ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
3.7.1 ਅਨੰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
3.7.2 ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਨੰਤ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਵਾਲੇ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
3.7.3 ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਲਨਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਕਨਵਰਜੈਂਟ ਹੈ।
ਕੀ f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ [1, +∞) ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ? ਜੇਕਰ ਇਹੋ ਖੇਤਰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਕੀ ਆਇਤਨ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ? ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਵਰਣਿਤ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਨੰਤ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਨੰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਇੰਪ੍ਰਾਪਰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੰਪ੍ਰਾਪਰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਵਿੱਚ ਲਿਮਟਾਂ ਲੈਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਅਨੰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ∫a+∞f(x)dx ਕਿਸਮ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ? ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ t ਮੁੱਲ ਲਈ ∫atf(x)dx ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਵਾਜਬ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ t ਦੇ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਚਿੱਤਰ 3.17 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ∫atf(x)dx ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ t ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇੰਪ੍ਰਾਪਰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਲਿਮਟ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦੀ ਜਾਂ ਘਟਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.17: ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਣ ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਲਿਮਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) [a, +∞) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਫਿਰ ∫a+∞f(x)dx = limt→+∞∫atf(x)dx, (3.16) ਬਸ਼ਰਤੇ ਇਹ ਲਿਮਟ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ।
ਮੰਨ ਲਓ f(x) (−∞, b] ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਫਿਰ ∫−∞bf(x)dx = limt→−∞∫tbf(x)dx, (3.17) ਬਸ਼ਰਤੇ ਇਹ ਲਿਮਟ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ। ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਲਿਮਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਪ੍ਰਾਪਰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਲਿਮਟ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਪ੍ਰਾਪਰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ f(x) (−∞, +∞) ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਫਿਰ ∫−∞+∞f(x)dx = ∫−∞0f(x)dx + ∫0+∞f(x)dx, (3.18) ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ∫−∞0f(x)dx ਅਤੇ ∫0+∞f(x)dx ਦੋਵੇਂ ਕਨਵਰਜ ਕਰਨ। ਜੇਕਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ∫−∞+∞f(x)dx ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ∫−∞+∞f(x)dx = ∫−∞af(x)dx + ∫a+∞f(x)dx ਕਿਸੇ ਵੀ a ਮੁੱਲ ਲਈ।)
ਆਪਣੇ ਪਹਿਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਵਾਲ ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਸੀ: ਕੀ f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ [1, +∞) ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.47
ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ [1, +∞) ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਵਾਲ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਦਾ ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਸਕੈਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.18: ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਕਰਵ f(x)=1/x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A = ∫1∞1/x dx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ ਇੰਪ੍ਰਾਪਰ ਇੰਟੀਗਰਲ +∞ ਤੱਕ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਨੰਤ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.48
ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
1. f(x)=1/x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ [1,∞) ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਹੱਲ
3. ਠੋਸ ਚਿੱਤਰ 3.19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਇਤਨ V ਹੈ
4. ਚਿੱਤਰ 3.19: ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
5. ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
6. ਅਣਉਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ π 'ਤੇ ਸਿੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ π ਹੈ।
7. ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਭਾਵੇਂ ਕਿ f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ [1,∞) ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਨੰਤ ਹੈ, ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਬਣੇ ਹੋਏ ਠੋਸ ਨੂੰ ਗੈਬਰੀਅਲ ਦਾ ਸਿੰਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
8. ਮੀਡੀਆ
9. ਗੈਬਰੀਅਲ ਦੇ ਸਿੰਗ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਪੜ੍ਹਨ ਲਈ ਇਸ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਜਾਓ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 3.49
11. ਅਧਿਆਇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ: ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੈਫਿਕ ਹਾਦਸੇ
12. ਚਿੱਤਰ 3.20: (ਸਿਹਰਾ: ਡੇਵਿਡ ਮੈਕਕੈਲਵੀ, ਫਲਿੱਕਰ ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
13. ਅਧਿਆਇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੱਸੀ: ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਅਸਤ ਚੌਕ 'ਤੇ, ਟ੍ਰੈਫਿਕ ਹਾਦਸੇ ਔਸਤਨ ਤਿੰਨ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਵਾਸੀਆਂ ਦੀ ਸ਼ਿਕਾਇਤ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਚੌਕ ਦੇ ਟ੍ਰੈਫਿਕ ਲਾਈਟਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਕੀਤੇ ਗਏ। ਬਦਲਾਅ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਹੁਣ ਦਸ ਮਹੀਨੇ ਹੋ ਗਏ ਹਨ ਅਤੇ ਕੋਈ ਹਾਦਸਾ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ। ਕੀ ਬਦਲਾਅ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਸਨ ਜਾਂ 10 ਮਹੀਨਿਆਂ ਦਾ ਹਾਦਸੇ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਮੌਕੇ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ?
