ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, y = f ( x ) , y = f ( x ) , ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, x = g ( y ) , x = g ( y ) , ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਉਸ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਵਕਰ ਦੇ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਚੱਲਦੇ ਹੋਏ ਯਾਤਰਾ ਕਰੋਗੇ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਰਾਕੇਟ ਨੂੰ ਪਰਵਲਈ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਲਾਂਚ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰਾਕੇਟ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਾਂ, ਜੇਕਰ ਨਕਸ਼ੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਇੱਕ ਸੜਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਪਣੇ ਮੰਜ਼ਿਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਗੱਡੀ ਚਲਾਉਣੀ ਪਵੇਗੀ।
ਅਸੀਂ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਉਸੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। (ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਦੀਆਂ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਉਲਟੀਆਂ ਹਨ।) ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਦੀ ਜਾਂਚ ਨਾਲ ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਵਕਰ y = f(x) ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ, ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(x)f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਸਖ਼ਤ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ f(x)f(x) ਨੂੰ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, f′(x),f′(x), ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਸਮੂਥ (smooth) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਇਹ ਗੁਣ ਬਾਅਦ ਦੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।)
ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) [a,b].[a,b] ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਸਮੂਥ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (a,f(a))(a,f(a)) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (b,f(b)).(b,f(b)) ਤੱਕ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। i=0,1,2,…,n,i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P={xi}P={xi} [a,b].[a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ। ਫਿਰ, i=1,2,…,n,i=1,2,…,n ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (xi−1,f(xi−1))(xi−1,f(xi−1)) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (xi,f(xi)).(xi,f(xi)) ਤੱਕ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਇਹ ਲੰਬਕਾਰੀ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਤਰਕਪੂਰਨ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਵਕਰ ਦਾ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ। ਚਿੱਤਰ 2.37 ਇਸ ਨਿਰਮਾਣ ਨੂੰ n=5.n=5 ਲਈ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.37: ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ Δx.Δx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਅੰਤਰਾਲ ਤੱਕ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi],[xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ Δyi=f(xi)−f(xi−1)Δyi=f(xi)−f(xi−1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.38 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੁਝ (ਜਾਂ ਸਾਰੇ) ΔyiΔyi ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.38: ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi].[xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (Δx)2+(Δyi)2.(Δx)2+(Δyi)2 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ Δx1+((Δyi)/(Δx))2.Δx1+((Δyi)/(Δx))2 ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ, ਮੱਧਮਾਨ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi]xi*∈[xi−1,xi] ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f′(xi*)=(Δyi)/(Δx).f′(xi*)=(Δyi)/(Δx)। ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ Δx1+[f′(xi*)]2.Δx1+[f′(xi*)]2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ। ਜਦੋਂ n→∞,n→∞, ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.4
ਵਕਰ y = f(x) ਲਈ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) ਅੰਤਰਾਲ [a,b].[a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਮੂਥ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਤਦ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ, ਬਿੰਦੂ (a,f(a))(a,f(a)) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (b,f(b))(b,f(b)) ਤੱਕ, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ f′(x),f′(x) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ f′(x)f′(x) ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਹੈ। ਇਸੇ ਲਈ ਅਸੀਂ f(x)f(x) ਨੂੰ ਸਮੂਥ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਉਦਾਹਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.18
x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=2x3/2.f(x)=2x3/2। ਅੰਤਰਾਲ [0,1].[0,1] ਉੱਤੇ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ f′(x)=3x1/2,f′(x)=3x1/2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ [f′(x)]2=9x.[f′(x)]2=9x। ਫਿਰ, ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਹੈ
1. u=1+9x. ਫਿਰ, du=9dx. ਜਦੋਂ x=0, ਤਾਂ u=1, ਅਤੇ ਜਦੋਂ x=1, ਤਾਂ u=10. ਇਸ ਲਈ,
2. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.18
3. ਮੰਨ ਲਓ f(x)=(4/3)x^{3/2}. f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [0,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ. ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ.
