ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨਿੱਖੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਅਨਿੱਖੇ ਰੂਪ ਦੁਆਰਾ ਨੰਬਰ 'e' ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਅਤੇ ਏਕੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।
ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਚਰਚਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਵੇਰਵਿਆਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਨਜਿੱਠਣਾ ਹੈ, ਇਸ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ। ਨੰਬਰ 'e' ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਿਛਲਾ ਵਿਕਾਸ ਕੁਝ ਅਧੂਰਾ ਸੀ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ ਇਹਨਾਂ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨਾਲ ਵਧੇਰੇ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਖ਼ਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਲਈ ਸਾਧਨ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਤੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ, ਨੰਬਰ 'e', ਜਾਂ ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਏਕੀਕਰਨ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦਾ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਖ਼ਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੋਵੇਗਾ (ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਜੋ ਸੰਕਲਪ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿੱਖੇ ਸਨ, ਉਹਨਾਂ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰਤਾ ਹੈ)।
ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨਿੱਖੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਭਾਗ ਦੀ ਨੀਂਹ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਨੰਬਰ 'e' ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਅਨਿੱਖੇ ਰੂਪ ਵਜੋਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ
ਏਕੀਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ:
ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਉਦੋਂ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਜਦੋਂ n=−1, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕਰੇਗਾ। ਤਾਂ, ਅਸੀਂ ∫1xdx? ਨਾਲ ਕੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ∫1x1tdt 1/x ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
x>0 ਲਈ, ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ:
x>1 ਲਈ, ਇਹ ਸਿਰਫ਼ 1 ਤੋਂ x ਤੱਕ y=1/t ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਹੈ। x<1 ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ∫1x1tdt=−∫x11tdt ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇਹ x ਤੋਂ 1 ਤੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 2.75: (a) ਜਦੋਂ x>1, ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ 1 ਤੋਂ x ਤੱਕ y=1/t ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਹੈ। (b) ਜਦੋਂ x<1, ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ x ਤੋਂ 1 ਤੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ln1=0। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਫੰਕਸ਼ਨ y=1/t>0 ਜਦੋਂ x>0। ਇਸ ਲਈ, ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ lnx, x>0 ਲਈ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਗੁਣ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਅਵਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਤੁਰੰਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 2.15
ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਅਵਕਲਜ
x>0 ਲਈ, ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
Theorem 2.16
Corollary to the Derivative of the Natural Logarithm
The function lnxlnx is differentiable; therefore, it is continuous.
A graph of lnxlnx is shown in Figure 2.76. Notice that it is continuous throughout its domain of (0,∞).(0,∞).
Figure 2.76: The graph of f(x)=lnxf(x)=lnx shows that it is a continuous function.
Example 2.35
Calculating Derivatives of Natural Logarithms
Calculate the following derivatives:
ddxln(5x3−2)ddxln(5x3−2)
ddx(ln(3x))2ddx(ln(3x))2
Solution
We need to apply the chain rule in both cases.
ddxln(5x3−2)=15x25x3−2ddxln(5x3−2)=15x25x3−2
ddx(ln(3x))2=2(ln(3x))·33x=2(ln(3x))xddx(ln(3x))2=2(ln(3x))·33x=2(ln(3x))x
Checkpoint 2.35
Calculate the following derivatives:
ddxln(2x2+x)ddxln(2x2+x)
ddx(ln(x3))2ddx(ln(x3))2
Note that if we use the absolute value function and create a new function ln|x|,ln|x|, we can extend the domain of the natural logarithm to include x<0.x<0. Then (d/(dx))ln|x|=1/x.(d/(dx))ln|x|=1/x. This gives rise to the familiar integration formula.
Theorem 2.17
Integral of (1/u) du
The natural logarithm is the antiderivative of the function f(u)=1/u:f(u)=1/u:
Example 2.36
Calculating Integrals Involving Natural Logarithms
Calculate the integral ∫xx2+4dx.∫xx2+4dx.
Solution
Using uu-substitution, let u=x2+4.u=x2+4. Then du=2xdxdu=2xdx and we have
Checkpoint 2.36
Calculate the integral ∫x2x3+6dx.∫x2x3+6dx.
Although we have called our function a “logarithm,” we have not actually proved that any of the properties of logarithms hold for this function. We do so here.