14. ਹੱਲ
15. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੋਧੋ: ਮੰਨ ਲਓ x ਅਗਲੇ ਹਾਦਸੇ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਲਈ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x>10 ਹੋਣ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਦਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ λ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਹਾਦਸਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ, a>0 ਲਈ,
16. ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਕਿਉਂਕਿ ਔਸਤਨ ਤਿੰਨ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਾਦਸਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, λ=1/3। ਲੋੜੀਂਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ:
17. 3.8×10⁻¹¹ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਹਾਲਾਤਾਂ ਅਧੀਨ 8 ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹਾਦਸਾ ਨਾ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਮੁੱਲ ਬਹੁਤ, ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੈ, ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣਾ ਵਾਜਬ ਹੈ ਕਿ ਬਦਲਾਅ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਸਨ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 3.50
19. ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਅਣਉਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
20. ∫⁻∞₀ 1/(x²+4) dx ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਅਣਉਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਸਿੱਟਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
21. ਹੱਲ
22. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ 3.17 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ∫⁻∞₀ 1/(x²+4) dx ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
23. ਅਣਉਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ π/4 'ਤੇ ਸਿੱਟਦਾ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 3.51
Evaluating an Improper Integral on (−∞,+∞)(−∞,+∞)
Evaluate ∫−∞+∞xexdx.∫−∞+∞xexdx. State whether the improper integral converges or diverges.
Solution
Start by splitting up the integral:
If either ∫−∞0xexdx∫−∞0xexdx or ∫0+∞xexdx∫0+∞xexdx diverges, then ∫−∞+∞xexdx∫−∞+∞xexdx diverges. Compute each integral separately. For the first integral,
The first improper integral converges. For the second integral,
Thus, ∫0+∞xexdx∫0+∞xexdx diverges. Since this integral diverges, ∫−∞+∞xexdx∫−∞+∞xexdx diverges as well.
Checkpoint 3.27
Evaluate ∫−3+∞e−xdx.∫−3+∞e−xdx. State whether the improper integral converges or diverges.
Integrating a Discontinuous Integrand
Now let’s examine integrals of functions containing an infinite discontinuity in the interval over which the integration occurs. Consider an integral of the form ∫abf(x)dx,∫abf(x)dx, where f(x)f(x) is continuous over [a,b)[a,b) and discontinuous at b.b. Since the function f(x)f(x) is continuous over [a,t][a,t] for all values of tt satisfying a<t<b,a<t<b, the integral ∫atf(x)dx∫atf(x)dx is defined for all such values of t.t. Thus, it makes sense to consider the values of ∫atf(x)dx∫atf(x)dx as tt approaches bb for a<t<b.a<t<b. That is, we define ∫abf(x)dx=limt→b−∫atf(x)dx,∫abf(x)dx=limt→b−∫atf(x)dx, provided this limit exists. Figure 3.21 illustrates ∫atf(x)dx∫atf(x)dx as areas of regions for values of tt approaching b.b.
Figure 3.21: As t approaches b from the left, the value of the area from a to t approaches the area from a to b.
We use a similar approach to define ∫abf(x)dx,∫abf(x)dx, where f(x)f(x) is continuous over (a,b](a,b] and discontinuous at a.a. We now proceed with a formal definition.