4. ਭਾਵੇਂ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਹੋਣਾ ਚੰਗਾ ਹੈ, ਇਹ ਖਾਸ ਥਿਊਰਮ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਨਾ ਔਖਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ 'ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦਾ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ' ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 2.19
6. x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
7. ਮੰਨ ਲਓ f(x)=x^2. f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ.
8. ਹੱਲ
9. ਸਾਡੇ ਕੋਲ f′(x)=2x ਹੈ, ਇਸ ਲਈ [f′(x)]^2=4x^2. ਫਿਰ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
10. ਇਸ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
11. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.19
12. ਮੰਨ ਲਓ f(x)=sinx. f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [0,π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ. ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ.
13. ਵਕਰ x = g(y) ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
14. ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਕਿਵੇਂ ਲਗਾਇਆ ਜਾਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੁਹਰਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਬਜਾਏ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 2.39 ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 2.39: [yi−1,yi] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ।
16. ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (Δy)^2+(Δx)^2 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ Δy√1+((Δx)/(Δy))^2 ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਉਸੇ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੀਏ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ x=g(y) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਸੂਤਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
17. ਥਿਊਰਮ 2.5
18. x = g(y) ਲਈ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
19. ਮੰਨ ਲਓ g(y) ਇੱਕ y ਅੰਤਰਾਲ [c,d] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ, ਬਿੰਦੂ (g(d), d) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (g(c), c) ਤੱਕ g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
20. ਉਦਾਹਰਨ 2.20
21. y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ
22. ਮੰਨ ਲਓ g(y)=3y^3. g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ.
23. ਹੱਲ
24. ਸਾਡੇ ਕੋਲ g′(y)=9y^2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ [g′(y)]^2=81y^4. ਫਿਰ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਹੈ
1. ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲਗਭਗ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
2. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.20
3. ਮੰਨ ਲਓ g(y)=1/y। g(y)=1/y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ [1,4] ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲਗਭਗ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
5. ਜਿਹੜੇ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਕਰ ਦੇ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਬਾਹਰੀ ਪਰਤ ਦਾ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਘਣਾਂ ਜਾਂ ਇੱਟਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ, ਵਸਤੂ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਉਸਦੇ ਸਾਰੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਕਰ ਸਤਹਾਂ ਲਈ, ਸਥਿਤੀ ਥੋੜੀ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ f(x) [a,b] ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ y=f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਚਿੱਤਰ 2.40: (a) f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਇੱਕ ਵਕਰ। (b) x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ।
7. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ [a,b] ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P={xi} [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਭਾਗ ਹੈ। ਫਿਰ, i=1,2,…,n ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (xi−1,f(xi−1)) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (xi,f(xi)) ਤੱਕ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਹੁਣ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ ਇਹਨਾਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਓ।
8. ਚਿੱਤਰ 2.41: (a) ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨਾਲ f(x) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ। (b) x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ।
9. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਬੈਂਡ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬੈਂਡ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੋਨ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਇੱਕ ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਕੋਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ ਜਿਸਦਾ ਨੁਕੀਲਾ ਸਿਰਾ ਕੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ)। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਕੋਨ ਦਾ ਟੁਕੜਾ ਕੋਨ ਦਾ ਫਰਸਟਮ (frustum) ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।
10. ਬੈਂਡ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫਰਸਟਮ ਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, S, ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ (ਸਿਰਫ ਫਰਸਟਮ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਬਾਹਰੀ ਸਤਹ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਉੱਪਰਲੇ ਜਾਂ ਹੇਠਲੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ)। ਮੰਨ ਲਓ r1 ਅਤੇ r2 ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਫਰਸਟਮ ਦੇ ਚੌੜੇ ਸਿਰੇ ਅਤੇ ਤੰਗ ਸਿਰੇ ਦੀਆਂ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ l ਫਰਸਟਮ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
11. ਚਿੱਤਰ 2.42: ਕੋਨ ਦਾ ਫਰਸਟਮ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
12. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਨ ਦੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
13. ਜਿੱਥੇ r ਕੋਨ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ s ਤਿਰਛੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
