ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2. 3.3.1 ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3. ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ a²−x², a²+x², ਅਤੇ x²−a² ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ 'a' ਦੇ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਜੇ ਵੀ ਪਹੁੰਚ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹਨ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਦੀ ਤਕਨੀਕ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵੇਲੇ ਬਹੁਤ ਕੰਮ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਤਕਨੀਕ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੰਕਲਨਾਂ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸੰਕਲਨਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ।
4. a²−x² ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਨ
5. a²−x² ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ∫9−x²dx ਦੇ ਸੰਕਲਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਸੰਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਹੁਣ ਤੱਕ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x=3sinθ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ dx=3cosθdθ ਹੈ। ਸੰਕਲਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
6. ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
7. 1−sin²θ=cos²θ ਮੰਨ ਕੇ, ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
8. ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ cosθ≥0, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
9. ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕਲਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦੇ ਆਮ ਸਿਧਾਂਤ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
10. a²−x² ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x=asinθ ਅਤੇ dx=acosθ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਤਰਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ: a²−x² ਦਾ ਡੋਮੇਨ [−a,a] ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, −a≤x≤a। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, −1≤x/a≤1। ਕਿਉਂਕਿ [−(π/2),π/2] ਉੱਤੇ sinx ਦੀ ਰੇਂਜ [−1,1] ਹੈ, ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਕੋਣ θ ਹੈ ਜੋ −(π/2)≤θ≤π/2 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ sinθ=x/a ਹੋਵੇ, ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ, ਤਾਂ ਜੋ x=asinθ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ a²−x² ਵਿੱਚ x=asinθ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
11. ਕਿਉਂਕਿ cosθ≥0 −π/2≤θ≤π/2 ਉੱਤੇ ਅਤੇ a>0, |acosθ|=acosθ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਚਰਚਾ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=asinθ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ। ਸੰਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਨੂੰ x ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਆਓ ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ 0<x<a। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, 0<θ<π/2। ਕਿਉਂਕਿ sinθ=x/a, ਅਸੀਂ cosθ, tanθ, ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 3.4 ਵਿੱਚ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਸਲ ਵਿੱਚ θ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ θ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ −π/2≤θ≤π/2 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ ਕਿ a²−x² ਸਮੀਕਰਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ θ ਆਪਣੇ ਆਪ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ θ=sin⁻¹(x/a) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
12. ਚਿੱਤਰ 3.4: ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ θ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
13. ਇਸ ਚਰਚਾ ਦਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਿੱਸਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
14. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
15. a²−x² ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸੰਕਲਨ
16. ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਚਾਰ ਹੈ ਕਿ ਸੰਕਲਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ∫1/(a²−x²)dx, ∫x/(a²−x²)dx, ਅਤੇ ∫x²/(a²−x²)dx ਦੇ ਰੂਪਾਂ ਵਾਲੇ ਸੰਕਲਨਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ u-ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਦੁਆਰਾ ਸੰਕਲਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
17. x=asinθ ਅਤੇ dx=acosθdθ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਕਰੋ। ਨੋਟ: ਇਹ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ a²−x²=acosθ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
18. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
19. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸੰਕਲਨਾਂ ਵਾਲੇ ਭਾਗ ਤੋਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
20. ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 3.4 ਤੋਂ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੁਝ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਅਤੇ ਸਬੰਧ θ=sin⁻¹(x/a) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
21. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਅਰਜ਼ੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 3.21
23. a²−x² ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸੰਕਲਨ
24. ∫9−x²dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ x=3sinθ ਅਤੇ dx=3cosθdθ ਦੀ ਥਾਂ ਲਓ। ਕਿਉਂਕਿ sinθ=x3, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 3.5: ਉਦਾਹਰਨ 3.21 ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ,
ਉਦਾਹਰਨ 3.22
