ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.6.1 ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਵੰਡੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
2.6.2 ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
2.6.3 ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਦੇ ਕੇਂਦਰਕ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
2.6.4 ਆਇਤਨ ਲਈ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰਾਂ (ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੁਝ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ ਕੇਂਦਰਕ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਘੁਮਾਵਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਮੂਲ ਵਿਚਾਰ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤਿਆਂ ਨੇ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਡੰਡਿਆਂ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਪਲੇਟਾਂ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਦੇਖਿਆ ਹੈ। ਕਲਾਕਾਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਈਆਂ ਨੂੰ ਡਿੱਗਣ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇਕੱਲੀ ਪਲੇਟ (ਬਿਨਾਂ ਘੁਮਾਏ) ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਪਲੇਟ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਥਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਡੰਡੇ 'ਤੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਡੰਡੇ ਨੂੰ ਉਸ ਥਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਤੇ ਹੋਰ ਰੱਖੀਏ, ਤਾਂ ਪਲੇਟ ਸੰਤੁਲਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। (ਇਹੀ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ ਕਲਾਕਾਰ ਪਲੇਟਾਂ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ; ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪਲੇਟਾਂ ਨੂੰ ਡਿੱਗਣ ਤੋਂ ਰੋਕਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਡੰਡਾ ਬਿਲਕੁਲ ਸਹੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਨਾ ਹੋਵੇ।) ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਉਸ ਥਾਂ ਨੂੰ ਪਲੇਟ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹਨਾਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ-ਦੋ-ਮਾਪੀ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਦੋ-ਦੋ-ਮਾਪੀ ਖੇਤਰਾਂ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਠੋਸ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੇਂਦਰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਘੁਮਾਵ
ਆਓ ਇੱਕ-ਦੋ-ਮਾਪੀ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਇੱਕ ਲੰਬੀ, ਪਤਲੀ ਤਾਰ ਜਾਂ ਡੰਡੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਨਾਮਾਤਰ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਫੁਲਕਰਮ 'ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.62(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪੁੰਜ m1m1 ਅਤੇ m2m2 ਵਾਲੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਫੁਲਕਰਮ ਤੋਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ d1d1 ਅਤੇ d2d2 ਦੂਰੀਆਂ 'ਤੇ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.62(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.62: (a) ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਡੰਡਾ ਫੁਲਕਰਮ 'ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। (b) ਡੰਡੇ 'ਤੇ ਪੁੰਜ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਅਸਲ-ਜੀਵਨ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਖੇਡ ਦੇ ਮੈਦਾਨ ਦਾ ਸੀ-ਸਾਅ, ਜਾਂ ਟੇਟਰ-ਟੋਟਰ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਭਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਬੱਚੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ 'ਤੇ ਬੈਠੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸੀ-ਸਾਅ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬੱਚਾ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਬੈਠਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਭਾਰਾ ਬੱਚਾ ਹੇਠਾਂ ਡੁੱਬ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਲਕਾ ਬੱਚਾ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਉੱਠ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਭਾਰਾ ਬੱਚਾ ਕੇਂਦਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੀ-ਸਾਅ ਸੰਤੁਲਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਡੰਡੇ 'ਤੇ ਪੁੰਜਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ m1d1=m2d2.m1d1=m2d2.