14. ਚਿੱਤਰ 2.43: ਕੋਨ ਦੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ πrs ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. ਕਿਉਂਕਿ ਫਰਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਨ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਫਰਸਟਮ ਦਾ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪੂਰੇ ਕੋਨ ਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੇ ਕੋਨ (ਨੁਕੀਲੇ ਸਿਰਾ) ਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੱਟਿਆ ਗਿਆ ਸੀ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
16. ਚਿੱਤਰ 2.44: ਕੋਨ ਦੇ ਫਰਸਟਮ ਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ।
17. ਛੋਟੇ ਕੋਨ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਕੋਨ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
18. s ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
19. ਫਿਰ ਫਰਸਟਮ ਦਾ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ (SA) ਹੈ
20. ਆਓ ਹੁਣ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਹਰੇਕ ਬੈਂਡ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੀਏ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਬੈਂਡ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
21. ਚਿੱਤਰ 2.45: ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਬੈਂਡ।
22. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਫਰਸਟਮ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਲੰਬਾਈ ਸਿਰਫ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਇਸ ਲਈ, ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
23. ਹੁਣ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣਨ ਲਈ ਮਾਧਿਅਮ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ (Mean Value Theorem) ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ f′(xi*)=(Δyi)/Δx ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
24. ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ (Intermediate Value Theorem) ਦੁਆਰਾ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ xi**∈[xi−1,xi] ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ f(xi**)=(1/2)[f(xi−1)+f(xi)] ਹੋਵੇ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਤਾਂ ਫਿਰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਲਗਭਗ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਰਗਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੰਟਰਵਲ [xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ, xi*xi* ਅਤੇ xi**xi**, ਉੱਤੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਵੇਰਵਿਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ f(x)f(x) ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ n→∞,n→∞, ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁਲਾਂਕਣ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵੀ ਸੀਮਾ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਅਨੁਭਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ xi*xi* ਅਤੇ xi**xi** ਇੰਟਰਵਲ [xi−1,xi],[xi−1,xi] ਵਿੱਚ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ n→∞,n→∞, ਦੋਵੇਂ xi*xi* ਅਤੇ xi**xi** x.x. ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਵੇਰਵਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉੱਨਤ ਕੈਲਕੂਲਸ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕ ਨਾਲ ਸਲਾਹ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
n→∞,n→∞, ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤ੍ਹਾਵਾਂ ਲਈ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵਿਕਾਸ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਨਤੀਜੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸਾਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 2.6
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) ਇੰਟਰਵਲ [a,b].[a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ, x-ਧੁਰੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ g(y)g(y) ਇੰਟਰਵਲ [c,d].[c,d] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ, y-ਧੁਰੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ g(y)g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 2.21
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਗਿਣਨਾ 1
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=xf(x)=x ਇੰਟਰਵਲ [1,4].[1,4] ਉੱਤੇ ਹੈ। f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
f(x)f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤ੍ਹਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.46: (a) f(x).f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। (b) ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤ੍ਹਾ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(x)=x.f(x)=x ਹੈ। ਫਿਰ, f′(x)=1/(2x)f′(x)=1/(2x) ਅਤੇ (f′(x))2=1/(4x)।(f′(x))2=1/(4x)। ਫਿਰ,
ਮੰਨ ਲਓ u=x+1/4.u=x+1/4। ਫਿਰ, du=dx.du=dx। ਜਦੋਂ x=1,x=1, u=5/4,u=5/4, ਅਤੇ ਜਦੋਂ x=4,x=4, u=17/4.u=17/4। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.21
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=1−xf(x)=1−x ਇੰਟਰਵਲ [0,1/2].[0,1/2] ਉੱਤੇ ਹੈ। f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.22
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਗਿਣਨਾ 2
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=y=3x3.f(x)=y=3x3। ਵਕਰ ਦੇ ਉਸ ਹਿੱਸੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ 0≤y≤2.0≤y≤2। f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇੰਟਰਵਲ y,y ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ x=g(y)=(1/3)y3.x=g(y)=(1/3)y3 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। g(y)g(y) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤ੍ਹਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.47: (a) g(y).g(y) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। (b) ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤ੍ਹਾ।
We have g(y)=(1/3)y3,g(y)=(1/3)y3, so g′(y)=y2g′(y)=y2 and (g′(y))2=y4.(g′(y))2=y4. Then
Let u=y4+1.u=y4+1. Then du=4y3dy.du=4y3dy. When y=0,y=0, u=1,u=1, and when y=2,y=2, u=17.u=17. Then
Checkpoint 2.22
Let g(y)=9−y2g(y)=9−y2 over the interval y∈[0,2].y∈[0,2]. Find the surface area of the surface generated by revolving the graph of g(y)g(y) around the y-axis.y-axis.
