ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.1.1 ਸੁਤੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਕਲਨ ਕਰਕੇ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
2.1.2 ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2.1.3 ਨਿਰਭਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਕਲਨ ਕਰਕੇ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਸਮਕਲਨ ਦੇ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਕਲਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਧੇਰੇ ਜਟਿਲ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਧਾਰਨ ਮਾਮਲੇ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕ੍ਰਾਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਅਤੇ g(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ [a,b] ਉੱਤੇ f(x)≥g(x) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2.2: ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, f(x) ਅਤੇ g(x), ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P={xi} [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ। ਫਿਰ, i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਓ ਜੋ ਲੰਬਵਤ g(xi*) ਤੋਂ f(xi*) ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਵੇ। ਚਿੱਤਰ 2.3(a) ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ xi* ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ n=10। ਚਿੱਤਰ 2.3(b) ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਲਈ ਇਸ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.3: (a) ਅਸੀਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, f(x) ਅਤੇ g(x), ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। (b) ਇੱਕ ਆਮ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਵਕਰ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ f(xi*)−g(xi*) ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ Δx ਹੈ। ਸਾਰੇ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ n→∞ ਵਜੋਂ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਨਤੀਜੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 2.1
ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਅਤੇ g(x) ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ f(x)≥g(x) ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ R, f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ, g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ x=a ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਾਬੱਧ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, R ਦਾ ਖੇਤਰ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.1
ਦੋ ਵਕਰਾਂ 1 ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਜੇਕਰ R, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x+4 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=3−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ [1,4] ਉੱਤੇ ਸੀਮਾਬੱਧ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ R ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.4: ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਮਾਪ 574 ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.1
ਜੇਕਰ R, f(x)=x^2+5 ਅਤੇ g(x)=x+12 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ [1,5] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਬੱਝੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ R ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.1 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਸਮੱਸਿਆ ਕਥਨ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਪਰ ਅਕਸਰ, ਅਸੀਂ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਆਪਣੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਉਸ ਜਗ੍ਹਾ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.2
ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਮਾਪ ਲੱਭਣਾ 2
ਜੇਕਰ R, f(x)=9−(x/2)^2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ g(x)=6−x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਉੱਪਰ ਬੱਝੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ R ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.5: ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਉੱਪਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। f(x)=g(x) ਸੈੱਟ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=6 ਜਾਂ x=−2 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ −2 ਤੋਂ 6 ਤੱਕ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ −2≤x≤6 ਲਈ f(x)≥g(x) ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਮਾਪ 64/3 ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.2
ਜੇਕਰ R, f(x)=x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ g(x)=x^4 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਬੱਝੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ R ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਯੁਕਤ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਮਾਪ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਪੂਰੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)≥g(x) ਦੀ ਲੋੜ ਰੱਖੀ ਹੈ, ਪਰ ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬੱਝੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਚਾਹੀਏ ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕੱਟਦੇ ਹਨ? ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਸੋਧਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.2
ਕੱਟਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਮਾਪ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਅਤੇ g(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ R, f(x) ਅਤੇ g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x=a ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬੱਝਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਫਿਰ, R ਦਾ ਮਾਪ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਵਿਹਾਰਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਅਤੇ ਕਈ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਿੱਸੇ ਉੱਤੇ ਕਿਹੜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.3
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ
ਜੇਕਰ R ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)=sinx ਅਤੇ g(x)=cosx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ [0,π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ R ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.6: ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ x=π/4 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। x∈[0,π/4] ਲਈ, cosx≥sinx, ਇਸ ਲਈ
ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, x∈[π/4,π] ਲਈ, sinx≥cosx, ਇਸ ਲਈ
ਫਿਰ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 2√2 ਇਕਾਈਆਂ² ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.3
ਜੇਕਰ R ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)=sinx ਅਤੇ g(x)=cosx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ [π/2,2π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ R ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.4
ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 2.7 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। R ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.7: ਇਸ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਗਿਣਨ ਲਈ ਦੋ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ 2.3 ਵਾਂਗ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ x=1 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ (f(x)=g(x) ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ), ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [0,1] ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [1,2] ਉੱਤੇ।
ਅੰਤਰਾਲ [0,1] ਉੱਤੇ, ਖੇਤਰ ਉੱਪਰੋਂ f(x)=x² ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅੰਤਰਾਲ [1,2] ਉੱਤੇ, ਖੇਤਰ ਉੱਪਰੋਂ g(x)=2−x ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਹਨਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 5/6 ਇਕਾਈਆਂ² ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.4
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। R ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਖੇਤਰ
2.4 ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕੀਤਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਪਹੁੰਚ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਮੰਨੀਏ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਚਿੱਤਰ 2.7 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਖੱਬਾ ਗ੍ਰਾਫ, ਲਾਲ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x)=x² ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ x ਲਈ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ x=v(y)=√y ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x=−√y ਵੀ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ y=f(x)=x² ਦਾ ਇੱਕ ਵੈਧ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਰਗਮੂਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।) ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸੱਜਾ ਗ੍ਰਾਫ ਫੰਕਸ਼ਨ y=g(x)=2−x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ x=u(y)=2−y ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਆਓ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰੀਏ।
ਮੰਨ ਲਓ u(y) ਅਤੇ v(y) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [c,d] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰੇ y∈[c,d] ਲਈ u(y)≥v(y)। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2.8: ਅਸੀਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, u(y) ਅਤੇ v(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਵਾਰ, ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ Q={yᵢ} [c,d] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ। ਫਿਰ, i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ yᵢ*∈[yᵢ₋₁,yᵢ] ਚੁਣੋ, ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ [yᵢ₋₁,yᵢ] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਓ ਜੋ v(yᵢ*) ਤੋਂ u(yᵢ*) ਤੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.9(a) ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ yᵢ* ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ n=10। ਚਿੱਤਰ 2.9(b) ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.9: (a) ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, u(y) ਅਤੇ v(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ, ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ। (b) ਇੱਕ ਆਮ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ।
ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ Δy ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ u(yᵢ*)−v(yᵢ*) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਲਗਭਗ ਹੈ
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ n→∞ ਵਜੋਂ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਨਤੀਜੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 2.3
ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ, y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ u(y) ਅਤੇ v(y) ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰੇ y∈[c,d] ਲਈ u(y)≥v(y)। ਮੰਨ ਲਓ R u(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, v(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ y=d ਅਤੇ y=c ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, R ਦਾ ਖੇਤਰ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 2.5
y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨਾ
ਆਓ ਉਦਾਹਰਨ 2.4 ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੀਏ, ਸਿਰਫ਼ ਇਸ ਵਾਰ ਆਓ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ R ਚਿੱਤਰ 2.10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਕੇ R ਦਾ ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.10: ਖੇਤਰ R ਦਾ ਖੇਤਰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਸੀ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਵਕਰ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ x=v(y)=√y ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਵਕਰ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ x=u(y)=2−√y ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀਆਂ ਪੈਣਗੀਆਂ। ਖੇਤਰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ y=0 ਹੈ। ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਦੋ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (1,1) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ y=1 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ [c,d]=[0,1] ਹੈ।
ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਗਿਣਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰ 5/6 ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.5
ਆਓ ਉਦਾਹਰਨ 2.4 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੀਏ, ਸਿਰਫ਼ ਇਸ ਵਾਰ, ਆਓ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ R ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਕੇ R ਦਾ ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ, x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਕੇ।
y = x² − 3 ਅਤੇ y = 1
y = x 2 and y = 3 x + 4 y = x 2 and y = 3 x + 4
For the following exercises, split the region between the two curves into two smaller regions, then determine the area by integrating over the x-axis.x-axis. Note that you will have two integrals to solve.
y=x3y=x3 and y=x2+xy=x2+x
y=cosθy=cosθ and y=0.5,y=0.5, for 0≤θ≤π0≤θ≤π
For the following exercises, determine the area of the region between the two curves by integrating over the y-axis.y-axis.
x = y 2 and x = 9 x = y 2 and x = 9
y = x and x = y 2 y = x and x = y 2
For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis.x-axis.
y = x 2 and y = − x 2 + 18 x y = x 2 and y = − x 2 + 18 x
y = 1 x , y = 1 x 2 , and x = 3 y = 1 x , y = 1 x 2 , and x = 3
y=cosxy=cosx and y=cos2xy=cos2x on x=[−π,π]x=[−π,π]
y = e x , y = e 2 x − 1 , and x = 0 y = e x , y = e 2 x − 1 , and x = 0
y = e x , y = e − x , x = −1 and x = 1 y = e x , y = e − x , x = −1 and x = 1
y = e , y = e x , and y = e − x y = e , y = e x , and y = e − x
y = | x | and y = x 2 y = | x | and y = x 2
For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. If necessary, break the region into sub-regions to determine its entire area.
y = sin ( π x ) , y = 2 x , and x > 0 y = sin ( π x ) , y = 2 x , and x > 0
y = 12 − x , y = x , and y = 1 y = 12 − x , y = x , and y = 1
y=sinxy=sinx and y=cosxy=cosx over x=[−π,π]x=[−π,π]
y=x3andy=x2−2xy=x3andy=x2−2x over x=[−1,1]x=[−1,1]
y=x2+9andy=10+2xy=x2+9andy=10+2x over x=[−1,3]x=[−1,3]
y=x3+3xy=x3+3x and y=4xy=4x
For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the y-axis.y-axis.
x = y 3 and x = 3 y − 2 x = y 3 and x = 3 y − 2
x = 2 y and x = y 3 − y x = 2 y and x = y 3 − y
x = −3 + y 2 and x = y − y 2 x = −3 + y 2 and x = y − y 2
y 2 = x and x = y + 2 y 2 = x and x = y + 2
x = | y | and 2 x = − y 2 + 2 x = | y | and 2 x = − y 2 + 2
x = sin y , x = cos ( 2 y ) , y = π / 2 , and y = − π / 2 x = sin y , x = cos ( 2 y ) , y = π / 2 , and y = − π / 2
For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.
x = y 4 and x = y 5 x = y 4 and x = y 5
y = x e x , y = e x , x = 0 , and x = 1 y = x e x , y = e x , x = 0 , and x = 1
y = x 6 and y = x 4 y = x 6 and y = x 4
x = y 3 + 2 y 2 + 1 and x = − y 2 + 1 x = y 3 + 2 y 2 + 1 and x = − y 2 + 1
y = | x | and y = x 2 − 1 y = | x | and y = x 2 − 1
y = 4 − 3 x and y = 1 x y = 4 − 3 x and y = 1 x
y = sin x , x = − π / 6 , x = π / 6 , and y = cos 3 x y = sin x , x = − π / 6 , x = π / 6 , and y = cos 3 x
y = x 2 − 3 x + 2 and y = x 3 − 2 x 2 − x + 2 y = x 2 − 3 x + 2 and y = x 3 − 2 x 2 − x + 2
y = 2 cos 3 ( 3 x ) , y = −1 , x = π 4 , and x = − π 4 y = 2 cos 3 ( 3 x ) , y = −1 , x = π 4 , and x = − π 4
y + y 3 = x and 2 y = x y + y 3 = x and 2 y = x
y = 1 − x 2 and y = x 2 − 1 y = 1 − x 2 and y = x 2 − 1
y = cos −1 x , y = sin −1 x , x = −1 , and x = 1 y = cos −1 x , y = sin −1 x , x = −1 , and x = 1
For the following exercises, find the exact area of the region bounded by the given equations if possible. If you are unable to determine the intersection points analytically, use a calculator to approximate the intersection points with three decimal places and determine the approximate area of the region.