a2−x2a2−x2 ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ
∫4−x2xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ x=2sinθ ਅਤੇ dx=2cosθdθ ਦੀ ਥਾਂ ਲਓ। ਕਿਉਂਕਿ sinθ=x2, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 3.6: ਉਦਾਹਰਨ 3.22 ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ,
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.23
a2−x2a2−x2 ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ
∫x31−x2dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ਪਹਿਲਾਂ u=1−x2u=1−x2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
ਹੱਲ
ਵਿਧੀ 1
u=1−x2u=1−x2 ਮੰਨੋ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ x2=1−u. ਇਸ ਲਈ, du=−2xdx. ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਮਾਕਲਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਵਿਧੀ 2
x=sinθ ਮੰਨੋ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, dx=cosθdθ. ਇਸ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.14
∫x325−x2dx ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ (ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ)।
a2+x2a2+x2 ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ
a2+x2a2+x2 ਵਾਲੇ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਲਈ, ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਕਿਉਂਕਿ a2+x2a2+x2 ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲਾਂ x ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਚੋਣ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਰੇਂਜ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੀ ਚੋਣ x=atanθx=atanθ ਜਾਂ x=acotθ.x=acotθ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰੇਗੀ, ਪਰ ਮਿਆਰੀ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ x=atanθx=atanθ ਹੈ ਜਾਂ, ਬਰਾਬਰ, tanθ=x/a.tanθ=x/a. ਇਸ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ −(π/2)<θ<π/2,−(π/2)<θ<π/2, ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਡੇ ਕੋਲ θ=tan−1(x/a).θ=tan−1(x/a) ਵੀ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਦੱਸੀ ਗਈ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
a2+x2 ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ
ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਏਕੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
x=atanθ ਅਤੇ dx=asec2θdθ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਥਾਪਨ a2+x2=a2+(atanθ)2=a2(1+tan2θ)=a2sec2θ=|asecθ|=asecθ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। (ਕਿਉਂਕਿ −π2<θ<π2 ਅਤੇ ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ secθ>0 ਹੈ, |asecθ|=asecθ।)
ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਏਕੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਭਾਗ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 3.7 ਤੋਂ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੁਝ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਅਤੇ θ=tan−1(xa) ਦੇ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ। (ਨੋਟ: ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਇਸ ਧਾਰਨਾ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ ਕਿ x>0; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਅਨੁਪਾਤ ਉਹਨਾਂ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ x≤0।)
ਚਿੱਤਰ 3.7: x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ θ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.24
a2+x2 ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ
∫dx1+x2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
x=tanθ ਅਤੇ dx=sec2θdθ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਥਾਪਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ tanθ=x, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਚਿੱਤਰ 3.8: ਉਦਾਹਰਨ 3.24 ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਕੋਣ।
ਇਸ ਲਈ,
ਹੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਵਿਭੇਦਨ ਕਰੋ:
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ 1+x2+x>0 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ln|1+x2+x|+C=ln(1+x2+x)+C ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.25
∫dx1+x2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਪ੍ਰਤੀਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
∫dx1+x2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ x=sinhθ ਪ੍ਰਤੀਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ sinhθ ਦੀ ਰੇਂਜ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ 1+sinh2θ=cosh2θ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ x=sinhθ ਪ੍ਰਤੀਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, dx=coshθdθ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ,
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਜਵਾਬ x=tanθ ਪ੍ਰਤੀਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜਵਾਬ ਤੋਂ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਖਰਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਹੱਲ ਸਮਾਨ ਹਨ, y=sinh−1x ਸੈੱਟ ਕਰੋ। ਇਸ ਲਈ, sinhy=x। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
After multiplying both sides by 2ey2ey and rewriting, this equation becomes:
Use the quadratic equation to solve for ey:ey:
Simplifying, we have:
Since x−x2+1<0,x−x2+1<0, it must be the case that ey=x+x2+1.ey=x+x2+1. Thus,
Last, we obtain
After we make the final observation that, since x+x2+1>0,x+x2+1>0,
we see that the two different methods produced equivalent solutions.
Example 3.26
Finding an Arc Length
Find the length of the curve y=x2y=x2 over the interval [0,12].[0,12].
