ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.3.1 ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣੋ।
2.3.2 ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਖਰੀ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਜਾਂ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਵਾਂਗ ਹੀ ਠੋਸਾਂ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਡਿਸਕ ਅਤੇ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀਆਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਉਸਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਫਾਇਦਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਠੋਸ ਦੀ ਖਾਸ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਕਈ ਵਾਰ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਆਕਰਸ਼ਕ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜੋ ਵੀ ਵਿਧੀਆਂ ਪੜ੍ਹੀਆਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣੀ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ
ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖੇਤਰ R ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ x=a ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.25(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.25(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਉਸ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਪਹਿਲਾਂ, xx ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ।
ਚਿੱਤਰ 2.25: (a) xx ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ। (b) y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ 'ਤੇ ਬਣਿਆ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਪਾਰਟੀਸ਼ਨ, P={x0,x1,…,xn} ਨਾਲ ਪਾਰਟੀਸ਼ਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ, i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਉੱਤੇ f(xi*) ਉਚਾਈ ਅਤੇ Δx ਚੌੜਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਆਇਤਾਕਾਰ ਚਿੱਤਰ 2.26(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਸ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡਿਸਕ ਜਾਂ ਵਾਸ਼ਰ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.26: (a) ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਆਇਤਾਕਾਰ। (b) ਜਦੋਂ ਇਸ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (c) ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਅਸਲ ਠੋਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 2.27 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.27: ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ।
ਸ਼ੈੱਲ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਆਇਤਨ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਐਨੂਲੀ (ਅੰਗੂਠੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰ - ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋਰੀ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ) ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ xixi ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ xi−1 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰਫਲ πxi2−πxi−12 ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ f(xi*) ਹੈ। ਫਿਰ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ xi−xi−1=Δx, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, xi+xi−12xi+xi−12 ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਔਸਤ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੋਵੇਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ xi* ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕੱਟ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਪਲੇਟ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਖੋਲ੍ਹਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣਾ (ਚਿੱਤਰ 2.28)।
ਚਿੱਤਰ 2.28: (a) ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕੱਟ ਬਣਾਓ। (b) ਸ਼ੈੱਲ ਨੂੰ ਖੋਲ੍ਹ ਕੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਪਲੇਟ ਬਣਾਓ।
ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅੰਦਰੂਨੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਪਲੇਟ ਦਾ ਪਿਛਲਾ ਕਿਨਾਰਾ ਪਲੇਟ ਦੇ ਅਗਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਲੰਬਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ f(xi*) ਉਚਾਈ, 2πxi* ਚੌੜਾਈ, ਅਤੇ Δx ਮੋਟਾਈ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਪਲੇਟ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.28)। ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਆਇਤਨ, ਸਮਤਲ ਪਲੇਟ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੇ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਪਲੇਟ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਜੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲਾ ਹੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ।
ਸਾਰੇ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇੱਥੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਹੈ, ਇਸ ਵਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ 2πxf(x) ਲਈ। n→∞ ਤੱਕ ਸੀਮਾ ਲੈਣ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਿਯਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। RR ਨੂੰ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, x=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ, ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 2.12
2. ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ 1
3. RR ਨੂੰ f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘੇਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਖੇਤਰ RR ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
6. ਚਿੱਤਰ 2.29: (a) [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ RR। (b) y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ RR ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ।
7. ਫਿਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
8. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.12
9. R ਨੂੰ f(x)=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘੇਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 2.13
11. ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ 2
12. R ਨੂੰ f(x)=2x−x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘੇਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਪਹਿਲਾਂ ਖੇਤਰ RR ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 2.30: (a) [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)=2x−x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ RR। (b) y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ RR ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਆਇਤਨ।
16. ਫਿਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
17. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.13
18. RR ਨੂੰ f(x)=3x−x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘੇਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸਾਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂਕਲਨ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਠੋਸ ਲਈ ਸਮਾਨ ਨਿਯਮ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
20. ਨਿਯਮ: x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸਾਂ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ
21. ਮੰਨ ਲਓ g(y) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਹੈ। QQ ਨੂੰ g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y=c ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ y=d ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਘੇਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ QQ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
22. ਉਦਾਹਰਨ 2.14
23. x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ
24. QQ ਨੂੰ y∈[0,4] ਲਈ g(y)=2y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਘੇਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। QQ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ QQ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.31: (a) ਫੰਕਸ਼ਨ g(y)g(y) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ QQ ਖੇਤਰ, [0,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ। [0,4]। (b) QQ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ। x-ਧੁਰੇ।
ਛਾਂਦਾਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ Q.Q. ਨਾਮ ਦਿਓ। ਫਿਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.14
QQ ਨੂੰ g(y)=3/yg(y)=3/y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ, y∈[1,3] ਲਈ। y∈[1,3]। QQ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। x-ਧੁਰੇ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੋਨਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾਇਆ ਸੀ
ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ੈੱਲ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਸੀ ਜਿਸਦੀ ਬਾਹਰੀ ਰੇਡੀਅਸ xixi ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ xi−1 ਸੀ। xi−1। ਜੇਕਰ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, y-ਧੁਰੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਬਾਹਰੀ ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਿ ਅਸੀਂ x=−k, x=−k ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ kk ਕੋਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ। ਫਿਰ, ਸ਼ੈੱਲ ਦੀ ਬਾਹਰੀ ਰੇਡੀਅਸ xi+kxi+k ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ੈੱਲ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ xi−1+k ਹੈ। xi−1+k। ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x=−k, x=−k ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ xi+xi−12xi+xi−12 ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] [xi−1,xi] ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ xi* xi* ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਆਇਤਨ ਹੈ
ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਚੱਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਹੋਰ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨਾਂ ਦੁਆਲੇ ਵੀ ਘੁੰਮਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੱਜੇ ਅੱਧੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨ। ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਆਇਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੰਟੈਗਰਲ ਵਿੱਚ x-ਟਰਮ x-ਟਰਮ ਨੂੰ ਸ਼ੈੱਲ ਦੀ ਰੇਡੀਅਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.15
ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਇਆ ਗਿਆ
RR ਨੂੰ f(x)=xf(x)=x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ x=−1. x=−1 ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, RR ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.32: (a) f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ RR ਖੇਤਰ, [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ। [1,2]। (b) RR ਨੂੰ x=−1. x=−1 ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸ਼ੈੱਲ ਦੀ ਰੇਡੀਅਸ x+1. x+1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਫਿਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.15
RR ਨੂੰ f(x)=x2f(x)=x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ [0,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ x=−2. x=−2 ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਜਿਸ ਲਈ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਖੇਤਰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.16
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਇੱਕ ਖੇਤਰ
RR ਨੂੰ f(x)=xf(x)=x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ g(x)=1/xg(x)=1/x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। y-ਧੁਰੇ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਖੇਤਰ RR ਅਤੇ ਇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.33: (a) f(x)f(x) ਅਤੇ g(x)g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ RR, ਅੰਤਰਾਲ [1,4].[1,4] ਉੱਤੇ। (b) ਖੇਤਰ RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾy-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਿਰਫ਼ x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।x. ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਦੇ x-ਪਦ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਮਾਯੋਜਨ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਸ਼ੈੱਲ ਦੀ ਉਚਾਈ f(x)−g(x),f(x)−g(x) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਦੇ f(x)f(x) ਪਦ ਨੂੰ ਸਮਾਯੋਜਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.16
RR ਨੂੰ f(x)=xf(x)=x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ g(x)=x2g(x)=x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ [0,1].[0,1] ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤੀਏ?
ਅਸੀਂ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਵਿਧੀਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤੀ ਜਾਵੇ? ਇਹ ਅਕਸਰ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.34 x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਹੁੰਚਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਲਈ ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨਾ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਕੁਝ ਵਾਧੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਪਹੁੰਚ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.17
ਸਰਵੋਤਮ ਵਿਧੀ ਦੀ ਚੋਣ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ, ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸੈੱਟ ਕਰੋ (ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਨਾ ਕਰੋ)।
y=x,y=x, y=2−x,y=2−x, ਅਤੇ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ।
y=4x−x2y=4x−x2 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.35 (a) ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ RR। (b) RR ਨੂੰ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ। ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਪਵੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਤਰਾਲ [0,1][0,1] ਅਤੇ [1,2].[1,2] ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ V=∫01(πx2)dx+∫12(π(2−x)2)dx.V=∫01(πx2)dx+∫12(π(2−x)2)dx. ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ V=∫01(2πy[(2−y)−y])dy=∫01(2πy[2−2y])dy.V=∫01(2πy[(2−y)−y])dy=∫01(2πy[2−2y])dy. ਬਣੇਗਾ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਔਖਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਨੂੰ ਘੱਟ ਸਰਲੀਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.36 (a) ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ RR। (b) RR ਨੂੰ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ। ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣਾ ਸਮੱਸਿਆਜਨਕ ਹੋਵੇਗਾ; ਖੇਤਰ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਖੋਖਲਾਪਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ V=∫04π(4x−x2)2dx.V=∫04π(4x−x2)2dx. ਹੋਵੇਗਾ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.17
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ, ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸੈੱਟ ਕਰੋ (ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਨਾ ਕਰੋ): y=2−x2y=2−x2 ਅਤੇ y=x2.y=x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ 'ਤੇ ਬਣੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਹੱਥ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਮ ਸਲਾਈਸ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
[T] y=3x,x=0,y=3x,x=0, ਅਤੇ y=3y=3 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ।
[T] y=3x,y=0,andx=3y=3x,y=0,andx=3 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ।
[T] y=3x,y=0,andy=3y=3x,y=0,andy=3 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ।
[T] y=3x,y=0,andx=3y=3x,y=0,andx=3 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ।
[T] Bounded by the curves y=2x3,y=0,andx=2y=2x3,y=0,andx=2 rotated around the y-axis.y-axis.
