ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1. ਇੱਕ-ਆਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਉਸਦੇ ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਚੱਕਰੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਉਸਦੇ ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
3. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
4. ਇੱਕ ਤਰਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪੰਪ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
5. ਇੱਕ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਖਿਤਿਜੀ ਪਲੇਟ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਕਲਨ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਭੌਤਿਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਕੰਮ ਵੱਲ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨਾਲ ਭਾਗ ਨੂੰ ਬੰਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪੁੰਜ ਅਤੇ ਘਣਤਾ
ਅਸੀਂ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ ਜਾਂ ਤਾਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਛੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਸੰਰੇਖਿਤ ਹੋਵੇ, ਛੜ ਦਾ ਖੱਬਾ ਸਿਰਾ x=a 'ਤੇ ਅਤੇ ਛੜ ਦਾ ਸੱਜਾ ਸਿਰਾ x=b 'ਤੇ ਹੋਵੇ (ਚਿੱਤਰ 2.48)। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਛੜ ਨੂੰ ਕੁਝ ਮੋਟਾਈ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਗਣਿਤਿਕ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਛੜ ਇੱਕ-ਆਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਵਜੋਂ ਮੰਨਣ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਪਤਲੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.48: ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੰਕਲਿਤ ਕਰਕੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ, ਪੁੰਜ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਛੜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਘਣਤਾ ਅਤੇ ਛੜ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਗੁਣ ਹੈ: (b−a)ρ। ਜੇ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮੱਸਿਆ ਥੋੜੀ ਹੋਰ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ, x 'ਤੇ ਛੜ ਦੇ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ, ρ(x), ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ρ(x) ਇੱਕ ਸੰਕਲਿਤ ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਹੁਣ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਭਾਗ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਚਿੱਤਰ 2.49 ਛੜ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਭਾਗ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.49: ਛੜ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਭਾਗ।
xi−1 ਤੋਂ xi ਤੱਕ ਛੜ ਦੇ ਭਾਗ ਦਾ ਪੁੰਜ mi ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਸਾਰੇ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਪੂਰੀ ਛੜ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ। ਜਦੋਂ n→∞, ਅਸੀਂ ਛੜ ਦੇ ਸਹੀ ਪੁੰਜ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.7
ਇੱਕ-ਆਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ-ਘਣਤਾ ਫਾਰਮੂਲਾ
[a,b] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ ρ(x) ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ ਛੜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.23
ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਤੋਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ [π/2,π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸਥਾਪਿਤ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x)=sinx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਛੜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ 2.10 ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੌਕੀ 2.23
ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਅੰਤਰਾਲ [1,3] ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x)=2x^2+3 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਛੜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੀ ਹੈ?
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ r ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਦੋ-ਪਸਾਰੀ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ-ਪਸਾਰੀ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਛੜ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਸੀ, ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡਿਸਕ ਇੰਨੀ ਪਤਲੀ ਹੈ ਕਿ, ਗਣਿਤਿਕ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ-ਪਸਾਰੀ ਵਸਤੂ ਵਜੋਂ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰਫਲ (ਖੇਤਰਫਲ ਘਣਤਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਦੇ ਪੁੰਜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੱਗੇ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਣਤਾ ਕੇਵਲ ਡਿਸਕ ਦੇ ਘੇਰੇ (ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਸਕ ਨੂੰ xy-ਤਲ ਵਿੱਚ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਨਾਲ, ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਡਿਸਕ ਦੀ ਘਣਤਾ ਨੂੰ x ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ, ρ(x) ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ρ(x) ਸੰਕਲਨੀਯ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਘਣਤਾ x ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ [0,r] ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਨੂੰ [0,r] ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਹੁਣ, ਡਿਸਕ ਨੂੰ ਪਤਲੀਆਂ (ਦੋ-ਪਸਾਰੀ) ਵਾਸ਼ਰਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜਨ ਲਈ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਵਾਸ਼ਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.50: (a) xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਡਿਸਕ। (b) ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਵਾਸ਼ਰ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਪੁੰਜ, mi, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਾਸ਼ਰ ਦੀ ਘਣਤਾ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਾਸ਼ਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਤੁਸੀਂ ਯਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਆਇਤਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਰਹੇ ਸੀ ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸੀ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਉੱਥੇ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਵਾਸ਼ਰ ਦੇ ਔਸਤ ਘੇਰੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ xi*≈(xi+xi−1)/2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਵਾਸ਼ਰ ਦੀ ਘਣਤਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ρ(xi*) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਵਾਸ਼ਰ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
