ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
3.1.1 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਕਦੋਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ (integration by parts) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
3.1.2 ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3.1.3 ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ (definite integrals) ਲਈ ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਤੱਕ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮੁੱਢਲੇ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕਾਫ਼ੀ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ u=x², u=x² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫xsin(x²)dx ∫xsin(x²)dx ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ∫xsinx dx ∫xsinx dx ਵਰਗਾ ਸਧਾਰਨ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਵੀ ਸਾਨੂੰ ਔਖਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੀ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਕੋਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ (product rule) ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਅਵਕਲਨ (differentiation) ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ 'ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਕਨੀਕ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਸੂਤਰ
ਜੇਕਰ, h(x)=f(x)g(x), h(x)=f(x)g(x), ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ h′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। h′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x)। ਭਾਵੇਂ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਉਲਟਾ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਆਓ ਹੁਣ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰੀਏ: ∫h′(x)dx=∫(g(x)f′(x)+f(x)g′(x))dx। ∫h′(x)dx=∫(g(x)f′(x)+f(x)g′(x))dx।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ∫f(x)g′(x)dx ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ∫f(x)g′(x)dx:
u=f(x) u=f(x) ਅਤੇ v=g(x) v=g(x) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ (substitutions) ਕਰਕੇ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ du=f′(x)dx du=f′(x)dx ਅਤੇ dv=g′(x)dx dv=g′(x)dx ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਧੇਰੇ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਹੈ
ਥਿਊਰਮ 3.1
ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ
ਮੰਨ ਲਓ u=f(x) u=f(x) ਅਤੇ v=g(x) v=g(x) ਲਗਾਤਾਰ ਅਵਕਲਜ (continuous derivatives) ਵਾਲੇ ਫਲਨ (functions) ਹਨ। ਫਿਰ, ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਸੂਤਰ ਹੈ:
ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਫਾਇਦਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ, ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਸਾਨ, ਸਮਾਕਲਨ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.1
ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
u=x u=x ਅਤੇ dv=sinxdx dv=sinxdx ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫xsinxdx ∫xsinxdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
u=x u=x ਚੁਣ ਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ du=1dx ਹੈ। du=1dx। ਕਿਉਂਕਿ dv=sinxdx, dv=sinxdx, ਸਾਨੂੰ v=∫sinxdx=−cosx ਮਿਲਦਾ ਹੈ। v=∫sinxdx=−cosx। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਟਰੈਕ ਰੱਖਣਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ:
ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਸ਼ਾਇਦ ਕੁਝ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਇਸ ਬਾਰੇ ਉਤਸੁਕ ਹੋਵੋਗੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ u=sinx u=sinx ਅਤੇ dv=x.dv=x ਚੁਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਕੀਤਾ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ du=cosxdx du=cosxdx ਅਤੇ v=12x² ਮਿਲਦਾ। v=12x²। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਨੂੰ ∫xsinxdx=12x²sinx−∫12x²cosxdx ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ∫xsinxdx=12x²sinx−∫12x²cosxdx। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਨਵੇਂ ਸਮਾਕਲਨ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਬਿਹਤਰ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਾਂ। ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਚੋਣ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ uu ਅਤੇ dvdv ਲਈ ਕਈ ਚੋਣਾਂ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਕੰਮ ਕਰੇ।
ਦੂਜਾ, ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਹੈਰਾਨ ਹੋਵੋਗੇ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ v=∫sinxdx=−cosx, v=∫sinxdx=−cosx ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ v=−cosx+K.v=−cosx+K ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ, ਅਸੀਂ v=−cosx+K:v=−cosx+K ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਇਸ ਨਾਲ ਅੰਤਿਮ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਆਪਣੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸਹੀ ਹੈ, −xcosx+sinx+C ਦਾ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਕੇ:
ਇਸ ਲਈ, ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਹੀ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਸ ਵੀਡੀਓ ਨੂੰ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਬਾਏ ਪਾਰਟਸ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲਈ ਇਸ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਜਾਓ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.1
u=x ਅਤੇ dv=e2xdx ਨਾਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ-ਬਾਏ-ਪਾਰਟਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫xe2xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪੁੱਛਣ ਵਾਲਾ ਕੁਦਰਤੀ ਸਵਾਲ ਇਹ ਹੈ: ਸਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ uu ਅਤੇ dv ਕਿਵੇਂ ਚੁਣਨਾ ਹੈ? ਕਈ ਵਾਰ ਇਹ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਅਤੇ ਤਰੁੱਟੀ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਹਾਲਾਂਕਿ, LIATE ਸੰਖੇਪ ਸ਼ਬਦ ਅਕਸਰ ਸਾਡੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖੇਪ ਸ਼ਬਦ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਯਾਦਦਾਸ਼ਤ uu ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ ਚੋਣ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਸਾਡੀ uu ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਚੋਣ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ uu ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ LIATE ਵਿੱਚ L, A ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3.1 ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (sinx) ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ (x) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ LIATE ਵਿੱਚ A, T ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ uu ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਚੁਣਿਆ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ uu ਚੁਣ ਲਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ dv ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ, dx ਦੇ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਯਾਦਦਾਸ਼ਤ ਕਿਉਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ? ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜੋ ਵੀ dv ਵਜੋਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਕੁਝ ਅਜਿਹਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਸਮਝਦਾਰੀ ਬਣਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ dv ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਚੁਣਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ uu ਲਈ ਚੋਣਾਂ ਵਜੋਂ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ mnemonic ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ LI ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। (ਅਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ IL ਨਾਲ ਵੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ-ਬਾਏ-ਪਾਰਟਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਇਕੱਠੇ ਨਹੀਂ ਆਉਣਗੇ।) ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਡੀ ਸੂਚੀ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਆਸਾਨ ਹਨ ਅਤੇ dv ਲਈ ਚੰਗੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ mnemonic ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ TE ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। (ਅਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ET ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਇਹ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਕੱਠੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਇਹ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਕਿਹੜਾ uu ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ dv ਹੈ।) ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਅਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹ mnemonic ਦੇ ਮੱਧ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.2
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਬਾਏ ਪਾਰਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
∫lnxx3dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ:
ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ x−3 ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ lnx ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, u=lnx ਚੁਣੋ, ਕਿਉਂਕਿ LIATE ਵਿੱਚ L, A ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। u=lnx ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਨੂੰ dv=x−3dx ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਕਿਉਂਕਿ u=lnx, ਸਾਡੇ ਕੋਲ du=1xdx ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, v=∫x−3dx=−12x−2। ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ,
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ-ਬਾਏ-ਪਾਰਟਸ ਫਾਰਮੂਲੇ (ਸਮੀਕਰਨ 3.1) ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.2
∫xlnxdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਗਲੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਬਾਏ ਪਾਰਟਸ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.3
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਬਾਏ ਪਾਰਟਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
∫x2e3xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
LIATE ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, u=x² ਅਤੇ dv=e³ˣdx ਚੁਣੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, du=2xdx ਅਤੇ v=∫e³ˣdx=(1/3)e³ˣ। ਇਸ ਲਈ,
ਸਮੀਕਰਨ 3.1 ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ∫2³xe³ˣdx ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਮਾਕਲਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਪਰ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿੱਚ ਹੁਣ x ਦੀ ਘੱਟ ਘਾਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਵੇਂ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾਰਟਸ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, u=x ਅਤੇ dv=2³e³ˣdx ਚੁਣੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, du=dx ਅਤੇ v=∫(2³)e³ˣdx=(2/9)e³ˣ। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਆਖਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾਉਣ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 3.4
ਪਾਰਟਸ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਜਦੋਂ LIATE ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ
∫t³eᵗ²dt ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾਓ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ u ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਲਈ mnemonic LIATE ਦੀ ਸਖਤ ਵਿਆਖਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ u=t³ ਅਤੇ dv=eᵗ²dt ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਇਹ ਚੋਣ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗੀ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ∫eᵗ²dt ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਪਾ ਸਕਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ∫teᵗ²dt ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ u=t² ਅਤੇ dv=teᵗ²dt ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਚੋਣਾਂ ਨਾਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 3.5
ਪਾਰਟਸ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਸਮਾਕਲਨ
∫sin(lnx)dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾਓ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ – ਯਾਨੀ, sin(lnx) – ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ 1 ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਆਓ u=sin(lnx) ਅਤੇ dv=1dx ਚੁਣੀਏ। (u=sin(lnx) ਚੁਣਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ dv=sin(lnx)dx ਨਹੀਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਮਾਕਲਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਾਰਟਸ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ!) ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, du=(1/x)cos(lnx)dx ਅਤੇ v=∫1dx=x। ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਪਾਰਟਸ ਦੁਆਰਾ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਸਮਾਕਲਨ ਨਾਲ ਛੱਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸਲ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਾਰਟਸ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਾਰ ਆਓ u=cos(lnx) ਅਤੇ dv=1dx ਚੁਣੀਏ, ਜਿਸ ਨਾਲ du=−(1/x)sin(lnx)dx ਅਤੇ v=∫1dx=x। ਬਦਲਣ ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਆਖਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਹੁਣ ਅਸਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਹ ਜਾਪ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ, I=∫sin(lnx)dx ਬਦਲੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸੇ II ਜੋੜੋ
ਅੱਗੇ, 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ:
I=∫sin(lnx)dx ਨੂੰ ਮੁੜ ਬਦਲਣ ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (1/2)xsin(lnx)−(1/2)xcos(lnx) sin(lnx)dx ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ, +C ਜੋੜੋ:
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
If this method feels a little strange at first, we can check the answer by differentiation:
Checkpoint 3.3
Evaluate ∫x2sinxdx.∫x2sinxdx.
Integration by Parts for Definite Integrals
Now that we have used integration by parts successfully to evaluate indefinite integrals, we turn our attention to definite integrals. The integration technique is really the same, only we add a step to evaluate the integral at the upper and lower limits of integration.
Theorem 3.2
Integration by Parts for Definite Integrals
Let u=f(x)u=f(x) and v=g(x)v=g(x) be functions with continuous derivatives on [a,b].[a,b]. Then
Example 3.6
Finding the Area of a Region
Find the area of the region bounded above by the graph of y=tan−1xy=tan−1x and below by the xx-axis over the interval [0,1].[0,1].
Solution
This region is shown in Figure 3.2. To find the area, we must evaluate ∫01tan−1xdx.∫01tan−1xdx.
Figure 3.2: To find the area of the shaded region, we have to use integration by parts.
For this integral, let’s choose u=tan−1xu=tan−1x and dv=dx,dv=dx, thereby making du=1x2+1dxdu=1x2+1dx and v=x.v=x. After applying the integration-by-parts formula (Equation 3.2) we obtain
Use u-substitution to obtain
Thus,
At this point it might not be a bad idea to do a “reality check” on the reasonableness of our solution. Since π4−12ln2≈0.4388,π4−12ln2≈0.4388, and from Figure 3.2 we expect our area to be slightly less than 0.5, this solution appears to be reasonable.
Example 3.7
Finding a Volume of Revolution
Find the volume of the solid obtained by revolving the region bounded by the graph of f(x)=e−x,f(x)=e−x, the x-axis, the y-axis, and the line x=1x=1 about the y-axis.
Solution
The best option to solving this problem is to use the shell method. Begin by sketching the region to be revolved, along with a typical rectangle (see the following graph).
Figure 3.3: We can use the shell method to find a volume of revolution.
To find the volume using shells, we must evaluate 2π∫01xe−xdx.2π∫01xe−xdx. To do this, let u=xu=x and dv=e−x.dv=e−x. These choices lead to du=dxdu=dx and v=∫e−x=−e−x.v=∫e−x=−e−x. Substituting into Equation 3.2, we obtain
Analysis
Again, it is a good idea to check the reasonableness of our solution. We observe that the solid has a volume slightly less than that of a cylinder of radius 11 and height of 1/e1/e added to the volume of a cone of base radius 11 and height of 1−1e.1−1e. Consequently, the solid should have a volume a bit less than
Since 2π−4πe≈1.6603,2π−4πe≈1.6603, we see that our calculated volume is reasonable.
Checkpoint 3.4
Evaluate ∫0π/2xcosxdx.∫0π/2xcosxdx.
In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.
∫ x 3 e 2 x d x ∫ x 3 e 2 x d x
∫ x 3 ln ( x ) d x ∫ x 3 ln ( x ) d x
∫ y 3 cos y d y ∫ y 3 cos y d y
∫ x 2 arctan x d x ∫ x 2 arctan x d x
∫ e 3 x sin ( 2 x ) d x ∫ e 3 x sin ( 2 x ) d x
Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.
∫ v sin v d v ∫ v sin v d v
∫lnxdx∫lnxdx (Hint: ∫lnxdx∫lnxdx is equivalent to ∫1·ln(x)dx.)∫1·ln(x)dx.)
∫ x cos x d x ∫ x cos x d x
∫ tan −1 x d x ∫ tan −1 x d x
∫ x 2 e x d x ∫ x 2 e x d x
∫ x sin ( 2 x ) d x ∫ x sin ( 2 x ) d x
∫ x e 4 x d x ∫ x e 4 x d x
∫ x e − x d x ∫ x e − x d x
∫ x cos 3 x d x ∫ x cos 3 x d x
∫ x 2 cos x d x ∫ x 2 cos x d x
∫ x ln x d x ∫ x ln x d x
∫ ln ( 2 x + 1 ) d x ∫ ln ( 2 x + 1 ) d x
∫ x 2 e 4 x d x ∫ x 2 e 4 x d x
∫ e x sin x d x ∫ e x sin x d x
∫ e x cos x d x ∫ e x cos x d x
∫ x e − x 2 d x ∫ x e − x 2 d x
∫ x 2 e − x d x ∫ x 2 e − x d x
∫ sin ( ln ( 2 x ) ) d x ∫ sin ( ln ( 2 x ) ) d x
∫ c o s ( ln x ) d x ∫ c o s ( ln x ) d x
∫ ( ln x ) 2 d x ∫ ( ln x ) 2 d x
∫ ln ( x 2 ) d x ∫ ln ( x 2 ) d x
∫ x 2 ln x d x ∫ x 2 ln x d x
∫ sin −1 x d x ∫ sin −1 x d x
∫ cos −1 ( 2 x ) d x ∫ cos −1 ( 2 x ) d x
∫ x arctan x d x ∫ x arctan x d x
∫ x 2 sin x d x ∫ x 2 sin x d x
∫ x 3 cos x d x ∫ x 3 cos x d x
∫ x 3 sin x d x ∫ x 3 sin x d x
∫ x 3 e x d x ∫ x 3 e x d x
∫ x sec −1 x d x ∫ x sec −1 x d x
∫ x sec 2 x d x ∫ x sec 2 x d x
∫ x cosh x d x ∫ x cosh x d x
Compute the definite integrals. Use a graphing utility to confirm your answers.
∫ 1 / e 1 ln x d x ∫ 1 / e 1 ln x d x
∫01xe−2xdx∫01xe−2xdx (Express the answer in exact form.)
∫ 0 1 e x d x ( let u = x ) ∫ 0 1 e x d x ( let u = x )
∫ 1 e ln ( x 2 ) d x ∫ 1 e ln ( x 2 ) d x
∫ 0 π x cos x d x ∫ 0 π x cos x d x
∫−ππxsinxdx∫−ππxsinxdx (Express the answer in exact form.)
∫03ln(x2+1)dx∫03ln(x2+1)dx (Express the answer in exact form.)
∫0π/2x2sinxdx∫0π/2x2sinxdx (Express the answer in exact form.)
∫01x5xdx∫01x5xdx (Express the answer using five significant digits.)
Evaluate ∫cosxln(sinx)dx∫cosxln(sinx)dx
Derive the following formulas using the technique of integration by parts. Assume that n is a positive integer. These formulas are called reduction formulas because the exponent in the x term has been reduced by one in each case. The second integral is simpler than the original integral.
∫ x n e x d x = x n e x − n ∫ x n − 1 e x d x ∫ x n e x d x = x n e x − n ∫ x n − 1 e x d x
∫ x n cos x d x = x n sin x − n ∫ x n − 1 sin x d x ∫ x n cos x d x = x n sin x − n ∫ x n − 1 sin x d x
∫ x n sin x d x = ______ ∫ x n sin x d x = ______
Integrate ∫2x2x−3dx∫2x2x−3dx using two methods:
Using parts, letting dv=2x−3dxdv=2x−3dx
Substitution, letting u=2x−3u=2x−3
State whether you would use integration by parts to evaluate the integral. If so, identify u and dv. If not, describe the technique used to perform the integration without actually doing the problem.
∫ x ln x d x ∫ x ln x d x
∫ ln 2 x x d x ∫ ln 2 x x d x
∫ x e x d x ∫ x e x d x
∫ x e x 2 − 3 d x ∫ x e x 2 − 3 d x
∫ x 2 sin x d x ∫ x 2 sin x d x
∫ x 2 sin ( 3 x 3 + 2 ) d x ∫ x 2 sin ( 3 x 3 + 2 ) d x
Sketch the region bounded above by the curve, the x-axis, and x=1,x=1, and find the area of the region. Provide the exact form or round answers to the number of places indicated.
y=2xe−xy=2xe−x (Approximate answer to four decimal places.)
y=e−xsin(πx) ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ।
ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
y=sinx, y=0, x=2π, x=3π ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
y=e−x, y=0, x=−1 ਤੋਂ x=0 ਤੱਕ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x=1 ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਗਤੀਮਾਨ ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ t ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ v(t)=t2e−t ਹੈ। ਪਹਿਲੇ 2 ਸੈਕਿੰਡ ਵਿੱਚ ਇਹ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਤੈਅ ਕਰਦਾ ਹੈ? (ਇਕਾਈਆਂ ਫੁੱਟ ਮੰਨੋ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
y=sec3x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ x=0 ਤੋਂ x=1 ਤੱਕ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
y=(x−2)ex ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ x=2 ਤੋਂ x=5 ਤੱਕ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
y=xcosx ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ, ਜਦੋਂ 11π2≤x≤13π2 ਹੋਵੇ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
y=lnx, x-ਧੁਰਾ, ਅਤੇ ਲੰਬ ਰੇਖਾ x=e2 ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਠੋਸ ਦੇ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
y=4cosx ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ, π2≤x≤3π2, ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਠੋਸ ਦੇ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ y=ex ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ, x=0 ਤੋਂ x=ln(7) ਤੱਕ, y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਠੋਸ ਦੇ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
NONE