Learning Objectives
3.2.1 Solve integration problems involving products and powers of sin x sin x and cos x . cos x .
3.2.2 Solve integration problems involving products and powers of tan x tan x and sec x . sec x .
3.2.3 Use reduction formulas to solve trigonometric integrals.
In this section we look at how to integrate a variety of products of trigonometric functions. These integrals are called trigonometric integrals. They are an important part of the integration technique called trigonometric substitution, which is featured in Trigonometric Substitution. This technique allows us to convert algebraic expressions that we may not be able to integrate into expressions involving trigonometric functions, which we may be able to integrate using the techniques described in this section. In addition, these types of integrals appear frequently when we study polar, cylindrical, and spherical coordinate systems later. Let’s begin our study with products of sinxsinx and cosx.cosx.
Integrating Products and Powers of sinx and cosx
A key idea behind the strategy used to integrate combinations of products and powers of sinxsinx and cosxcosx involves rewriting these expressions as sums and differences of integrals of the form ∫sinjxcosxdx∫sinjxcosxdx or ∫cosjxsinxdx.∫cosjxsinxdx. After rewriting these integrals, we evaluate them using u-substitution. Before describing the general process in detail, let’s take a look at the following examples.
Example 3.8
Integrating ∫cosjxsinxdx∫cosjxsinxdx
Evaluate ∫cos3xsinxdx.∫cos3xsinxdx.
Solution
Use uu-substitution and let u=cosx.u=cosx. In this case, du=−sinxdx.du=−sinxdx. Thus,
Checkpoint 3.5
Evaluate ∫sin4xcosxdx.∫sin4xcosxdx.
Example 3.9
A Preliminary Example: Integrating ∫cosjxsinkxdx∫cosjxsinkxdx Where k is Odd
Evaluate ∫cos2xsin3xdx.∫cos2xsin3xdx.
Solution
To convert this integral to integrals of the form ∫cosjxsinxdx,∫cosjxsinxdx, rewrite sin3x=sin2xsinxsin3x=sin2xsinx and make the substitution sin2x=1−cos2x.sin2x=1−cos2x. Thus,
Checkpoint 3.6
Evaluate ∫cos3xsin2xdx.∫cos3xsin2xdx.
In the next example, we see the strategy that must be applied when there are only even powers of sinxsinx and cosx.cosx. For integrals of this type, the identities
and
are invaluable. These identities are sometimes known as power-reducing identities and they may be derived from the double-angle identity cos(2x)=cos2x−sin2xcos(2x)=cos2x−sin2x and the Pythagorean identity cos2x+sin2x=1.cos2x+sin2x=1.
1. ਉਦਾਹਰਨ 3.10
2. sinx sinx ਦੀ ਇੱਕ ਸਮ ਪਾਵਰ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ
3. ∫sin2xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਇਸ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀਅਨ ਪਛਾਣ sin2x=12−12cos(2x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
6. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.7
7. ∫cos2xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. sinx sinx ਅਤੇ cosx cosx ਦੀਆਂ ਪਾਵਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਮ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।
9. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ
10. sin x ਅਤੇ cos x ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਪਾਵਰਾਂ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ
11. ∫cosjxsinkxdx ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਰਣਨੀਤੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