ਵਾਸ਼ਰਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੂਰੀ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ m ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾਂਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.8
ਗੋਲਾਕਾਰ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ-ਘਣਤਾ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਮੰਨ ਲਓ ρ(x) ਇੱਕ ਸੰਕਲਨੀਯ ਫਲਨ ਹੈ ਜੋ r ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਡਿਸਕ ਦੀ ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਤਾਂ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 2.24
ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਤੋਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ρ(x)=x ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਦੀ ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। 4 ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
ਚੌਕੀ 2.24
ਮੰਨ ਲਓ ρ(x)=3x+2 ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਦੀ ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। 2 ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕੰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਕੰਮ ਬਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਧੱਕਾ ਜਾਂ ਖਿੱਚ ਵਜੋਂ ਸਹਿਜੇ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਬਲ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਲ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੰਮ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੰਮ ਨੂੰ ਬਲ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਬਲ ਦੀ ਇਕਾਈ ਪੌਂਡ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਦੀ ਇਕਾਈ ਫੁੱਟ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੰਮ ਫੁੱਟ-ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਅਤੇ ਮੀਟਰ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਨਿਊਟਨ ਉਹ ਬਲ ਹੈ ਜੋ 1 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਨੂੰ 1 m/sec^2 ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਗਤੀ ਦੇਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੰਮ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਇਕਾਈ ਨਿਊਟਨ-ਮੀਟਰ ਹੈ। ਇਸੇ ਇਕਾਈ ਨੂੰ ਜੂਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਗੁਣਾ ਮੀਟਰ ਵਰਗ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਰਗ (kg·m^2/s^2) ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਬਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਕਾਫ਼ੀ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬਲ ਦਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਦੁਰਲੱਭ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ (ਜਾਂ ਲੰਬਾ ਕਰਨ) ਲਈ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪਰਿੰਗ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਸੰਕੁਚਿਤ (ਜਾਂ ਖਿੱਚੀ) ਗਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਸਪਰਿੰਗਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਬਲ F(x) ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ a ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ b ਤੱਕ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨਾ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਬਿੰਦੂ xi−1 ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ xi ਤੱਕ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਲ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਲਗਭਗ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ F(xi*) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਲਗਭਗ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ n→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਕੰਮ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੰਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਬਲ F(x) ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ a ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ b ਤੱਕ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ F ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ F·(b−a)=F·d ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਉਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਸੀ।
ਹੁਣ ਆਓ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਲੰਬਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਇੱਕ ਬਲਾਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਬਲਾਕ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਪਰਿੰਗ ਖਿੱਚੀ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸਲ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਸਤਹ 'ਤੇ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਆਰਾਮ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਬਲਾਕ ਅਤੇ ਸਤਹ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘਬਰਾਹਟ ਦੇ ਬਲ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਘਬਰਾਹਟ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਲਾਕ ਇੱਕ ਘਬਰਾਹਟ-ਰਹਿਤ ਸਤਹ 'ਤੇ ਆਰਾਮ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਆਪਣੀ ਕੁਦਰਤੀ ਲੰਬਾਈ (ਆਰਾਮ 'ਤੇ) 'ਤੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ 'ਤੇ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ, ਸਪਰਿੰਗ ਨਾ ਤਾਂ ਲੰਬੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਬਲਾਕ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਹਿਲਦਾ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕੋਈ ਬਲ ਪੇਸ਼ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=0 ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.51: ਸੰਤੁਲਨ, ਸੰਕੁਚਿਤ ਅਤੇ ਲੰਬੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਇੱਕ ਬਲਾਕ।
ਹੁੱਕ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਲ F(x)=kx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ k ਲਈ। k ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਪਰਿੰਗ ਦੀਆਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਥਿਰ k ਨੂੰ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਲੰਬਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.25
ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਕੰਮ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 0.2 ਮੀਟਰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਨ ਲਈ 10 N (ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ) ਦੇ ਬਲ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 0.5 ਮੀਟਰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ, k, ਲੱਭੋ। ਜਦੋਂ x=−0.2, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ F(x)=−10, ਇਸ ਲਈ
ਅਤੇ F(x)=50x। ਫਿਰ, ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ 6.25 J ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.25
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 6 ਇੰਚ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 88 lb ਦੇ ਬਲ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 1 ਫੁੱਟ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਪੰਪਿੰਗ ਵਿੱਚ ਕੰਮ
ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਤੋਂ ਪਾਣੀ (ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਤਰਲ) ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸਪਰਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹੀਆਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਟੈਂਕ ਦੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਮਾਪ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਇੱਕ ਇਕੱਲੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਟੈਂਕ ਦੇ ਤਲ ਤੋਂ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਟੈਂਕ ਦੇ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਕੰਮ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਟੈਂਕ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਟੈਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। 4 ਮੀਟਰ ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ 10 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਟੈਂਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ 8 ਮੀਟਰ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਤੱਕ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਟੈਂਕ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਸਾਰਾ ਪਾਣੀ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
ਸਾਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ xx ਨੂੰ ਟੈਂਕ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਹੈ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਮੂਲ ਟੈਂਕ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
1. ਚਿੱਤਰ 2.52: ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰੀ ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?
2. ਇਸ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਾਣੀ x=2 ਤੋਂ x=10 ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [2,10] ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ "ਪਰਤ" ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [2,10] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਚਿੱਤਰ 2.53 ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਪਰਤ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
3. ਚਿੱਤਰ 2.53: ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਪਰਤ।
4. ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਟੈਂਕੀ ਦੇ ਉੱਪਰ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤਾਕਤ ਗੁਰੂਤਾ 'ਤੇ ਕਾਬੂ ਪਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤਾਕਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਪਾਣੀ ਦੇ ਭਾਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ 9800 N/m³ ਹੈ, ਜਾਂ 62.4 lb/ft³, ਹਰੇਕ ਪਰਤ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਸਾਨੂੰ ਭਾਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
5. ਫਿਰ, ਹਰੇਕ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤਾਕਤ ਹੈ
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਕਦਮ ਥੋੜ੍ਹਾ ਹੋਰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਟੈਂਕੀ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
7. ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵੀ ਪਤਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚੁਣੇ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ xi* ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਪਾਣੀ ਦੀ i-ਵੀਂ ਪਰਤ Wi ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਦਾ ਕੰਮ ਲਗਭਗ ਹੈ
8. ਹਰੇਕ ਪਰਤ ਲਈ ਕੰਮ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ ਕੰਮ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
9. ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
10. ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਕੰਮ ਲਗਭਗ 23,650,000 J ਹੈ।
11. ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਗਣਨਾਵਾਂ ਟੈਂਕੀ ਜਾਂ ਕੰਟੇਨਰ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੱਸਦੀ ਹੈ।
12. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
13. ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
14. ਟੈਂਕੀ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਫਰੇਮ ਆਫ਼ ਰੈਫਰੈਂਸ ਚੁਣੋ।
15. ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਪਰਤ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
16. ਤਾਕਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੇ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
17. ਪਾਣੀ ਦੀ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
18. ਪਾਣੀ ਦੀ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਤਾਕਤ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
19. ਸਾਰੀਆਂ ਪਰਤਾਂ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਪਾਣੀ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
20. n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲਓ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਹੀ ਕੰਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
21. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਟੈਂਕੀ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 2.26
23. ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਟੈਂਕੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ
24. ਇੱਕ ਉਲਟੇ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਟੈਂਕੀ ਮੰਨੋ, ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ 12 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਘੇਰਾ 4 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਟੈਂਕ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਟੈਂਕੀ ਦੇ ਉਪਰਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਟੈਂਕੀ ਵਿੱਚ ਬਚੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ 4 ਫੁੱਟ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦੀ। ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ?
