ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.8.1 ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਵਿਆਜ ਸਮੇਤ, ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2.8.2 ਦੁੱਗਣੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
2.8.3 ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਕਸ਼ਯ ਅਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਸਮੇਤ, ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਕਸ਼ਯ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2.8.4 ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਕਸ਼ਯ ਮਾਡਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਕਸ਼ਯ ਕਈ ਕੁਦਰਤੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਵਿਆਜ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਕਸ਼ਯ ਅਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਤੱਕ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਸਰਬ-ਵਿਆਪਕ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਕਸ਼ਯ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਮਾਡਲ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ y=y0ekt,y=y0ekt ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ y0y0 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ kk ਇੱਕ ਧਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਵਾਧਾ ਅੰਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਹ ਹੈ, ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਮੌਜੂਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਹੈ। ਇਹ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੀ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 2.27 ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ।
ਨਿਯਮ: ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਮਾਡਲ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ
ਜਿੱਥੇ y0y0 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ k>0k>0 ਇੱਕ ਅੰਕ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਵਾਧਾ ਅੰਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧਾ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਜਨਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਸੰਭਵ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਹੋਵੇਗੀ। ਆਖ਼ਰਕਾਰ, ਜਿੰਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਪ੍ਰਜਨਨ ਕਰਨ ਲਈ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.79 ਅਤੇ ਸਾਰਣੀ 2.1, 200200 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਨਸੰਖਿਆ ਅਤੇ 0.02.0.02 ਦੇ ਵਾਧਾ ਅੰਕ ਨਾਲ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ 22 ਘੰਟੇ (120(120 ਮਿੰਟ) ਬਾਅਦ, ਜਨਸੰਖਿਆ ਆਪਣੇ ਅਸਲੀ ਆਕਾਰ ਦਾ 1010 ਗੁਣਾ ਹੈ!
ਚਿੱਤਰ 2.79: ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਲਈ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ।
ਸਤਰ: ਸਮਾਂ (ਮਿੰਟ) | ਜਨਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਕਾਰ (ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਸੰਖਿਆ)
ਸਤਰ: 1010 | 244244
ਸਤਰ: 2020 | 298298
ਸਤਰ: 3030 | 364364
ਸਤਰ: 4040 | 445445
ਸਤਰ: 5050 | 544544
ਸਤਰ: 6060 | 664664
ਸਤਰ: 7070 | 811811
ਸਤਰ: 8080 | 991991
ਸਤਰ: 9090 | 12101210
1. ਕਤਾਰ: 100100 | 14781478
2. ਕਤਾਰ: 110110 | 18051805
3. ਕਤਾਰ: 120120 | 22052205
4. ਇਹ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ, ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਮਾਡਲ ਗੈਰ-ਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਉਸ ਵਰਤਾਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਮਾਡਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 2.42
6. ਆਬਾਦੀ ਵਾਧਾ
7. ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤੀ ਗਈ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਆਬਾਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t)=200e0.02t,f(t)=200e0.02t ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਨੂੰ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 55 ਘੰਟਿਆਂ (300(300 ਮਿੰਟ) ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਮੌਜੂਦ ਹਨ? ਆਬਾਦੀ ਕਦੋਂ 100,000100,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
8. ਹੱਲ
9. ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(t)=200e0.02t.f(t)=200e0.02t ਹੈ। ਫਿਰ
10. 55 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ 80,68680,686 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹਨ।
11. ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਕਦੋਂ 100,000100,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
12. ਆਬਾਦੀ 310.73310.73 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 100,000100,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
13. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.42
14. ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t)=500e0.05t,f(t)=500e0.05t ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ tt ਨੂੰ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 4 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਮੌਜੂਦ ਹਨ? ਆਬਾਦੀ ਕਦੋਂ 100100 ਮਿਲੀਅਨ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
