Learning Objectives
4.1.1 Identify the order of a differential equation.
4.1.2 Explain what is meant by a solution to a differential equation.
4.1.3 Distinguish between the general solution and a particular solution of a differential equation.
4.1.4 Identify an initial-value problem.
4.1.5 Identify whether a given function is a solution to a differential equation or an initial-value problem.
Calculus is the mathematics of change, and rates of change are expressed by derivatives. Thus, one of the most common ways to use calculus is to set up an equation containing an unknown function y=f(x)y=f(x) and its derivative, known as a differential equation. Solving such equations often provides information about how quantities change and frequently provides insight into how and why the changes occur.
Techniques for solving differential equations can take many different forms, including direct solution, use of graphs, or computer calculations. We introduce the main ideas in this chapter and describe them in a little more detail later in the course. In this section we study what differential equations are, how to verify their solutions, some methods that are used for solving them, and some examples of common and useful equations.
General Differential Equations
Consider the equation y′=3x2,y′=3x2, which is an example of a differential equation because it includes a derivative. There is a relationship between the variables xx and y:yy:y is an unknown function of x.x. Furthermore, the left-hand side of the equation is the derivative of y.y. Therefore we can interpret this equation as follows: Start with some function y=f(x)y=f(x) and take its derivative. The answer must be equal to 3x2.3x2. What function has a derivative that is equal to 3x2?3x2? One such function is y=x3,y=x3, so this function is considered a solution to a differential equation.
Definition
A differential equation is an equation involving an unknown function y=f(x)y=f(x) and one or more of its derivatives. A solution to a differential equation is a function y=f(x)y=f(x) that satisfies the differential equation when ff and its derivatives are substituted into the equation.
Media
Go to this website to explore more on this topic.
Some examples of differential equations and their solutions appear in Table 4.1.
row: Equation | Solution
row: y′=2xy′=2x | y=x2y=x2
row: y′+3y=6x+11y′+3y=6x+11 | y=e−3x+2x+3y=e−3x+2x+3
row: y′′−3y′+2y=24e−2xy′′−3y′+2y=24e−2x | y=3ex−4e2x+2e−2xy=3ex−4e2x+2e−2x
Note that a solution to a differential equation is not necessarily unique, primarily because the derivative of a constant is zero. For example, y=x2+4y=x2+4 is also a solution to the first differential equation in Table 4.1. We will return to this idea a little bit later in this section. For now, let’s focus on what it means for a function to be a solution to a differential equation.
Example 4.1
Verifying Solutions of Differential Equations
Verify that the function y=e−3x+2x+3y=e−3x+2x+3 is a solution to the differential equation y′+3y=6x+11.y′+3y=6x+11.
Solution
To verify the solution, we first calculate y′y′ using the chain rule for derivatives. This gives y′=−3e−3x+2.y′=−3e−3x+2. Next we substitute yy and y′y′ into the left-hand side of the differential equation:
The resulting expression can be simplified by first distributing to eliminate the parentheses, giving
Combining like terms leads to the expression 6x+11,6x+11, which is equal to the right-hand side of the differential equation. This result verifies that y=e−3x+2x+3y=e−3x+2x+3 is a solution of the differential equation.
Checkpoint 4.1
Verify that y=2e3x−2x−2y=2e3x−2x−2 is a solution to the differential equation y′−3y=6x+4.y′−3y=6x+4.
It is convenient to define characteristics of differential equations that make it easier to talk about them and categorize them. The most basic characteristic of a differential equation is its order.
Definition
The order of a differential equation is the highest order of any derivative of the unknown function that appears in the equation.
Example 4.2
Identifying the Order of a Differential Equation
What is the order of each of the following differential equations?
y′−4y=x2−3x+4y′−4y=x2−3x+4
x2y‴−3xy″+xy′−3y=sinxx2y‴−3xy″+xy′−3y=sinx
4xy(4)−6x2y″+12x4y=x3−3x2+4x−124xy(4)−6x2y″+12x4y=x3−3x2+4x−12
Solution
The highest derivative in the equation is y′,y′, so the order is 1.1.