12. ਜੇਕਰ kk ਇੱਕ ਅਨੋਖਾ ਹੈ, ਤਾਂ sinkx=sink−1xsinx ਲਿਖੋ ਅਤੇ sink−1x ਨੂੰ cosx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ sin2x=1−cos2x ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। u=cosx ਦੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਨਾਲ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ du=−sinxdx ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
13. ਜੇਕਰ jj ਇੱਕ ਅਨੋਖਾ ਹੈ, ਤਾਂ cosjx=cosj−1xcosx ਲਿਖੋ ਅਤੇ cosj−1x ਨੂੰ sinx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ cos2x=1−sin2x ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। u=sinx ਦੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਨਾਲ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ du=cosxdx ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। (ਨੋਟ: ਜੇਕਰ jj ਅਤੇ kk ਦੋਵੇਂ ਅਨੋਖੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਰਣਨੀਤੀ 1 ਜਾਂ ਰਣਨੀਤੀ 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।)
14. ਜੇਕਰ jj ਅਤੇ kk ਦੋਵੇਂ ਸਮ ਹਨ, ਤਾਂ sin2x=(1/2)−(1/2)cos(2x) ਅਤੇ cos2x=(1/2)+(1/2)cos(2x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਰਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਉਚਿਤਤਾ ਅਨੁਸਾਰ ਰਣਨੀਤੀਆਂ 1 ਤੋਂ 3 ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 3.11
16. ∫cosjxsinkxdx ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ ਜਿੱਥੇ k ਅਨੋਖਾ ਹੈ
17. ∫cos8xsin5xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਕਿਉਂਕਿ sinx sinx ਉੱਤੇ ਪਾਵਰ ਅਨੋਖੀ ਹੈ, ਰਣਨੀਤੀ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
20. ਉਦਾਹਰਨ 3.12
21. ∫cosjxsinkxdx ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ ਜਿੱਥੇ k ਅਤੇ j ਸਮ ਹਨ
22. ∫sin4xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
23. ਹੱਲ
24. ਕਿਉਂਕਿ sinx sinx ਉੱਤੇ ਪਾਵਰ ਸਮ ਹੈ (k=4) ਅਤੇ cosx cosx ਉੱਤੇ ਪਾਵਰ ਸਮ ਹੈ (j=0), ਸਾਨੂੰ ਰਣਨੀਤੀ 3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
Since cos2(2x)cos2(2x) has an even power, substitute cos2(2x)=12+12cos(4x):cos2(2x)=12+12cos(4x):
Checkpoint 3.8
Evaluate ∫cos3xdx.∫cos3xdx.
Checkpoint 3.9
Evaluate ∫cos2(3x)dx.∫cos2(3x)dx.
In some areas of physics, such as quantum mechanics, signal processing, and the computation of Fourier series, it is often necessary to integrate products that include sin(ax),sin(ax), sin(bx),sin(bx), cos(ax),cos(ax), and cos(bx).cos(bx). These integrals are evaluated by applying trigonometric identities, as outlined in the following rule.
Rule: Integrating Products of Sines and Cosines of Different Angles
To integrate products involving sin(ax),sin(ax), sin(bx),sin(bx), cos(ax),cos(ax), and cos(bx),cos(bx), use the substitutions
These formulas may be derived from the sum-of-angle formulas for sine and cosine.
Example 3.13
Evaluating ∫sin(ax)cos(bx)dx∫sin(ax)cos(bx)dx
Evaluate ∫sin(5x)cos(3x)dx.∫sin(5x)cos(3x)dx.
Solution
Apply the identity sin(5x)cos(3x)=12sin(2x)+12sin(8x).sin(5x)cos(3x)=12sin(2x)+12sin(8x). Thus,
Checkpoint 3.10
Evaluate ∫cos(6x)cos(5x)dx.∫cos(6x)cos(5x)dx.
Integrating Products and Powers of tanx and secx
Before discussing the integration of products and powers of tanxtanx and secx,secx, it is useful to recall the integrals involving tanxtanx and secxsecx we have already learned:
∫sec2xdx=tanx+C∫sec2xdx=tanx+C
∫secxtanxdx=secx+C∫secxtanxdx=secx+C
∫tanxdx=ln|secx|+C∫tanxdx=ln|secx|+C
∫secxdx=ln|secx+tanx|+C.∫secxdx=ln|secx+tanx|+C.
For most integrals of products and powers of tanxtanx and secx,secx, we rewrite the expression we wish to integrate as the sum or difference of integrals of the form ∫tanjxsec2xdx∫tanjxsec2xdx or ∫secjxtanxdx.∫secjxtanxdx. As we see in the following example, we can evaluate these new integrals by using u-substitution.
