ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਸਮਾਕਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਕਲਨ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਾਕਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਉਹਨਾਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਹੋਰ ਸਾਧਨ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਪਲਬਧ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸਾਧਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਸਾਰਣੀਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਇਸ ਪੁਸਤਕ ਦੇ ਅਨੁਬੰਧਾਂ ਸਮੇਤ ਕਈ ਪੁਸਤਕਾਂ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਉਪਲਬਧ ਹਨ। ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਵੀ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਪਲਬਧ ਹਨ, ਜੋ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕਈ ਕੈਂਪਸ ਕੰਪਿਊਟਰ ਲੈਬਾਂ ਵਿੱਚ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੁਫਤ ਆਨਲਾਈਨ ਉਪਲਬਧ ਹਨ।
ਸਮਾਕਲਨ ਸਾਰਣੀਆਂ
ਸਮਾਕਲਨ ਸਾਰਣੀਆਂ, ਜੇਕਰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਜਾਂ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਤਰੀਕਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਹੀ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰਾ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ, x=tanθ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਪਰ, x=sinhθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ - ਭਾਵ,
ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਦੋ ਹੱਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਭਾਵ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ sinh−1x=ln(x+x2+1)। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲੇ ਦੋ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਸਨ। ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਵੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਦੋ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.36
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਸਾਰਣੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
∫16−e2xexdx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ ਸਾਰਣੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਈ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਿੱਚ a2−u2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 16−e2x ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a=4 ਅਤੇ u=ex। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ du=exdx ਵੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ex ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇਸ ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
u=ex ਅਤੇ du=exdx ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ∫a2−u2u2du ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਕਲਨ ਸਾਰਣੀ (#88 ਅਨੁਬੰਧ A ਵਿੱਚ) ਤੋਂ,
ਇਸ ਲਈ,
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ
ਜੇਕਰ ਉਪਲਬਧ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ CAS ਸਮਾਕਲਨ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਰਣੀ ਦਾ ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਵਿਕਲਪ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਕਈ ਸਿਸਟਮ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਪਲਬਧ ਹਨ ਅਤੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤਣ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.37
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
∫dxx2−4 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ln|x2−42+x2|+C ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਨਤੀਜਾ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੁੰਦੀ।
ਹੱਲ
Wolfram Alpha ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ
Since these two antiderivatives differ by only a constant, the solutions are equivalent. We could have also demonstrated that each of these antiderivatives is correct by differentiating them.
Media
You can access an integral calculator for more examples.
Example 3.38
Using a CAS to Evaluate an Integral
Evaluate ∫sin3xdx∫sin3xdx using a CAS. Compare the result to 13cos3x−cosx+C,13cos3x−cosx+C, the result we might have obtained using the technique for integrating odd powers of sinxsinx discussed earlier in this chapter.
Solution
Using Wolfram Alpha, we obtain
This looks quite different from 13cos3x−cosx+C.13cos3x−cosx+C. To see that these antiderivatives are equivalent, we can make use of a few trigonometric identities:
Thus, the two antiderivatives are identical.
We may also use a CAS to compare the graphs of the two functions, as shown in the following figure.
Figure 3.12: The graphs of y=13cos3x−cosxy=13cos3x−cosx and y=112(cos(3x)−9cosx)y=112(cos(3x)−9cosx) are identical.
Checkpoint 3.21
Use a CAS to evaluate ∫dxx2+4.∫dxx2+4.
Use a table of integrals to evaluate the following integrals.
∫ 0 4 x 1 + 2 x d x ∫ 0 4 x 1 + 2 x d x
∫ x + 3 x 2 + 2 x + 2 d x ∫ x + 3 x 2 + 2 x + 2 d x
∫ x 3 1 + 2 x 2 d x ∫ x 3 1 + 2 x 2 d x
∫ 1 x 2 + 6 x d x ∫ 1 x 2 + 6 x d x
∫ x x + 1 d x ∫ x x + 1 d x
∫ x · 2 x 2 d x ∫ x · 2 x 2 d x
∫ 1 4 x 2 + 25 d x ∫ 1 4 x 2 + 25 d x
∫ d y 4 − y 2 ∫ d y 4 − y 2
∫ sin 3 ( 2 x ) cos ( 2 x ) d x ∫ sin 3 ( 2 x ) cos ( 2 x ) d x
∫ csc ( 2 w ) cot ( 2 w ) d w ∫ csc ( 2 w ) cot ( 2 w ) d w
∫ 2 y d y ∫ 2 y d y
∫ 0 1 3 x d x x 2 + 8 ∫ 0 1 3 x d x x 2 + 8
∫ −1 / 4 1 / 4 sec 2 ( π x ) tan ( π x ) d x ∫ −1 / 4 1 / 4 sec 2 ( π x ) tan ( π x ) d x
∫ 0 π / 2 tan 2 ( x 2 ) d x ∫ 0 π / 2 tan 2 ( x 2 ) d x
∫ cos 3 x d x ∫ cos 3 x d x
∫ tan 5 ( 3 x ) d x ∫ tan 5 ( 3 x ) d x
∫ sin 2 y cos 3 y d y ∫ sin 2 y cos 3 y d y
Use a CAS to evaluate the following integrals. Tables can also be used to verify the answers.