The highest derivative in the equation is y‴,y‴, so the order is 3.3.
The highest derivative in the equation is y(4),y(4), so the order is 4.4.
Checkpoint 4.2
What is the order of the following differential equation?
General and Particular Solutions
We already noted that the differential equation y′=2xy′=2x has at least two solutions: y=x2y=x2 and y=x2+4.y=x2+4. The only difference between these two solutions is the last term, which is a constant. What if the last term is a different constant? Will this expression still be a solution to the differential equation? In fact, any function of the form y=x2+C,y=x2+C, where CC represents any constant, is a solution as well. The reason is that the derivative of x2+Cx2+C is 2x,2x, regardless of the value of C.C. It can be shown that any solution of this differential equation must be of the form y=x2+C.y=x2+C. This is an example of a general solution to a differential equation. A graph of some of these solutions is given in Figure 4.2. (Note: in this graph we used even integer values for CC ranging between −4−4 and 4.4. In fact, there is no restriction on the value of C;C; it can be an integer or not.)
Figure 4.2: Family of solutions to the differential equation y′=2x.y′=2x.
In this example, we are free to choose any solution we wish; for example, y=x2−3y=x2−3 is a member of the family of solutions to this differential equation. This is called a particular solution to the differential equation. A particular solution can often be uniquely identified if we are given additional information about the problem.
4.3 ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=2xy′=2x ਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (2,7).(2,7) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
y=x2+Cy=x2+C ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। C ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=2x=2 ਅਤੇ y=7y=7 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:C:
ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (2,7)(2,7) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ y=x2+3.y=x2+3 ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.3
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਲੱਭੋ
ਬਿੰਦੂ (1,7),(1,7) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੋਇਆ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ y=2x2+3x+Cy=2x2+3x+C ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ।
ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਪੁੱਛਣਾ ਕੁਦਰਤੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਹੜਾ ਵਰਤਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਹੱਲ ਚੁਣਨ ਲਈ, ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੁਝ ਖਾਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਜੋ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਇੱਕ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ, ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਕਹਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਨਿਯਮ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਰਡਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=2x,y′=2x ਹੈ, ਤਾਂ y(3)=7y(3)=7 ਇੱਕ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਇਹ ਇਕੱਠੇ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y″−3y′+2y=4exy″−3y′+2y=4ex ਦੂਜੇ ਆਰਡਰ ਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਰਡਰ ਦੀਆਂ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਇੱਕੋ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਦੂਜੇ-ਆਰਡਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ y(0)=2y(0)=2 ਅਤੇ y′(0)=−1.y′(0)=−1 ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਦੋ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਮਿਲ ਕੇ ਇੱਕ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਇਸ ਲਈ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਕਸਰ ਅਣਜਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ t,t ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, t=0t=0 ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
4.4 ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ
ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ y=2e−2t+ety=2e−2t+et ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ
ਹੱਲ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਆਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ yy ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ y′.y′ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਨਾਲ y′=−4e−2t+et.y′=−4e−2t+et ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ yy ਅਤੇ y′y′ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ y=2e−2t+ety=2e−2t+et ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ y(0):y(0) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.4
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ y=3e2t+4sinty=3e2t+4sint ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ
4.4 ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦੋ ਭਾਗ ਸਨ। ਪਹਿਲਾ ਭਾਗ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′+2y=3et,y′+2y=3et ਸੀ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਭਾਗ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ y(0)=3.y(0)=3 ਸੀ। ਇਹ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲ ਕੇ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦੋ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਆਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤ C.C ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। 4.4 ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਪਰਿਵਾਰ y=2e−2t+Cet.y=2e−2t+Cet ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਇਹ ਪਰਿਵਾਰ ਚਿੱਤਰ 4.3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ y=2e−2t+ety=2e−2t+et ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.3: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′+2y=3et.y′+2y=3et ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ y=2e−2t+ety=2e−2t+et ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