Solution
Because dydx=2x,dydx=2x, the arc length is given by
To evaluate this integral, use the substitution x=12tanθx=12tanθ and dx=12sec2θdθ.dx=12sec2θdθ. We also need to change the limits of integration. If x=0,x=0, then θ=0θ=0 and if x=12,x=12, then θ=π4.θ=π4. Thus,
Checkpoint 3.15
Rewrite ∫x3x2+4dx∫x3x2+4dx by using a substitution involving tanθ.tanθ.
Integrating Expressions Involving x2−a2x2−a2
The domain of the expression x2−a2x2−a2 is (−∞,−a]∪[a,+∞).(−∞,−a]∪[a,+∞). Thus, either x≤−ax≤−a or x≥a.x≥a. Hence, xa≤−1xa≤−1 or xa≥1.xa≥1. Since these intervals correspond to the range of secθsecθ on the set [0,π2)∪(π2,π],[0,π2)∪(π2,π], it makes sense to use the substitution secθ=xasecθ=xa or, equivalently, x=asecθ,x=asecθ, where 0≤θ<π20≤θ<π2 or π2<θ≤π.π2<θ≤π. The corresponding substitution for dxdx is dx=asecθtanθdθ.dx=asecθtanθdθ. The procedure for using this substitution is outlined in the following problem-solving strategy.
Problem-Solving Strategy
Integrals Involving x2−a2x2−a2
Check to see whether the integral cannot be evaluated using another method. If so, we may wish to consider applying an alternative technique.
Substitute x=asecθx=asecθ and dx=asecθtanθdθ.dx=asecθtanθdθ. This substitution yields x2−a2=(asecθ)2−a2=a2(sec2θ–1)=a2tan2θ=|atanθ|.x2−a2=(asecθ)2−a2=a2(sec2θ–1)=a2tan2θ=|atanθ|. For x≥a,x≥a, |atanθ|=atanθ|atanθ|=atanθ and for x≤−a,x≤−a, |atanθ|=−atanθ.|atanθ|=−atanθ.
Simplify the expression.
Evaluate the integral using techniques from the section on trigonometric integrals.
Use the reference triangles from Figure 3.9 to rewrite the result in terms of x.x. You may also need to use some trigonometric identities and the relationship θ=sec−1(xa).θ=sec−1(xa). (Note: We need both reference triangles, since the values of some of the trigonometric ratios are different depending on whether x≥ax≥a or x≤−a.)x≤−a.)
Figure 3.9: Use the appropriate reference triangle to express the trigonometric functions evaluated at θθ in terms of x.x.
Example 3.27
Finding the Area of a Region
Find the area of the region between the graph of f(x)=x2−9f(x)=x2−9 and the x-axis over the interval [3,5].[3,5].
Solution
First, sketch a rough graph of the region described in the problem, as shown in the following figure.
Figure 3.10: Calculating the area of the shaded region requires evaluating an integral with a trigonometric substitution.
We can see that the area is A=∫35x2−9dx.A=∫35x2−9dx. To evaluate this definite integral, substitute x=3secθx=3secθ and dx=3secθtanθdθ.dx=3secθtanθdθ. We must also change the limits of integration. If x=3,x=3, then 3=3secθ3=3secθ and hence θ=0.θ=0. If x=5,x=5, then θ=sec−1(53).θ=sec−1(53). After making these substitutions and simplifying, we have
Checkpoint 3.16
Evaluate ∫dxx2−4.∫dxx2−4. Assume that x>2.x>2.
Simplify the following expressions by writing each one using a single trigonometric function.
4 − 4 sin 2 θ 4 − 4 sin 2 θ
9 sec 2 θ − 9 9 sec 2 θ − 9
a 2 + a 2 tan 2 θ a 2 + a 2 tan 2 θ
a 2 + a 2 sinh 2 θ a 2 + a 2 sinh 2 θ
16 cosh 2 θ − 16 16 cosh 2 θ − 16
Use the technique of completing the square to express each trinomial as the square of a binomial or the square of a binomial plus a constant.
4 x 2 − 4 x + 1 4 x 2 − 4 x + 1
2 x 2 − 8 x + 3 2 x 2 − 8 x + 3
− x 2 − 2 x + 4 − x 2 − 2 x + 4
Integrate using the method of trigonometric substitution. Express the final answer in terms of the variable.