ਸੀ-ਸਾਅ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੁਲਕਰਮ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜਾਂ (ਬੱਚਿਆਂ) ਨੂੰ ਹਿਲਾ ਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕੀਤਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਹਿਲਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਅਸੀਂ ਫੁਲਕਰਮ ਨੂੰ ਹਿਲਾ ਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ, m1m1 ਅਤੇ m2,m2 ਹਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x1x1 ਅਤੇ x2,x2 ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.63)। ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ, x–,x–, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਫੁਲਕਰਮ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.63: ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ x–x– ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅੰਸ਼ (numerator) ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ, m1x1+m2x2,m1x1+m2x2, ਨੂੰ ਮੂਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਘੁਮਾਵ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਸੰਗ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਪਹਿਲਾ ਸ਼ਬਦ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਘੁਮਾਵ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਸ਼ (denominator) ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ, m1+m2,m1+m2, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਘੁਮਾਵ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ n ਪੁੰਜ, m1,m2,…,mn,m1,m2,…,mn, ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x1,x2,…,xn,x1,x2,…,xn ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਪ੍ਰਮੇਯ 2.9
ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਮੰਨ ਲਓ m1,m2,…,mnm1,m2,…,mn ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x1,x2,…,xn,x1,x2,…,xn ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ m=∑i=1nmim=∑i=1nmi ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਮੂਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਘੁਮਾਵ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਅਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.29
ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ:
ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪਲ ਗਿਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਹੁਣ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 1/2 ਮੀਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.29
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ:
ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਮ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ m1m1 ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (x1,y1)(x1,y1) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਹੈ। ਫਿਰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜ ਦਾ ਪਲ MxMx ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ Mx=m1y1.Mx=m1y1। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ MyMy ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ My=m1x1.My=m1x1। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਸੰਯੋਜਕ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ। ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ x-ਸੰਯੋਜਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਤੋਂ y-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ y-ਸੰਯੋਜਕ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 2.64: ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ m1m1 ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (x1,y1)(x1,y1) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕਈ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਸੰਯੋਜਕਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.10
ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਮੰਨ ਲਓ m1,m2,…,mnm1,m2,…,mn ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਹਨ ਜੋ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ m=∑i=1nmim=∑i=1nmi ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪਲ MxMx ਅਤੇ MyMy ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:
ਨਾਲ ਹੀ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–)(x–,y–) ਦੇ ਸੰਯੋਜਕ ਹਨ:
ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.30
ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸੰਯੋਜਕਾਂ ਨੂੰ ਮੰਨੋ):
ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ:
ਤਾਂ ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (1,1/3),(1,1/3), ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.30
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ (ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ):
ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਪਤਲੀਆਂ ਪਲੇਟਾਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ, ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਸਿਸਟਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁੰਜ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਚਾਦਰ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚਾਦਰ ਇੰਨੀ ਪਤਲੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਚਾਦਰ ਨੂੰ ਲੈਮੀਨਾ (lamina) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ (density) ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਲੈਮੀਨਾ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਇਸਦਾ ਸੈਂਟਰੋਇਡ (centroid) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਕੇਵਲ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਇਹ ਘਣਤਾ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਉਲੀਕੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਦੇ ਸੈਂਟਰੋਇਡ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਨੂੰ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪਲ (moments) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਆਕਾਰ ਦੇ ਲੈਮੀਨਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਲੈਮੀਨਾ ਸੰਤੁਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਇਤ ਲਈ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਆਇਤ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕੇਂਦਰ ਦੋਵੇਂ ਹੈ। ਇਸ ਸਮਝ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਵਿਕਰਨ (diagonals) ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਥੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 2.11
ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਖੇਤਰ R ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ l ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਤਾਂ R ਦਾ ਸੈਂਟਰੋਇਡ l 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਆਪਾਂ ਹੋਰ ਆਮ ਲੈਮੀਨਾਵਾਂ ਵੱਲ ਮੁੜੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ (function) f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ ਰੇਖਾਵਾਂ x=a ਅਤੇ x=b ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਸੀਮਾਬੱਧ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.65: ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਜੋ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਾਂਗ, ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ ਅਤੇ ਆਇਤਾਂ ਬਣਾ ਕੇ ਇਹਨਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਭਾਗ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਡੇ xi* ਵਜੋਂ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ xi* ਸਾਡੀਆਂ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਸੈਂਟਰੋਇਡ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, i=1,2,…,n ਲਈ, ਅਸੀਂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ xi* ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇ। ਭਾਵ, xi*=(xi−1+xi)/2। ਹੁਣ, i=1,2,…,n ਲਈ, [xi−1,xi] 'ਤੇ ਉਚਾਈ f(xi*) ਦੀ ਇੱਕ ਆਇਤ ਬਣਾਓ। ਇਸ ਆਇਤ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (xi*,(f(xi*))/2) ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.66: ਲੈਮੀਨਾ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਆਇਤ।