4.5 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਮੁੱਢਲੀ-ਕੀਮਤ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਮੁੱਢਲੀ-ਕੀਮਤ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਇਸ ਮੁੱਢਲੀ-ਕੀਮਤ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਪਰਿਵਾਰ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਭਾਵ,
ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ y ਪਦ ਇਕੱਲਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਏਕੀਕਰਨ ਸਥਿਰ ਹਨ: C1 ਅਤੇ C2। y ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 4.1 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ C1 ਅਤੇ C2 ਦੋਵੇਂ ਸਥਿਰ ਹਨ, C2−C1 ਵੀ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਲਈ C=C2−C1 ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ C ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.1 ਵਿੱਚ x=0 ਅਤੇ y=5 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਹੁਣ ਅਸੀਂ C=2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ 4.1 ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਮੁੱਢਲੀ-ਕੀਮਤ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ y=3e^x+13x^3−4x+2 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਆਮ ਹੱਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਹੱਲ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਆਮ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਸੁਤੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦਾ, ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਾਂ ਅਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਢਲੀ ਕੀਮਤ ਜਾਂ ਕੀਮਤਾਂ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਖਾਸ ਹੱਲ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.5
ਮੁੱਢਲੀ-ਕੀਮਤ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਤਾਕਤਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਭਾਵੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਸ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਮੁੱਖ ਤਾਕਤ ਗੁਰੂਤਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਗਤੀ ਦੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮ (ਸਮੀਕਰਨ ਰੂਪ F=ma, ਜਿੱਥੇ F ਤਾਕਤ, m ਪੁੰਜ, ਅਤੇ a ਪ੍ਰਵੇਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ) ਦੇ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.4: ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਡਿੱਗ ਰਹੇ ਬੇਸਬਾਲ ਲਈ, ਕੇਵਲ ਗੁਰੂਤਾ ਹੀ ਇਸ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਤਾਕਤ ਹੈ (ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹੋਏ)।
ਚਿੱਤਰ 4.4 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬੇਸਬਾਲ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇਕੱਲੀ ਤਾਕਤ ਗੁਰੂਤਾ ਦੀ ਤਾਕਤ ਹੈ। ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। (ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਕਾਰਨ ਤਾਕਤ ਬਾਅਦ ਦੀ ਚਰਚਾ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।) ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ, g, ਲਗਭਗ 9.8m/s^2 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 0 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ v(t) ਵਸਤੂ ਦੇ ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ ਵੇਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ v(t)>0, ਗੇਂਦ ਉੱਪਰ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ v(t)<0, ਗੇਂਦ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.5)।
ਚਿੱਤਰ 4.5: ਉੱਪਰ ਜਾਂਦੀ/ਡਿੱਗਦੀ ਬੇਸਬਾਲ ਲਈ ਸੰਭਵ ਵੇਗ।
ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਵੇਗ v(t) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮੁੱਢਲੀ-ਕੀਮਤ ਸਮੱਸਿਆ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਗੇਂਦ ਦਾ ਪੁੰਜ m ਹੈ, ਜਿੱਥੇ m ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਤਾਕਤ ਉਸਦੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ (F=ma)। ਪ੍ਰਵੇਗ ਵੇਗ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a(t)=v'(t)। ਇਸ ਲਈ ਬੇਸਬਾਲ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਤਾਕਤ F=mv'(t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਤਾਕਤ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਗੁਰੂਤਾ ਦੀ ਤਾਕਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਜੋ (ਦੁਬਾਰਾ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ) Fg=−mg ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਤਾਕਤ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ F=Fg ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ mv'(t)=−mg ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ m ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਅੰਤਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਸਤੂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਇੱਕ ਮੁੱਢਲੀ ਕੀਮਤ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਵੇਗ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਮਝਦਾਰੀ ਬਣਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਲਈਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਮੁੱਢਲੇ ਵੇਗ, ਜਾਂ ਸਮੇਂ t=0 'ਤੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ v(0)=v0 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
4.6 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਚਲਦੀ ਬੇਸਬਾਲ ਦਾ ਵੇਗ
ਇੱਕ ਬੇਸਬਾਲ ਨੂੰ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਤੋਂ 33 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ 10m/s ਦੇ ਮੁੱਢਲੇ ਵੇਗ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ 'ਤੇ ਕੇਵਲ ਗੁਰੂਤਾ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਦਾ ਪੁੰਜ 0.15kg ਹੈ।
Find the velocity v(t)v(t) of the baseball at time t.t.
What is its velocity after 22 seconds?
Solution
From the preceding discussion, the differential equation that applies in this situation is v′(t)=−g,v′(t)=−g, where g=9.8m/s2.g=9.8m/s2. The initial condition is v(0)=v0,v(0)=v0, where v0=10m/s.v0=10m/s. Therefore the initial-value problem is v′(t)=−9.8m/s2,v(0)=10m/s.v′(t)=−9.8m/s2,v(0)=10m/s. The first step in solving this initial-value problem is to take the antiderivative of both sides of the differential equation. This gives ∫v′(t)dt=∫−9.8dtv(t)=−9.8t+C.∫v′(t)dt=∫−9.8dtv(t)=−9.8t+C. The next step is to solve for C.C. To do this, substitute t=0t=0 and v(0)=10:v(0)=10: v(t)=−9.8t+Cv(0)=−9.8(0)+C10=C.v(t)=−9.8t+Cv(0)=−9.8(0)+C10=C. Therefore C=10C=10 and the velocity function is given by v(t)=−9.8t+10.v(t)=−9.8t+10.
To find the velocity after 22 seconds, substitute t=2t=2 into v(t).v(t). v(t)=−9.8t+10v(2)=−9.8(2)+10v(2)=−9.6.v(t)=−9.8t+10v(2)=−9.8(2)+10v(2)=−9.6. The units of velocity are meters per second. Since the answer is negative, the object is falling at a speed of 9.6m/s.9.6m/s.
Checkpoint 4.6
Suppose a rock falls from rest from a height of 100100 meters and the only force acting on it is gravity. Find an equation for the velocity v(t)v(t) as a function of time, measured in meters per second.
A natural question to ask after solving this type of problem is how high the object will be above Earth’s surface at a given point in time. Let s(t)s(t) denote the height above Earth’s surface of the object, measured in meters. Because velocity is the derivative of position (in this case height), this assumption gives the equation s′(t)=v(t).s′(t)=v(t). An initial value is necessary; in this case the initial height of the object works well. Let the initial height be given by the equation s(0)=s0.s(0)=s0. Together these assumptions give the initial-value problem
If the velocity function is known, then it is possible to solve for the position function as well.
Example 4.7
Height of a Moving Baseball
A baseball is thrown upward from a height of 33 meters above Earth’s surface with an initial velocity of 10m/s,10m/s, and the only force acting on it is gravity. The ball has a mass of 0.150.15 kilogram.
Find the position s(t)s(t) of the baseball at time t.t.
What is its height after 22 seconds?
Solution
We already know the velocity function for this problem is v(t)=−9.8t+10.v(t)=−9.8t+10. The initial height of the baseball is 33 meters, so s0=3.s0=3. Therefore the initial-value problem for this example is To solve the initial-value problem, we first find the antiderivatives: ∫s′(t)dt=∫−9.8t+10dts(t)=−4.9t2+10t+C.∫s′(t)dt=∫−9.8t+10dts(t)=−4.9t2+10t+C. Next we substitute t=0t=0 and solve for C:C: s(t)=−4.9t2+10t+Cs(0)=−4.9(0)2+10(0)+C3=C.s(t)=−4.9t2+10t+Cs(0)=−4.9(0)2+10(0)+C3=C. Therefore the position function is s(t)=−4.9t2+10t+3.s(t)=−4.9t2+10t+3.
The height of the baseball after 2s2s is given by s(2):s(2): s(2)=−4.9(2)2+10(2)+3=−4.9(4)+23=3.4.s(2)=−4.9(2)2+10(2)+3=−4.9(4)+23=3.4. Therefore the baseball is 3.43.4 meters above Earth’s surface after 22 seconds. It is worth noting that the mass of the ball cancelled out completely in the process of solving the problem.
Determine the order of the following differential equations.
y ′ + y = 3 y 2 y ′ + y = 3 y 2
( y ′ ) 2 = y ′ + 2 y ( y ′ ) 2 = y ′ + 2 y
y ‴ + y ″ y ′ = 3 x 2 y ‴ + y ″ y ′ = 3 x 2
y ′ = y ″ + 3 t 2 y ′ = y ″ + 3 t 2
d y d t = t d y d t = t
d y d x + d 2 y d x 2 = 3 x 4 d y d x + d 2 y d x 2 = 3 x 4
( d y d t ) 2 + 8 d y d t + 3 y = 4 t ( d y d t ) 2 + 8 d y d t + 3 y = 4 t
Verify that the following functions are solutions to the given differential equation.
y=x33y=x33 solves y′=x2y′=x2
y=2e−x+x−1y=2e−x+x−1 solves y′=x−yy′=x−y
y=e3x−ex2y=e3x−ex2 solves y′=3y+exy′=3y+ex
y=11−xy=11−x solves y′=y2y′=y2
y=ex2/2y=ex2/2 solves y′=xyy′=xy
y=4+lnxy=4+lnx solves xy′=1xy′=1
y=3−x+xlnxy=3−x+xlnx solves y′=lnxy′=lnx
y=2ex−x−1y=2ex−x−1 solves y′=y+xy′=y+x
y=ex+sinx2−cosx2y=ex+sinx2−cosx2 solves y′=cosx+yy′=cosx+y
y=πe−cosxy=πe−cosx solves y′=ysinxy′=ysinx
Verify the following general solutions and find the particular solution.
Find the particular solution to the differential equation y′=4x2y′=4x2 that passes through (−3,−30),(−3,−30), given that y=C+4x33y=C+4x33 is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation y′=3x3y′=3x3 that passes through (1,4.75),(1,4.75), given that y=C+3x44y=C+3x44 is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation y′=3x2yy′=3x2y that passes through (0,12),(0,12), given that y=Cex3y=Cex3 is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation y′=2xyy′=2xy that passes through (0,12),(0,12), given that y=Cex2y=Cex2 is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation y′=(2xy)2y′=(2xy)2 that passes through (1,−12),(1,−12), given that y=−3C+4x3y=−3C+4x3 is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation y′x2=yy′x2=y that passes through (1,2e),(1,2e), given that y=Ce−1/xy=Ce−1/x is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation 8dxdt=−2cos(2t)−cos(4t)8dxdt=−2cos(2t)−cos(4t) that passes through (π,π),(π,π), given that x=C−18sin(2t)−132sin(4t)x=C−18sin(2t)−132sin(4t) is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation dudt=tanududt=tanu that passes through (1,π2),(1,π2), given that u=sin−1(eC+t)u=sin−1(eC+t) is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation dydt=e(t+y)dydt=e(t+y) that passes through (1,0),(1,0), given that y=−ln(C−et)y=−ln(C−et) is a general solution.
Find the particular solution to the differential equation y′(1−x2)=1+yy′(1−x2)=1+y that passes through (0,−2),(0,−2), given that y=Cx+11−x−1y=Cx+11−x−1 is a general solution.