15. ਆਓ ਹੁਣ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਇੱਕ ਵਿੱਤੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਵੱਲ ਮੋੜੀਏ: ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ। ਜੋ ਵਿਆਜ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਉਸਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਵਿਆਜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਧਾਰਨ ਵਿਆਜ ਇੱਕ ਵਾਰ ਭੁਗਤਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਸਮਾਂ ਮਿਆਦ (ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ 11 ਸਾਲ) ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 2%2% ਸਾਲਾਨਾ ਸਧਾਰਨ ਵਿਆਜ ਕਮਾਉਣ ਵਾਲੇ ਬੱਚਤ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $1000$1000 ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
16. ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਕਈ ਵਾਰ ਭੁਗਤਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਮਿਆਦ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਬੈਂਕ ਹਰ 66 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਵਿਆਜ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ 66 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਆਜ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਾਲ ਦੇ ਦੂਜੇ ਅੱਧ ਦੌਰਾਨ, ਖਾਤਾ ਨਾ ਸਿਰਫ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ $1000,$1000 'ਤੇ, ਬਲਕਿ ਪਹਿਲੇ ਅੱਧੇ ਸਾਲ ਦੌਰਾਨ ਕਮਾਏ ਗਏ ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਵੀ ਵਿਆਜ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਹਿਣ ਲਈ, ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
17. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਹਰ 44 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
18. ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਰੋਜ਼ਾਨਾ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ 365(365 ਵਾਰ) ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ $1020.20.$1020.20 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੋਵੇ, tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
19. ਆਓ ਹੁਣ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੇਰਫੇਰ ਕਰੀਏ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸੰਖਿਆ ee ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
20. ਇਸ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ (1+1/m).(1+1/m) ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ n=0.02m.n=0.02m. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ n→∞,n→∞, m→∞m→∞ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
21. ਅਸੀਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ e.e. ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਸਾਡੇ ਬੈਂਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਬਕਾਇਆ 1000e0.02t.1000e0.02t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $P$P ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਕਾਇਆ ਵਾਲਾ ਬੈਂਕ ਖਾਤਾ r%r% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਿਆਜ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਦਾ ਬਕਾਇਆ ਹੈ
22. ਉਦਾਹਰਨ 2.43
23. ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ
24. ਇੱਕ 25 ਸਾਲਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਪੈਸਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਮੌਕਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ 5%5% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ 65 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਰਿਟਾਇਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਉਸ ਕੋਲ $1$1 ਮਿਲੀਅਨ ਹੋਣ ਲਈ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਅੱਜ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਉਹ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ 6%6% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਮਾ ਸਕਦੀ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ
ਉਸਨੂੰ 5% ਵਿਆਜ ਦਰ 'ਤੇ $135,335.28$ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਜੇ, ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਉਹ 6% ਕਮਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਉਸਨੂੰ ਸਿਰਫ $90,717.95$ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ 5% 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਰਕਮ ਦਾ ਲਗਭਗ ਦੋ-ਤਿਹਾਈ ਹੈ। ਇਹ ਤੱਥ ਕਿ ਵਿਆਜ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿਆਜ ਦਰ ਵਿੱਚ 1% ਵਾਧੇ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਵਧਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.43
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 25 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਵਿਦਿਆਰਥੀ 35 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਤੱਕ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ 5% 'ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ? 6% 'ਤੇ?