Definition
Let f(x)f(x) be continuous over [a,b).[a,b). Then, ∫abf(x)dx=limt→b−∫atf(x)dx.∫abf(x)dx=limt→b−∫atf(x)dx. (3.19)
Let f(x)f(x) be continuous over (a,b].(a,b]. Then, ∫abf(x)dx=limt→a+∫tbf(x)dx.∫abf(x)dx=limt→a+∫tbf(x)dx. (3.20) In each case, if the limit exists, then the improper integral is said to converge. If the limit does not exist, then the improper integral is said to diverge.
If f(x)f(x) is continuous over [a,b][a,b] except at a point cc in (a,b),(a,b), then ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx, (3.21) provided both ∫acf(x)dx∫acf(x)dx and ∫cbf(x)dx∫cbf(x)dx converge. If either of these integrals diverges, then ∫abf(x)dx∫abf(x)dx diverges.
The following examples demonstrate the application of this definition.
Example 3.52
Integrating a Discontinuous Integrand
Evaluate ∫0414−xdx,∫0414−xdx, if possible. State whether the integral converges or diverges.
Solution
The function f(x)=14−xf(x)=14−x is continuous over [0,4)[0,4) and discontinuous at 4. Using Equation 3.19 from the definition, rewrite ∫0414−xdx∫0414−xdx as a limit:
The improper integral converges.
Example 3.53
Integrating a Discontinuous Integrand
Evaluate ∫02xlnxdx.∫02xlnxdx. State whether the integral converges or diverges.
Solution
Since f(x)=xlnxf(x)=xlnx is continuous over (0,2](0,2] and is discontinuous at zero, we can rewrite the integral in limit form using Equation 3.20:
The improper integral converges.
Example 3.54
Integrating a Discontinuous Integrand
Evaluate ∫−111x3dx.∫−111x3dx. State whether the improper integral converges or diverges.
Solution
Since f(x)=1/x3f(x)=1/x3 is discontinuous at zero, using Equation 3.21, we can write
If either of the two integrals diverges, then the original integral diverges. Begin with ∫−101x3dx:∫−101x3dx:
Therefore, ∫−101x3dx∫−101x3dx diverges. Since ∫−101x3dx∫−101x3dx diverges, ∫−111x3dx∫−111x3dx diverges.
Checkpoint 3.28
Evaluate ∫021xdx.∫021xdx. State whether the integral converges or diverges.
A Comparison Theorem
It is not always easy or even possible to evaluate an improper integral directly; however, by comparing it with another carefully chosen integral, it may be possible to determine its convergence or divergence. To see this, consider two continuous functions f(x)f(x) and g(x)g(x) satisfying 0≤f(x)≤g(x)0≤f(x)≤g(x) for x≥ax≥a (Figure 3.22). In this case, we may view integrals of these functions over intervals of the form [a,t][a,t] as areas, so we have the relationship
Figure 3.22: If 0≤f(x)≤g(x)0≤f(x)≤g(x) for x≥a,x≥a, then for t≥a,t≥a, ∫atf(x)dx≤∫atg(x)dx.∫atf(x)dx≤∫atg(x)dx.
Thus, if
then
∫a+∞g(x)dx=limt→+∞∫atg(x)dx=+∞∫a+∞g(x)dx=limt→+∞∫atg(x)dx=+∞ as well. That is, if the area of the region between the graph of f(x)f(x) and the x-axis over [a,+∞)[a,+∞) is infinite, then the area of the region between the graph of g(x)g(x) and the x-axis over [a,+∞)[a,+∞) is infinite too.
On the other hand, if
∫a+∞g(x)dx=limt→+∞∫atg(x)dx=L∫a+∞g(x)dx=limt→+∞∫atg(x)dx=L for some real number L,L, then
∫a+∞f(x)dx=limt→+∞∫atf(x)dx∫a+∞f(x)dx=limt→+∞∫atf(x)dx must converge to some value less than or equal to L,L, since ∫atf(x)dx∫atf(x)dx increases as tt increases and ∫atf(x)dx≤L∫atf(x)dx≤L for all t≥a.t≥a.