[T] ∫dw1+sec(w2)∫dw1+sec(w2)
[T] ∫dw1−cos(7w)∫dw1−cos(7w)
[T] ∫0tdt4cost+3sint∫0tdt4cost+3sint
[T] ∫x2−93xdx∫x2−93xdx
[T] ∫dxx1/2+x1/3∫dxx1/2+x1/3
[T] ∫dxxx−1∫dxxx−1
[T] ∫x3sinxdx∫x3sinxdx
[T] ∫xx4−9dx∫xx4−9dx
[T] ∫x1+e−x2dx∫x1+e−x2dx
[T] ∫3−5x2xdx∫3−5x2xdx
[T] ∫dxxx−1∫dxxx−1
[T] ∫excos−1(ex)dx∫excos−1(ex)dx
Use a calculator or CAS to evaluate the following integrals.
[T] ∫0π/4cos(2x)dx∫0π/4cos(2x)dx
[T] ∫01x·e−x2dx∫01x·e−x2dx
[T] ∫082xx2+36dx∫082xx2+36dx
[T] ∫02/314+9x2dx∫02/314+9x2dx
[T] ∫dxx2+4x+13∫dxx2+4x+13
[T] ∫dx1+sinx∫dx1+sinx
Use tables to evaluate the integrals. You may need to complete the square or change variables to put the integral into a form given in the table.
∫ d x x 2 + 2 x + 10 ∫ d x x 2 + 2 x + 10
∫ d x x 2 − 6 x ∫ d x x 2 − 6 x
∫ e x e 2 x − 4 d x ∫ e x e 2 x − 4 d x
∫ cos x sin 2 x + 2 sin x d x ∫ cos x sin 2 x + 2 sin x d x
∫ arctan ( x 3 ) x 4 d x ∫ arctan ( x 3 ) x 4 d x
∫ ln | x | arcsin ( ln | x | ) x d x ∫ ln | x | arcsin ( ln | x | ) x d x
Use tables to perform the integration.
∫ d x x 2 + 16 ∫ d x x 2 + 16
∫ 3 x 2 x + 7 d x ∫ 3 x 2 x + 7 d x
∫ d x 1 − cos ( 4 x ) ∫ d x 1 − cos ( 4 x )
∫ d x 4 x + 1 ∫ d x 4 x + 1
Find the area bounded by y=54+25x2,x=0,y=0,andx=4.y=54+25x2,x=0,y=0,andx=4. Use a table of integrals or a CAS.
The region bounded between the curve y=11+cosx,0.3≤x≤1.1,y=11+cosx,0.3≤x≤1.1, and the x-axis is revolved about the x-axis to generate a solid. Use a table of integrals to find the volume of the solid generated. (Round the answer to two decimal places.)
Use substitution and a table of integrals to find the area of the surface generated by revolving the curve y=ex,0≤x≤3,y=ex,0≤x≤3, about the x-axis. (Round the answer to two decimal places.)
[T] Use an integral table and a calculator to find the area of the surface generated by revolving the curve y=x22,0≤x≤1,y=x22,0≤x≤1, about the x-axis. (Round the answer to two decimal places.)
[T] Use a CAS or tables to find the area of the surface generated by revolving the curve y=cosx,0≤x≤π2,y=cosx,0≤x≤π2, about the x-axis. (Round the answer to two decimal places.)
Find the length of the curve y=x24y=x24 over [0,8].[0,8].
Find the length of the curve y=exy=ex over [0,ln(2)].[0,ln(2)].
Find the area of the surface formed by revolving the graph of y=2xy=2x over the interval [0,9][0,9] about the x-axis.
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1x2+1 ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ [-3,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਵਕਰ y=tan(πx) ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ [0,14] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰੋ। (ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)