1. ਹੱਲ
2. ਟੈਂਕ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 2.54 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਟੈਂਕ ਵਾਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਮੂਲ ਟੈਂਕ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਕਦਮ 1)।
3. ਚਿੱਤਰ 2.54: ਉਲਟੇ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਪਾਣੀ ਦਾ ਟੈਂਕ।
4. ਟੈਂਕ ਪੂਰਾ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 44 ਫੁੱਟ ਪਾਣੀ ਬਾਕੀ ਰਹਿ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [0,8] ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [0,8] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪਰਤ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਡਿਸਕ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
5. ਚਿੱਤਰ 2.55: ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ।
6. ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
7. ਫਿਰ ਡਿਸਕ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
8. ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ 62.462.4 lb/ft3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਬਲ ਲਗਭਗ ਹੈ
9. ਚਿੱਤਰ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲਗਭਗ xi*xi* ਫੁੱਟ ਹੈ (ਕਦਮ 4), ਇਸ ਲਈ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੰਮ ਹੈ
10. ਸਾਰੀਆਂ ਪਰਤਾਂ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਕੁੱਲ ਕੰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
11. ਜਦੋਂ n→∞, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
12. ਟੈਂਕ ਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦੇ ਪੱਧਰ ਤੱਕ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ 33,45033,450 ft-lb ਕੰਮ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
13. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.26
14. ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਉਲਟੇ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ 1010 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਟੈਂਕ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ 8 ਫੁੱਟ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਤੱਕ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਟੈਂਕ ਦੇ ਉਪਰਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 3 ਫੁੱਟ ਪਾਣੀ ਬਾਕੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿ ਜਾਂਦਾ। ਉਸ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਪੰਪ ਆਊਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ?
15. ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਅਤੇ ਦਬਾਅ
16. ਇਸ ਆਖਰੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਲਗਾਏ ਗਏ ਬਲ ਅਤੇ ਦਬਾਅ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਬਲ ਨੂੰ ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ ਨਿਊਟਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਬਾਅ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰਫਲ ਬਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਪੌਂਡ (ਜਾਂ, ਸ਼ਾਇਦ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਵਰਗ ਇੰਚ ਪ੍ਰਤੀ ਪੌਂਡ, ਜਿਸਨੂੰ psi ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਰਗ ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਨਿਊਟਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਪਾਸਕਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
17. ਆਓ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਪਲੇਟ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਕੇਸ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਜੋ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.56)। ਫਿਰ, ਪਲੇਟ 'ਤੇ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਬਲ ਸਿਰਫ ਇਸਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ F=ρAs, ਜਿੱਥੇ ρ ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ (ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਆਇਤਨ ਭਾਰ) ਹੈ। ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਦਬਾਅ - ਯਾਨੀ, ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਦਬਾਅ - ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਲ ਨੂੰ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਦਬਾਅ p=F/A=ρs ਹੈ।
18. ਚਿੱਤਰ 2.56: ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਪਲੇਟ।
19. ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਡੂੰਘਾਈ 'ਤੇ ਦਬਾਅ ਸਾਰੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਕੋਈ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ ਕਿ ਪਲੇਟ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਵਤ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਸਾਨੂੰ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਦਬਾਅ ਪਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਬੰਨ੍ਹਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਲਗਾਏ ਗਏ ਬਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ F=ρAs ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਲੰਬਵਤ ਸਥਿਤ ਸਤਹ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿਭਾਜਨ, ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਬਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
20. ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਧੁਰਾ ਲੰਬਵਤ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ, ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ x=0 ਇੱਕ ਤਰਕਪੂਰਨ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ s(x) ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ x=0 ਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤਹ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਸਿਰਫ s(x)=x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ x=0 ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਮੰਨ ਲਓ w(x) ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਪਲੇਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
21. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਲੇਟ ਦਾ ਉਪਰਲਾ ਕਿਨਾਰਾ ਬਿੰਦੂ x=ax=a 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਪਲੇਟ ਦਾ ਹੇਠਲਾ ਕਿਨਾਰਾ ਬਿੰਦੂ x=b.x=b 'ਤੇ ਹੈ। ਫਿਰ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਵਿਭਾਜਨ ਪਲੇਟ ਨੂੰ ਕਈ ਪਤਲੀਆਂ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਪੱਟੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
22. ਚਿੱਤਰ 2.57: ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਲੰਬਵਤ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ।
23. ਆਓ ਹੁਣ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਪੱਟੀ 'ਤੇ ਬਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਈਏ। ਜੇ ਪੱਟੀ ਕਾਫ਼ੀ ਪਤਲੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਡੂੰਘਾਈ, s(xi*) 'ਤੇ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
24. ਬਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਪਲੇਟ 'ਤੇ ਬਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਰੀਮਨ ਜੋੜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਬਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਸੰਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਾਨੂੰ ਪਲੇਟ 'ਤੇ ਬਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਹਾਈਡ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ ਸੰਦਰਭ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਚੁਣੋ। (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਤੀ ਗਈ ਸੰਦਰਭ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 2.13 ਨੂੰ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨਾ ਪੈ ਸਕਦਾ ਹੈ।)
ਡੂੰਘਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ, s(x) ਅਤੇ w(x) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਤੁਸੀਂ ਜਿਸ ਵੀ ਤਰਲ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ, ਉਸਦੇ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ 62.4 lb/ft³ ਹੈ, ਜਾਂ 9800 N/m³।
ਕੁੱਲ ਬਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.27
ਹਾਈਡ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਲੱਭਣਾ
15 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਪਾਣੀ ਦੀ ਟ੍ਰਾਫੀ ਦੇ ਸਿਰੇ ਉਲਟੇ ਸਮਦੋਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ 8 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 3 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਟ੍ਰਾਫੀ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਟ੍ਰਾਫੀ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 2.58 ਟ੍ਰਾਫੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.58: (a) ਤਿਕੋਣੀ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਪਾਣੀ ਦੀ ਟ੍ਰਾਫੀ। (b) ਪਾਣੀ ਦੀ ਟ੍ਰਾਫੀ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ ਦੇ ਮਾਪ।
ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਚੁਣੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x-ਧੁਰਾ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ। ਟ੍ਰਾਫੀ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨੂੰ x=0 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਚੁਣੋ (ਕਦਮ 1)। ਫਿਰ, ਡੂੰਘਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ, s(x)=x ਹੈ। ਸਮਾਨ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ w(x)=8−(8/3)x ਹੈ (ਕਦਮ 2)। ਹੁਣ, ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ ਘਣਤਾ 62.4 lb/ft³ ਹੈ (ਕਦਮ 3), ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 2.13 ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਪਾਣੀ ਟ੍ਰਾਫੀ ਦੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ 748.8 lb ਦਾ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਕਦਮ 4)।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.27