If the area of the region between the graph of g(x)g(x) and the x-axis over [a,+∞)[a,+∞) is finite, then the area of the region between the graph of f(x)f(x) and the x-axis over [a,+∞)[a,+∞) is also finite.
These conclusions are summarized in the following theorem.
Theorem 3.7
A Comparison Theorem
Let f(x)f(x) and g(x)g(x) be continuous over [a,+∞).[a,+∞). Assume that 0≤f(x)≤g(x)0≤f(x)≤g(x) for x≥a.x≥a.
If ∫a+∞f(x)dx=limt→+∞∫atf(x)dx=+∞,∫a+∞f(x)dx=limt→+∞∫atf(x)dx=+∞, then ∫a+∞g(x)dx=limt→+∞∫atg(x)dx=+∞.∫a+∞g(x)dx=limt→+∞∫atg(x)dx=+∞.
If ∫a+∞g(x)dx=limt→+∞∫atg(x)dx=L,∫a+∞g(x)dx=limt→+∞∫atg(x)dx=L, where LL is a real number, then ∫a+∞f(x)dx=limt→+∞∫atf(x)dx=M∫a+∞f(x)dx=limt→+∞∫atf(x)dx=M for some real number M≤L.M≤L.
Example 3.55
Applying the Comparison Theorem
Use a comparison to show that ∫1+∞1xexdx∫1+∞1xexdx converges.
Solution
We can see that
so if ∫1+∞e−xdx∫1+∞e−xdx converges, then so does ∫1+∞1xexdx.∫1+∞1xexdx. To evaluate ∫1+∞e−xdx,∫1+∞e−xdx, first rewrite it as a limit:
Since ∫1+∞e−xdx∫1+∞e−xdx converges, so does ∫1+∞1xexdx.∫1+∞1xexdx.
Example 3.56
Applying the Comparison Theorem
Use the comparison theorem to show that ∫1+∞1xpdx∫1+∞1xpdx diverges for all p<1.p<1.
Solution
For p<1,p<1, 1/x≤1/(xp)1/x≤1/(xp) over [1,+∞).[1,+∞). In Example 3.47, we showed that ∫1+∞1xdx=+∞.∫1+∞1xdx=+∞. Therefore, ∫1+∞1xpdx∫1+∞1xpdx diverges for all p<1.p<1.
Checkpoint 3.29
Use a comparison to show that ∫e+∞lnxxdx∫e+∞lnxxdx diverges.
Student Project
Laplace Transforms
In the last few chapters, we have looked at several ways to use integration for solving real-world problems. For this next project, we are going to explore a more advanced application of integration: integral transforms. Specifically, we describe the Laplace transform and some of its properties. The Laplace transform is used in engineering and physics to simplify the computations needed to solve some problems. It takes functions expressed in terms of time and transforms them to functions expressed in terms of frequency. It turns out that, in many cases, the computations needed to solve problems in the frequency domain are much simpler than those required in the time domain.
The Laplace transform is defined in terms of an integral as
Note that the input to a Laplace transform is a function of time, f(t),f(t), and the output is a function of frequency, F(s).F(s). Although many real-world examples require the use of complex numbers (involving the imaginary number i=−1),i=−1), in this project we limit ourselves to functions of real numbers.
Let’s start with a simple example. Here we calculate the Laplace transform of f(t)=tf(t)=t. We have
This is an improper integral, so we express it in terms of a limit, which gives
Now we use integration by parts to evaluate the integral. Note that we are integrating with respect to t, so we treat the variable s as a constant. We have
Then we obtain
Calculate the Laplace transform of f(t)=1.f(t)=1.
Calculate the Laplace transform of f(t)=e−3t.f(t)=e−3t.
Calculate the Laplace transform of f(t)=t2.f(t)=t2. (Note, you will have to integrate by parts twice.) Laplace transforms are often used to solve differential equations. Differential equations are not covered in detail until later in this book; but, for now, let’s look at the relationship between the Laplace transform of a function and the Laplace transform of its derivative. Let’s start with the definition of the Laplace transform. We have L{f(t)}=∫0∞e−stf(t)dt=limz→∞∫0ze−stf(t)dt.L{f(t)}=∫0∞e−stf(t)dt=limz→∞∫0ze−stf(t)dt.
