Learning Objectives
3.4.1 Integrate a rational function using the method of partial fractions.
3.4.2 Recognize simple linear factors in a rational function.
3.4.3 Recognize repeated linear factors in a rational function.
3.4.4 Recognize quadratic factors in a rational function.
We have seen some techniques that allow us to integrate specific rational functions. For example, we know that
However, we do not yet have a technique that allows us to tackle arbitrary quotients of this type. Thus, it is not immediately obvious how to go about evaluating ∫3xx2−x−2dx.∫3xx2−x−2dx. However, we know from material previously developed that
In fact, by getting a common denominator, we see that
Consequently,
In this section, we examine the method of partial fraction decomposition, which allows us to decompose rational functions into sums of simpler, more easily integrated rational functions. Using this method, we can rewrite an expression such as: 3xx2−x−23xx2−x−2 as an expression such as 1x+1+2x−2.1x+1+2x−2.
The key to the method of partial fraction decomposition is being able to anticipate the form that the decomposition of a rational function will take. As we shall see, this form is both predictable and highly dependent on the factorization of the denominator of the rational function. It is also extremely important to keep in mind that partial fraction decomposition can be applied to a rational function P(x)Q(x)P(x)Q(x) only if deg(P(x))<deg(Q(x)).deg(P(x))<deg(Q(x)). In the case when deg(P(x))≥deg(Q(x)),deg(P(x))≥deg(Q(x)), we must first perform long division to rewrite the quotient P(x)Q(x)P(x)Q(x) in the form A(x)+R(x)Q(x),A(x)+R(x)Q(x), where deg(R(x))<deg(Q(x)).deg(R(x))<deg(Q(x)). We then do a partial fraction decomposition on R(x)Q(x).R(x)Q(x). The following example, although not requiring partial fraction decomposition, illustrates our approach to integrals of rational functions of the form ∫P(x)Q(x)dx,∫P(x)Q(x)dx, where deg(P(x))≥deg(Q(x)).deg(P(x))≥deg(Q(x)).
Example 3.28
Integrating ∫P(x)Q(x)dx,∫P(x)Q(x)dx, where deg(P(x))≥deg(Q(x))deg(P(x))≥deg(Q(x))
Evaluate ∫x2+3x+5x+1dx.∫x2+3x+5x+1dx.
Solution
Since deg(x2+3x+5)≥deg(x+1),deg(x2+3x+5)≥deg(x+1), we perform long division to obtain
Thus,
Media
Visit this website for a review of long division of polynomials.
Checkpoint 3.17
Evaluate ∫x−3x+2dx.∫x−3x+2dx.
To integrate ∫P(x)Q(x)dx,∫P(x)Q(x)dx, where deg(P(x))<deg(Q(x)),deg(P(x))<deg(Q(x)), we must begin by factoring Q(x).Q(x).
Nonrepeated Linear Factors
If Q(x)Q(x) can be factored as (a1x+b1)(a2x+b2)…(anx+bn),(a1x+b1)(a2x+b2)…(anx+bn), where each linear factor is distinct, then it is possible to find constants A1,A2,…AnA1,A2,…An satisfying
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਦਾ ਸਬੂਤ ਇਸ ਕੋਰਸ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ।
ਇਸ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.29
ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ
∫3x+2x3−x2−2xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ deg(3x+2)<deg(x3−x2−2x), ਅਸੀਂ 3x+2x3−x2−2x ਦੇ ਹਰ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x3−x2−2x=x(x−2)(x+1)। ਇਸ ਲਈ, ਅਜਿਹੇ ਸਥਿਰਾਂਕ A, B, ਅਤੇ C ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜੋ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ
ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਇਹ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲੱਭਣੇ ਪੈਣਗੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ,
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ A, B, ਅਤੇ C ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰਣਨੀਤੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਰਣਨੀਤਕ ਬਦਲ ਦੀ ਵਿਧੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਨਿਯਮ: ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ
ਸਮੀਕਰਨ 3.8 ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ
ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ −2A=2⇒A=−1। ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ
ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ C=−13 ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ B+C=1 ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ B=43 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ A=−1, B=43, ਅਤੇ C=−13 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਇਕਸਾਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵਿਘਟਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਇਕਸਾਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਵਿਘਟਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਗਲਤੀ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਰਣਨੀਤਕ ਬਦਲ ਦੀ ਵਿਧੀ