∫ d x 4 − x 2 ∫ d x 4 − x 2
∫ d x x 2 − a 2 ∫ d x x 2 − a 2
∫ 4 − x 2 d x ∫ 4 − x 2 d x
∫ (1 + 9x²) dx
∫ (x² - x²) dx
∫ (x² / √(1 - x²)) dx
∫ (1 + x²)² dx
∫ (x² + 9) dx
∫ (x² - 25x) dx
∫ (θ³ / (9 - θ²)) dθ
∫ (1 / (x⁶ - x²)) dx
∫ (x⁶ - x⁸) dx
∫ (1 / (1 + x²)³/²) dx
∫ (1 / (x² - 9)³/²) dx
∫ ((√(1 + x²)) / x) dx
∫ (x² / (x² - 1)) dx
∫ (x² / (x² + 4)) dx
∫ (1 / (x²(x² + 1))) dx
∫ (x² / (1 + x²)) dx
∫ (1 - x²)³/² dx
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, x=sinhθ, coshθ, ਜਾਂ tanhθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰਾਂ ਨੂੰ ਚੱਲ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
∫ (1 / √(x² - 1)) dx
∫ (1 / √(1 - x²)) dx
∫ (x² - 1) dx
∫ ((x² - 1) / x²) dx
∫ (1 / √(1 - x²)) dx
∫ ((1 + x²) / x²) dx
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
∫ 1 x 2 − 6 x d x
∫ 1 x 2 + 2 x + 1 d x
∫ 1 − x 2 + 2 x + 8 d x
∫ 1 − x 2 + 10 x d x
∫ 1 x 2 + 4 x − 12 d x
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∫−339−x2dx.
ਡਿਗਰੀ x24+y29=1 ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਮਾਕਲਨ ∫dx1−x2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਬਦਲਵੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ, x=cosθ ਮੰਨੋ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਦਲਵੀਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਦੂਜਾ, x=sinθ ਮੰਨੋ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਦਲਵੀਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਕੀ ਜਵਾਬ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ?
ਸਮਾਕਲਨ ∫dxxx2−1 ਦਾ ਮੁੱਲ x=secθ ਬਦਲਵੀਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਅੱਗੇ, ਉਸੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ x=cscθ ਬਦਲਵੀਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।
ਸਮਾਕਲਨ ∫xx2+1dx ਦਾ ਮੁੱਲ ∫1udu ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਅੱਗੇ, ਉਸੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ x=tanθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਨਤੀਜੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ?
ਸਮਾਕਲਨ ∫xx2+1dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ? ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵਿਧੀ ਕਿਉਂ ਚੁਣੀ?
ਸਮਾਕਲਨ ∫x2x2−1dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ? ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵਿਧੀ ਕਿਉਂ ਚੁਣੀ?
∫−11xdxx2+1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਕਰ y=lnx, [1,5] ਦੇ ਉੱਤੇ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰਫਲ ਜੋ ਕਿ y=x2, y=0, x=0, ਅਤੇ x=2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ)।
f(x)=11+x2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ x=0 ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਣੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ y ਲਈ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
( x 2 + 36 ) d y d x = 1 , y ( 6 ) = 0
( 64 − x 2 ) d y d x = 1 , y ( 0 ) = 3
y=264−4x2, x=0, y=0, ਅਤੇ x=2 ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਤੇਲ ਭੰਡਾਰ ਟੈਂਕ ਨੂੰ y=1664+x2, x=0, y=0, x=2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਆਇਤਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਟੈਂਕ ਦਾ ਆਇਤਨ (ਘਣ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹਰ ਚੱਕਰ ਦੌਰਾਨ, ਇੱਕ ਰੋਬੋਟਿਕ ਵੈਲਡਿੰਗ ਡਿਵਾਈਸ ਦਾ ਵੇਗ v (ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ) v=2t−144+t2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ। ਵਿਸਥਾਪਨ s (ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਾ t ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ t=0 ਹੋਣ 'ਤੇ s=0 ਹੈ।
x=0 ਅਤੇ x=2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਵਕਰ y=16−x2 ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।