Use integration by parts to evaluate limz→∞∫0ze−stf(t)dt.limz→∞∫0ze−stf(t)dt. (Let u=f(t)u=f(t) and dv=e−stdt.)dv=e−stdt.) After integrating by parts and evaluating the limit, you should see that L{f(t)}=f(0)s+1s[L{f′(t)}].L{f(t)}=f(0)s+1s[L{f′(t)}]. Then, L{f′(t)}=sL{f(t)}−f(0).L{f′(t)}=sL{f(t)}−f(0). Thus, differentiation in the time domain simplifies to multiplication by s in the frequency domain. The final thing we look at in this project is how the Laplace transforms of f(t)f(t) and its antiderivative are related. Let g(t)=∫0tf(u)du.g(t)=∫0tf(u)du. Then, L{g(t)}=∫0∞e−stg(t)dt=limz→∞∫0ze−stg(t)dt.L{g(t)}=∫0∞e−stg(t)dt=limz→∞∫0ze−stg(t)dt.
Use integration by parts to evaluate limz→∞∫0ze−stg(t)dt.limz→∞∫0ze−stg(t)dt. (Let u=g(t)u=g(t) and dv=e−stdt.dv=e−stdt. Note, by the way, that we have defined g(t),g(t), du=f(t)dt.)du=f(t)dt.) As you might expect, you should see that L{g(t)}=1s·L{f(t)}.L{g(t)}=1s·L{f(t)}. Integration in the time domain simplifies to division by s in the frequency domain.
Evaluate the following integrals. If the integral is not convergent, answer “divergent.”
∫ 2 4 d x ( x − 3 ) 2 ∫ 2 4 d x ( x − 3 ) 2
∫ 0 ∞ 1 4 + x 2 d x ∫ 0 ∞ 1 4 + x 2 d x
∫ 0 2 1 4 − x 2 d x ∫ 0 2 1 4 − x 2 d x
∫ 1 ∞ 1 x ln x d x ∫ 1 ∞ 1 x ln x d x
∫ 1 ∞ x e − x d x ∫ 1 ∞ x e − x d x
∫ − ∞ ∞ x x 2 + 1 d x ∫ − ∞ ∞ x x 2 + 1 d x
Without integrating, determine whether the integral ∫1∞1x3+1dx∫1∞1x3+1dx converges or diverges by comparing the function f(x)=1x3+1f(x)=1x3+1 with g(x)=1x3.g(x)=1x3.
Without integrating, determine whether the integral ∫1∞1x+1dx∫1∞1x+1dx converges or diverges.
Determine whether the improper integrals converge or diverge. If possible, determine the value of the integrals that converge.
∫ 0 ∞ e − x cos x d x ∫ 0 ∞ e − x cos x d x
∫ 1 ∞ ln x x d x ∫ 1 ∞ ln x x d x
∫ 0 1 ln x x d x ∫ 0 1 ln x x d x
∫ 0 1 ln x d x ∫ 0 1 ln x d x
∫ − ∞ ∞ 1 x 2 + 1 d x ∫ − ∞ ∞ 1 x 2 + 1 d x
∫ 1 5 d x x − 1 ∫ 1 5 d x x − 1
∫ −2 2 d x ( 1 + x ) 2 ∫ −2 2 d x ( 1 + x ) 2
∫ 0 ∞ e − x d x ∫ 0 ∞ e − x d x
∫ 0 ∞ sin x d x ∫ 0 ∞ sin x d x
∫ − ∞ ∞ e x 1 + e 2 x d x ∫ − ∞ ∞ e x 1 + e 2 x d x
∫ 0 1 d x x 3 ∫ 0 1 d x x 3
∫ 0 2 d x x 3 ∫ 0 2 d x x 3
∫ −1 2 d x x 3 ∫ −1 2 d x x 3
∫ 0 1 d x 1 − x 2 ∫ 0 1 d x 1 − x 2
∫ 0 3 1 x − 1 d x ∫ 0 3 1 x − 1 d x
∫ 1 ∞ 5 x 3 d x ∫ 1 ∞ 5 x 3 d x
∫ 3 5 5 ( x − 4 ) 2 d x ∫ 3 5 5 ( x − 4 ) 2 d x
Determine the convergence of each of the following integrals by comparison with the given integral. If the integral converges, find the number to which it converges.
