ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.2.1 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਓ।
4.2.2 ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਵਕਰ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4.2.3 ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਯੂਲਰ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਲਈ ਅਸੀਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸਲ ਹੱਲ ਨੂੰ ਜਾਣੇ ਬਿਨਾਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਵਿਧੀਆਂ ਦਾ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਾਂ ਮਾਈਕਰੋਸਾਫਟ ਐਕਸਲ ਵਰਗੇ ਸਪ੍ਰੈਡਸ਼ੀਟ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਉਣਾ
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ (ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਢਲਾਣ ਖੇਤਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਲਾਗੂ ਉਦਾਹਰਨ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਈਏ
ਇੱਥੇ T(t)T(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ (ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 72°F ਹੈ। 72°F। ਚਿੱਤਰ 4.6 ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.6: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ T′(t)=−0.4(T−72) ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ। T′(t)=−0.4(T−72)। ਦੋ ਹੱਲ ਪਲਾਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ: ਇੱਕ 72°F ਤੋਂ ਘੱਟ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲਾ ਅਤੇ ਦੂਜਾ 72°F ਤੋਂ ਵੱਧ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲਾ।
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਇਹ ਤੱਥ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਮੁੱਲਿਆ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਉਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: y′=3x+2y−4। y′=3x+2y−4। ਅਸੀਂ (x0,y0) ਨੂੰ ਕੋਈ ਵੀ ਆਰਡਰ ਕੀਤਾ ਜੋੜਾ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x=1 ਅਤੇ y=2 ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, x=1 ਅਤੇ y=2, ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=3x+2y−4 ਦਾ ਹੱਲ (1,2) ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, (1,2) ਤਾਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੱਲ ਦੀ ਢਲਾਣ 3 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। 3। ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਉਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ (1,2) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਢਲਾਣ 3 ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। 3। ਅਸੀਂ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=3x+2y−4 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, f(x,y)=3x+2y−4, ਜੋ ਕਿ ℝ2 ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜਿਆਂ (x,y) ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ℝ2। ਇਸ ਲਈ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਢਲਾਣ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=3x+2y−4 ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਚਿੱਤਰ 4.7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। y′=3x+2y−4
ਚਿੱਤਰ 4.7: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=3x+2y−4 ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ। y′=3x+2y−4।
ਅਸੀਂ y′=f(x,y) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਤਿਆਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। y′=f(x,y)।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ (ਢਲਾਣ ਖੇਤਰ) ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਵਸਤੂ ਹੈ ਜੋ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਢਲਾਣ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨੂੰ ਜਾਣੇ ਬਿਨਾਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 4.7 ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=3x+2y−4 ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਰਗਦਰਸ਼ਕ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। y′=3x+2y−4।
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਇੱਕ ਸਾਈਨਪੋਸਟ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉੱਥੋਂ ਕਿਹੜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਜਾਣਾ ਹੈ, ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ (0,1) ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, (0,1) ਤਾਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਹੱਲ ਦੀ ਢਲਾਣ y′=3(0)+2(1)−4=−2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। y′=3(0)+2(1)−4=−2। ਹੁਣ xx ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵਧਾਓ, ਕਹੋ x=0.1 ਤੱਕ। x=0.1। ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=0.1 ਲਈ yy ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। x=0.1। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ,
L(x) ਵਿੱਚ x=0.1 ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ yy ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ 0.8 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। 0.8।
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੱਲ ਦੀ ਢਲਾਣ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ)। ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਛੋਟੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕਦੇ ਹੋਏ, ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਰਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 4.8 (0,1) ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। (0,1)।
ਚਿੱਤਰ 4.8: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=3x+2y−4 ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ y′=3x+2y−4 (0,1) ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਹੱਲ ਦੇ ਨਾਲ। (0,1)।
ਵਕਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ
ਇਹ ਵਕਰ ਇੱਕ ਹੱਲ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (0,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਸਹੀ ਹੱਲ ਹੈ
ਅਤੇ ਇਸ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 4.8 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਵਕਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.7
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=x2−y2 ਲਈ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (−1,2) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਢਲਾਨ ਖੇਤਰਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਲਈ ਇਸ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਜਾਓ।