Theorem 2.18
Properties of the Natural Logarithm
If a,b>0a,b>0 and rr is a rational number, then
ln1=0ln1=0
ln(ab)=lna+lnbln(ab)=lna+lnb
ln(ab)=lna−lnbln(ab)=lna−lnb
ln(ar)=rlnaln(ar)=rlna
Proof
i. By definition, ln1=∫111tdt=0.ln1=∫111tdt=0.
ii. We have
Use u-substitutionu-substitution on the last integral in this expression. Let u=t/a.u=t/a. Then du=(1/a)dt.du=(1/a)dt. Furthermore, when t=a,u=1,t=a,u=1, and when t=ab,u=b.t=ab,u=b. So we get
iv. Note that
Furthermore,
Since the derivatives of these two functions are the same, by the Fundamental Theorem of Calculus, they must differ by a constant. So we have
for some constant C.C. Taking x=1,x=1, we get
Thus ln(xr)=rlnxln(xr)=rlnx and the proof is complete. Note that we can extend this property to irrational values of rr later in this section. Part iii. follows from parts ii. and iv. and the proof is left to you.
□
Example 2.37
ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਵਿੱਚ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.37
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਵਿੱਚ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਅੰਕ 'ਈ' ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅੰਕ 'ਈ' ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਅੰਕ 'ਈ' ਨੂੰ ਉਸ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਵਕਰ y=1/t ਦੇ ਹੇਠਾਂ t=1 ਅਤੇ t=e ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 1 ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.77)। ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਸਤਿਤਵ ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਦਾ ਸਬੂਤ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: ਅਸਤਿਤਵ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ln(x) ਦੇ ਵਧਣ ਦੀ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।)
ਚਿੱਤਰ 2.77: 1 ਤੋਂ e ਤੱਕ ਦੇ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਅੰਕ 'ਈ' ਨੂੰ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਕਰਾਂਗੇ (ਟੇਲਰ ਅਤੇ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦੇਖੋ)। ਇਸਦਾ ਲਗਭਗ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਘਾਤ ਅੰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ e^x ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਲ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ exp(x) ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ,
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚਿੱਤਰ exp(x) ਅਤੇ ln(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.78: ln(x) ਅਤੇ exp(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ।
ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ exp(x) = e^x। ਪਰਿਮੇਯ ਮੁੱਲਾਂ x ਲਈ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਜੇ x ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ln(e^x) = x ln(e) = x ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਦੋਂ x ਪਰਿਮੇਯ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, e^x = exp(x)। ਅਪਰਿਮੇਯ ਮੁੱਲਾਂ x ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ e^x ਨੂੰ ln(x) ਦੇ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਲਈ, y = e^x ਨੂੰ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ
ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਾਰੇ x ਲਈ e^x = exp(x) ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
ਸਾਰੇ x ਲਈ।
ਘਾਤ ਅੰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣ
ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਨਾ ਕਿ e ਦੇ ਘਾਤ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ ਕਿ ਘਾਤ ਦੇ ਆਮ ਨਿਯਮ ਫੰਕਸ਼ਨ e^x ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
Theorem 2.19
Properties of the Exponential Function
If pp and qq are any real numbers and rr is a rational number, then
epeq=ep+qepeq=ep+q
epeq=ep−qepeq=ep−q
(ep)r=epr(ep)r=epr
Proof
Note that if pp and qq are rational, the properties hold. However, if pp or qq are irrational, we must apply the inverse function definition of exex and verify the properties. Only the first property is verified here; the other two are left to you. We have
Since lnxlnx is one-to-one, then
□
As with part iv. of the logarithm properties, we can extend property iii. to irrational values of r,r, and we do so by the end of the section.
We also want to verify the differentiation formula for the function y=ex.y=ex. To do this, we need to use implicit differentiation. Let y=ex.y=ex. Then
Thus, we see
as desired, which leads immediately to the integration formula
We apply these formulas in the following examples.
Example 2.38
Using Properties of Exponential Functions
Evaluate the following derivatives:
ddte3tet2ddte3tet2
ddxe3x2ddxe3x2
Solution
We apply the chain rule as necessary.