ਜੇ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਸਮਾਂ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ 100 ਤੋਂ 200 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਜਿੰਨਾ 10,000 ਤੋਂ 20,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮਾਤਰਾ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਆਕਾਰ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਉਹ ਸਮਾਂ ਹੈ ਜੋ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 2.44
ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਵਰਤਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਤਲਾਅ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ 500 ਮੱਛੀਆਂ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। 6 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ, ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ 1000 ਮੱਛੀਆਂ ਹਨ। ਮਾਲਕ ਆਪਣੇ ਦੋਸਤਾਂ ਅਤੇ ਗੁਆਂਢੀਆਂ ਨੂੰ ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 10,000 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮੱਛੀ ਫੜਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦੇਵੇਗਾ। ਮਾਲਕ ਦੇ ਦੋਸਤ ਕਦੋਂ ਮੱਛੀ ਫੜਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਗੇ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ 6 ਮਹੀਨੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇ t ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੁੱਗਣੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 6 = (ln2)/k ਹੈ। ਫਿਰ, k = (ln2)/6 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਬਾਦੀ y = 500e^((ln2)/6)t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ 10,000 ਮੱਛੀਆਂ ਤੱਕ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
ਮਾਲਕ ਦੇ ਦੋਸਤਾਂ ਨੂੰ ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ ਮੱਛੀ ਫੜਨ ਲਈ 25.93 ਮਹੀਨੇ (2 ਸਾਲ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਧ) ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.44
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 2.44 ਵਿੱਚ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ 1000 ਮੱਛੀਆਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ 9 ਮਹੀਨੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਾਲਕ ਦੇ ਦੋਸਤਾਂ ਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਚਿਰ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਕਮੀ ਮਾਡਲ
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਬਾਦੀਆਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬਿਮਾਰੀ ਤੋਂ) ਜਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਟੁੱਟਣ ਵਾਲੇ ਰਸਾਇਣਕ ਮਿਸ਼ਰਣਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਜਿਹੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵਾਧੇ ਦੀ ਬਜਾਏ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਕਮੀ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਮਾਡਲ ਲਗਭਗ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੁਝ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ k ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y = y₀e⁻ᵏᵗ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵਾਧੇ ਵਾਂਗ, ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਕਮੀ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਨਿਯਮ: ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਕਮੀ ਮਾਡਲ
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਕਮੀ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਮਾਡਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ
ਜਿੱਥੇ y₀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ k > 0 ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਮੀ ਸਥਿਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
The following figure shows a graph of a representative exponential decay function.
Figure 2.80: An example of exponential decay.
Let’s look at a physical application of exponential decay. Newton’s law of cooling says that an object cools at a rate proportional to the difference between the temperature of the object and the temperature of the surroundings. In other words, if TT represents the temperature of the object and TaTa represents the ambient temperature in a room, then
Note that this is not quite the right model for exponential decay. We want the derivative to be proportional to the function, and this expression has the additional TaTa term. Fortunately, we can make a change of variables that resolves this issue. Let y(t)=T(t)−Ta.y(t)=T(t)−Ta. Then y′(t)=T′(t)−0=T′(t),y′(t)=T′(t)−0=T′(t), and our equation becomes
From our previous work, we know this relationship between y and its derivative leads to exponential decay. Thus,
and we see that
where T0T0 represents the initial temperature. Let’s apply this formula in the following example.
Example 2.45
Newton’s Law of Cooling
According to experienced baristas, the optimal temperature to serve coffee is between 155°F155°F and 175°F.175°F. Suppose coffee is poured at a temperature of 200°F,200°F, and after 22 minutes in a 70°F70°F room it has cooled to 180°F.180°F. When is the coffee first cool enough to serve? When is the coffee too cold to serve? Round answers to the nearest half minute.
Solution
We have
Then, the model is
The coffee reaches 175°F175°F when
The coffee can be served about 2.52.5 minutes after it is poured. The coffee reaches 155°F155°F at
The coffee is too cold to be served about 55 minutes after it is poured.
Checkpoint 2.45
Suppose the room is warmer (75°F)(75°F) and, after 22 minutes, the coffee has cooled only to 185°F.185°F. When is the coffee first cool enough to serve? When is the coffee be too cold to serve? Round answers to the nearest half minute.
Just as systems exhibiting exponential growth have a constant doubling time, systems exhibiting exponential decay have a constant half-life. To calculate the half-life, we want to know when the quantity reaches half its original size. Therefore, we have
Note: This is the same expression we came up with for doubling time.