∫1∞dxx2+4x;∫1∞dxx2+4x; compare with ∫1∞dxx2.∫1∞dxx2.
∫1∞dxx+1;∫1∞dxx+1; compare with ∫1∞dx2x.∫1∞dx2x.
Evaluate the integrals. If the integral diverges, answer “diverges.”
∫ 1 ∞ d x x e ∫ 1 ∞ d x x e
∫ 0 1 d x x π ∫ 0 1 d x x π
∫ 0 1 d x 1 − x ∫ 0 1 d x 1 − x
∫ 0 1 d x 1 − x ∫ 0 1 d x 1 − x
∫ − ∞ 0 d x x 2 + 1 ∫ − ∞ 0 d x x 2 + 1
∫ −1 1 d x 1 − x 2 ∫ −1 1 d x 1 − x 2
∫ 0 1 ln x x d x
∫ 0 e ln ( x ) d x
∫ 0 ∞ x e − x d x
∫ − ∞ ∞ x ( x 2 + 1 ) 2 d x
∫ 0 ∞ e x d x
ਅਨੰਤ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਵਾਲੇ ਅਣਉਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਹੋਵੇ।
∫ 0 9 d x 9 − x
∫ −27 1 d x x 2 / 3
∫ 0 3 d x 9 − x 2
∫ 6 24 d t t t 2 − 36
∫ 0 4 x ln ( 4 x ) d x
∫ 0 3 x 9 − x 2 d x
∫.51dx1−x2. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ!) (ਜਵਾਬ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਓ।)
∫14dxx2−1. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਜਵਾਬ ਸ਼ੁੱਧ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਓ।)
∫2∞dx(x2−1)3/2. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਵਕਰ y=e−6xy=e−6x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਓ।
ਵਕਰ y=7x2,y=7x2, x-ਧੁਰੇ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ x=1.x=1. ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਓ।
ਵਕਰ y=1(x+1)3/2,y=1(x+1)3/2, ਦੇ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਓ, ਜੋ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ x=3.x=3. ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ y=51+x2y=51+x2 ਵਕਰ ਦੇ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਓ।
x=1x=1 ਤੋਂ x=∞.x=∞ ਤੱਕ y=3xy=3x ਵਕਰ ਦੇ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਓ।
ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ y=6e−2xy=6e−2x ਵਕਰ ਦੇ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਓ।
ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ y=3e−xy=3e−x ਵਕਰ ਦੇ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਓ।
[0,∞)[0,∞) ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਦਾ ਲਾਪਲੇਸ ਰੂਪਾਂਤਰ F(s)=∫0∞e−sxf(x)dxF(s)=∫0∞e−sxf(x)dx ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ (ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦੇਖੋ)। ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ s ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਅਣਉਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇਕੱਠਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫਲਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ ਲਾਪਲੇਸ ਰੂਪਾਂਤਰ F ਦਾ ਪਤਾ ਲਾਓ ਅਤੇ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਦਿਓ।
f ( x ) = 1
f ( x ) = x
f ( x ) = cos ( 2 x )
f ( x ) = e a x
ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਚੱਕਰ x^2+y^2=1 ਦਾ ਘੇਰਾ 2π ਹੈ।
ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ: ∫−∞∞f(t)dt=1। ਇੱਕ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਦੇ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੈਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(a≤x≤b)=∫abf(t)dt ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਦਰਸਾਓ ਕਿ f(x)={0ਜੇਕਰ x<07e−7xਜੇਕਰ x≥0 ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
x ਦੇ 0 ਅਤੇ 0.3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।) ਚਾਰ-ਸਥਾਨਕ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਹੀਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।