ddte3tet2=ddte3t+t2=e3t+t2(3+2t)ddte3tet2=ddte3t+t2=e3t+t2(3+2t)
ddxe3x2=e3x26xddxe3x2=e3x26x
ਚੌਕੀ 2.38
1. ਇਹਨਾਂ ਉਤਪੰਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ:
1. ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਜੀਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਮਨੁੱਖ ਹੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬੁੱਧੀਮਾਨ ਹੈ।
1. ਦੁੱਖਾਂ ਦਾ ਅੰਤ
2.39. The mind, in its natural state, is like a calm lake, reflecting the heavens; but when agitated by desires, it becomes a turbulent sea, tossing to and fro. ਮਨ, ਆਪਣੀ ਕੁਦਰਤੀ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ, ਸ਼ਾਂਤ ਝੀਲ ਵਾਂਗ ਹੈ, ਜੋ ਅਕਾਸ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰਦੀ ਹੈ; ਪਰ ਜਦੋਂ ਇੱਛਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਉਤੇਜਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਉੱਥਲ-ਪੁੱਥਲ ਸਮੁੰਦਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਧਰ-ਉੱਧਰ ਝੂਲਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
1. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
∫2xe−x2dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
uu-ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ, ਮੰਨ ਲਓ u=−x2। ਫਿਰ du=−2xdx, ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੌਕੀ 2.39
4/3 e^3x + C
1. ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਅਤੇ ਘਾਤੰਕੀ ਫਲਨ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਨੂੰ 'e' ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਅਧਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨਾਂ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨ f(x)=ax ਰੂਪ ਦੇ ਫਲਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੱਕ a=e ਨਾ ਹੋਵੇ, ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਅਪਰਿਮੇਯ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਖ਼ਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ। ਆਓ ਅਸੀਂ f(x)=ax ਫਲਨ ਨੂੰ ex ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਥੇ ਸੁਧਾਰੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਫਲਨਾਂ ਵਜੋਂ 'e' ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਅਧਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ a>0, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ x, ਲਈ, y=ax ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ:
1. ਹੁਣ x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ axax ਨੂੰ ਸਖ਼ਤੀ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸਾਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣ iv. ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣ iii. ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਅਤੇ ਅਣ-ਤਰਕਸੰਗਤ ਦੋਵਾਂ ਮੁੱਲਾਂ r.r. ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਸਿੱਧਾ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਆਮ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ax.ax ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਨ ਸੂਤਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
1. ਤਤਸੰਬੰਧੀ ਏਕੀਕਰਨ ਸੂਤਰ ਤੁਰੰਤ ਪਿੱਛੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 2.20
ਸਰਬ-ਵਿਆਪਕ ਘਾਤਕ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵਿਉਤਪੰਨ ਅਤੇ ਸੰਕਲਨ
ਜੇਕਰ a>0.a>0. ਤਾਂ,
1. ਅਤੇ
ਜੇਕਰ a≠1,a≠1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ axax ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਸੁ-ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਉਲਟ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਨੂੰ logax.logax ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਇਹ ਧਿਆਨ ਦੇਵੋ ਕਿ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ y=logax। ਫਿਰ, x=ay। ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਲੈਣ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
Thus, we see that all logarithmic functions are constant multiples of one another. Next, we use this formula to find a differentiation formula for a logarithm with base a.a. Again, let y=logax.y=logax. Then,
Theorem 2.21
Derivatives of General Logarithm Functions
Let a>0.a>0. Then,
Example 2.40
Calculating Derivatives of General Exponential and Logarithm Functions
Evaluate the following derivatives:
ddt(4t·2t2)ddt(4t·2t2)
ddxlog8(7x2+4)ddxlog8(7x2+4)
Solution
We need to apply the chain rule as necessary.
ddt(4t·2t2)=ddt(22t·2t2)=ddt(22t+t2)=22t+t2ln(2)(2+2t)ddt(4t·2t2)=ddt(22t·2t2)=ddt(22t+t2)=22t+t2ln(2)(2+2t)
ddxlog8(7x2+4)=1(7x2+4)(ln8)(14x)ddxlog8(7x2+4)=1(7x2+4)(ln8)(14x)
Checkpoint 2.40
Evaluate the following derivatives:
ddt4t4ddt4t4
ddxlog3(x2+1)ddxlog3(x2+1)
Example 2.41
Integrating General Exponential Functions
Evaluate the following integral: ∫323xdx.∫323xdx.
Solution
Use u-substitutionu-substitution and let u=−3x.u=−3x. Then du=−3dxdu=−3dx and we have
Checkpoint 2.41
Evaluate the following integral: ∫x22x3dx.∫x22x3dx.
For the following exercises, find the derivative dydx.dydx.
y = ln ( 2 x ) y = ln ( 2 x )
y = ln ( 2 x + 1 ) y = ln ( 2 x + 1 )
y = 1 ln x y = 1 ln x
For the following exercises, find the indefinite integral.
