Learning Objectives
3.6.1 Approximate the value of a definite integral by using the midpoint and trapezoidal rules.
3.6.2 Determine the absolute and relative error in using a numerical integration technique.
3.6.3 Estimate the absolute and relative error using an error-bound formula.
3.6.4 Recognize when the midpoint and trapezoidal rules over- or underestimate the true value of an integral.
3.6.5 Use Simpson’s rule to approximate the value of a definite integral to a given accuracy.
The antiderivatives of many functions either cannot be expressed or cannot be expressed easily in closed form (that is, in terms of known functions). Consequently, rather than evaluate definite integrals of these functions directly, we resort to various techniques of numerical integration to approximate their values. In this section we explore several of these techniques. In addition, we examine the process of estimating the error in using these techniques.
The Midpoint Rule
Earlier in this text we defined the definite integral of a function over an interval as the limit of Riemann sums. In general, any Riemann sum of a function f(x)f(x) over an interval [a,b][a,b] may be viewed as an estimate of ∫abf(x)dx.∫abf(x)dx. Recall that a Riemann sum of a function f(x)f(x) over an interval [a,b][a,b] is obtained by selecting a partition
and a set
The Riemann sum corresponding to the partition PP and the set SS is given by ∑i=1nf(xi*)Δxi,∑i=1nf(xi*)Δxi, where Δxi=xi−xi−1,Δxi=xi−xi−1, the length of the ith subinterval.
The midpoint rule for estimating a definite integral uses a Riemann sum with subintervals of equal width and the midpoints, mi,mi, of each subinterval in place of xi*.xi*. Formally, we state a theorem regarding the convergence of the midpoint rule as follows.
Theorem 3.3
The Midpoint Rule
Assume that f(x)f(x) is continuous on [a,b].[a,b]. Let n be a positive integer and Δx=b−an.Δx=b−an. If [a,b][a,b] is divided into nn subintervals, each of length Δx,Δx, and mimi is the midpoint of the ith subinterval, set
Then limn→∞Mn=∫abf(x)dx.limn→∞Mn=∫abf(x)dx.
As we can see in Figure 3.13, if f(x)≥0f(x)≥0 over [a,b],[a,b], then ∑i=1nf(mi)Δx∑i=1nf(mi)Δx corresponds to the sum of the areas of rectangles approximating the area between the graph of f(x)f(x) and the x-axis over [a,b].[a,b]. The graph shows the rectangles corresponding to M4M4 for a nonnegative function over a closed interval [a,b].[a,b].
Figure 3.13: The midpoint rule approximates the area between the graph of f(x)f(x) and the x-axis by summing the areas of rectangles with midpoints that are points on f(x).f(x).
Example 3.39
Using the Midpoint Rule with M4M4
Use the midpoint rule to estimate ∫01x2dx∫01x2dx using four subintervals. Compare the result with the actual value of this integral.
Solution
Each subinterval has length Δx=1−04=14.Δx=1−04=14. Therefore, the subintervals consist of
The midpoints of these subintervals are {18,38,58,78}.{18,38,58,78}. Thus,
Since
we see that the midpoint rule produces an estimate that is somewhat close to the actual value of the definite integral.
Example 3.40
Using the Midpoint Rule with M6M6
Use M6M6 to estimate the length of the curve y=12x2y=12x2 on [1,4].[1,4].
Solution
The length of y=12x2y=12x2 on [1,4][1,4] is
Since dydx=x,dydx=x, this integral becomes ∫141+x2dx.∫141+x2dx.
If [1,4][1,4] is divided into six subintervals, then each subinterval has length Δx=4−16=12Δx=4−16=12 and the midpoints of the subintervals are {54,74,94,114,134,154}.{54,74,94,114,134,154}. If we set f(x)=1+x2,f(x)=1+x2,
Checkpoint 3.22
Use the midpoint rule with n=2n=2 to estimate ∫121xdx.∫121xdx.
The Trapezoidal Rule
We can also approximate the value of a definite integral by using trapezoids rather than rectangles. In Figure 3.14, the area beneath the curve is approximated by trapezoids rather than by rectangles.
Figure 3.14: Trapezoids may be used to approximate the area under a curve, hence approximating the definite integral.