Example 3.14
∫secjxtanxdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
∫sec5xtanxdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ sec5xtanx ਨੂੰ sec4xsecxtanx ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ
ਮੀਡੀਆ
ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਸੈਕੰਟ (secant) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਆਮ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਬਾਰੇ ਦਿਲਚਸਪ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪੜ੍ਹ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.11
∫tan5xsec2xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ secx ਅਤੇ tanx ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰਣਨੀਤੀਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
∫tankxsecjxdx ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ
∫tankxsecjxdx ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਰਣਨੀਤੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਜੇਕਰ jj ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ j≥2, ਤਾਂ secjx=secj−2xsec2x ਲਿਖੋ ਅਤੇ secj−2x ਨੂੰ tanx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ sec2x=tan2x+1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ u=tanx ਅਤੇ du=sec2xdx।
ਜੇਕਰ kk ਇਕੱਲਾ ਹੈ ਅਤੇ j≥1, ਤਾਂ tankxsecjx=tank−1xsecj−1xsecxtanx ਲਿਖੋ ਅਤੇ tank−1x ਨੂੰ secx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ tan2x=sec2x−1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ u=secx ਅਤੇ du=secxtanxdx। (ਨੋਟ: ਜੇਕਰ jj ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ kk ਇਕੱਲਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਰਣਨੀਤੀ 1 ਜਾਂ ਰਣਨੀਤੀ 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।)
ਜੇਕਰ kk ਇਕੱਲਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ k≥3 ਅਤੇ j=0, ਤਾਂ tankx=tank−2xtan2x=tank−2x(sec2x−1)=tank−2xsec2x−tank−2x ਲਿਖੋ। tank−2x ਪਦ 'ਤੇ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ kk ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ jj ਇਕੱਲਾ ਹੈ, ਤਾਂ tankx ਨੂੰ secx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ tan2x=sec2x−1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। secx ਦੀਆਂ ਇਕੱਲੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਰਟਸ ਦੁਆਰਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.15
jj ਸਮ ਹੋਣ 'ਤੇ ∫tankxsecjxdx ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ
∫tan6xsec4xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ secx 'ਤੇ ਘਾਤ ਸਮ ਹੈ, sec4x=sec2xsec2x ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ sec2x ਨੂੰ tanx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ sec2x=tan2x+1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਲਈ,
ਉਦਾਹਰਨ 3.16
kk ਇਕੱਲਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ∫tankxsecjxdx ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ
∫tan5xsec3xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
Solution
Since the power on tanxtanx is odd, begin by rewriting tan5xsec3x=tan4xsec2xsecxtanx.tan5xsec3x=tan4xsec2xsecxtanx. Thus,
Example 3.17
Integrating ∫tankxdx∫tankxdx where kk is Odd and k≥3k≥3
Evaluate ∫tan3xdx.∫tan3xdx.
Solution
Begin by rewriting tan3x=tanxtan2x=tanx(sec2x−1)=tanxsec2x−tanx.tan3x=tanxtan2x=tanx(sec2x−1)=tanxsec2x−tanx. Thus,
For the first integral, use the substitution u=tanx.u=tanx. For the second integral, use the formula.
Example 3.18
Integrating ∫sec3xdx∫sec3xdx
Integrate ∫sec3xdx.∫sec3xdx.
Solution
This integral requires integration by parts. To begin, let u=secxu=secx and dv=sec2xdx.dv=sec2xdx. These choices make du=secxtanxdu=secxtanx and v=tanx.v=tanx. Thus,
We now have
Since the integral ∫sec3xdx∫sec3xdx has reappeared on the right-hand side, we can solve for ∫sec3xdx∫sec3xdx by adding it to both sides. In doing so, we obtain
Dividing by 2, we arrive at
Checkpoint 3.12
Evaluate ∫tan3xsec7xdx.∫tan3xsec7xdx.
