ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.2.1 ਇੱਕ ਕਾਟ-ਖੰਡ (ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ) ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2.2.2 ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2.2.3 ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਖੋਖਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਪਹੁੰਚਾਂ - ਸਲਾਈਸਿੰਗ, ਡਿਸਕ, ਅਤੇ ਵਾਸ਼ਰ - ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਆਇਤਨ ਅਤੇ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ
ਜਿਵੇਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮਾਪ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਇਤਨ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮਾਪ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤਿਆਂ ਨੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ, ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ: V=lwh। ਗੋਲੇ (V=4/3πr³), ਸ਼ੰਕੂ (V=1/3πr²h), ਅਤੇ ਪਿਰਾਮਿਡ (V=1/3Ah) ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵੀ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸਿਰਫ਼ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ, ਇਹ ਸਾਰੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਵੀ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤੇ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਧਾਰ ਵਾਲਾ ਸਮਝਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਪ ਦਾ ਡੱਬਾ ਜਾਂ ਇੱਕ ਧਾਤ ਦੀ ਰਾਡ, ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਅਰਥ ਹੈ। ਇਸ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਸਿਲੰਡਰਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਅਤੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੇਤਰ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਅਕਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਕਸ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਸਾਰੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2.11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: V=A·h। ਇੱਕ ਸਿੱਧੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸਿਲੰਡਰ (ਸੂਪ ਦਾ ਡੱਬਾ) ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਹ V=πr²h ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.11: ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਹਰ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦੂਜਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਅਤੇ ਇਹ ਹੋਰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ), ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਸਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਕੋਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣਨ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੱਟ ਕੇ, ਹਰ ਟੁਕੜੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੁਕੜੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਮਾਨਤਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਪੂਰਾ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਮਿਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 2.12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ S 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ x-ਅਕਸ਼ ਦੇ ਨਾਲ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.12: ਬਦਲਦੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ।
ਅਸੀਂ SS ਨੂੰ x-ਅਕਸ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਅਜਿਹੇ ਸਮੇਂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ - ਜਿਵੇਂ ਕਿ y-ਅਕਸ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਟੁਕੜਿਆਂ ਨਾਲ। ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣਾ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਫੈਸਲਾ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗਲਤ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਾਫ਼ੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ x-ਅਕਸ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ x ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ A(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ P={x₀, x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>} ਨੂੰ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ i=1, 2, ..., n ਲਈ, Si ਨੂੰ xi₋₁ ਤੋਂ xi ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ SS ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਓ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ n=3 ਦੇ ਨਾਲ ਕੱਟੇ ਹੋਏ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.13: ਠੋਸ SS ਨੂੰ x-ਅਕਸ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਤਿੰਨ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, i=1, 2, ..., n ਲਈ, xi* ਨੂੰ [xi₋₁, xi] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ ਮੰਨੋ। ਫਿਰ ਟੁਕੜੇ Si ਦਾ ਆਇਤਨ V(Si) ≈ A(xi*)Δx ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੂਰੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ SS ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਡਾ ਅਗਲਾ ਕਦਮ n→∞ ਵਜੋਂ ਸੀਮਾ ਲੈਣਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਿਸ ਤਕਨੀਕ ਦਾ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦਾ ਆਕਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਤਸਵੀਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਉਣਾ ਅਕਸਰ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਆਇਤਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਚਿਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰੋ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੁਕੜੇ x-ਅਕਸ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲਾ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ x-ਅਕਸ਼ 'ਤੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਦੀ ਸਾਡੀ ਚੋਣ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਵੈਧ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 2.6
2. ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਘਣਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ
3. ਅਸੀਂ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਤੋਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਘਣਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ V=13Ah ਹੈ। ਜੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਆਧਾਰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ V=13a2h ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਆਧਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਪਿਰਾਮਿਡ 'ਤੇ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 2.14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪਿਰਾਮਿਡ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
6. ਚਿੱਤਰ 2.14: (a) ਵਰਗਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਵਾਲਾ ਪਿਰਾਮਿਡ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਹੈ। (b) ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪਾਸਿਓਂ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
7. ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਕਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵੀ ਵਰਗ ਹਨ (ਕਦਮ 1)। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਵਰਗ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 2.14(b) ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹਨ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
8. ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