[T] x=eyandy=x−2x=eyandy=x−2
[T] y=x2andy=1−x2y=x2andy=1−x2
[T] y=3x2+8x+9and3y=x+24y=3x2+8x+9and3y=x+24
[T] x=4−y2andy2=1+x2x=4−y2andy2=1+x2
[T] x2=y3andx=3yx2=y3andx=3y
[T] y=sin3x+2,y=tanx,x=−1.5,andx=1.5y=sin3x+2,y=tanx,x=−1.5,andx=1.5
[T] y=1−x2andy2=x2y=1−x2andy2=x2
[T] y=1−x2andy=x2+2x+1y=1−x2andy=x2+2x+1
[T] x=4−y2andx=1+3y+y2x=4−y2andx=1+3y+y2
[T] y=cosx,y=ex,x=−π,andx=0y=cosx,y=ex,x=−π,andx=0
The largest triangle with a base on the x-axisx-axis that fits inside the upper half of the unit circle y2+x2=1y2+x2=1 is given by y=1+xy=1+x and y=1−x.y=1−x. See the following figure. What is the area inside the semicircle but outside the triangle?
A factory selling cell phones has a marginal cost function C(x)=0.01x2−3x+229,C(x)=0.01x2−3x+229, where xx represents the number of cell phones, CC is the marginal cost, in dollars, of selling xx phones, and a marginal revenue function given by R(x)=429−2xR(x)=429−2x, where RR is the revenue, in dollars, earned by selling xx cell phonesFind the area between the graphs of these curves and x=0.x=0. What does this area represent?
An amusement park has a marginal cost function C(x)=1000e−x+5,C(x)=1000e−x+5, where xx represents the number of tickets sold, and a marginal revenue function given by R(x)=60−0.1x.R(x)=60−0.1x. Find the total profit generated when selling 550550 tickets. Use a calculator to determine intersection points, if necessary, to two decimal places.
The tortoise versus the hare: The speed of the hare is given by the sinusoidal function H(t)=1−cos((πt)/2)H(t)=1−cos((πt)/2) whereas the speed of the tortoise is T(t) = 0.1032tT(t) = 0.1032t where tt is time measured in hours and the speed is measured in miles per hour. Find the area between the curves from time t=0t=0 to the first time after one hour when the tortoise and hare are traveling at the same speed. What does it represent? Use a calculator to determine the intersection points, if necessary, accurate to three decimal places.
The tortoise versus the hare: The speed of the hare is given by the sinusoidal function H(t)=(1/2)−(1/2)cos(2πt)H(t)=(1/2)−(1/2)cos(2πt) whereas the speed of the tortoise is T(t)=t,T(t)=t, where tt is time measured in hours and speed is measured in kilometers per hour. If the race is over in 11 hour, who won the race and by how much? Use a calculator to determine the intersection points, if necessary, accurate to three decimal places.
For the following exercises, find the area between the curves by integrating with respect to xx and then with respect to y.y. Is one method easier than the other? Do you obtain the same answer?
y = x 2 + 2 x + 1 and y = − x 2 − 3 x + 4 y = x 2 + 2 x + 1 and y = − x 2 − 3 x + 4
y = x 4 and x = y 5 y = x 4 and x = y 5
x = y 2 − 2 and x = 2 y x = y 2 − 2 and x = 2 y
For the following exercises, solve using calculus, then check your answer with geometry.
Determine the equations for the sides of the square that touches the unit circle on all four sides, as seen in the following figure. Find the area between the perimeter of this square and the unit circle. Is there another way to solve this without using calculus?
Find the area between the perimeter of the unit circle and the triangle created from y=2x+1,y=1−2xy=2x+1,y=1−2x and y=−35,y=−35, as seen in the following figure. Is there a way to solve this without using calculus?