For the following exercises, find the length of the functions over the given interval.
y = 5 x from x = 0 to x = 2 y = 5 x from x = 0 to x = 2
y = − 1 2 x + 25 from x = 1 to x = 4 y = − 1 2 x + 25 from x = 1 to x = 4
x = 4 y from y = −1 to y = 1 x = 4 y from y = −1 to y = 1
Pick an arbitrary linear function x=g(y)x=g(y) over any interval of your choice (y1,y2).(y1,y2). Determine the length of the function and then prove the length is correct by using geometry.
Find the surface area of the volume generated when the curve y=xy=x revolves around the x-axisx-axis from (1,1)(1,1) to (4,2),(4,2), as seen here.
Find the surface area of the volume generated when the curve y=x2y=x2 revolves around the y-axisy-axis from (1,1)(1,1) to (3,9).(3,9).
For the following exercises, find the lengths of the functions of xx over the given interval. If you cannot evaluate the integral exactly, use technology to approximate it.
y=x3/2y=x3/2 from (0,0)to(1,1)(0,0)to(1,1)
y=x2/3y=x2/3 from (1,1)to(8,4)(1,1)to(8,4)
y=13(x2+2)3/2y=13(x2+2)3/2 from x=0tox=1x=0tox=1
y=13(x2−2)3/2y=13(x2−2)3/2 from x=2x=2 to x=4x=4
[T] y=exy=ex on x=0x=0 to x=1x=1
y=x33+14xy=x33+14x from x=1tox=3x=1tox=3
y=x44+18x2y=x44+18x2 from x=1tox=2x=1tox=2
y=2x3/23−x1/22y=2x3/23−x1/22 from x=1tox=4x=1tox=4
y=127(9x2+6)3/2y=127(9x2+6)3/2 from x=0tox=2x=0tox=2
[T] y=sinxy=sinx on x=0tox=πx=0tox=π
For the following exercises, find the lengths of the functions of yy over the given interval. If you cannot evaluate the integral exactly, use technology to approximate it.
y=5−3x4y=5−3x4 from y=0y=0 to y=4y=4
x=12(ey+e−y)x=12(ey+e−y) from y=−1toy=1y=−1toy=1
x=5y3/2x=5y3/2 from y=0y=0 to y=1y=1
[T] x=y2x=y2 from y=0y=0 to y=1y=1
x=yx=y from y=0toy=1y=0toy=1
x=23(y2+1)3/2x=23(y2+1)3/2 from y=1y=1 to y=3y=3
[T] x=tanyx=tany from y=0y=0 to y=34y=34
[T] x=cos2yx=cos2y from y=−π2y=−π2 to y=π2y=π2
[T] x=4yx=4y from y=0toy=2y=0toy=2
[T] x=ln(y)x=ln(y) on y=1ey=1e to y=ey=e
For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the x-axis.x-axis. If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.