9. ਫਿਰ ਅਸੀਂ 0 ਤੋਂ h ਤੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਕੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਘਣਫਲ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ (ਕਦਮ 3):
10. ਇਹ ਉਹ ਸੂਤਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਸੀ।
11. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.6
12. ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨ ਦੇ ਘਣਫਲ ਲਈ ਸੂਤਰ V=13πr2h ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ
14. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 2.15: (a) ਇਹ ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (b) ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਖੇਤਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। (c) ਇਹ ਉਹ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਹੈ ਜੋ ਘੁੰਮਣ ਪੂਰਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
16. ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਮਕੈਨੀਕਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲਾਥ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਮਸ਼ੀਨ ਦੇ ਹਿੱਸੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ ਬਤੀਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਗਲੀ ਮਿਸਾਲ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਘਣਫਲ ਗਿਣਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ।
17. ਮੀਡੀਆ
18. ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਲਈ ਇੱਕ ਔਨਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
19. ਮਿਸਾਲ 2.7
20. ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਘਣਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
21. f(x)=x2−4x+5, x=1, ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ, ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਏ ਗਏ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਘਣਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [1,4] ਉੱਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
24. ਚਿੱਤਰ 2.16: ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ।
1. ਅਗਲਾ, ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਓ।
2. ਚਿੱਤਰ 2.17: ਦੋ ਦ੍ਰਿਸ਼, (a) ਅਤੇ (b), ਘੁੰਮਣ ਤੋਂ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੇ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.16 ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਦਾ ਹੈ।
3. ਕਿਉਂਕਿ ਠੋਸ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ, ਕੱਟੇ ਹੋਏ ਭਾਗ ਚੱਕਰ ਹਨ (ਪਗ 1)। ਕੱਟੇ ਹੋਏ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਫਿਰ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ f(x) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ ਵਰਤੋ:
4. ਫਿਰ, ਆਇਤਨ ਹੈ (ਪਗ 3)
5. ਆਇਤਨ 78π/5 ਹੈ।
6. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.7
7. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1/x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਅਗਲਾ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ।
8. ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ
9. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਠੋਸਾਂ ਨਾਲ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ, ਘੁੰਮਣ ਠੋਸਾਂ ਲਈ, ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਲਾਈਸਾਂ ਡਿਸਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=(x−1)2+1 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [−1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਠੋਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਡਿਸਕ ਚਿੱਤਰ 2.18(a) ਅਤੇ (b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਘੁੰਮਣ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਠੋਸ ਚਿੱਤਰ 2.18(c) ਅਤੇ (d) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
10. ਚਿੱਤਰ 2.18: (a) ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ। (b) x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਡਿਸਕ। (c) ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ (d) ਘੁੰਮਣ ਠੋਸ ਬਣਦਾ ਹੈ।
11. ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਆਇਤਨ ਸੂਤਰ ਦੇ ਰਸਮੀ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
12. ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਫਰਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੱਟੇ ਹੋਏ ਭਾਗ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ; ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਨਿਯਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
13. ਨਿਯਮ: ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ
14. ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। RR ਨੂੰ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, x=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ, ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਸੀਮਾਬੱਧ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ, RR ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
15. ਅਸੀਂ ਜਿਸ ਠੋਸ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.18) ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
16. ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖੀਏ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 2.8
18. ਘੁੰਮਣ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ 1
19. f(x)=x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਠੋਸ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
22. ਚਿੱਤਰ 2.19: (a) ਅੰਤਰਾਲ [1,4] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x। (b) f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਘੁੰਮਣ ਠੋਸ।
23. ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
24. ਆਇਤਨ (15π)/2 ਯੂਨਿਟ3 ਹੈ।
2.8 ਚੌਕੀ
ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, f(x)=4−x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [0,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਸਾਡੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਨ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਪਿੰਡ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀਆਂ ਮਕੈਨਿਕਸ ਲਗਭਗ ਉਹੀ ਹਨ ਜਦੋਂ x-ਧੁਰਾ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੀ ਸਮਾਂਕਲਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡਾਂ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ
ਮੰਨ ਲਓ g(y) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ। QQ ਨੂੰ g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y=c ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ y=d ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ, QQ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਨਿਯਮ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.9
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ 2
ਮੰਨ ਲਓ RR, g(y)=4−y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,4] ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਹੈ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 2.20 ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਡਿਸਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਡਿਸਕਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਨਾ ਕਿ ਖੜ੍ਹੀਆਂ।
ਚਿੱਤਰ 2.20: (a) ਫੰਕਸ਼ਨ g(y)=4−y ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। (b) ਆਇਤਾਕਾਰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਡਿਸਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਪੂਰਾ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਪਿੰਡ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.21: (a) y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,4] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g(y)=4−y ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ। (b) ਖੇਤਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਿਆ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਪਿੰਡ।
ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂਕਲਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਆਇਤਨ 8π3 ਇਕਾਈ ਹੈ।
2.9 ਚੌਕੀ
ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, g(y)=y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ
ਕੁਝ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡਾਂ ਦੇ ਮੱਧ ਵਿੱਚ ਖੋਖਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ; ਉਹ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਠੋਸ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਖੋਖਲੀਆਂ ਉਦੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੀਜਾ ਤਰੀਕਾ ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਉਹ ਹੈ ਜਦੋਂ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡ ਦੇ ਮੱਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੋਖਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕੱਟੀਆਂ ਡਿਸਕਾਂ ਨਹੀਂ, ਬਲਕਿ ਵਾਸ਼ਰ (ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਮੋਰੀ ਵਾਲੀਆਂ ਡਿਸਕਾਂ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ g(x)=1 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਮੱਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੋਖਲੀ ਵਾਲਾ ਪਿੰਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੱਟੀਆਂ ਵਾਸ਼ਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਵਾਸ਼ਰ ਚਿੱਤਰ 2.22(a) ਅਤੇ (b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਪਿੰਡ ਚਿੱਤਰ 2.22(c) ਅਤੇ (d) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.22: (a) ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ। (b) x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਵਾਸ਼ਰ। (c) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਖੇਤਰ। (d) ਨਤੀਜਾ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਪਿੰਡ।
ਫਿਰ, ਕੱਟ ਦਾ ਖੇਤਰ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ:
ਫਿਰ ਪਿੰਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ:
ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x) ਅਤੇ g(x) ਨਿਰੰਤਰ, ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ [a,b] ਉੱਤੇ f(x)≥g(x)। ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ, g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, x=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਫਿਰ, R ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 2.10
ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
f(x)=x ਅਤੇ g(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.23: (a) [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)=x ਅਤੇ g(x)=1/x ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ। (b) ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਖੋਖਲਾਪਣ ਵਾਲਾ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.10
f(x)=x ਅਤੇ g(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸਾਂ ਉੱਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸਾਂ ਲਈ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ u(y) ਅਤੇ v(y) ਨਿਰੰਤਰ, ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ y∈[c,d] ਲਈ v(y)≤u(y)। ਮੰਨ ਲਓ Q ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ u(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, v(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y=c ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ y=d ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਫਿਰ, Q ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਧੁਰੇ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਧੁਰਾ ਦੋਨਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਉਹੀ ਆਮ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਆਇਤਨ ਦੇ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨੀ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.11
ਵੱਖਰੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ
f(x)=4−x ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [0,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ y=−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.24: (a) [0,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)=4−x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ। (b) ਖੇਤਰ ਨੂੰ y=−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਮੋਰੀ ਵਾਲਾ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਆਇਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਧੁਰਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਖੇਤਰ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ f(x)+2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਰਲ ਹੋ ਕੇ ਬਣਦਾ ਹੈ
ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ g(x)=2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
Checkpoint 2.11
Find the volume of a solid of revolution formed by revolving the region bounded above by the graph of f(x)=x+2f(x)=x+2 and below by the x-axisx-axis over the interval [0,3][0,3] around the line y=−1.y=−1.
Derive the formula for the volume of a sphere using the slicing method.
Use the slicing method to derive the formula for the volume of a cone.
Use the slicing method to derive the formula for the volume of a tetrahedron with side length a.a.
Use the disk method to derive the formula for the volume of a trapezoidal cylinder.
Explain when you would use the disk method versus the washer method. When are they interchangeable?
For the following exercises, draw a typical slice and find the volume using the slicing method for the given volume.
A pyramid with height 6 units and square base of side 2 units, as pictured here.
A pyramid with height 4 units and a rectangular base with length 2 units and width 3 units, as pictured here.
A tetrahedron with a base side of 4 units, as seen here.
A pyramid with height 5 units, and an isosceles triangular base with lengths of 6 units and 8 units, as seen here.
A cone of radius rr and height hh has a smaller cone of radius r/2r/2 and height h/2h/2 removed from the top, as seen here. The resulting solid is called a frustum.
For the following exercises, draw an outline of the solid and find the volume using the slicing method.
The base is a circle of radius a.a. The slices perpendicular to the base are squares.
The base is a triangle with vertices (0,0),(1,0),(0,0),(1,0), and (0,1).(0,1). Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.
The base is the region under the parabola y=1−x2y=1−x2 in the first quadrant. Slices perpendicular to the xy-plane and parallel to the y-axis are squares.
The base is the region under the parabola y=1−x2y=1−x2 and above the x-axis.x-axis. Slices perpendicular to the y-axisy-axis are squares.
The base is the region enclosed by y=x2y=x2 and y=9.y=9. Slices perpendicular to the x-axis are right isosceles triangles. The intersection of one of these slices and the base is the leg of the triangle.
The base is the area between y=xy=x and y=x2.y=x2. Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.
For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.
x + y = 8 , x = 0 , and y = 0 x + y = 8 , x = 0 , and y = 0
y = 2 x 2 , x = 0 , x = 4 , and y = 0 y = 2 x 2 , x = 0 , x = 4 , and y = 0
y = e x + 1 , x = 0 , x = 1 , and y = 0 y = e x + 1 , x = 0 , x = 1 , and y = 0
y = x 4 , x = 0 , and y = 1 for x ≥ 0 y = x 4 , x = 0 , and y = 1 for x ≥ 0
y = x , x = 0 , x = 4 , and y = 0 y = x , x = 0 , x = 4 , and y = 0
y = sin x , y = cos x , and x = 0 y = sin x , y = cos x , and x = 0
y = 1 x , x = 2 , and y = 3 y = 1 x , x = 2 , and y = 3
x 2 − y 2 = 9 and x + y = 9 , y = 0 and x = 0 x 2 − y 2 = 9 and x + y = 9 , y = 0 and x = 0
For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.
y = 4 − 1 2 x , x = 0 , and y = 0 y = 4 − 1 2 x , x = 0 , and y = 0
y = 2 x 3 , x = 0 , x = 1 , and y = 0 y = 2 x 3 , x = 0 , x = 1 , and y = 0
y = 3 x 2 , x = 0 , and y = 3 y = 3 x 2 , x = 0 , and y = 3
y = 4 − x 2 , y = 0 , and x = 0 y = 4 − x 2 , y = 0 , and x = 0
y = 1 x + 1 , x = 0 , x = 3 , and y = 0 y = 1 x + 1 , x = 0 , x = 3 , and y = 0
x = sec ( y ) and y = π 4 , y = 0 and x = 0 x = sec ( y ) and y = π 4 , y = 0 and x = 0
y = 1 x + 1 , x = 0 , , x = 2 , and y = 0 y = 1 x + 1 , x = 0 , , x = 2 , and y = 0
y = 4 − x , y = x , and x = 0 y = 4 − x , y = x , and x = 0
For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the x-axis.
y = x + 2 , y = x + 6 , x = 0 , and x = 5 y = x + 2 , y = x + 6 , x = 0 , and x = 5
y = x 2 and y = x + 2 y = x 2 and y = x + 2
x 2 = y 3 and x 3 = y 2 x 2 = y 3 and x 3 = y 2
y = 4 − x 2 and y = 2 − x y = 4 − x 2 and y = 2 − x
[T] y=cosx,y=e−x,x=0,andx=1.2927y=cosx,y=e−x,x=0,andx=1.2927
y = x and y = x 2 y = x and y = x 2
y = sin x , y = 5 sin x , x = 0 and x = π y = sin x , y = 5 sin x , x = 0 and x = π
y = 1 + x 2 and y = 4 − x 2 y = 1 + x 2 and y = 4 − x 2
For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.
y = x , x = 4 , and y = 0 y = x , x = 4 , and y = 0
y = x + 2 , y = 2 x − 1 , and x = 0 y = x + 2 , y = 2 x − 1 , and x = 0
y = x 3 and y = x 3 y = x 3 and y = x 3
x = e 2 y , x = y 2 , y = 0 , and y = ln ( 2 ) x = e 2 y , x = y 2 , y = 0 , and y = ln ( 2 )
x = 9 − y 2 , x = e − y , y = 0 , and y = 3 x = 9 − y 2 , x = e − y , y = 0 , and y = 3
Yogurt containers can be shaped like frustums. Rotate the line y=1mxy=1mx around the y-axis to find the volume between y=aandy=b.y=aandy=b.
Rotate the ellipse (x2/a2)+(y2/b2)=1(x2/a2)+(y2/b2)=1 around the x-axis to approximate the volume of a football, as seen here.
Rotate the ellipse (x2/a2)+(y2/b2)=1(x2/a2)+(y2/b2)=1 around the y-axis to approximate the volume of a football.
A better approximation of the volume of a football is given by the solid that comes from rotating y=sinxy=sinx around the x-axis from x=0x=0 to x=π.x=π. What is the volume of this football approximation, as seen here?
What is the volume of the Bundt cake that comes from rotating y=sinxy=sinx around the y-axis from x=0x=0 to x=π?x=π?
For the following exercises, find the volume of the solid described.
The base is the region between y=xy=x and y=x2.y=x2. Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.
The base is the region enclosed by the generic ellipse (x2/a2)+(y2/b2)=1.(x2/a2)+(y2/b2)=1. Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.
Bore a hole of radius aa down the axis of a right cone of height bb and radius bb through the base of the cone as seen here.
Find the volume common to two spheres of radius rr with centers that are 2h2h apart, as shown here.
Find the volume of a spherical cap of height hh and radius rr where h<r,h<r, as seen here.
Find the volume of a sphere of radius RR with a cap of height hh removed from the top, as seen here.