ਅੱਗੇ, ਸਾਨੂੰ ਆਇਤ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ρ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ρ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ)। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ρ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰ ਪੁੰਜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਇਤ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ρ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਆਇਤ ਦਾ ਪੁੰਜ ρf(xi*)Δx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨਨ ਸਮ (Riemann sum) ਹੈ। n→∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਸਹੀ ਪੁੰਜ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਆਇਤ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹੋਏ, ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (xi*,(f(xi*))/2) ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਆਇਤ ਨੂੰ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਵਾਂਗ ਮੰਨਣ ਨਾਲ ਪਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਦਲਾਅ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਆਇਤ ਦਾ ਪਲ, ਆਇਤ ਦੇ ਪੁੰਜ, ρf(xi*)Δx, ਨੂੰ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ: (f(xi*))/2, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਆਇਤ ਦਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ρ([f(xi*)]^2/2)Δx ਹੈ। ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਪਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਰੀਮੈਨਨ ਸਮ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਹੈ
ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਨੂੰ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਇਤ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ y-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ xi* ਹੈ। ਫਿਰ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਪਲ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ x–=My/mand y–=Mx/m ਮਿਲੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ Mx, My, ਅਤੇ m ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ x– ਅਤੇ y– ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਸਥਿਰ ρ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 2.12
xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਮੰਨ ਲਓ R ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x=a ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ρ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ m=ρ∫abf(x)dx ਹੈ। (2.18)
ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਮੋਮੈਂਟ Mx ਅਤੇ My, ਕ੍ਰਮਵਾਰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ, Mx=ρ∫ab[f(x)]^2/2 dx ਅਤੇ My=ρ∫abxf(x)dx ਹਨ। (2.19)
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x̄, ȳ) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ x̄=My/m ਅਤੇ ȳ=Mx/m ਹਨ। (2.20)
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.31
ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਫਲਨ f(x)=x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ [0,4] ਉੱਤੇ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.67: ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ।
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਜਾਂ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸਿਰਫ਼ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ρ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਹੂਲਤ ਲਈ, ਆਓ ρ=1 ਮੰਨ ਲਈਏ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਤੇ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ (12/5, 3/4) ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.31
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਫਲਨ f(x)=x^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ [0,2] ਉੱਤੇ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਅਸੀਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਪਹੁੰਚ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡਾ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ, ਪਰ ਹੁਣ, ਖੇਤਰ ਲਈ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ x-ਧੁਰਾ ਹੋਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ, g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.68: ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਖੇਤਰ।
ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
2.69 ਚਿੱਤਰ: ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਆਇਤ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਆਇਤ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (xi*,(f(xi*)+g(xi*))/2) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਸਾਰੇ ਵੇਰਵਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਜਾਵਾਂਗੇ, ਪਰ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਕਦਮਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ f(xi*)−g(xi*) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡਜ਼ ਵਿੱਚ f(x)−g(x) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ, ρ[f(xi*)−g(xi*)]Δx, ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਦੂਰੀ, (f(xi*)+g(xi*))/2, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ρ(1/2){[f(xi*)]2−[g(xi*)]2}Δx ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.13
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਮੰਨ ਲਓ R ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ, ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x=a ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ρ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਿਆਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ m=ρ∫ab[f(x)−g(x)]dx ਹੈ। (2.21)
ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ Mx ਅਤੇ My ਕ੍ਰਮਵਾਰ, Mx=ρ∫ab12([f(x)]2−[g(x)]2)dx ਅਤੇ My=ρ∫abx[f(x)−g(x)]dx ਹਨ। (2.22)
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ x–=Mym ਅਤੇ y–=Mxm ਹਨ। (2.23)
ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.32
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=x−1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
2.70 ਚਿੱਤਰ: ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ (−2,−3) ਅਤੇ (1,0) 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ −2 ਤੋਂ 1 ਤੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਸੁਵਿਧਾ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ρ=1।
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੋਮੈਂਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਤੇ
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (−(1/2),−(3/5)) ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.32
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=6−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=3−2x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਹੇ ਸਾਂ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਮਰੂਪ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.33
ਸਮਰੂਪ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=4−x2f(x)=4−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.71: ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਖੇਤਰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਸੰਯੋਜਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ y–.y– ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਸੁਵਿਧਾ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ρ=1.ρ=1.