12 ਮੀਟਰ ਲੰਬੀ ਪਾਣੀ ਦੀ ਟ੍ਰਾਫੀ ਦੇ ਸਿਰੇ ਉਲਟੇ ਸਮਦੋਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ 6 ਮੀਟਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 4 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਟ੍ਰਾਫੀ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਟ੍ਰਾਫੀ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.28
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ: ਹਾਈਡ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਹੂਵਰ ਡੈਮ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਵਾਪਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਇਸ ਚੈਪਟਰ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਅਸਲ ਡੈਮ ਚਾਪ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸਮਤਲ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਸਰਲਤਾਪੂਰਨ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਬਣਾਉਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹੂਵਰ ਡੈਮ ਦਾ ਚਿਹਰਾ ਇੱਕ ਸਮਦੋਬਾਹੂ ਟ੍ਰੈਪੀਜ਼ੋਇਡ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਹੇਠਲਾ ਆਧਾਰ 750 ਫੁੱਟ, ਉਪਰਲਾ ਆਧਾਰ 1250 ਫੁੱਟ, ਅਤੇ ਉਚਾਈ 750 ਫੁੱਟ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਜਦੋਂ ਜળાਸ਼ਯ ਪੂਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੇਕ ਮੀਡ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡੂੰਘਾਈ ਲਗਭਗ 530 ਫੁੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਝੀਲ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਡੈਮ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 10 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 2.59: ਹੂਵਰ ਡੈਮ ਦਾ ਇੱਕ ਸਰਲ ਮਾਡਲ ਜਿਸਦੇ ਮਾਪ ਧਾਰਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਜળાਸ਼ਯ ਪੂਰਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਡੈਮ ਦੇ ਚਿਹਰੇ 'ਤੇ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੱਖਣ-ਪੱਛਮੀ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਸੋਕਾ ਪੈ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੇਕ ਮੀਡ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਉਸ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 125 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੈ ਜੇਕਰ ਜਲ ਭੰਡਾਰ ਪੂਰਾ ਹੁੰਦਾ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਚਿਹਰੇ 'ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਬਲ ਲੱਗ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਸਥਾਪਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਾਰ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ x=0 ਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੀ ਬਜਾਏ ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਜਦੋਂ ਜਲ ਭੰਡਾਰ ਪੂਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ 1010 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ s(x)=x−10s(x)=x−10 (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਤਸਵੀਰ 2.60 ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਚੌੜਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਸਵੀਰ 2.61 ਅਸੀਂ ਬੰਨ੍ਹ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। (a) ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਪ; (b) ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰਨਾ। ਤਸਵੀਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ w(x)=750+2r.w(x)=750+2r। ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ r=250−(1/3)x.r=250−(1/3)x ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, w(x)=1250−23x(ਕਦਮ 2).w(x)=1250−23x(ਕਦਮ 2)। 62.462.4 lb/ft3 (ਕਦਮ 3) ਦੇ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 2.13 ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ F=∫abρw(x)s(x)dx=∫1054062.4(1250−23x)(x−10)dx=62.4∫10540−23[x2−1885x+18750]dx=−62.4(23)[x33−1885x22+18750x]|10540≈8,832,245,000lb=4,416,122.5t.F=∫abρw(x)s(x)dx=∫1054062.4(1250−23x)(x−10)dx=62.4∫10540−23[x2−1885x+18750]dx=−62.4(23)[x33−1885x22+18750x]|10540≈8,832,245,000lb=4,416,122.5t ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਪੌਂਡ ਤੋਂ ਟਨ ਤੱਕ ਤਬਦੀਲੀ (2000(2000 lb = 11 ton) (ਕਦਮ 4) ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸੋਕੇ ਨਾਲ ਸਾਡਾ ਡੂੰਘਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ, s(x),s(x), ਅਤੇ ਸਾਡੀਆਂ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ s(x)=x−135.s(x)=x−135 ਹੈ। ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ 135.135 ਹੈ। ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ 540.540 ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.28
ਜਦੋਂ ਜਲ ਭੰਡਾਰ ਆਪਣੇ ਔਸਤ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਜਲ ਭੰਡਾਰ ਪੂਰਾ ਹੋਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਾਲੋਂ ਲਗਭਗ 50 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਚਿਹਰੇ 'ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਬਲ ਲੱਗ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਮੀਡੀਆ
ਹੂਵਰ ਡੈਮ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਲਈ, ਹਿਸਟਰੀ ਚੈਨਲ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਇਸ ਲੇਖ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਲ F=12F=12 lb ਇੱਕ ਕੁਰਸੀ ਨੂੰ x=0.9x=0.9 ਤੋਂ x=1.1x=1.1 ft ਤੱਕ ਹਿਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ 5050 lb ਕਾਮਿਕਸ ਦੇ ਬਾਕਸ ਨੂੰ 33 ਫੁੱਟ ਉੱਚੇ ਟਰੱਕ 'ਤੇ ਚੁੱਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
2020 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਬੱਚੇ ਨੂੰ ਫਰਸ਼ ਤੋਂ 22 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ? (ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਨੇੜੇ 11 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਭਾਰ 9.89.8 N ਹੁੰਦਾ ਹੈ।)
ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ 22 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਇੱਕ ਬਾਕਸ ਨੂੰ ਫਰਸ਼ ਦੇ ਨਾਲ ਧੱਕਦੇ ਹੋ, ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ F=100N ਦਾ ਸਥਿਰ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
x=1x=1 ਤੋਂ x=2x=2 m ਤੱਕ F=12/x2F=12/x2 N ਦੇ ਬਲ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਇਸ 'ਤੇ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਬਲ F=3x2F=3x2 N ਹੈ ਤਾਂ ਕਣ ਨੂੰ x=0x=0 ਤੋਂ x=1x=1 m ਤੱਕ ਲਿਜਾਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ-ਆਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲੱਭੋ।
2 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਤਾਰ (x=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ)x=0) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=x2+2xρ(x)=x2+2x lb/ft ਹੈ
3 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਕਾਰ ਐਂਟੀਨਾ (x=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ)x=0) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=3x+2ρ(x)=3x+2 lb/ft ਹੈ
88 ਇੰਚ ਲੰਬੀ ਧਾਤੂ ਦੀ ਛੜ (x=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ)x=0) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=e1/2xρ(x)=e1/2x lb/in. ਹੈ
4 ਇੰਚ ਲੰਬੀ ਪੈਨਸਿਲ (x=2 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ)x=2) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=5/xρ(x)=5/x oz/in. ਹੈ
12 ਇੰਚ ਲੰਬੀ ਰੂਲਰ (x=5 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ)x=5) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=ln(x)+(1/2)x2ρ(x)=ln(x)+(1/2)x2 oz/in. ਹੈ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲੱਭੋ।
2 ਇੰਚ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਹਾਕੀ ਪੱਕ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=x3−2x+5ρ(x)=x3−2x+5 ਹੈ
6 ਇੰਚ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਫ੍ਰਿਸਬੀ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=e−xρ(x)=e−x ਹੈ
1010 ਇੰਚ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਪਲੇਟ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ρ(x)=1+cos(πx) ਹੈ।
3 ਇੰਚ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਜਾਰ ਦਾ ਢੱਕਣ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ρ(x)=ln(x+1) ਹੈ।
55 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ρ(x)=3x ਹੈ।
1212 ਇੰਚ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 7575 ਪੌਂਡ ਦੇ ਬਲ ਨਾਲ 1515 ਇੰਚ ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ ਕੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਲੰਬਾਈ 1010 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 1515 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 22 ਜੂਲ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 1515 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੋਂ 2020 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗੇਗੀ?
11 ਮੀਟਰ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 1.11.1 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 1010 ਜੂਲ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 11 ਮੀਟਰ ਤੋਂ 1.21.2 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗੇਗੀ?
ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 88 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੋਂ 1212 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 55 ਜੂਲ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ 1212 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੋਂ 1414 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਵਾਧੂ 44 ਜੂਲ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਲੰਬਾਈ ਕੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਸ਼ੌਕ ਐਬਜ਼ੋਰਬਰ ਨੂੰ 1 ਟਨ ਭਾਰ ਨਾਲ 1 ਇੰਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ ਕੀ ਹੈ?
F=20x−x3 ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਬਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ xx ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ x=0 ਤੋਂ x=2 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?