ਹੁਣ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=(x−3)(y2−4) ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ ਚਿੱਤਰ 4.9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕਈ ਦਿਲਚਸਪ ਗੁਣ ਹਨ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, y=−2 ਅਤੇ y=2 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਪਾਰ ਖਿਤਿਵੀਂ ਡੈਸ਼ਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ y=−2, ਤਾਂ y′=0। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ y=−2 ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, y=2 ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਹ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਸਥਿਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਹੱਲ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਤਰਕ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ y=k ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਹੈ। ਤਾਂ y′=0। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ 'ਤੇ 0=(x−3)(k2−4) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਦੂਜਾ ਕਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਸਮੀਕਰਨ k2−4=0 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ k=−2 ਅਤੇ k=2 ਹਨ, ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਹਨ। ਇਹ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 4.9: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=(x−3)(y2−4) ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਜੋ ਦੋ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹੱਲ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹਨ, ਪਰ ਇੱਕ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ y=−2 ਤੋਂ ਬਿਲਕੁਲ ਉੱਪਰ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਉਸੇ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ ਤੋਂ ਬਿਲਕੁਲ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=f(x,y) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ y=c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਹੱਲ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=f(x,y) ਦੇ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ y=k ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(x,k)=0, f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ।
ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਉਹ x ਦੇ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ y=k ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਵਜੋਂ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=f(x,y) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਸ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲ x≥x0 ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ y=k ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ ਹੈ।
y=k ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ε>0 ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ c∈(k−ε,k+ε) ਲਈ, ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ y′=f(x,y),y(x0)=c ਦਾ ਹੱਲ x ਦੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ k ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
y=k ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸਥਿਰ ਹੱਲ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ε>0 ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ c∈(k−ε,k+ε) ਲਈ, ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ y′=f(x,y),y(x0)=c ਦਾ ਹੱਲ x ਦੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਕਦੇ ਵੀ k ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
y=k ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਰਧ-ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਅਸੀਮਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਥਿਰ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਅਸੀਮਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸਥਿਰ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=(x−3)(y2−4) 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦੀ ਆਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤ y(0)=0.5 ਹੈ। ਇਸ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੱਲ ਦੇ ਨਾਲ, ਚਿੱਤਰ 4.10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.10: ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ y′=(x−3)(y2−4),y(0)=0.5 ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ।
ਇਸ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹੱਲ ਦੇ ਮੁੱਲ y=−2 ਅਤੇ y=2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, -2<y<2 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਕਦੇ ਵੀ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ y=2 ਅਤੇ y=-2 ਨੂੰ ਪਾਰ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀ। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ y2-4<0 ਅਤੇ x>3 ਲਈ, y'=(x-3)(y2-4)<0, y ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ y=-2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, y=-2 ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ y=−2 ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਇਹ ਸਥਿਤੀ ਚਿੱਤਰ 4.11 ਵਿੱਚ, ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ y(0)=−3 ਨਾਲ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.11: ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ y′=(x−3)(y2−4),y(0)=−3 ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ y<-2 ਲਈ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, x>3 ਲਈ, y'=(x-3)(y2-4)>0 ਅਤੇ y ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ y=-2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ y=-2 ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.8
ਸਮਤੋਲ ਹੱਲ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=(y−3)2(y2+y−2) ਲਈ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਥਿਰ, ਅਸਥਿਰ, ਜਾਂ ਅਰਧ-ਸਥਿਰ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਚਿੱਤਰ 4.12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.12: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=(y−3)2(y2+y−2) ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ।
ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ y=−2, y=1, ਅਤੇ y=3 ਹਨ। ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਤੀਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, y=−2 'ਤੇ, ਇਸ ਹੱਲ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਤੀਰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ y=−2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ y=−2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਸਥਿਰ ਹੈ। y=1 ਹੱਲ ਲਈ, y=1 ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ y=1 ਤੋਂ ਦੂਰ ਧੱਕੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਹੱਲ ਅਸਥਿਰ ਹੈ। ਹੱਲ y=3 ਅਰਧ-ਸਥਿਰ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 3 ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਧ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਲਈ, ਹੱਲ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ 3 ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਘੱਟ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਲਈ, ਹੱਲ y=3 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਇਹ ਪਹੁੰਚ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖੇ ਗਏ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.8
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y′=(x+5)(y+2)(y2−4y+4) ਲਈ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਸੰਤੁਲਨ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਥਿਰ, ਅਸਥਿਰ, ਜਾਂ ਅਰਧ-ਸਥਿਰ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
ਯੂਲਰ ਦੀ ਵਿਧੀ
ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ y=x2−3x+C ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ y=x2−3x+3 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਚਿੱਤਰ 4.13 ਵਿੱਚ ਪਰਵਲਯ ਵਾਂਗ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.13: ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ y′=2x−3,y(0)=3 ਲਈ ਯੂਲਰ ਦੀ ਵਿਧੀ।
ਲਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫ (0,3) ਦੇ ਉਸੇ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੱਲ ਦਾ ਢਲਾਨ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹਰ ਵਾਰ (ਸਟੈਪ ਸਾਈਜ਼) x ਮੁੱਲ ਨੂੰ 0.5 ਵਧਾ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਪਹੁੰਚ ਯੂਲਰ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਆਧਾਰ ਹੈ।
ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਯੂਲਰ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਜੋਂ ਦੱਸੀਏ, ਆਓ ਇੱਕ ਹੋਰ ਆਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:
ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵੀ ਇਸਦੇ ਹੱਲ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, (−1,2) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਹੱਲ ਦਾ ਢਲਾਨ y′=(−1)2−22=−3 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੱਲ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਵੀ −3 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ x0=−1 ਅਤੇ y0=2 ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੱਲ ਦਾ ਢਲਾਨ −3 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ (−1,2) ਦੇ ਨੇੜੇ y ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਥੇ x0=−1, y0=2, ਅਤੇ f′(x0)=−3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਟੈਪ ਸਾਈਜ਼ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਸਟੈਪ ਸਾਈਜ਼ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ 0.1 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਘੱਟ, ਜੋ x ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਧੇ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਇਸਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ h ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, h=0.1 ਮੰਨ ਲਓ। x0 ਨੂੰ h ਵਧਾਉਣ ਨਾਲ ਸਾਡਾ ਅਗਲਾ x ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ y1 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ x1=−0.9 ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ x=−0.9 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਹੱਲ ਲਈ ਅਨੁਮਾਨਿਤ y ਮੁੱਲ y=1.7 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, x2 ਅਤੇ y2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ x1=−0.9 ਅਤੇ y1=1.7 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਨਵਾਂ ਢਲਾਨ y′=(−0.9)2−(1.7)2=−2.08 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, x2=x1+h=−0.9+0.1=−0.8। ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ y2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ x2=−0.8 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ y=1.492 ਹੈ ਜਦੋਂ x=−0.8 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
What we have just shown is the idea behind Euler’s Method. Repeating these steps gives a list of values for the solution. These values are shown in Table 4.2, rounded off to four decimal places.
row: nn | 00 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55
row: xnxn | −1−1 | −0.9−0.9 | −0.8−0.8 | −0.7−0.7 | −0.6−0.6 | −0.5−0.5
row: ynyn | 22 | 1.71.7 | 1.4921.492 | 1.33341.3334 | 1.20461.2046 | 1.09551.0955
row: nn | 66 | 77 | 88 | 99 | 1010
row: xnxn | −0.4−0.4 | −0.3−0.3 | −0.2−0.2 | −0.1−0.1 | 00
row: ynyn | 1.00041.0004 | 1.91641.9164 | 1.84141.8414 | 1.77461.7746 | 1.71561.7156
Theorem 4.1
Euler’s Method
Consider the initial-value problem
y′=f(x,y),y(x0)=y0.y′=f(x,y),y(x0)=y0.
To approximate a solution to this problem using Euler’s method, define
Here h>0h>0 represents the step size and nn is an integer, starting with 1.1. The number of steps taken is counted by the variable n.n.
Typically hh is a small value, say 0.10.1 or 0.05.0.05. The smaller the value of h,h, the more calculations are needed. The higher the value of h,h, the fewer calculations are needed. However, the tradeoff results in a lower degree of accuracy for larger step size, as illustrated in Figure 4.14.
Figure 4.14: Euler’s method for the initial-value problem y′=2x−3,y(0)=3y′=2x−3,y(0)=3 with (a) a step size of h=0.5;h=0.5; and (b) a step size of h=0.25.h=0.25.
Example 4.9
Using Euler’s Method
Consider the initial-value problem
Use Euler’s method with a step size of 0.10.1 to generate a table of values for the solution for values of xx between 00 and 1.1.
Solution
We are given h=0.1h=0.1 and f(x,y)=3x2−y2+1.f(x,y)=3x2−y2+1. Furthermore, the initial condition y(0)=2y(0)=2 gives x0=0x0=0 and y0=2.y0=2. Using Equation 4.2 with n=0,n=0, we can generate Table 4.3.
row: nn | xnxn | yn=yn−1+hf(xn−1,yn−1)yn=yn−1+hf(xn−1,yn−1)
row: 00 | 00 | 22
row: 11 | 0.10.1 | y1=y0+hf(x0,y0)=1.7y1=y0+hf(x0,y0)=1.7
row: 22 | 0.20.2 | y2=y1+hf(x1,y1)=1.514y2=y1+hf(x1,y1)=1.514
row: 33 | 0.30.3 | y3=y2+hf(x2,y2)=1.3968y3=y2+hf(x2,y2)=1.3968
row: 44 | 0.40.4 | y4=y3+hf(x3,y3)=1.3287y4=y3+hf(x3,y3)=1.3287
row: 55 | 0.50.5 | y5=y4+hf(x4,y4)=1.3001y5=y4+hf(x4,y4)=1.3001
row: 66 | 0.60.6 | y6=y5+hf(x5,y5)=1.3061y6=y5+hf(x5,y5)=1.3061
row: 77 | 0.70.7 | y7=y6+hf(x6,y6)=1.3435y7=y6+hf(x6,y6)=1.3435
row: 88 | 0.80.8 | y8=y7+hf(x7,y7)=1.4100y8=y7+hf(x7,y7)=1.4100
row: 99 | 0.90.9 | y9=y8+hf(x8,y8)=1.5032y9=y8+hf(x8,y8)=1.5032
row: 1010 | 1.01.0 | y10=y9+hf(x9,y9)=1.6202y10=y9+hf(x9,y9)=1.6202
With ten calculations, we are able to approximate the values of the solution to the initial-value problem for values of xx between 00 and 1.1.
Media
For more information on Euler's method use this applet.
Checkpoint 4.9
Consider the initial-value problem
Using a step size of 0.1,0.1, generate a table with approximate values for the solution to the initial-value problem for values of xx between 11 and 2.2.
Media
Visit this website for a practical application of the material in this section.
For the following problems, use the direction field below from the differential equation y′=−2y.y′=−2y. Sketch the graph of the solution for the given initial conditions.
y ( 0 ) = 1 y ( 0 ) = 1
y ( 0 ) = 0 y ( 0 ) = 0
y ( 0 ) = −1 y ( 0 ) = −1
Are there any equilibria? What are their stabilities?
For the following problems, use the direction field below from the differential equation y′=y2−2y.y′=y2−2y. Sketch the graph of the solution for the given initial conditions.
y ( 0 ) = 3 y ( 0 ) = 3
y ( 0 ) = 1 y ( 0 ) = 1
y ( 0 ) = −1 y ( 0 ) = −1
Are there any equilibria? What are their stabilities?
Draw the direction field for the following differential equations, then solve the differential equation.
y ′ = t 3 y ′ = t 3
y ′ = e t y ′ = e t
d y d x = x 2 cos x d y d x = x 2 cos x
d y d t = t e t d y d t = t e t
d x d t = cosh ( t ) d x d t = cosh ( t )
Draw the directional field for the following differential equations. What can you say about the behavior of the solution? Are there equilibria? What stability do these equilibria have?
y ′ = y 2 − 1 y ′ = y 2 − 1
y ′ = y − x y ′ = y − x
y ′ = 1 − y 2 − x 2 y ′ = 1 − y 2 − x 2
y ′ = t 2 sin y y ′ = t 2 sin y
y ′ = 3 y + x y y ′ = 3 y + x y
Match the direction field with the given differential equations. Explain your selections.
y ′ = −3 y y ′ = −3 y
y ′ = −3 t y ′ = −3 t
y ′ = e t y ′ = e t
y ′ = 1 2 y + t y ′ = 1 2 y + t
y ′ = − t y y ′ = − t y
Match the direction field with the given differential equations. Explain your selections.
y ′ = t sin y y ′ = t sin y
y ′ = − t cos y y ′ = − t cos y
y ′ = t tan y y ′ = t tan y
y ′ = sin 2 y y ′ = sin 2 y
y ′ = y 2 t 3 y ′ = y 2 t 3
Estimate the following solutions using Euler’s method with n=5n=5 steps over the interval t=[0,1].t=[0,1]. If you are able to solve the initial-value problem exactly, compare your solution with the exact solution. If you are unable to solve the initial-value problem, the exact solution will be provided for you to compare with Euler’s method. How accurate is Euler’s method?
y ′ = −3 y , y ( 0 ) = 1 y ′ = −3 y , y ( 0 ) = 1
y ′ = t 2 , y ( 0 ) = 2 y ′ = t 2 , y ( 0 ) = 2
y′=3t−y,y(0)=1.y′=3t−y,y(0)=1. Exact solution is y=3t+4e−t−3y=3t+4e−t−3
y′=y+t2,y(0)=3.y′=y+t2,y(0)=3. Exact solution is y=5et−2−t2−2ty=5et−2−t2−2t
y ′ = 2 t , y ( 0 ) = 0 y ′ = 2 t , y ( 0 ) = 0
[T] y′=e(x+y),y(0)=−1.y′=e(x+y),y(0)=−1. Exact solution is y=−ln(e+1−ex)y=−ln(e+1−ex)
y′=y2ln(x+1),y(0)=1.y′=y2ln(x+1),y(0)=1. Exact solution is y=−1(x+1)(ln(x+1)−1)y=−1(x+1)(ln(x+1)−1)
y′=2x,y(0)=0,y′=2x,y(0)=0, Exact solution is y=2x−1ln(2)y=2x−1ln(2)
y′=y,y(0)=−1.y′=y,y(0)=−1. Exact solution is y=−ex.y=−ex.
y′=−5t,y(0)=−2.y′=−5t,y(0)=−2. Exact solution is y=−52t2−2y=−52t2−2
Differential equations can be used to model disease epidemics. In the next set of problems, we examine the change of size of two sub-populations of people living in a city: individuals who are infected and individuals who are susceptible to infection. SS represents the size of the susceptible population, and II represents the size of the infected population. We assume that if a susceptible person interacts with an infected person, there is a probability cc that the susceptible person will become infected. Each infected person recovers from the infection at a rate rr and becomes susceptible again. We consider the case of influenza, where we assume that no one dies from the disease, so we assume that the total population size of the two sub-populations is a constant number, N.N. The differential equations that model these population sizes are
Here cc represents the contact rate and rr is the recovery rate.
Show that, by our assumption that the total population size is constant (S+I=N),(S+I=N), you can reduce the system to a single differential equation in I:I′=c(N−I)I−rI.I:I′=c(N−I)I−rI.
Assuming the parameters are c=0.5,N=5,c=0.5,N=5, and r=0.5,r=0.5, draw the resulting directional field.
[T] Use computational software or a calculator to compute an approximate solution to the initial-value problem y ′ = t y , y ( 0 ) = 2 y ′ = t y , y ( 0 ) = 2 using Euler's Method with a given step size h . h . Find the solution at t = 1 t = 1 in terms of h . h. Hint: Here is "pseudo-code" for how to write a computer program to perform Euler's Method for y ′ = f ( t , y ) , y ( 0 ) = y 0 : y ′ = f ( t , y ) , y ( 0 ) = y 0 :
Create function f ( t , y ) . f ( t , y ) .
Define parameters y ( 0 ) = y 0 , t ( 0 ) = 0 , y ( 0 ) = y 0 , t ( 0 ) = 0 , step size h , h , and total number of steps, N N
Write a for loop: for k = 0 to N k = 0 to N fn = f ( t ( k ) , y ( k ) ) fn = f ( t ( k ) , y ( k ) ) y ( k+1 ) = y ( k ) + h*fn y ( k+1 ) = y ( k ) + h*fn t ( k+1 ) = t ( k ) + h t ( k+1 ) = t ( k ) + h
Refer to your answer for Exercise 4.106 to solve the following exercises.
Solve the initial-value problem for the exact solution.
1. ਦਿਸ਼ਾ-ਖੇਤਰ ਖਿੱਚੋ
2. h=1 ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
3. [T] h=0.1 ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
4. [T] h=0.001 ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
5. [T] h=0.0001 ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
6. [T] t=1 'ਤੇ ਸਹੀ ਹੱਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਯੂਲਰ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੇ ਹੱਲ ਅਤੇ ਸਹੀ ਹੱਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਪੇਖਿਕ ਤਰੁੱਟੀ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ। ਤਰੁੱਟੀ ਕਿੰਨੀ ਬਦਲਦੀ ਹੈ? ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
7. ਮੁੱਢਲੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ y′=−2y,y(0)=2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
8. ਦਿਖਾਓ ਕਿ y=2e−2x ਇਸ ਮੁੱਢਲੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
9. ਇਸ ਅੰਤਰ-ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਦਿਸ਼ਾ-ਖੇਤਰ ਖਿੱਚੋ।
10. [T] ਹੱਥੀਂ ਜਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੁਆਰਾ, t=10 'ਤੇ ਯੂਲਰ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ h=5 ਨਾਲ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
11. [T] ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੁਆਰਾ, t=10 'ਤੇ ਯੂਲਰ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ h=100 ਨਾਲ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
12. [T] ਹਰੇਕ h 'ਤੇ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਯੂਲਰ ਅਨੁਮਾਨ (h=5 ਅਤੇ h=100 ਲਈ) ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ-ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?