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੋਮੈਂਟਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ Mx:Mx ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ (0,8/5).(0,8/5) ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.33
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1−x2f(x)=1−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਦਿ ਗ੍ਰੈਂਡ ਕੈਨਿਯਨ ਸਕਾਈਵਾਕ
ਦਿ ਗ੍ਰੈਂਡ ਕੈਨਿਯਨ ਸਕਾਈਵਾਕ 28 ਮਾਰਚ, 2007 ਨੂੰ ਜਨਤਾ ਲਈ ਖੋਲ੍ਹਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਦਾ ਅਜੂਬਾ ਕੋਲੋਰਾਡੋ ਨਦੀ ਤੋਂ 4000 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਗ੍ਰੈਂਡ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਪੱਛਮੀ ਕੰਢੇ 'ਤੇ ਲਟਕਿਆ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਘੋੜੇ ਦੀ ਨਾੜ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕ੍ਰਿਸਟਲ-ਕਲੀਅਰ ਗਲਾਸ ਫਲੋਰ ਹੇਠਾਂ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 2.72: ਦਿ ਗ੍ਰੈਂਡ ਕੈਨਿਯਨ ਸਕਾਈਵਾਕ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: 10da_ralta, Wikimedia Commons)
ਸਕਾਈਵਾਕ ਇੱਕ ਕੈਂਟੀਲਿਵਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਕੰਢੇ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਵਧਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕੋਈ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਸਹਾਇਤਾ ਦਾ ਸਾਧਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਸਹਾਇਤਾ ਪੋਸਟਾਂ ਜਾਂ ਸਟਰੱਟਾਂ ਦੀ ਘਾਟ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਕੈਂਟੀਲਿਵਰ ਢਾਂਚੇ ਬਹੁਤ ਸਥਿਰ ਹੋਣ ਲਈ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ ਅਤੇ ਸਕਾਈਵਾਕ ਕੋਈ ਅਪਵਾਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਸਹਾਇਤਾ ਪੋਸਟਾਂ ਨਾਲ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜੋ ਬੈਡਰੌਕ ਵਿੱਚ 46 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਢਾਂਚਾ 100-mph ਹਵਾਵਾਂ ਅਤੇ 50 ਮੀਲ ਦੇ ਅੰਦਰ 8.0-ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਭੂਚਾਲ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਅਤੇ 70,000,000 ਪੌਂਡ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੈ।
ਸਕਾਈਵਾਕ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਕਾਰਕ ਢਾਂਚੇ ਦਾ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਕਾਈਵਾਕ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹ ਦੇਖਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸੈਲਾਨੀ ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ 'ਤੇ ਚੱਲਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ U-ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ। U ਦੀਆਂ ਲੱਤਾਂ 10 ਫੁੱਟ ਚੌੜੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਵਿਜ਼ਟਰਾਂ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ, ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਕੰਢੇ ਤੋਂ 48 ਫੁੱਟ ਦੂਰ। ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਕੰਢੇ ਤੋਂ 70 ਫੁੱਟ ਅੱਗੇ ਵਧਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਢਾਂਚੇ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਵਜੋਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਪਹਿਲਾ ਖੇਤਰ, ਜਿਸਨੂੰ R1,R1 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, U ਦੇ ਵਕਰੇ ਹੋਏ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ R1R1 ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਚੱਕਰੀ ਐਨੂਲਸ (semicircular annulus) ਵਜੋਂ ਮਾਡਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ 25 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਬਾਹਰੀ ਰੇਡੀਅਸ 35 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੂਲ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 2.73: ਅਸੀਂ ਸਕਾਈਵਾਕ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਪੈਰ, ਜੋ ਕਿ R1R1 ਅਤੇ ਖੱਡ ਦੀ ਕੰਧ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 35 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਦੂਜੇ ਉਪ-ਖੇਤਰ, R2.R2 ਦਾ ਗਠਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਪੈਰਾਂ ਦੇ ਸਿਰੇ, ਜੋ ਕਿ ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ 48 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਤੀਜੇ ਉਪ-ਖੇਤਰ, R3.R3 ਦਾ ਗਠਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦਾ ਕੁੱਲ ਭਾਰ 1,200,000 lb ਹੈ (ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਦੇ ਭਾਰ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ; ਅਸੀਂ ਇਸ 'ਤੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ)। g=32ft/sec2.g=32ft/sec2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਤਿੰਨਾਂ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਖੇਤਰ R2R2 ਅਤੇ R3R3 ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਪੈਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖਾਲੀ ਜਗ੍ਹਾ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
3. ਤਿੰਨਾਂ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪੁੰਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4. ਤਿੰਨਾਂ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
5. ਹੁਣ, ਤਿੰਨਾਂ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਪ-ਖੇਤਰ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਵਜੋਂ ਮੰਨੋ। ਇਸ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪੂਰੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
6. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਦਾ ਭਾਰ 2,200,000 lb ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ R3.R3 ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ। ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਵਜੋਂ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਮੁੜ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ?
7. ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਕਾਈਵਾਕ ਨੂੰ ਆਬਜ਼ਰਵੇਸ਼ਨ ਪਲੇਟਫਾਰਮ 'ਤੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 120 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਪਲੇਟਫਾਰਮ 200 lb ਭਾਰ ਵਾਲੇ 800 ਲੋਕਾਂ ਤੱਕ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ 800 ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਪਲੇਟਫਾਰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ, ਅਤੇ ਉਹ ਸਾਰੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਜਾਂਦੇ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਕੀ ਅਸਰ ਪੈਂਦਾ? (ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਨੂੰ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਖੱਡ ਦੀ ਕੰਧ ਤੋਂ 70 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਓ।)
8. ਪੈਪਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ
9. ਇਹ ਭਾਗ ਪੁੰਜ ਲਈ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਚਰਚਾ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਕੇਂਦ੍ਰੋਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖਾਸ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। (ਸਤਹ ਖੇਤਰ ਲਈ ਵੀ ਪੈਪਸ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਪੁੰਜ ਲਈ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।)
10. ਪ੍ਰਮੇਯ 2.14
11. ਪੁੰਜ ਲਈ ਪੈਪਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ
12. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ R ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ l ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ R ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ। ਫਿਰ, R ਨੂੰ l ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ, R ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ R ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਕ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ d ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
13. ਸਿੱਧ
14. ਅਸੀਂ ਉਸ ਕੇਸ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A=∫ab[f(x)−g(x)]dx.A=∫ab[f(x)−g(x)]dx ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਕ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਸਿਰਫ ਕੇਂਦ੍ਰੋਕ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, x–,x– 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਹੈ
15. ਜਿੱਥੇ
16. ਫਿਰ,
17. ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ
18. ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
19. ਇਸ ਲਈ,
20. ਅਤੇ ਸਿੱਧ ਪੂਰਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ।
21. □
22. ਉਦਾਹਰਨ 2.34
23. ਪੁੰਜ ਲਈ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
24. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ R ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 2 ਹੈ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (4,0) 'ਤੇ ਹੈ। R ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਟੋਰਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੁੰਜ ਲਈ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
Solution
The region and torus are depicted in the following figure.
Figure 2.74: Determining the volume of a torus by using the theorem of Pappus. (a) A circular region R in the plane; (b) the torus generated by revolving R about the y-axis.
The region R is a circle of radius 2, so the area of R is A=4πA=4π units2. By the symmetry principle, the centroid of R is the center of the circle. The centroid travels around the y-axis in a circular path of radius 4, so the centroid travels d=8πd=8π units. Then, the volume of the torus is A·d=32π2A·d=32π2 units3.
Checkpoint 2.34
Let R be a circle of radius 1 centered at (3,0).(3,0). Use the theorem of Pappus for volume to find the volume of the torus generated by revolving R around the y-axis.
For the following exercises, calculate the center of mass for the collection of masses given.
m1=2m1=2 at x1=1x1=1 and m2=4m2=4 at x2=2x2=2
m1=1m1=1 at x1=−1x1=−1 and m2=3m2=3 at x2=2x2=2
m=3m=3 at x=0,1,2,6x=0,1,2,6
Unit masses at (x,y)=(1,0),(0,1),(1,1)(x,y)=(1,0),(0,1),(1,1)
m1=1m1=1 at (1,0)(1,0) and m2=4m2=4 at (0,1)(0,1)
m1=1m1=1 at (1,0)(1,0) and m2=3m2=3 at (2,2)(2,2)
For the following exercises, compute the center of mass x–.x–.
ρ=1ρ=1 for x∈(−1,3)x∈(−1,3)
ρ=x2ρ=x2 for x∈(0,L)x∈(0,L)
ρ=1ρ=1 for x∈(0,1)x∈(0,1) and ρ=2ρ=2 for x∈(1,2)x∈(1,2)
ρ=sinxρ=sinx for x∈(0,π)x∈(0,π)
ρ=cosxρ=cosx for x∈(0,π2)x∈(0,π2)
ρ=exρ=ex for x∈(0,2)x∈(0,2)
ρ=x3+xe−xρ=x3+xe−x for x∈(0,1)x∈(0,1)
ρ=xsinxρ=xsinx for x∈(0,π)x∈(0,π)
ρ=xρ=x for x∈(1,4)x∈(1,4)
ρ=lnxρ=lnx for x∈(1,e)x∈(1,e)
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਵਰਗ 0≤x≤1, 0≤y≤1 ਵਿੱਚ ρ=7
3. ਸਿਖਰ (0,0), (a,0), ਅਤੇ (0,b) ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿੱਚ ρ=3
4. y=cos(x), y=−cos(x), x=−π2, ਅਤੇ x=π2 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਲਈ ρ=2
5. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6. [T] y=cos(2x), x=−π4, ਅਤੇ x=π4 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ
7. [T] y=2x², y=0, x=0, ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ
8. [T] y=54x² ਅਤੇ y=5 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ
9. [T] y=x, y=ln(x), x=1, ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ
10. [T] y=0 ਅਤੇ x²/4+y²/9=1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ
11. [T] y=0, x=0, ਅਤੇ x²/4+y²/9=1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ
12. [T] ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭਾਗ ਵਿੱਚ y=x² ਅਤੇ y=x⁴ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ
13. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. x=0 ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ xx-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ y=mx ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣਾ
15. x=0 ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ yy-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ y=mx ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣਾ
16. yy-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ (0,0), (a,0), ਅਤੇ (0,b) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਿਆ ਇੱਕ ਆਮ ਸ਼ੰਕੂ। ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ?
17. yy-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ (0,0), (a,0), (0,b), ਅਤੇ (a,b) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਵਾਲੇ ਆਇਤ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਿਆ ਇੱਕ ਆਮ ਸਿਲੰਡਰ। ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ?
18. yy-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ 'a' ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਿਆ ਇੱਕ ਗੋਲਾ। ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ?
19. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਕਾਰਾਂ ਲਈ ਖੇਤਰ MM ਅਤੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ (x–,y–) ਲੱਭੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. [T] ਚੌਥਾਈ-ਚੱਕਰ: y=1−x², y=0, ਅਤੇ x=0
21. [T] ਤ੍ਰਿਕੋਣ: y=x, y=2−x, ਅਤੇ y=0
22. [T] ਲੈਂਜ਼: y=x² ਅਤੇ y=x
23. [T] ਰਿੰਗ: y²+x²=1 ਅਤੇ y²+x²=4
24. [T] ਅੱਧਾ-ਰਿੰਗ: y²+x²=1, y²+x²=4, ਅਤੇ y=0
1. y=xay=xa ਅਤੇ y=xby=xb ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਤੰਗ ਹਿੱਸੇ (ਜਿੱਥੇ a>b) ਦਾ ਆਮ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. y=a2−x2, x=0, ਅਤੇ y=0 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਆਮ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3. y=bsin(ax), x=0, ਅਤੇ x=πa ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਆਮ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਟੋਰਸ (ਇੱਥੇ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ) ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ radius 'a' ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਡਿਸਕ x=b, b>0 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. y=1−x2 ਦੇ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪਤਲੇ ਤਾਰ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿਸਦਾ ਇਕਾਈ ਪੁੰਜ ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।)