The trapezoidal rule for estimating definite integrals uses trapezoids rather than rectangles to approximate the area under a curve. To gain insight into the final form of the rule, consider the trapezoids shown in Figure 3.14. We assume that the length of each subinterval is given by Δx.Δx. First, recall that the area of a trapezoid with a height of h and bases of length b1b1 and b2b2 is given by Area=12h(b1+b2).Area=12h(b1+b2). We see that the first trapezoid has a height ΔxΔx and parallel bases of length f(x0)f(x0) and f(x1).f(x1). Thus, the area of the first trapezoid in Figure 3.14 is
The areas of the remaining three trapezoids are
Consequently,
After taking out a common factor of 12Δx12Δx and combining like terms, we have
Generalizing, we formally state the following rule.
Theorem 3.4
The Trapezoidal Rule
Assume that f(x)f(x) is continuous over [a,b].[a,b]. Let n be a positive integer and Δx=b−an.Δx=b−an. Let [a,b][a,b] be divided into nn subintervals, each of length Δx,Δx, with endpoints at P={x0,x1,x2…,xn}.P={x0,x1,x2…,xn}. Set
Then, limn→+∞Tn=∫abf(x)dx.limn→+∞Tn=∫abf(x)dx.
Before continuing, let’s make a few observations about the trapezoidal rule. First of all, it is useful to note that
ਭਾਵ, LnLn ਅਤੇ RnRn ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਚਿੱਤਰ 3.15 ਦੀ ਧਿਆਨਪੂਰਵਕ ਜਾਂਚ ਸਾਨੂੰ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕੂਲਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮਾਂ ਅਤੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਾਰੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕੂਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀਗਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੱਧ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਰੁਝਾਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਉੱਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕੂਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀਗਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘੱਟ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਰੁਝਾਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਉੱਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਇਹਨਾਂੋ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਇਹਨਾਂੋ ਹੀ ਕਿਸਮਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕੂਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੱਧ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਕੇ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘੱਟ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਕੇ ਇਹਨਾਂੋ ਗਲਤੀਆਂ ਨੂੰ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਔਸਤ ਕਰਨ ਦਾ ਰੁਝਾਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.15: ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਸਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.41
ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਚਾਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01x2dx∫01x2dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਸਮੂਹ P={0,14,12,34,1}P={0,14,12,34,1} ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨਾਲ ਬਣੇ ਹਨ ਅਤੇ Δx=1−04=14।Δx=1−04=14। ਇਸ ਲਈ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.23
∫121xdx.∫121xdx. ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ n=2n=2 ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸੰਪੂਰਨ ਅਤੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਲਤੀ
ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਅਨੁਮਾਨ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪਹਿਲੂ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕੂਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸੰਪੂਰਨ ਗਲਤੀ ਅਤੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇਕਰ BB ਕਿਸੇ ਅਜਿਹੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਸਾਡਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਸਲ ਮੁੱਲ AA ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਪੂਰਨ ਗਲਤੀ |A−B|.|A−B| ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਲਤੀ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਜੋਂ ਗਲਤੀ ਹੈ ਅਤੇ |A−BA|=|A−BA|·100% ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.42
ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਉਦਾਹਰਨ 3.39 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01x2dx∫01x2dx ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਸੰਪੂਰਨ ਅਤੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਲਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਗਿਣਿਆ ਗਿਆ ਮੁੱਲ ∫01x2dx=13∫01x2dx=13 ਹੈ ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਤੋਂ ਸਾਡਾ ਅਨੁਮਾਨ M4=2164.M4=2164 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸੰਪੂਰਨ ਗਲਤੀ |(13)−(2164)|=1192≈0.0052.|(13)−(2164)|=1192≈0.0052। ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਲਤੀ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 3.43
ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਉਦਾਹਰਨ 3.41 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01x2dx∫01x2dx ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਸੰਪੂਰਨ ਅਤੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਲਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਗਿਣਿਆ ਗਿਆ ਮੁੱਲ ∫01x2dx=13∫01x2dx=13 ਹੈ ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਤੋਂ ਸਾਡਾ ਅਨੁਮਾਨ T4=1132.T4=1132 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸੰਪੂਰਨ ਗਲਤੀ |13−1132|=196≈0.0104.|13−1132|=196≈0.0104। ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਲਤੀ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.24
1. ਪਿਛਲੇ ਇੱਕ ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ T2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫121xdx ਦਾ ਮੁੱਲ 2435 ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ln2 ਹੈ। 2435 ≈ 0.6857 ਅਤੇ ln2 ≈ 0.6931 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਨਿਰਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ ਅਤੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਤਰੁੱਟੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
2. ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕੇ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ ਲਗਜ਼ਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗਿਣ ਨਹੀਂ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਤਰੁੱਟੀ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਅਕਸਰ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਥਿਊਰਮ ਮਿਡਪੁਆਇੰਟ ਅਤੇ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮਾਂ ਲਈ ਤਰੁੱਟੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਥਿਊਰਮ ਸਬੂਤ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
3. ਥਿਊਰਮ 3.5
4. ਮਿਡਪੁਆਇੰਟ ਅਤੇ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮਾਂ ਲਈ ਤਰੁੱਟੀ ਸੀਮਾਵਾਂ
5. ਮੰਨ ਲਓ f(x) [a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f″(x) ਹੈ। ਜੇਕਰ M, [a,b] ਉੱਤੇ |f″(x)| ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ∫abf(x)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ Mn ਅਤੇ Tn ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਤਰੁੱਟੀ ਲਈ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ
6. ਅਤੇ
7. ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ n ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਤਰੁੱਟੀ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 3.44
9. ਵਰਤਣ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
10. ∫01ex2dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ 0.01 ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਤੱਕ ਗਾਰੰਟੀ ਦੇਣ ਲਈ n ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮਿਡਪੁਆਇੰਟ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ?