ਰਣਨੀਤਕ ਬਦਲ ਦੀ ਵਿਧੀ ਇਸ ਧਾਰਨਾ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵਿਘਟਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜੇ ਵਿਘਟਨ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ A, B, ਅਤੇ C ਦੇ ਮੁੱਲ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਾਰੇ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 3.8 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਭਾਵ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਸੇ ਵੀ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਚੁਣ ਕੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ A, B, ਅਤੇ C ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇ ਅਸੀਂ x=0 ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ 2=A(−2)(1) ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। A ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ A=−1 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ, x=2 ਬਦਲ ਕੇ, ਸਮੀਕਰਨ 8=B(2)(3) ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ B=4/3। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ x=−1 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ −1=C(−1)(−3) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ C=−13 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਜਿਹੇ ਵਿਘਟਨ ਨਾਲ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਲਈ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇਹ ਸਥਿਰਾਂਕ ਅਰਥਹੀਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਰਣਨੀਤਕ ਬਦਲ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਜੋੜ ਕੇ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਚਾਰ ਹੈ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ A, B, ਅਤੇ C ਦੇ ਮੁੱਲ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਏਕੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਘਾਤ ਹਰ ਦੇ ਘਾਤ ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.30
Dividing before Applying Partial Fractions
Evaluate ∫x2+3x+1x2−4dx.∫x2+3x+1x2−4dx.
Solution
Since degree(x2+3x+1)≥degree(x2−4),degree(x2+3x+1)≥degree(x2−4), we must perform long division of polynomials. This results in
Next, we perform partial fraction decomposition on 3x+5x2−4=3x+5(x+2)(x−2).3x+5x2−4=3x+5(x+2)(x−2). We have
Thus,
Solving for AA and BB using either method, we obtain A=11/4A=11/4 and B=1/4.B=1/4.
Rewriting the original integral, we have
Evaluating the integral produces
As we see in the next example, it may be possible to apply the technique of partial fraction decomposition to a nonrational function. The trick is to convert the nonrational function to a rational function through a substitution.
Example 3.31
Applying Partial Fractions after a Substitution
Evaluate ∫cosxsin2x−sinxdx.∫cosxsin2x−sinxdx.
Solution
Let’s begin by letting u=sinx.u=sinx. Consequently, du=cosxdx.du=cosxdx. After making these substitutions, we have
Applying partial fraction decomposition to 1/u(u−1)1/u(u−1) gives 1u(u−1)=−1u+1u−1.1u(u−1)=−1u+1u−1.
Thus,
Checkpoint 3.18
Evaluate ∫x+1(x+3)(x−2)dx.∫x+1(x+3)(x−2)dx.
Repeated Linear Factors
For some applications, we need to integrate rational expressions that have denominators with repeated linear factors—that is, rational functions with at least one factor of the form (ax+b)n,(ax+b)n, where nn is a positive integer greater than or equal to 2.2. If the denominator contains the repeated linear factor (ax+b)n,(ax+b)n, then the decomposition must contain
As we see in our next example, the basic technique used for solving for the coefficients is the same, but it requires more algebra to determine the numerators of the partial fractions.
Example 3.32
Partial Fractions with Repeated Linear Factors
Evaluate ∫x−2(2x−1)2(x−1)dx.∫x−2(2x−1)2(x−1)dx.
1. ਹੱਲ
2. ਕਿਉਂਕਿ ਡਿਗਰੀ(x−2)<ਡਿਗਰੀ((2x−1)2(x−1)) ਹੈ, ਅਸੀਂ ਵਿਭਾਜਨ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ (2x−1)2 ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹੈ, ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ A/(2x−1)+B/(2x−1)2 ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
3. ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
4. ਅਸੀਂ ਫਿਰ A, B, ਅਤੇ C ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
Equating coefficients yields 2A+4C=0,2A+4C=0, −3A+B−4C=1,−3A+B−4C=1, and A−B+C=−2.A−B+C=−2. Solving this system yields A=2,A=2, B=3,B=3, and C=−1.C=−1.