∫ d t 3 t ∫ d t 3 t
∫ d x 1 + x ∫ d x 1 + x
For the following exercises, find the derivative dy/dx.dy/dx. (You can use a calculator to plot the function and the derivative to confirm that it is correct.)
[T] y=ln(x)xy=ln(x)x
[T] y=xln(x)y=xln(x)
[T] y=log10xy=log10x
[T] y=ln(sinx)y=ln(sinx)
[T] y=ln(lnx)y=ln(lnx)
[T] y=7ln(4x)y=7ln(4x)
[T] y=ln((4x)7)y=ln((4x)7)
[T] y=ln(tanx)y=ln(tanx)
[T] y=ln(tan(3x))y=ln(tan(3x))
[T] y=ln(cos2x)y=ln(cos2x)
For the following exercises, find the definite or indefinite integral.
∫ 0 1 d x 3 + x ∫ 0 1 d x 3 + x
∫ 0 1 d t 3 + 2 t ∫ 0 1 d t 3 + 2 t
∫ 0 2 x d x x 2 + 1 ∫ 0 2 x d x x 2 + 1
∫ 0 2 x 3 d x x 2 + 1 ∫ 0 2 x 3 d x x 2 + 1
∫ 2 e d x x ln x ∫ 2 e d x x ln x
∫ 2 e d x x ( ln x ) 2 ∫ 2 e d x x ( ln x ) 2
∫ cos x d x sin x ∫ cos x d x sin x
∫ 0 π / 4 tan x d x ∫ 0 π / 4 tan x d x
∫ cot ( 3 x ) d x ∫ cot ( 3 x ) d x
∫ ( ln x ) 2 d x x ∫ ( ln x ) 2 d x x
For the following exercises, compute dy/dxdy/dx by differentiating lny.lny.
y = x 2 + 1 y = x 2 + 1
y = x 2 + 1 x 2 − 1 y = x 2 + 1 x 2 − 1
y = e sin x y = e sin x
y = x −1 / x y = x −1 / x
y = e ( e x ) y = e ( e x )
y = x e y = x e
y = x ( e x ) y = x ( e x )
y = x x 3 x 6 y = x x 3 x 6
y = x −1 / ln x y = x −1 / ln x
y = e − ln x y = e − ln x
For the following exercises, evaluate by any method.
∫ 5 10 d t t − ∫ 5 x 10 x d t t ∫ 5 10 d t t − ∫ 5 x 10 x d t t
∫ 1 e π d x x + ∫ −2 −1 d x x ∫ 1 e π d x x + ∫ −2 −1 d x x
d d x ∫ x 1 d t t d d x ∫ x 1 d t t
d d x ∫ x x 2 d t t d d x ∫ x x 2 d t t
d d x ln ( sec x + tan x ) d d x ln ( sec x + tan x )
For the following exercises, use the function lnx.lnx. If you are unable to find intersection points analytically, use a calculator.
Find the area of the region enclosed by x=1x=1 and y=5y=5 above y=lnx.y=lnx.
[T] Find the arc length of lnxlnx from x=1x=1 to x=2.x=2.
Find the area between lnxlnx and the x-axis from x=1tox=2.x=1tox=2.
Find the volume of the shape created when rotating this curve from x=1tox=2x=1tox=2 around the x-axis, as pictured here.
[T] Find the surface area of the shape created when rotating the curve in the previous exercise from x=1x=1 to x=2x=2 around the x-axis.
If you are unable to find intersection points analytically in the following exercises, use a calculator.
Find the area of the hyperbolic quarter-circle enclosed by x=2andy=2x=2andy=2 above y=1/x.y=1/x.
[T] Find the arc length of y=1/xy=1/x from x=1tox=4.x=1tox=4.
Find the area under y=1/xy=1/x and above the x-axis from x=1tox=4.x=1tox=4.
For the following exercises, verify the derivatives and antiderivatives.
d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2
d d x ln ( x − a x + a ) = 2 a ( x 2 − a 2 ) d d x ln ( x − a x + a ) = 2 a ( x 2 − a 2 )
d d x ln ( 1 + 1 − x 2 x ) = − 1 x 1 − x 2 d d x ln ( 1 + 1 − x 2 x ) = − 1 x 1 − x 2
d d x ln ( x + x 2 − a 2 ) = 1 x 2 − a 2 d d x ln ( x + x 2 − a 2 ) = 1 x 2 − a 2
∫ d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C ∫ d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C