11. ਹੱਲ
12. ਅਸੀਂ f(x)=ex2 ਲਈ [0,1] ਉੱਤੇ |f″(x)| ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ, M, ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ f′(x)=2xex2, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
13. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
14. ਤਰੁੱਟੀ-ਸੀਮਾ ਸਮੀਕਰਨ 3.12 ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
15. ਹੁਣ ਅਸੀਂ n ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
16. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, n≥600e24≈8.24। ਕਿਉਂਕਿ n ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, n=9 ਦੀ ਚੋਣ ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਦੇਵੇਗੀ ਕਿ |∫01ex2dx−Mn|<0.01।
17. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
18. ਸਾਨੂੰ 8.24 ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਗੋਲ ਕਰਨ ਅਤੇ n=8 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦਾ ਲਾਲਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਸੀ, ਪਰ ਇਹ ਗਲਤ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 8.24 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤਰੁੱਟੀ ਅਨੁਮਾਨ ਕੇਵਲ ਤਰੁੱਟੀ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸਲ ਅਨੁਮਾਨ, ਤਰੁੱਟੀ ਸੀਮਾ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਵਧੀਆ ਅਨੁਮਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
19. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.25
20. ∫01x2dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ M4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਤਰੁੱਟੀ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 3.13 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਸਿਮਪਸਨ ਦਾ ਨਿਯਮ
22. ਮਿਡਪੁਆਇੰਟ ਨਿਯਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ। ਇੱਕ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦਾ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ। ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਕਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ। ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ, ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਇੱਕ ਵਕਰ ਦਾ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਈਏ? ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ ਇਹੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਸਮਾਨ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਅਸੀਂ ∫x0x2f(x)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ∫x0x2p(x)dx ਨਾਲ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ p(x)=Ax2+Bx+C ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), ਅਤੇ (x2,f(x2)) (ਚਿੱਤਰ 3.16) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਅਗਲੇ ਦੋ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਅਸੀਂ ∫x2x4f(x)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ (x2,f(x2)), (x3,f(x3)), ਅਤੇ (x4,f(x4)) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨਾਲ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹਰੇਕ ਲਗਾਤਾਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨਾਲ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
23. ਚਿੱਤਰ 3.16: ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
24. ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਲਈ ਜੋ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਸਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਨਿਰਮਾਣ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
x2−x0=2Δx, ਜਿੱਥੇ ΔxΔx ਇੱਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ।
ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ,
ਜੇ ਅਸੀਂ ∫x2x4f(x)dx∫x2x4f(x)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਉਸੇ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਨਿਯਮ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 3.6
ਸਿਮਸਨ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x)f(x) [a,b].[a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ n ਇੱਕ ਧਨ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ Δx=b−an.Δx=b−an। ਮੰਨ ਲਓ [a,b][a,b] ਨੂੰ nn ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ Δx,Δx ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਅੰਤਮ ਬਿੰਦੂ P={x0,x1,x2,…,xn}.P={x0,x1,x2,…,xn} ਹਨ। ਸੈੱਟ ਕਰੋ
ਤਾਂ,
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਹੈ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਿਮਸਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਭਾਰੀ ਔਸਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ S2n=(23)Mn+(13)Tn.S2n=(23)Mn+(13)Tn.