For the following problems, find the general solution to the differential equation.
y ′ = 3 x + e x y ′ = 3 x + e x
y ′ = ln x + tan x y ′ = ln x + tan x
y ′ = sin x e cos x y ′ = sin x e cos x
y ′ = 4 x y ′ = 4 x
y ′ = sin −1 ( 2 x ) y ′ = sin −1 ( 2 x )
y ′ = 2 t t 2 + 16 y ′ = 2 t t 2 + 16
x ′ = coth t + ln t + 3 t 2 x ′ = coth t + ln t + 3 t 2
x ′ = t 4 + t x ′ = t 4 + t
y ′ = y y ′ = y
y ′ = y x y ′ = y x
Solve the following initial-value problems starting from y(0)=1y(0)=1 and y(0)=−1.y(0)=−1. Draw both solutions on the same graph.
d y d t = 2 t d y d t = 2 t
d y d t = − t d y d t = − t
d y d t = 2 y d y d t = 2 y
d y d t = − y d y d t = − y
d y d t = 2 d y d t = 2
Solve the following initial-value problems starting from y0=10.y0=10. At what time does yy increase to 100100 or drop to 1?1?
d y d t = 4 t d y d t = 4 t
d y d t = 4 y d y d t = 4 y
d y d t = −2 y d y d t = −2 y
d y d t = e 4 t d y d t = e 4 t
d y d t = e −4 t d y d t = e −4 t
Recall that a family of solutions includes solutions to a differential equation that differ by a constant. For the following problems, use your calculator to graph a family of solutions to the given differential equation. Use initial conditions from y(t=0)=−10y(t=0)=−10 to y(t=0)=10y(t=0)=10 increasing by 2.2. Is there some critical point where the behavior of the solution begins to change?
[T] y′=y(x)y′=y(x)
[T] xy′=yxy′=y
[T] y′=t3y′=t3
[T] y′=x+yy′=x+y (Hint: y=Cex−x−1y=Cex−x−1 is the general solution)
[T] y′=xlnx+sinxy′=xlnx+sinx
Find the general solution to describe the velocity of a ball of mass 1lb1lb that is thrown upward at a rate aa ft/sec.
In the preceding problem, if the initial velocity of the ball thrown into the air is a=25a=25 ft/s, write the particular solution to the velocity of the ball. Solve to find the time when the ball hits the ground.
You throw two objects with differing masses m1m1 and m2m2 upward into the air with the same initial velocity aa ft/s. What is the difference in their velocity after 11 second?
[T] You throw a ball of mass 11 kilogram upward with a velocity of a=25a=25 m/s on Mars, where the acceleration of gravity is g=−3.711g=−3.711 m/s2. Use your calculator to approximate how much longer the ball is in the air on Mars than on Earth, where g=-9.8m/s2g=-9.8m/s2.
[T] For the previous problem, use your calculator to approximate how much higher the ball went on Mars, where g=-9.8m/s2g=-9.8m/s2.
[T] A car on the freeway accelerates according to a=15cos(πt),a=15cos(πt), where tt is measured in hours. Set up and solve the differential equation to determine the velocity of the car if it has an initial speed of 5050 mph. After 4040 minutes of driving, what is the driver’s velocity?
[T] For the car in the preceding problem, find the expression for the distance the car has traveled in time t,t, assuming an initial distance of 0.0. How long does it take the car to travel 100100 miles? Round your answer to hours and minutes.
[T] For the previous problem, find the total distance traveled in the first hour.
Substitute y=Be3ty=Be3t into y′−y=8e3ty′−y=8e3t to find a particular solution.
Substitute y=acos(2t)+bsin(2t)y=acos(2t)+bsin(2t) into y′+y=4sin(2t)y′+y=4sin(2t) to find a particular solution.
Substitute y=a+bt+ct2y=a+bt+ct2 into y′+y=1+t2y′+y=1+t2 to find a particular solution.
Substitute y=aetcost+betsinty=aetcost+betsint into y′=2etcosty′=2etcost to find a particular solution.
Solve y′=ekty′=ekt with the initial condition y(0)=0y(0)=0 and solve y′=1y′=1 with the same initial condition. As kk approaches 0,0, what do you notice?