5. ਬਦਲਵੇਂ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਰਣਨੀਤਕ ਸਥਾਪਨਾ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ 3.9 ਵਿੱਚ x=1 ਅਤੇ x=1/2 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ B=3 ਅਤੇ C=−1 ਦੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਅਜਿਹਾ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਚੰਗੇ ਵਿਕਲਪਾਂ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੋ ਗਏ ਹਾਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ B ਅਤੇ C ਲਈ ਮੁੱਲ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ x ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਨਹੀਂ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਮੁੱਲ x=0 ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਕਲਪ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ −2=A(−1)(−1)+3(−1)+(−1)(−1)2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ, A=2।
6. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ A, B, ਅਤੇ C ਲਈ ਮੁੱਲ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
7. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.19
8. ∫x+2(x+3)3(x−4)2dx ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। (ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਨਾ ਕਰੋ ਜਾਂ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਨਾ ਕਰੋ।)
9. ਆਮ ਵਿਧੀ
10. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਤਕਨੀਕ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਇਸ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਮੁਢਲੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ ਬਣਾਈਏ।
11. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
12. ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ
13. ਅਨੁਪਾਤਕ ਫਲਨ P(x)/Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
14. ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਡਿਗਰੀ(P(x))<ਡਿਗਰੀ(Q(x)) ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਲੰਬਾ ਭਾਗ ਕਰੋ।
15. Q(x) ਨੂੰ ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਕਾਰਕ ਬਣਾਓ। ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਕੋਈ ਅਸਲ ਸਿਫਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
16. ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ deg(P(x))<deg(Q(x)) ਹੈ, Q(x) ਦੇ ਕਾਰਕ P(x)/Q(x) ਦੇ ਵਿਭਾਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ Q(x) ਨੂੰ (a1x+b1)(a2x+b2)…(anx+bn) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਕਾਰਕ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਵੱਖਰਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਜਿਹੇ ਸਥਿਰਾਂਕ A1,A2,...An ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜੋ P(x)/Q(x)=A1/(a1x+b1)+A2/(a2x+b2)+⋯+An/(anx+bn) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ (ax+b)n ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ A1/(ax+b)+A2/(ax+b)2+⋯+An/(ax+b)n ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। Q(x) ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਰੇਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ ax2+bx+c ਲਈ, ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ (Ax+B)/(ax2+bx+c) ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ (ax2+bx+c)n ਲਈ, ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ (A1x+B1)/(ax2+bx+c)+(A2x+B2)/(ax2+bx+c)2+⋯+(Anx+Bn)/(ax2+bx+c)n ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਚਿਤ ਵਿਭਾਜਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਵਿਭਾਜਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਵਿਕਸਤ ਤਕਨੀਕਾਂ ਜਾਂ ਅਨੁਪਾਤ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
17. ਸਧਾਰਨ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ
18. ਹੁਣ ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੁਪਾਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਰੀਏ ਜਿਸਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਵਰਗਾਕਾਰ ax2+bx+c ਅਟੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ax2+bx+c=0 ਦੇ ਕੋਈ ਅਸਲ ਸਿਫਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ—ਯਾਨੀ, ਜੇਕਰ b2−4ac<0।
19. ਉਦਾਹਰਨ 3.33
20. ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ ਵਾਲੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਸਮੀਕਰਨ
21. ∫2x−3x3+xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਕਿਉਂਕਿ deg(2x−3)<deg(x3+x) ਹੈ, ਹਰ ਨੂੰ ਕਾਰਕ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧੋ। ਕਿਉਂਕਿ x3+x=x(x2+1) ਵਿੱਚ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ x2+1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਵਿਭਾਜਨ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ Ax+B/(x2+1) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ, ਨਾਲ ਹੀ ਰੇਖੀ ਪਦ x ਲਈ Cx/x। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵਿਭਾਜਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
24. ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
Solving for A,B,A,B, and C,C, we get A=3,A=3, B=2,B=2, and C=−3.C=−3.
ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ,
ਸਮਾਕਲਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਨੋਟ: ਅਸੀਂ ln|x^2+1|=ln(x^2+1) ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਚਾਹੀਏ, ਕਿਉਂਕਿ x^2+1>0।
ਉਦਾਹਰਨ 3.34
ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ
∫dx/(x^3-8) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ x^3−8=(x−2)(x^2+2x+4) ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ x^2+2x+4 ਅਟੁੱਟ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 2^2−4(1)(4)=−12<0। ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਵਿਘਟਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ A=1/12, B=−1/12, ਅਤੇ C=−1/3 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
∫dx/(x^3−8) ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
∫1/(x−2) dx=ln|x−2|+C, ਪਰ ∫(x+4)/(x^2+2x+4) dx ਲਈ ਥੋੜ੍ਹੀ ਹੋਰ ਮਿਹਨਤ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਆਓ x^2+2x+4 'ਤੇ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ
u=x+1 ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ du=dx ਮੰਨ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਮੂਲ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲ ਕੇ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਇੱਥੇ ਵੀ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੀਏ ਤਾਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਛੱਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ x^2+2x+4 ਸਾਰੇ x ਲਈ >0 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.35
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
f(x)=x^2(x^2+1)^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ [0,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਘੁੰਮਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ (ਚਿੱਤਰ 3.11 ਦੇਖੋ)। ਸਕੈਚ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਕਲਪ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.11: ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ deg((x^2+1)^2)=4>3=deg(x^3), ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ (x^2+1)^2 ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੈ। ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਵਿਘਟਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਲੱਭ ਕੇ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ A=1, B=0, C=−1, ਅਤੇ D=0। ਸੰਕਲਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.20
∫x2+3x+1(x+2)(x−3)2(x2+4)2dx.∫x2+3x+1(x+2)(x−3)2(x2+4)2dx. ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਛੋੜ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੋ ਸਰਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
1 ( x − 3 ) ( x − 2 )
x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 )
1 x 3 − x
3 x + 1 x 2
3x2x2+13x2x2+1 (ਸੰਕੇਤ: ਪਹਿਲਾਂ ਲੰਬੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।)
2 x 4 x 2 − 2 x 2 x 4 x 2 − 2 x
1 ( x − 1 ) ( x 2 + 1 )
1 x 2 ( x − 1 )
x x 2 − 4
1 x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )
1 x 4 − 1 = 1 ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x 2 + 1 )
3 x 2 x 3 − 1 = 3 x 2 ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 )
2 x ( x + 2 ) 2
3 x 4 + x 3 + 20 x 2 + 3 x + 31 ( x + 1 ) ( x 2 + 4 ) 2
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
∫ d x ( x − 3 ) ( x − 2 )
∫ 3 x x 2 + 2 x − 8 d x
∫ d x x 3 − x
∫ x x 2 − 4 d x
∫ d x x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ∫ d x x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )
∫ 2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x ∫ 2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x
∫ d x x 2 − 5 x + 6 ∫ d x x 2 − 5 x + 6
∫ 2 − x x 2 + x d x ∫ 2 − x x 2 + x d x
∫ 2 x 2 − x − 6 d x ∫ 2 x 2 − x − 6 d x
∫ d x x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8 ∫ d x x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8
∫ d x x 4 − 10 x 2 + 9 ∫ d x x 4 − 10 x 2 + 9
Evaluate the following integrals, which have irreducible quadratic factors.
∫ 2 ( x − 4 ) ( x 2 + 2 x + 6 ) d x ∫ 2 ( x − 4 ) ( x 2 + 2 x + 6 ) d x
∫ x 2 x 3 − x 2 + 4 x − 4 d x ∫ x 2 x 3 − x 2 + 4 x − 4 d x
∫ x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x ∫ x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x
∫ x ( x − 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) 2 d x ∫ x ( x − 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) 2 d x
Use the method of partial fractions to evaluate the following integrals.
∫ 3 x + 4 ( x 2 + 4 ) ( 3 − x ) d x ∫ 3 x + 4 ( x 2 + 4 ) ( 3 − x ) d x
∫ 2 ( x + 2 ) 2 ( 2 − x ) d x ∫ 2 ( x + 2 ) 2 ( 2 − x ) d x
∫3x+4x3−2x−4dx∫3x+4x3−2x−4dx (Hint: Use the rational root theorem.)
Use substitution to convert the integrals to integrals of rational functions. Then use partial fractions to evaluate the integrals.