ਇਹ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਿਮਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਗਲਤੀ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਲਗਾਈ ਜਾਵੇ। ਗਲਤੀ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:
ਨਿਯਮ: ਸਿਮਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) [a,b][a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਚੌਥਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, f(4)(x),f(4)(x), ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਜੇ MM, [a,b],[a,b] ਉੱਤੇ |f(4)(x)||f(4)(x)| ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ∫abf(x)dx∫abf(x)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ SnSn ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਲਈ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 3.45
ਸਿਮਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ 1
S2S2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01x3dx.∫01x3dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। S2.S2 ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ [0,1][0,1] ਨੂੰ ਦੋ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ Δx=1−02=12.Δx=1−02=12 ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤਮ ਬਿੰਦੂ {0,12,1}.{0,12,1} ਹਨ। ਜੇ ਅਸੀਂ f(x)=x3,f(x)=x3 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ
S4=13·12(f(0)+4f(12)+f(1))=16(0+4·18+1)=14.S4=13·12(f(0)+4f(12)+f(1))=16(0+4·18+1)=14. ਕਿਉਂਕਿ f(4)(x)=0f(4)(x)=0 ਅਤੇ ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ M=0,M=0, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਹ ਸੀਮਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਿਮਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੁੱਲ ਸਹੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਜਾਂਚ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੇਗੀ ਕਿ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ∫01x3dx=14.∫01x3dx=14.
ਉਦਾਹਰਨ 3.46
ਸਿਮਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ 2
y=12x2y=12x2 ਦੇ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ S6S6 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ [1,4].[1,4] ਉੱਤੇ।
ਹੱਲ
The length of y=12x2y=12x2 over [1,4][1,4] is ∫141+x2dx.∫141+x2dx. If we divide [1,4][1,4] into six subintervals, then each subinterval has length Δx=4−16=12,Δx=4−16=12, and the endpoints of the subintervals are {1,32,2,52,3,72,4}.{1,32,2,52,3,72,4}. Setting f(x)=1+x2,f(x)=1+x2,
After substituting, we have
Checkpoint 3.26
Use S2S2 to estimate ∫121xdx.∫121xdx.
Approximate the following integrals using either the midpoint rule, trapezoidal rule, or Simpson’s rule as indicated. (Round answers to three decimal places.)
∫12dxx;∫12dxx; trapezoidal rule; n=5n=5
∫034+x3dx;∫034+x3dx; trapezoidal rule; n=6n=6
∫034+x3dx;∫034+x3dx; trapezoidal rule; n=3n=3
∫012x2dx;∫012x2dx; midpoint rule; n=6n=6
∫01sin2(πx)dx;∫01sin2(πx)dx; midpoint rule; n=3n=3
Use the midpoint rule with eight subdivisions to estimate ∫24x2dx.∫24x2dx.
Use the trapezoidal rule with four subdivisions to estimate ∫24x2dx.∫24x2dx.
Find the exact value of ∫24x2dx.∫24x2dx. Find the error of approximation between the exact value and the value calculated using the trapezoidal rule with four subdivisions. Draw a graph to illustrate.
Approximate the integral to three decimal places using the indicated rule.
∫01sin2(πx)dx;∫01sin2(πx)dx; trapezoidal rule; n=6n=6
∫0311+x3dx;∫0311+x3dx; trapezoidal rule; n=6n=6
∫0311+x3dx;∫0311+x3dx; trapezoidal rule; n=3n=3
∫00.8e−x2dx;∫00.8e−x2dx; trapezoidal rule; n=4n=4
∫00.8e−x2dx;∫00.8e−x2dx; Simpson’s rule; n=4n=4
∫00.4sin(x2)dx;∫00.4sin(x2)dx; trapezoidal rule; n=4n=4
∫00.4sin(x2)dx;∫00.4sin(x2)dx; Simpson’s rule; n=4n=4
∫0.10.5cosxxdx;∫0.10.5cosxxdx; trapezoidal rule; n=4n=4
∫0.10.5cosxxdx;∫0.10.5cosxxdx; Simpson’s rule; n=4n=4
Evaluate ∫01dx1+x2∫01dx1+x2 exactly and show that the result is π/4.π/4. Then, find the approximate value of the integral using the trapezoidal rule with n=4n=4 subdivisions. Use the result to approximate the value of π.π.