Definition
If a quantity decays exponentially, the half-life is the amount of time it takes the quantity to be reduced by half. It is given by
Example 2.46
Radiocarbon Dating
ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਲਈ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਘਟਣ ਵਾਲੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਅਤੇ ਲਗਾਤਾਰ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ (ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਕਣਾਂ ਦਾ ਨਿਕਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ)। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਬਨ ਮੌਜੂਦ ਸੀ ਅਤੇ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਬਨ ਬਾਕੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਮਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਲਗਭਗ 5730 ਸਾਲ ਹੈ—ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇੰਨੇ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਅੱਧੀ ਸਮੱਗਰੀ ਅਸਲ ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਤੋਂ ਨਵੇਂ ਗੈਰ-ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਨਾਈਟ੍ਰੋਜਨ-14 (Nitrogen-14) ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਗਈ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅੱਜ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਹੈ, ਤਾਂ 50 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨਾ ਬਾਕੀ ਰਹੇਗਾ? ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ ਸੀ ਅਤੇ ਹੁਣ 10 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਿੰਨੀ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸੌ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਮਾਡਲ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ
50 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, 50 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, 99.40 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਦੀ ਉਮਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ
ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਲਗਭਗ 19,000 ਸਾਲ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.46
ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਹੈ, ਤਾਂ 500 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨਾ ਬਾਕੀ ਰਹੇਗਾ? ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ ਸੀ ਅਤੇ ਹੁਣ 20 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਿੰਨੀ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸੌ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠ? ਜੇ ਸੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਬਤ ਕਰੋ। ਜੇ ਝੂਠ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੱਚਾ ਜਵਾਬ ਲੱਭੋ।
y=c^t (y=c^t) ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ (ln(2))/(ln(c)) ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ $500 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ 3% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ 2.5% ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਆਜ ਦਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪੈਸਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ 100°C (100°C) ਦੀ ਚਾਹ ਦਾ ਇੱਕ ਬਰਤਨ ਕਮਰੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ (25°C) (25°C) 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਬਰਤਨ ਫਰਿੱਜ (5°C) (5°C) ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਜਿੱਥੇ k=0.02 (k=0.02), ਤਾਂ ਫਰਿੱਜ ਵਿੱਚ ਚਾਹ ਕਮਰੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੀ ਚਾਹ ਨਾਲੋਂ 55 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪੀਣ ਯੋਗ ਤਾਪਮਾਨ (70°C) (70°C) ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ t ਸਾਲ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ y=e^kt (y=e^kt) ਲਈ ਸਥਿਰ k ਦੀ ਗਣਨਾ k=ln(1/2)/t (k=ln(1/2)/t) ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, y=y0ekt (y=y0ekt) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਕਲਚਰ 3 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ 10 ਗੁਣਾ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਘੰਟੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ?
ਜੇਕਰ ਬੈਕਟੀਰੀਆ 10 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 10 ਗੁਣਾ ਵੱਧ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ 100 ਗੁਣਾ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਘੰਟੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ?
ਇੱਕ ਖੋਪੜੀ ਕਿੰਨੀ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਧੁਨਿਕ ਖੋਪੜੀ ਨਾਲੋਂ ਪੰਜਵਾਂ ਹਿੱਸਾ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਹੈ? ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 5730 ਸਾਲ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਵਸ਼ੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਵੇਂ ਪਦਾਰਥ ਨਾਲੋਂ 90% ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਹ ਮਸੀਹ ਦੇ ਸਮੇਂ (ਲਗਭਗ 2000 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ) ਤੋਂ ਆ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 5730 ਸਾਲ ਹੈ।
ਕਾਹਿਰਾ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 2020 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ 5.5 ਮਿਲੀਅਨ ਤੋਂ 10 ਮਿਲੀਅਨ ਤੱਕ ਵਧ ਗਈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਆਬਾਦੀ 8 ਮਿਲੀਅਨ ਕਦੋਂ ਸੀ।
ਨਿਊਯਾਰਕ ਅਤੇ ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1% ਅਤੇ 1.4% ਸਾਲਾਨਾ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ। 8.8 ਮਿਲੀਅਨ (ਨਿਊਯਾਰਕ) ਅਤੇ 6.6 ਮਿਲੀਅਨ (ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਆਬਾਦੀ ਕਦੋਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗੀ? ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਪੂਰੀ ਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਜਾਪਾਨੀ ਯੇਨ ਵਿੱਚ $1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 2% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। $1=¥250 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, $1=¥1 ਕਦੋਂ ਹੋਵੇਗਾ?
ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜੇ 3 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ 40% ਆਬਾਦੀ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਸਮੇਂ ਬਾਅਦ 20% ਇਸਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣਗੇ?
If y=1000y=1000 at t=3t=3 and y=3000y=3000 at t=4,t=4, what was y0y0 at t=0?t=0?
If y=100y=100 at t=4t=4 and y=10y=10 at t=8,t=8, when does y=1?y=1?
If a bank offers annual interest of 7.5%7.5% or continuous interest of 7.25%,7.25%, which has a better annual yield?
What continuous interest rate has the same yield as an annual rate of 9%?9%?
If you deposit $5000$5000 at 8%8% annual interest, how many years can you withdraw $500$500 (starting after the first year) without running out of money?
You are trying to save $50,000$50,000 in 2020 years for college tuition for your child. If interest is a continuous 10%,10%, how much do you need to invest initially?
You are cooling a turkey that was taken out of the oven with an internal temperature of 165°F.165°F. After 1010 minutes of resting the turkey in a 70°F70°F apartment, the temperature has reached 155°F.155°F. What is the temperature of the turkey 2020 minutes after taking it out of the oven?
You are trying to thaw some vegetables that are at a temperature of 1°F.1°F. To thaw vegetables safely, you must put them in the refrigerator, which has an ambient temperature of 44°F.44°F. You check on your vegetables 22 hours after putting them in the refrigerator to find that they are now 12°F.12°F. Plot the resulting temperature curve and use it to determine when the vegetables reach 33°F.33°F.
You are an archaeologist and are given a bone that is claimed to be from a Tyrannosaurus Rex. You know these dinosaurs lived during the Cretaceous Era (146(146 million years to 6565 million years ago), and you find by radiocarbon dating that there is 0.000001%0.000001% the amount of radiocarbon. Is this bone from the Cretaceous?
The spent fuel of a nuclear reactor contains plutonium-239, which has a half-life of 24,00024,000 years. If 11 barrel containing 10kg10kg of plutonium-239 is sealed, how many years must pass until only 10g10g of plutonium-239 is left?
For the next set of exercises, use the following table, which features the world population by decade.
row: Years since 1950 | Population (millions)
row: 00 | 2,5562,556
row: 1010 | 3,0393,039
row: 2020 | 3,7063,706
row: 3030 | 4,4534,453
row: 4040 | 5,2795,279
row: 5050 | 6,0836,083
row: 6060 | 6,8496,849
: Source: http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.
[T] The best-fit exponential curve to the data of the form P(t)=aebtP(t)=aebt is given by P(t)=2686e0.01604t.P(t)=2686e0.01604t. Use a graphing calculator to graph the data and the exponential curve together.
[T] Find and graph the derivative y′y′ of your equation. Where is it increasing and what is the meaning of this increase?
[T] Find and graph the second derivative of your equation. Where is it increasing and what is the meaning of this increase?
[T] Find the predicted date when the population reaches 1010 billion. Using your previous answers about the first and second derivatives, explain why exponential growth is unsuccessful in predicting the future.
For the next set of exercises, use the following table, which shows the population of San Francisco during the 19th century.
row: Years since 1850 | Population (thousands)
row: 00 | 21.0021.00
row: 1010 | 56.8056.80
row: 2020 | 149.5149.5
row: 3030 | 234.0234.0
: Source: http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.
[T] The best-fit exponential curve to the data of the form P(t)=aebtP(t)=aebt is given by P(t)=35.26e0.06407t.P(t)=35.26e0.06407t. Use a graphing calculator to graph the data and the exponential curve together.
[T] Find and graph the derivative y′y′ of your equation. Where is it increasing? What is the meaning of this increase? Is there a value where the increase is maximal?
[T] Find and graph the second derivative of your equation. Where is it increasing? What is the meaning of this increase?