[1,∞).
Use the substitution u=2cotxu=2cotx and the identity 1+cot2x=csc2x1+cot2x=csc2x to evaluate ∫dx1+cos2x.∫dx1+cos2x. (Hint: Multiply the top and bottom of the integrand by csc2x.)csc2x.)
[T] Approximate the points at which the graphs of f(x)=2x2−1f(x)=2x2−1 and g(x)=(1+4x2)−3/2g(x)=(1+4x2)−3/2 intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.
[T] Approximate the points at which the graphs of f(x)=x2−1f(x)=x2−1 and g(x)=(x2+1)12g(x)=(x2+1)12 intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.
Use the following graph to prove that ∫0x1−t2dt=12x1−x2+12sin−1x.∫0x1−t2dt=12x1−x2+12sin−1x.