ਚਾਰ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫241lnxdx∫241lnxdx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਚਾਰ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫241lnxdx∫241lnxdx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਚਾਰ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫00.8x3dx∫00.8x3dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਚਾਰ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫00.8x3dx.∫00.8x3dx. ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗਲਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਚਾਰ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫0π/2cos(x)dx.∫0π/2cos(x)dx. ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ∫01xe−xdx=1−2e.∫01xe−xdx=1−2e. ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਹੈ। 16 ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ 'ਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਗਲਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ∫01xe−xdx=1−2e,∫01xe−xdx=1−2e, ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ 16 ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਗਲਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਛੇ ਕਦਮਾਂ ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫03(5x+4)dx∫03(5x+4)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੱਤ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫451(x−1)2dx∫451(x−1)2dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
n=10 ਕਦਮਾਂ ਨਾਲ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫03(6x2−1)dx∫03(6x2−1)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
n=10 ਕਦਮਾਂ ਨਾਲ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫251x−1dx∫251x−1dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਚਾਰ ਕਦਮਾਂ ਨਾਲ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫0π2xcos(x)dx∫0π2xcos(x)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 0.0001 ਤੋਂ ਘੱਟ ਗਲਤੀ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨਾਲ ∫14(5x2+8)dx∫14(5x2+8)dx ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
n ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ 0.01 ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਲਤੀ ਨਾਲ ∫011+x2dx∫011+x2dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕੇ।
ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 0.0001 ਤੋਂ ਘੱਟ ਗਲਤੀ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨਾਲ ∫23(2x3+4x)dx∫23(2x3+4x)dx ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 0.0001 ਤੋਂ ਘੱਟ ਗਲਤੀ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨਾਲ ∫341(x−1)2dx∫341(x−1)2dx ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਚਾਰ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ y=12πe−x2/2y=12πe−x2/2 ਦੇ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, x=0x=0 ਤੋਂ x=0.4.x=0.4 ਤੱਕ।
n=14 ਨਾਲ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ) y=0,y=0, x=0,x=0, ਅਤੇ x=π/2.x=π/2. ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਕਰਵ y=3sin(2x)y=3sin(2x) ਦੇ ਇੱਕ ਆਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ L=∫0π/21+36cos2(2x)dx.L=∫0π/21+36cos2(2x)dx. ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। n=6 ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ L ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।n=6.
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ x=acos(t),y=bsin(t),0≤t≤2πx=acos(t),y=bsin(t),0≤t≤2π L=4a∫0π/21−e2cos2(t)dt,L=4a∫0π/21−e2cos2(t)dt, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ e ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ a=2a=2 ਅਤੇ e=1/3.e=1/3. ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ n=6n=6 ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਰਵ y=cos(2x),0≤x≤π4y=cos(2x),0≤x≤π4 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਛੇ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੇਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
y=2x2,y=2x2, 0≤x≤30≤x≤3 ਕਰਵ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। n=6.n=6 ਨਾਲ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਖਾਸ ਦਰੱਖਤ ਦੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ (ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ) y=2t+1+e−t2/2,y=2t+1+e−t2/2, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਦਰੱਖਤ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, ਦੋ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 25 ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01sin(πx)dx∫01sin(πx)dx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਲਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
1. ∫15(3x2−2x)dx=100 ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੈ, 16 ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਨਾਲ ਟ੍ਰੈਪੀਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸਮਾਕਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲਗਭਗ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਇਹ ਜਾਣਦਿਆਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਾਂ ਲਈ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਵਿਧੀਆਂ ਕਿਉਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹਾਂਗੇ?
3. ਇਹ ਸਾਰਣੀ ਇੱਕ ਪਲਾਟ ਦੀ ਸੀਮਾ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਮਾਪ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਮੀਟਰ ਹਨ। ਇਸ ਪਲਾਟ ਵਿੱਚ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਵਰਗ ਮੀਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਟ੍ਰੈਪੀਜ਼ੋਇਡਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: x | y | x | y
5. ਕਤਾਰ: 0 | 125 | 600 | 95
6. ਕਤਾਰ: 100 | 125 | 700 | 88
7. ਕਤਾਰ: 200 | 120 | 800 | 75
8. ਕਤਾਰ: 300 | 112 | 900 | 35
9. ਕਤਾਰ: 400 | 90 | 1000 | 0
10. ਕਤਾਰ: 500 | 90
11. ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ। ਜਦੋਂ ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ____ ਹੋਵੇ।
12. ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ
13. ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ
14. ਕੋਈ ਵੀ ਸਮ ਜਾਂ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ
15. 4 ਦਾ ਗੁਣਜ
16. "ਸਿਮਪਸਨ" ਜੋੜ ____ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ।
17. ਸਿਮਪਸਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਲਈ ਤਰੁੱਟੀ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ____ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
18. f(x)
19. f′(x)
20. f(4)(x)
21. ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