100100 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਅਤੇ 55 ਪੌਂਡ/ਫੁੱਟ ਦੇ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ ਵਾਲੀ ਲਟਕਦੀ ਕੇਬਲ ਨੂੰ ਵੇਟਣ (winding up) ਦੁਆਰਾ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕੇਬਲ ਲਈ, ਕੇਬਲ ਨੂੰ 5050 ਫੁੱਟ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ?
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕੇਬਲ ਲਈ, ਕੇਬਲ ਦੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ 200200 ਪੌਂਡ ਦਾ ਭਾਰ ਲਟਕਾਉਣ ਨਾਲ ਕਿੰਨੀ ਵਾਧੂ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ?
500500 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਇੱਕ ਪਿਰਾਮਿਡ ਜਿਸਦਾ ਵਰਗਾਕਾਰ ਅਧਾਰ 800800 ਫੁੱਟ ਬਾਈ 800800 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਉਚਾਈ h 'ਤੇ ਖੇਤਰਫਲ AA ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਗਈ ਚੱਟਾਨ ਦਾ ਭਾਰ ਲਗਭਗ w=100lb/ft3 ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੀ ਚੱਟਾਨ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗੀ?
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਿਰਾਮਿਡ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 10001000 ਕਾਮੇ ਸਨ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ 1010 ਘੰਟੇ, ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 55 ਦਿਨ, ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 5050 ਹਫ਼ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਨ। ਜੇ ਕਾਮੇ, ਔਸਤਨ, ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 22 ਫੁੱਟ 10 100 ਪੌਂਡ ਚੱਟਾਨਾਂ ਚੁੱਕਦੇ ਸਨ, ਤਾਂ ਪਿਰਾਮਿਡ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਾ?
ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ (force of gravity) ਇੱਕ ਪੁੰਜ m 'ਤੇ F=−((GMm)/x2) ਨਿਊਟਨ ਹੈ। 1000kg ਪੁੰਜ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਰਾਕੇਟ ਲਈ, x=6400 ਤੋਂ x=6500 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਤੱਕ ਰਾਕੇਟ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਊਰਜਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਤਿੰਨ ਸਾਰਥਕ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਦੱਸੋ। (ਨੋਟ: G=6.67×10−11N m2/kg2 ਅਤੇ M=6×1024kg।)
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰਾਕੇਟ ਲਈ, x=6400 ਤੋਂ x=∞ ਤੱਕ ਰਾਕੇਟ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਊਰਜਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਡੈਮ 4040 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਅਤੇ 6060 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ 62.5 lbs/ft3 ਹੈ। ਡੈਮ 'ਤੇ ਕੁੱਲ ਬਲ F ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ
ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਡੈਮ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਹੋਵੇ ਅਤੇ
ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਡੈਮ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹੇਠਾਂ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਜਿਸਦਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਧਾਰ 55 ਫੁੱਟ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ 200200 ਫੁੱਟ ਉਚਾਈ ਹੈ, ਉਸ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਰੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਪਾਣੀ ਦੇ 6262 ਪੌਂਡ/ਫੁੱਟ3 ਘਣਤਾ ਦੇ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਰੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਸਿਰਫ ਅੱਧਾ ਭਰਿਆ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਤੈਰਾਕੀ ਪੂਲ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਣੀ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 800800 ਫੁੱਟ2 ਹੈ, ਪਾਣੀ 44 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਪਾਣੀ ਦੇ ਪੱਧਰ ਤੋਂ 11 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਾਣੀ ਦਾ ਘਣਤਾ 6262 ਪੌਂਡ/ਫੁੱਟ3 ਹੈ।
HH ਡੂੰਘਾਈ ਅਤੇ AA ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ρ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਊਰਜਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਲੰਡਰ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਊਰਜਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਸਿਰਫ ਅੱਧਾ ਭਰਿਆ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਟੈਂਕ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ ਇਸਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ: A=(πr2h2)/H3। ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ, ਸਮਾਨ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੈ।