Learning Objectives
2.9.1 Apply the formulas for derivatives and integrals of the hyperbolic functions.
2.9.2 Apply the formulas for the derivatives of the inverse hyperbolic functions and their associated integrals.
2.9.3 Describe the common applied conditions of a catenary curve.
We were introduced to hyperbolic functions in Introduction to Functions and Graphs, along with some of their basic properties. In this section, we look at differentiation and integration formulas for the hyperbolic functions and their inverses.
Derivatives and Integrals of the Hyperbolic Functions
Recall that the hyperbolic sine and hyperbolic cosine are defined as
The other hyperbolic functions are then defined in terms of sinhxsinhx and coshx.coshx. The graphs of the hyperbolic functions are shown in the following figure.
Figure 2.81: Graphs of the hyperbolic functions.
It is easy to develop differentiation formulas for the hyperbolic functions. For example, looking at sinhxsinhx we have
Similarly, (d/dx)coshx=sinhx.(d/dx)coshx=sinhx. We summarize the differentiation formulas for the hyperbolic functions in the following table.
row: f(x)f(x) | ddxf(x)ddxf(x)
row: sinhxsinhx | coshxcoshx
row: coshxcoshx | sinhxsinhx
row: tanhxtanhx | sech2xsech2x
row: cothxcothx | −csch2x−csch2x
row: sechxsechx | −sechxtanhx−sechxtanhx
row: cschxcschx | −cschxcothx−cschxcothx
Let’s take a moment to compare the derivatives of the hyperbolic functions with the derivatives of the standard trigonometric functions. There are a lot of similarities, but differences as well. For example, the derivatives of the sine functions match: (d/dx)sinx=cosx(d/dx)sinx=cosx and (d/dx)sinhx=coshx.(d/dx)sinhx=coshx. The derivatives of the cosine functions, however, differ in sign: (d/dx)cosx=−sinx,(d/dx)cosx=−sinx, but (d/dx)coshx=sinhx.(d/dx)coshx=sinhx. As we continue our examination of the hyperbolic functions, we must be mindful of their similarities and differences to the standard trigonometric functions.
These differentiation formulas for the hyperbolic functions lead directly to the following integral formulas.
Example 2.47
Differentiating Hyperbolic Functions
Evaluate the following derivatives:
ddx(sinh(x2))ddx(sinh(x2))
ddx(coshx)2ddx(coshx)2
Solution
Using the formulas in Table 2.2 and the chain rule, we get
ddx(sinh(x2))=cosh(x2)·2xddx(sinh(x2))=cosh(x2)·2x
ddx(coshx)2=2coshxsinhxddx(coshx)2=2coshxsinhx
Checkpoint 2.47
Evaluate the following derivatives:
ddx(tanh(x2+3x))ddx(tanh(x2+3x))
ddx(1(sinhx)2)ddx(1(sinhx)2)
Example 2.48
Integrals Involving Hyperbolic Functions
Evaluate the following integrals:
∫xcosh(x2)dx∫xcosh(x2)dx
∫tanhxdx∫tanhxdx
Solution
We can use u-substitution in both cases.
Let u=x2.u=x2. Then, du=2xdxdu=2xdx and ∫xcosh(x2)dx=∫12coshudu=12sinhu+C=12sinh(x2)+C.∫xcosh(x2)dx=∫12coshudu=12sinhu+C=12sinh(x2)+C.
Let u=coshx.u=coshx. Then, du=sinhxdxdu=sinhxdx and ∫tanhxdx=∫sinhxcoshxdx=∫1udu=ln|u|+C=ln|coshx|+C.∫tanhxdx=∫sinhxcoshxdx=∫1udu=ln|u|+C=ln|coshx|+C. Note that coshx>0coshx>0 for all x,x, so we can eliminate the absolute value signs and obtain ∫tanhxdx=ln(coshx)+C.∫tanhxdx=ln(coshx)+C.
Checkpoint 2.48
Evaluate the following integrals:
∫sinh3xcoshxdx∫sinh3xcoshxdx
∫sech2(3x)dx∫sech2(3x)dx
Calculus of Inverse Hyperbolic Functions
Looking at the graphs of the hyperbolic functions, we see that with appropriate range restrictions, they all have inverses. Most of the necessary range restrictions can be discerned by close examination of the graphs. The domains and ranges of the inverse hyperbolic functions are summarized in the following table.
row: Function | Domain | Range
row: sinh−1xsinh−1x | (−∞,∞)(−∞,∞) | (−∞,∞)(−∞,∞)
row: cosh−1xcosh−1x | [1,∞)[1,∞) | [0,∞)[0,∞)
row: tanh−1xtanh−1x | (−1,1)(−1,1) | (−∞,∞)(−∞,∞)
row: coth−1xcoth−1x | (−∞,−1)∪(1,∞)(−∞,−1)∪(1,∞) | (−∞,0)∪(0,∞)(−∞,0)∪(0,∞)
row: sech−1xsech−1x | (0, 1](0, 1] | [0,∞)[0,∞)
row: csch−1xcsch−1x | (−∞,0)∪(0,∞)(−∞,0)∪(0,∞) | (−∞,0)∪(0,∞)(−∞,0)∪(0,∞)
The graphs of the inverse hyperbolic functions are shown in the following figure.
Figure 2.82: Graphs of the inverse hyperbolic functions.
To find the derivatives of the inverse functions, we use implicit differentiation. We have
Recall that cosh2y−sinh2y=1,cosh2y−sinh2y=1, so coshy=1+sinh2y.coshy=1+sinh2y. Then,
We can derive differentiation formulas for the other inverse hyperbolic functions in a similar fashion. These differentiation formulas are summarized in the following table.
row: f(x)f(x) | ddxf(x)ddxf(x)
row: sinh−1xsinh−1x | 11+x211+x2
row: cosh−1xcosh−1x | 1x2−11x2−1
row: tanh−1xtanh−1x | 11−x211−x2
row: coth−1xcoth−1x | 11−x211−x2
row: sech−1xsech−1x | −1x1−x2−1x1−x2
row: csch−1xcsch−1x | −1|x|1+x2−1|x|1+x2
Note that the derivatives of tanh−1xtanh−1x and coth−1xcoth−1x are the same. Thus, when we integrate 1/(1−x2),1/(1−x2), we need to select the proper antiderivative based on the domain of the functions and the values of x.x. Integration formulas involving the inverse hyperbolic functions are summarized as follows.
Example 2.49
Differentiating Inverse Hyperbolic Functions
Evaluate the following derivatives:
ddx(sinh−1(x3))ddx(sinh−1(x3))
ddx(tanh−1x)2ddx(tanh−1x)2
Solution
Using the formulas in Table 2.4 and the chain rule, we obtain the following results:
ddx(sinh−1(x3))=131+x29=19+x2ddx(sinh−1(x3))=131+x29=19+x2
ddx(tanh−1x)2=2(tanh−1x)1−x2ddx(tanh−1x)2=2(tanh−1x)1−x2
Checkpoint 2.49
Evaluate the following derivatives:
ddx(cosh−1(3x))ddx(cosh−1(3x))
ddx(coth−1x)3ddx(coth−1x)3
Example 2.50
Integrals Involving Inverse Hyperbolic Functions
Evaluate the following integrals:
∫14x2−1dx∫14x2−1dx
∫12x1−9x2dx∫12x1−9x2dx
Solution
We can use u-substitutionu-substitution in both cases.
Let u=2x.u=2x. Then, du=2dxdu=2dx and we have ∫14x2−1dx=∫12u2−1du=12cosh−1u+C=12cosh−1(2x)+C.∫14x2−1dx=∫12u2−1du=12cosh−1u+C=12cosh−1(2x)+C.
Let u=3x.u=3x. Then, du=3dxdu=3dx and we obtain ∫12x1−9x2dx=12∫1u1−u2du=−12sech−1|u|+C=−12sech−1|3x|+C.∫12x1−9x2dx=12∫1u1−u2du=−12sech−1|u|+C=−12sech−1|3x|+C.
Checkpoint 2.50
Evaluate the following integrals:
∫1x2−4dx,x>2∫1x2−4dx,x>2
∫11−e2xdx∫11−e2xdx
Applications
One physical application of hyperbolic functions involves hanging cables. If a cable of uniform density is suspended between two supports without any load other than its own weight, the cable forms a curve called a catenary. High-voltage power lines, chains hanging between two posts, and strands of a spider’s web all form catenaries. The following figure shows chains hanging from a row of posts.
Figure 2.83: Chains between these posts take the shape of a catenary. (credit: modification of work by OKFoundryCompany, Flickr)
Hyperbolic functions can be used to model catenaries. Specifically, functions of the form y=acosh(x/a)y=acosh(x/a) are catenaries. Figure 2.84 shows the graph of y=2cosh(x/2).y=2cosh(x/2).