∫01ex36−e2xdx∫01ex36−e2xdx (Give the exact answer and the decimal equivalent. Round to five decimal places.)
∫ e x e 2 x − e x d x ∫ e x e 2 x − e x d x
∫ sin x d x 1 − cos 2 x ∫ sin x d x 1 − cos 2 x
∫ sin x cos 2 x + cos x − 6 d x ∫ sin x cos 2 x + cos x − 6 d x
∫ 1 − x 1 + x d x ∫ 1 − x 1 + x d x
∫ d t ( e t − e − t ) 2 ∫ d t ( e t − e − t ) 2
∫ 1 + e x 1 − e x d x ∫ 1 + e x 1 − e x d x
∫ d x 1 + x + 1 ∫ d x 1 + x + 1
∫ d x x + x 4 ∫ d x x + x 4
∫ cos x sin x ( 1 − sin x ) d x ∫ cos x sin x ( 1 − sin x ) d x
∫ e x ( e 2 x − 4 ) 2 d x ∫ e x ( e 2 x − 4 ) 2 d x
∫ 1 2 1 x 2 4 − x 2 d x ∫ 1 2 1 x 2 4 − x 2 d x
∫ 1 2 + e − x d x ∫ 1 2 + e − x d x
∫ 1 1 + e x d x ∫ 1 1 + e x d x
Use the given substitution to convert the integral to an integral of a rational function, then evaluate.
∫ 1 t − t 3 d t t = x 3 ∫ 1 t − t 3 d t t = x 3
∫ 1 x + x 3 d x ; x = u 6 ∫ 1 x + x 3 d x ; x = u 6
Graph the curve y=x1+xy=x1+x over the interval [0,5].[0,5]. Then, find the area of the region bounded by the curve, the x-axis, and the line x=4.x=4.
Find the volume of the solid generated when the region bounded by y=1/x(3−x),y=1/x(3−x), y=0,y=0, x=1,x=1, and x=2x=2 is revolved about the x-axis.
The velocity of a particle moving along a line is a function of time given by v(t)=88t2t2+1.v(t)=88t2t2+1. Find the distance that the particle has traveled after t=5t=5 sec.
Solve the initial-value problem for x as a function of t.
( t 2 − 7 t + 12 ) d x d t = 1 , ( t > 4 , x ( 5 ) = 0 ) ( t 2 − 7 t + 12 ) d x d t = 1 , ( t > 4 , x ( 5 ) = 0 )
( t + 5 ) d x d t = x 2 + 1 , t > − 5 , x ( 1 ) = tan 1 ( t + 5 ) d x d t = x 2 + 1 , t > − 5 , x ( 1 ) = tan 1
( 2 t 3 − 2 t 2 + t − 1 ) d x d t = 3 , x ( 2 ) = 0 ( 2 t 3 − 2 t 2 + t − 1 ) d x d t = 3 , x ( 2 ) = 0
Find the x-coordinate of the centroid of the area bounded by
y(x2−9)=1,y(x2−9)=1, y=0,x=4,andx=5.y=0,x=4,andx=5. (Round the answer to two decimal places.)
Find the volume generated by revolving the area bounded by y=1x3+7x2+6x,x=1,x=7,andy=0y=1x3+7x2+6x,x=1,x=7,andy=0 about the y-axis.
Find the area bounded by y=x−12x2−8x−20,y=x−12x2−8x−20, y=0,x=2,andx=4.y=0,x=2,andx=4. (Round the answer to the nearest hundredth.)
Evaluate the integral ∫dxx3+1.∫dxx3+1.
For the following problems, use the substitutions tan(x2)=t,tan(x2)=t, dx=21+t2dt,dx=21+t2dt, sinx=2t1+t2,sinx=2t1+t2, and cosx=1−t21+t2.cosx=1−t21+t2.
∫ d x 3 − 5 sin x ∫ d x 3 − 5 sin x
y=11+sinxy=11+sinx ਦੇ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ, x=0x=0 ਤੋਂ x=π.x=π ਤੱਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮਾਪ ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ ਹਨ।)
1. ਜੇਕਰ tan(x2)=t, ਤਾਂ dx=21+t2dt, sinx=2t1+t2, ਅਤੇ cosx=1−t21+t2 ਦੇ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
∫x−83xdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।