Reduction Formulas
Evaluating ∫secnxdx∫secnxdx for values of nn where nn is odd requires integration by parts. In addition, we must also know the value of ∫secn−2xdx∫secn−2xdx to evaluate ∫secnxdx.∫secnxdx. The evaluation of ∫tannxdx∫tannxdx also requires being able to integrate ∫tann−2xdx.∫tann−2xdx. To make the process easier, we can derive and apply the following power reduction formulas. These rules allow us to replace the integral of a power of secxsecx or tanxtanx with the integral of a lower power of secxsecx or tanx.tanx.
Rule: Reduction Formulas for ∫ sec n x d x ∫ sec n x d x and ∫ tan n x d x ∫ tan n x d x
The first power reduction rule may be verified by applying integration by parts. The second may be verified by following the strategy outlined for integrating odd powers of tanx.tanx.
Example 3.19
Revisiting ∫sec3xdx∫sec3xdx
Apply a reduction formula to evaluate ∫sec3xdx.∫sec3xdx.
Solution
By applying the first reduction formula, we obtain
Example 3.20
Using a Reduction Formula
Evaluate ∫tan4xdx.∫tan4xdx.
Solution
Applying the reduction formula for ∫tan4xdx∫tan4xdx we have
Checkpoint 3.13
Apply the reduction formula to ∫sec5xdx.∫sec5xdx.
Fill in the blank to make a true statement.
sin 2 x + _______ = 1 sin 2 x + _______ = 1
sec 2 x − 1 = _______ sec 2 x − 1 = _______
Use an identity to reduce the power of the trigonometric function to a trigonometric function raised to the first power.
sin 2 x = _______ sin 2 x = _______
cos 2 x = _______ cos 2 x = _______
Evaluate each of the following integrals by u-substitution.
∫ sin 3 x cos x d x ∫ sin 3 x cos x d x
∫ cos x sin x d x ∫ cos x sin x d x
∫ tan 5 ( 2 x ) sec 2 ( 2 x ) d x ∫ tan 5 ( 2 x ) sec 2 ( 2 x ) d x
∫ sin 7 ( 2 x ) cos ( 2 x ) d x ∫ sin 7 ( 2 x ) cos ( 2 x ) d x
∫ tan ( x 2 ) sec 2 ( x 2 ) d x ∫ tan ( x 2 ) sec 2 ( x 2 ) d x
∫ tan 2 x sec 2 x d x ∫ tan 2 x sec 2 x d x
Compute the following integrals using the guidelines for integrating powers of trigonometric functions. Use a CAS to check the solutions. (Note: Some of the problems may be done using techniques of integration learned previously.)
∫ sin 3 x d x ∫ sin 3 x d x
∫ cos 3 x d x ∫ cos 3 x d x
∫ sin x cos x d x ∫ sin x cos x d x
∫ cos 5 x d x ∫ cos 5 x d x
∫ sin 5 x cos 2 x d x ∫ sin 5 x cos 2 x d x
∫ sin 3 x cos 3 x d x ∫ sin 3 x cos 3 x d x
∫ sin x cos x d x ∫ sin x cos x d x
∫ sin x cos 3 x d x ∫ sin x cos 3 x d x
∫ sec x tan x d x ∫ sec x tan x d x
∫ tan ( 5 x ) d x ∫ tan ( 5 x ) d x
∫ tan 2 x sec x d x ∫ tan 2 x sec x d x
∫ tan x sec 3 x d x ∫ tan x sec 3 x d x
∫ sec 4 x d x ∫ sec 4 x d x
∫ cot x d x ∫ cot x d x
∫ csc x d x ∫ csc x d x
∫ tan 3 x sec x d x ∫ tan 3 x sec x d x
For the following exercises, find a general formula for the integrals.
∫ sin 2 a x cos a x d x ∫ sin 2 a x cos a x d x
∫ sin a x cos a x d x . ∫ sin a x cos a x d x .
Use the double-angle formulas to evaluate the following integrals.
∫ 0 π sin 2 x d x ∫ 0 π sin 2 x d x
∫ 0 π sin 4 x d x ∫ 0 π sin 4 x d x
∫ cos 2 3 x d x ∫ cos 2 3 x d x
∫ sin 2 x cos 2 x d x ∫ sin 2 x cos 2 x d x
∫ sin 2 x d x + ∫ cos 2 x d x ∫ sin 2 x d x + ∫ cos 2 x d x
∫ sin 2 x cos 2 ( 2 x ) d x ∫ sin 2 x cos 2 ( 2 x ) d x
For the following exercises, evaluate the definite integrals. Express answers in exact form whenever possible.
∫ 0 2 π cos x sin 2 x d x ∫ 0 2 π cos x sin 2 x d x
∫ 0 π sin 3 x sin 5 x d x ∫ 0 π sin 3 x sin 5 x d x
∫ 0 π cos ( 99 x ) sin ( 101 x ) d x ∫ 0 π cos ( 99 x ) sin ( 101 x ) d x
∫ − π π cos 2 ( 3 x ) d x ∫ − π π cos 2 ( 3 x ) d x
∫ 0 2 π sin x sin ( 2 x ) sin ( 3 x ) d x ∫ 0 2 π sin x sin ( 2 x ) sin ( 3 x ) d x
∫ 0 4 π cos ( x / 2 ) sin ( x / 2 ) d x ∫ 0 4 π cos ( x / 2 ) sin ( x / 2 ) d x
∫π/6π/3cos3xsinxdx∫π/6π/3cos3xsinxdx (Round this answer to three decimal places.)
∫ − π / 3 π / 3 sec 2 x − 1 d x ∫ − π / 3 π / 3 sec 2 x − 1 d x
∫ 0 π / 2 1 − cos ( 2 x ) d x ∫ 0 π / 2 1 − cos ( 2 x ) d x
Find the area of the region bounded by the graphs of the equations y=sinx,y=sin3x,x=0,andx=π2.y=sinx,y=sin3x,x=0,andx=π2.
Find the area of the region bounded by the graphs of the equations y=cos2x,y=sin2x,x=−π4,andx=π4.y=cos2x,y=sin2x,x=−π4,andx=π4.
A particle moves in a straight line with the velocity function v(t)=sin(ωt)cos2(ωt).v(t)=sin(ωt)cos2(ωt). Find its position function x=f(t)x=f(t) if f(0)=0.f(0)=0.
Find the average value of the function f(x)=sin2xcos3xf(x)=sin2xcos3x over the interval [−π,π].[−π,π].
For the following exercises, solve the differential equations.
dydx=sin2x.dydx=sin2x. The curve passes through point (0,0).(0,0).
d y d θ = sin 4 ( π θ ) d y d θ = sin 4 ( π θ )
Find the length of the curve y=ln(cscx),π4≤x≤π2.y=ln(cscx),π4≤x≤π2.
Find the length of the curve y=ln(sinx),π3≤x≤π2.y=ln(sinx),π3≤x≤π2.
Find the volume generated by revolving the curve y=cos(3x)y=cos(3x) about the x-axis, 0≤x≤π36.0≤x≤π36.
For the following exercises, use this information: The inner product of two functions f and g over [a,b][a,b] is defined by f(x)·g(x)=〈f,g〉=∫abf·gdx.f(x)·g(x)=〈f,g〉=∫abf·gdx. Two distinct functions f and g are said to be orthogonal if 〈f,g〉=0.〈f,g〉=0.
Show that {sin(2x),cos(3x)}{sin(2x),cos(3x)} are orthogonal over the interval [−π,π].[−π,π].
Evaluate ∫−ππsin(mx)cos(nx)dx.∫−ππsin(mx)cos(nx)dx.
Integrate y′=tanxsec4x.y′=tanxsec4x.
For each pair of integrals, determine which one is more difficult to evaluate. Explain your reasoning.
∫sin456xcosxdx∫sin456xcosxdx or ∫sin2xcos2xdx∫sin2xcos2xdx
∫tan350xsec2xdx∫tan350xsec2xdx or ∫tan350xsecxdx∫tan350xsecxdx