Figure 2.84: A hyperbolic cosine function forms the shape of a catenary.
Example 2.51
Using a Catenary to Find the Length of a Cable
Assume a hanging cable has the shape 10cosh(x/10)10cosh(x/10) for −15≤x≤15,−15≤x≤15, where xx is measured in feet. Determine the length of the cable (in feet).
Solution
Recall from Section 2.42.4 that the formula for arc length is
We have f(x)=10cosh(x/10),f(x)=10cosh(x/10), so f′(x)=sinh(x/10).f′(x)=sinh(x/10). Then
Now recall that 1+sinh2x=cosh2x,1+sinh2x=cosh2x, so we have
Checkpoint 2.51
Assume a hanging cable has the shape 15cosh(x/15)15cosh(x/15) for −20≤x≤20.−20≤x≤20. Determine the length of the cable (in feet).
[T] Find expressions for coshx+sinhxcoshx+sinhx and coshx−sinhx.coshx−sinhx. Use a calculator to graph these functions and ensure your expression is correct.
From the definitions of cosh(x)cosh(x) and sinh(x),sinh(x), find their antiderivatives.
Show that cosh(x)cosh(x) and sinh(x)sinh(x) satisfy y″=y.y″=y.
Use the quotient rule to verify that tanh(x)′=sech2(x).tanh(x)′=sech2(x).
Derive cosh2(x)+sinh2(x)=cosh(2x)cosh2(x)+sinh2(x)=cosh(2x) from the definition.
Take the derivative of the previous expression to find an expression for sinh(2x).sinh(2x).
Prove sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y) by changing the expression to exponentials.
Take the derivative of the previous expression to find an expression for cosh(x+y).cosh(x+y).
For the following exercises, find the derivatives of the given functions and graph along with the function to ensure your answer is correct.
[T] cosh(3x+1)cosh(3x+1)
[T] sinh(x2)sinh(x2)
[T] 1cosh(x)1cosh(x)
ਸਿੰਘ(ਲੌਗ(x))ਸਿੰਘ(ਲੌਗ(x))
ਕੋਸ਼(x)^2 + ਸਿੰਘ(x)^2 ਕੋਸ਼(x)^2 + ਸਿੰਘ(x)^2
ਕੋਸ਼(x)^2 - ਸਿੰਘ(x)^2 ਕੋਸ਼(x)^2 - ਸਿੰਘ(x)^2
ਟੈਨਹ(x^2+1)ਟੈਨਹ(x^2+1)
1+ਟੈਨਹ(x) / 1−ਟੈਨਹ(x) 1+ਟੈਨਹ(x) / 1−ਟੈਨਹ(x)
ਸਿੰਘ(x)^6 ਸਿੰਘ(x)^6
ਲੌਗ(ਸੈਕਹ(x)+ਟੈਨਹ(x))ਲੌਗ(ਸੈਕਹ(x)+ਟੈਨਹ(x))
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿ-ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕੋਸ਼(2x+1)ਕੋਸ਼(2x+1)
ਟੈਨਹ(3x+2)ਟੈਨਹ(3x+2)
x ਕੋਸ਼(x^2) x ਕੋਸ਼(x^2)
3x^3 ਟੈਨਹ(x^4) 3x^3 ਟੈਨਹ(x^4)
ਕੋਸ਼^2(x) ਸਿੰਘ(x) ਕੋਸ਼^2(x) ਸਿੰਘ(x)
ਟੈਨਹ^2(x) ਸੈਕਹ^2(x) ਟੈਨਹ^2(x) ਸੈਕਹ^2(x)
ਸਿੰਘ(x) / (1 + ਕੋਸ਼(x)) ਸਿੰਘ(x) / (1 + ਕੋਸ਼(x))
ਕੋਥ(x)ਕੋਥ(x)
ਕੋਸ਼(x) + ਸਿੰਘ(x) ਕੋਸ਼(x) + ਸਿੰਘ(x)
(ਕੋਸ਼(x) + ਸਿੰਘ(x))^n (ਕੋਸ਼(x) + ਸਿੰਘ(x))^n
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਟੈਨਹ^-1(4x) ਟੈਨਹ^-1(4x)
ਸਿੰਘ^-1(x^2) ਸਿੰਘ^-1(x^2)
ਸਿੰਘ^-1(ਕੋਸ਼(x)) ਸਿੰਘ^-1(ਕੋਸ਼(x))
ਕੋਸ਼^-1(x^3) ਕੋਸ਼^-1(x^3)
ਟੈਨਹ^-1(ਕੋਸ(x)) ਟੈਨਹ^-1(ਕੋਸ(x))
e sinh⁻¹(x)
ln(tanh⁻¹(x))
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਪਤਾ ਕਰੋ।
∫ dx / (4 - x²)
∫ dx / (a² - x²)
∫ dx / (x² + 1)
∫ x dx / (x² + 1)
∫ -dx / (x √(1 - x²))
∫ eˣ dx / (e²ˣ - 1)
∫ -2x dx / (x⁴ - 1)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਘੇਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਘਟਣ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ, ਜਿਸਦੀ ਰਗੜ ਵੇਗ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, dv/dt = g - v² ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ v(t) = g tanh((g)t) ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
dv / (g - v²) = dt ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਕੇ v(t) ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
[T] 12 ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਡਿੱਗੀ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ, v(t) ਦੇ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਆਪਣਾ ਭਾਰ ਝੱਲਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੇਬਲ ਦਾ ਢਲਾਨ S = dy/dx ਹੈ ਜੋ dS/dx = c(1 + S²) ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। c ਸਥਿਰ ਕੇਬਲ ਘਣਤਾ ਦਾ ਤਣਾਅ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ S = sinh(cx) ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕੇਬਲ ਦੀ ਉਚਾਈ y(x) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ dy/dx = sinh(cx) ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ y(0) = 1/c ਹੈ।
ਕੇਬਲ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ x=0 'ਤੇ ਕਿੰਨੀ ਹੇਠਾਂ ਝੁਕਦੀ ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
[T] 22 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਦੋ ਖੰਭਿਆਂ ਤੋਂ ਲਟਕੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਚੇਨ ਇੱਕ ਕੈਟੇਨਰੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਣਨ y = 2cosh(x/2) - 1 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਖੱਬੇ ਤਾਰ ਦੇ ਖੰਭੇ 'ਤੇ ਕੈਟੇਨਰੀ ਦਾ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
[T] ਚਾਰ ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਦੋ ਖੰਭਿਆਂ ਤੋਂ ਲਟਕੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਚੇਨ ਇੱਕ ਕੈਟੇਨਰੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਣਨ y = 4cosh(x/4) - 3 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੈਟੇਨਰੀ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ (ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
[T] ਇੱਕ ਉੱਚ-ਵੋਲਟੇਜ ਪਾਵਰ ਲਾਈਨ ਇੱਕ ਕੈਟੇਨਰੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਣਨ y = 10cosh(x/10) ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੈਟੇਨਰੀ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਉਸਦੀ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?
ਇੱਕ ਟੈਲੀਫੋਨ ਲਾਈਨ ਇੱਕ ਕੈਟੇਨਰੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਣਨ y = acosh(x/a) ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੈਟੇਨਰੀ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਉਸਦੀ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਪਿਛਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਲਈ ਤੁਹਾਡੇ ਉੱਤਰ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ?
y = sinh⁻¹(x) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ x = sinh(y) ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਕੇ ਸਾਬਤ ਕਰੋ। (ਸੰਕੇਤ: ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।)
Prove the formula for the derivative of y=cosh−1(x)y=cosh−1(x) by differentiating x=cosh(y).x=cosh(y).
(Hint: Use hyperbolic trigonometric identities.)
Prove the formula for the derivative of y=sech−1(x)y=sech−1(x) by differentiating x=sech(y).x=sech(y). (Hint: Use hyperbolic trigonometric identities.)
Prove that (cosh(x)+sinh(x))n=cosh(nx)+sinh(nx).(cosh(x)+sinh(x))n=cosh(nx)+sinh(nx).
Prove the expression for sinh−1(x).sinh−1(x). Multiply x=sinh(y)=(1/2)(ey–e−y)x=sinh(y)=(1/2)(ey–e−y) by 2ey2ey and solve for y.y. Does your expression match the textbook?
Prove the expression for cosh−1(x).cosh−1(x). Multiply x=cosh(y)=(1/2)(ey+e−y)x=cosh(y)=(1/2)(ey+e−y) by 2ey2ey and solve for y.y. Does your expression match the textbook?