y=xy=x from x=2x=2 to x=6x=6
y=x3y=x3 from x=0x=0 to x=1x=1
y=7xy=7x from x=−1tox=1x=−1tox=1
[T] y=1x2y=1x2 from x=1tox=3x=1tox=3
y=4−x2y=4−x2 from x=0tox=2x=0tox=2
y=4−x2y=4−x2 from x=−1tox=1x=−1tox=1
y=5xy=5x from x=1tox=5x=1tox=5
[T] y=tanxy=tanx from x=−π4tox=π4x=−π4tox=π4
For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the y-axis.y-axis. If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.
y=x2y=x2 from x=0tox=2x=0tox=2
y=12x2+12y=12x2+12 from x=0tox=1x=0tox=1
y=x+1y=x+1 from x=0tox=3x=0tox=3
[T] y=1xy=1x from x=12x=12 to x=1x=1
y=x3y=x3 from x=1tox=27x=1tox=27
[T] y=3x4y=3x4 from x=0x=0 to x=1x=1
[T] y=1xy=1x from x=1x=1 to x=3x=3
[T] y=cosxy=cosx from x=0x=0 to x=π2x=π2
The base of a lamp is constructed by revolving a quarter circle y=2x−x2y=2x−x2 around the y-axisy-axis from x=1x=1 to x=2,x=2, as seen here. Create an integral for the surface area of this curve and compute it.
A light bulb is a sphere with radius 1/21/2 in. with the bottom sliced off to fit exactly onto a cylinder of radius 1/41/4 in. and length 1/31/3 in., as seen here. The sphere is cut off at the bottom to fit exactly onto the cylinder, so the radius of the cut is 1/41/4 in. Find the surface area (not including the top or bottom of the cylinder).
[T] A lampshade is constructed by rotating y=1/xy=1/x around the x-axisx-axis from y=1y=1 to y=2,y=2, as seen here. Determine how much material you would need to construct this lampshade—that is, the surface area—accurate to four decimal places.
[T] An anchor drags behind a boat according to the function y=24e−x/2−24,y=24e−x/2−24, where yy represents the depth beneath the boat and xx is the horizontal distance of the anchor from the back of the boat. If the anchor is 2323 ft below the boat, how much rope do you have to pull to reach the anchor? Round your answer to three decimal places.
[T] You are building a bridge that will span 1010 ft. You intend to add decorative rope in the shape of y=5|sin((xπ)/5)|,y=5|sin((xπ)/5)|, where xx is the distance in feet from one end of the bridge. Find out how much rope you need to buy, measured in a whole number of feet.
For the following exercises, find the exact arc length for the following problems over the given interval.
y=ln(sinx)y=ln(sinx) from x=π/4x=π/4 to x=(3π)/4.x=(3π)/4. (Hint: Recall trigonometric identities.)
[T] Draw graphs of y=x2,y=x2, y=x6,y=x6, and y=x10.y=x10. For y=xn,y=xn, as nn increases, formulate a prediction on the arc length from (0,0)(0,0) to (1,1).(1,1). Now, compute the lengths of these three functions and determine whether your prediction is correct.
Compare the lengths of the parabola x=y2x=y2 and the line x=byx=by from (0,0)to(b2,b)(0,0)to(b2,b) as bb increases. What do you notice?
Solve for the length of x=y2x=y2 from (0,0)to(1,1).(0,0)to(1,1). Show that x=(1/2)y2x=(1/2)y2 from (0,0)(0,0) to (2,2)(2,2) is twice as long. Graph both functions and explain why this is so.
[T] Which is longer between (1,1)(1,1) and (2,1/2):(2,1/2): the hyperbola y=1/xy=1/x or the graph of x+2y=3?x+2y=3?
Explain why the surface area is infinite when y=1/xy=1/x is rotated around the x-axisx-axis for 1≤x<∞,1≤x<∞, but the volume is finite.