[T] Bounded by the curves y=2x3,y=0,andx=2y=2x3,y=0,andx=2 rotated around the x-axis.x-axis.
For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the x-axisx-axis and are rotated around the y-axis.y-axis.
y = 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1 y = 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1
y = 5 x 3 , x = 0 , and x = 1 y = 5 x 3 , x = 0 , and x = 1
y = 1 x , x = 1 , and x = 100 y = 1 x , x = 1 , and x = 100
y = 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1 y = 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1
y = 1 1 + x 2 , x = 0 , and x = 3 y = 1 1 + x 2 , x = 0 , and x = 3
y = sin x 2 , x = 0 , and x = π y = sin x 2 , x = 0 , and x = π
y = 1 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1 2 y = 1 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1 2
y = x , x = 0 , and x = 1 y = x , x = 0 , and x = 1
y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , and x = 1 y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , and x = 1
y = 5 x 3 − 2 x 4 , x = 0 , and x = 2 y = 5 x 3 − 2 x 4 , x = 0 , and x = 2
For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and y=0y=0 around the x-axis.x-axis.
y=1−x2,x=0,x=1y=1−x2,x=0,x=1 and the x-axis
y=x2,x=0,x=2y=x2,x=0,x=2 and the x-axis
y=x32,x=0,x=2,y=x32,x=0,x=2, and the x-axis
y=2x2,x=1,x=2,y=2x2,x=1,x=2, and the x-axis
x = 1 1 + y 2 , y = 4 x = 1 1 + y 2 , y = 4
x=1+y2y,y=1,y=4,x=1+y2y,y=1,y=4, and the y-axis
x = 4 - y 2 , x = 0 , y = 0 x = 4 - y 2 , x = 0 , y = 0
x=y3-2y2,x=0,x=9x=y3-2y2,x=0,x=9
x=y+1,x=1,x=3,x=y+1,x=1,x=3, and the x-axis
x = 27 y 3 and x = 3 y 4 x = 27 y 3 and x = 3 y 4
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ 'ਤੇ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
2. y=3−x, y=0, x=0, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
3. y=x3, x=0, ਅਤੇ y=8 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
4. y=x2, y=x ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
5. y=x, y=0, ਅਤੇ x=1 ਨੂੰ x=2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
6. y=14−x, x=1, x=2, ਅਤੇ y=0 ਨੂੰ x=4 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
7. y=x ਅਤੇ y=x2 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
8. y=x ਅਤੇ y=x2 ਨੂੰ x=2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
9. x=y3, x=1, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
10. x=y2 ਅਤੇ y=x ਨੂੰ y=2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
11. x=sin(πy) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y=x ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ।
12. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਖੇਤਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੁਮਾਏ ਜਾਣ 'ਤੇ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਲੱਗਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ, ਆਪਣੀ ਚੁਣੀ ਹੋਈ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. y=x2 ਅਤੇ y=4x ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
14. y=cos(πx), y=sin(πx), x=1/4, ਅਤੇ x=5/4 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ। ਇਸ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਉੱਨਤ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
15. y=x2−2x, x=2, ਅਤੇ x=4 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
16. y=x2−2x, x=2, ਅਤੇ x=4 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
17. y=3x3−2, y=x, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
18. y=3x3−2, y=x, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
19. x=sin(πy2) ਅਤੇ x=2y ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
20. x=y2, x=y2−2y+1, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
21. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੁਝ ਆਮ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜੋ ਨਾਲ ਦਿੱਤੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
22. r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ h ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
24. (x2/a2)+(y2/b2)=1 ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਅਤੇ ਉਚਾਈ $h$ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਉਸ ਡੋਨਟ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ $x=4$ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦੁਆਲੇ $x^2+y^2=4$ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਦਾ ਹੈ।
3. $y=f(x)$, $y=1+f(x)$, $x=0$, $y=0$, ਅਤੇ $x=a>0$ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਕੀ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $[0,a]$ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
4. ਫੰਕਸ਼ਨ $y=f(x)$ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ $f(0)=b$ ਤੋਂ $f(1)=0$ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਖੇਤਰ, $x=0$ ਅਤੇ $y=0$ ਦੇ ਨਾਲ, ਨੂੰ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਵਿਧੀਆਂ ਇੱਕੋ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਕਿਉਂਕਿ $f(x)$ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ, ਇੱਕ ਉਲਟ $f^{-1}(y)$ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।)