ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਵਿਭਾਜਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਵਿਭਾਜਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਅਨੁਪ੍ਰਯੋਗ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਰਗ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਨਯੋਗ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੇ ਸਟੀਕ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਹੱਲ ਵਿਧੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਸਮੇਤ ਕਈ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਅਨੁਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਭਾਜਨ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਵਿਭਾਜਨਯੋਗ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
'ਵਿਭਾਜਨਯੋਗ' ਸ਼ਬਦ ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ x ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਗੁਣਾ y ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਿਭਾਜਨਯੋਗ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ
ਦੂਜਾ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=6x^2+4x ਅਤੇ g(y)=1 ਨਾਲ ਵਿਭਾਜਨਯੋਗ ਹੈ, ਤੀਜਾ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=1 ਅਤੇ g(y)=secy+tany ਨਾਲ ਵਿਭਾਜਨਯੋਗ ਹੈ, ਅਤੇ ਚੌਥੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ (x-2)(y+3) ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਵੀ ਵਿਭਾਜਨਯੋਗ ਹੈ। ਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖੁਦਮੁਖਤਿਆਰ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਸਿਰਫ y ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਭਾਜਨਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ।
ਸਮੱਸ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਵਿਭਾਜਨ
y ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਜੋ g(y)=0 ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਸਥਿਰ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹਨ।
ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ dy/g(y)=f(x)dx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰੋ।
ਸੰਭਵ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਨਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਲਈ ਉਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਦਮ 4. "ਸੰਭਵ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਨਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।" ਦੱਸਦਾ ਹੈ। y ਨੂੰ x ਦੇ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਕਸਰ ਸਾਨੂੰ y ਨੂੰ x ਦੇ ਇੱਕ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਲੱਭਣ ਨਾਲ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੋਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.10
ਵਿਭਾਜਨ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ y'=(x^2−4)(3y+2) ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਵਿਭਾਜਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਪੰਜ-ਪੜਾਵੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, f(x)=x^2−4 ਅਤੇ g(y)=3y+2 ਹੈ। g(y)=0 ਨੂੰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ 'ਤੇ y=−2/3 ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
1. ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $dy3y+2=(x^2−4)dx$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
2. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰੋ: $\int\frac{dy}{3y+2}=\int(x^2−4)dx$। ਮੰਨ ਲਓ $u=3y+2$। ਫਿਰ $du=3dy$ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ $\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{3}x^3−4x+C$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ $\frac{1}{3}\ln|u|=\frac{1}{3}x^3−4x+C$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, $u$ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ $\frac{1}{3}\ln|3y+2|=\frac{1}{3}x^3−4x+C$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
3. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। $\ln|3y+2|=x^3−12x+3C$। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਥਿਰਾਂਕ $C$ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਤਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ $C$ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, $3C$ ਵੀ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ $C_1$ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ $\ln|3y+2|=x^3−12x+C_1$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂਕ ਬਣਾਓ (ਭਾਵ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਅਧਾਰ $e$ ਲਈ ਘਾਤ ਬਣਾਓ)। $e^{\ln|3y+2|}=e^{x^3−12x+C_1}$, ਜਿਸ ਤੋਂ $|3y+2|=e^{C_1}e^{x^3−12x}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸਥਿਰਾਂਕ $C_2=e^{C_1}$ (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ $C_2>0$): $|3y+2|=C_2e^{x^3−12x}$। ਇਹ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ: $3y+2=C_2e^{x^3−12x}$ ਅਤੇ $3y+2=−C_2e^{x^3−12x}$। ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ $y=−2±\frac{C_2e^{x^3−12x}}{3}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $C_2>0$, ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਲੱਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਥਿਰਾਂਕ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਨਿਸ਼ਾਨ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਥਿਰਾਂਕ 'ਤੇ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਨਮਾਨੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਛੱਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਹੱਲ ਨੂੰ $y=\frac{−2+Ce^{x^3−12x}}{3}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
4. ਕੋਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ ਨਹੀਂ ਲਗਾਈ ਗਈ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪੂਰਾ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ।
5. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.10
6. ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ $y′=2xy+3y−4x−6$ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 4.11
8. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
9. ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
10. ਹੱਲ
11. ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗਤਾ ਦੀ ਪੰਜ-ਪੜਾਵੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੋ।
12. ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, $f(x)=2x+3$ ਅਤੇ $g(y)=y^2−4$ ਹੈ। $g(y)=0$ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ $y=±2$ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
13. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ $y^2−4$ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ ਅਤੇ $dx$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ $\frac{dy}{y^2−4}=(2x+3)dx$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
14. ਅੱਗੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰੋ: $\int\frac{1}{y^2−4}dy=\int(2x+3)dx$। (4.4) ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਹ ਪਛਾਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ $\frac{1}{y^2−4}=\frac{1}{4}(\frac{1}{y−2}−\frac{1}{y+2})$। ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ 4.4 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ $\frac{1}{4}\int(\frac{1}{y−2}−\frac{1}{y+2})dy=\int(2x+3)dx$ ਜਿਸ ਤੋਂ $\frac{1}{4}(\ln|y−2|−\ln|y+2|)=x^2+3x+C$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ $4C$ ਨੂੰ $C_1$ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ $\ln|y−2|−\ln|y+2|=4x^2+12x+C_1$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ $\ln|\frac{y−2}{y+2}|=4x^2+12x+C_1$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
15. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂਕ ਬਣਾਓ ਅਤੇ $C_2=e^{C_1}$ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ: $|\frac{y−2}{y+2}|=C_2e^{4x^2+12x}$। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਹਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ $C_2$ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ $y+2$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। $y−2=C_2(y+2)e^{4x^2+12x}$ ਜਿਸ ਤੋਂ $y−2=C_2ye^{4x^2+12x}+2C_2e^{4x^2+12x}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ $y$ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: $y−C_2ye^{4x^2+12x}=2+2C_2e^{4x^2+12x}$ ਜਿਸ ਤੋਂ $y(1−C_2e^{4x^2+12x})=2+2C_2e^{4x^2+12x}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ $y=\frac{2+2C_2e^{4x^2+12x}}{1−C_2e^{4x^2+12x}}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
16. $C_2$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਮ ਹੱਲ ਵਿੱਚ $x=0$ ਅਤੇ $y=−1$ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਬਦਲਵੇਂ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਉਹੀ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਰਥਾਤ ਸਮੀਕਰਨ $\frac{y−2}{y+2}=C_2e^{4x^2+12x}$। ਇਸਨੂੰ $C_2$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਹੈ: $\frac{−1−2}{−1+2}=C_2e^{4(0)^2+12(0)}$ ਜਿਸ ਤੋਂ $\frac{-3}{1}=C_2$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ $C_2=−3$। ਇਸ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ $y=\frac{2+2(−3)e^{4x^2+12x}}{1−(−3)e^{4x^2+12x}}=\frac{2−6e^{4x^2+12x}}{1+3e^{4x^2+12x}}$ ਹੈ। ਇਸ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 4.15 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.15 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ $y′=(2x+3)(y^2−4),y(0)=−1$ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ।
17. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.11
18. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭੋ
19. ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
20. ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗਤਾ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
21. ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਦਿਲਚਸਪ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ: ਘੋਲ ਦੀਆਂ ਗਾੜ੍ਹਾਪਣਾਂ ਅਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ।
22. ਘੋਲ ਦੀਆਂ ਗਾੜ੍ਹਾਪਣਾਂ
23. ਨਮਕ ਦੇ ਘੋਲ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਰਹੀ ਟੈਂਕੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਟੈਂਕੀ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਨਮਕ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਅਤੇ ਘੋਲ ਦੀਆਂ ਗਾੜ੍ਹਾਪਣਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮਾਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨਯੋਗਤਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 4.12
ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਲੂਣ ਦੀ ਸੰਘਣਤਾ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ 4 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਲੂਣ ਘੁਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, 100 ਲੀਟਰ ਬ੍ਰਾਈਨ ਘੋਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂ t=0 'ਤੇ, 2 ਲੀਟਰ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬ੍ਰਾਈਨ ਘੋਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਵਗਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬ੍ਰਾਈਨ ਘੋਲ 0.5 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ/ਲੀਟਰ ਲੂਣ ਦੀ ਸੰਘਣਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਉਸੇ ਸਮੇਂ, ਟੈਂਕ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਸਟੌਪਕੌਕ ਖੋਲ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਮਿਸ਼ਰਤ ਘੋਲ 2 ਲੀਟਰ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਦਾ ਪੱਧਰ ਸਥਿਰ ਰਹੇ (ਚਿੱਤਰ 4.16)। ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ) ਵਜੋਂ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਸੀਮਤ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਘੋਲ ਹਰ ਸਮੇਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.16: ਇੱਕ ਬ੍ਰਾਈਨ ਟੈਂਕ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਘੋਲ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ ਇੱਕ ਇਨਪੁੱਟ ਪ੍ਰਵਾਹ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪ੍ਰਵਾਹ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਲੂਣ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ u(t) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ dudt ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, u(0) ਸਮਾਂ t=0 'ਤੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 4 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ।
ਜੋ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ ਉਸ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਆਮ ਸੈੱਟਅੱਪ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ
INFLOW RATE (ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਦਰ) ਉਹ ਦਰ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਲੂਣ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ OUTFLOW RATE (ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਦਰ) ਉਹ ਦਰ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਲੂਣ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਘੋਲ 2 ਲੀਟਰ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਲੀਟਰ ਘੋਲ ਵਿੱਚ 0.5 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਲੂਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਹਰ ਮਿੰਟ 2(0.5)=1 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਲੂਣ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ INFLOW RATE = 1।
ਟੈਂਕ ਵਿੱਚੋਂ ਲੂਣ ਦੇ ਨਿਕਲਣ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਸੰਘਣਤਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਲੂਣ ਦੀ ਅਸਲ ਮਾਤਰਾ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲੂਣ ਦੀ ਸੰਘਣਤਾ ਵੀ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਘੋਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ 100 ਲੀਟਰ 'ਤੇ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਸਮਾਂ tt 'ਤੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੇ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦੀ ਗਿਣਤੀ u(t) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਲੂਣ ਦੀ ਸੰਘਣਤਾ u(t)/100 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ/ਲੀਟਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਘੋਲ 2 ਲੀਟਰ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਲੂਣ u(t)/100 * 2 = u(t)/50 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ OUTFLOW RATE u(t)/50 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ dudt = 1 - u/50 ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ u(0)=4 ਹੈ। ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਕਰਨ ਯੋਗ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਲਈ ਪੰਜ-ਪੜਾਵੀ ਰਣਨੀਤੀ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪੜਾਅ 1. 1 - u/50 = 0 ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ u = 50 ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ 4 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ, ਇਹ ਹੱਲ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਪੜਾਅ 2. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ
ਫਿਰ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ dt ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 50 - u ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ:
ਪੜਾਅ 3. ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ:
ਪੜਾਅ 4. u(t) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇ ਕੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, u(t) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਪੜਾਅ 5. C1 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ u(t) = 50 - 46e^(-t/50) ਹੈ। ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਸੀਮਤ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, t ਦੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲਓ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਸੀ। ਜੇਕਰ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ 50 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ 50 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਤੋਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ 50 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.12
ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 75 ਲੀਟਰ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ 3 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਲੂਣ ਘੁਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। 0.4 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਲੂਣ/ਲੀਟਰ ਦਾ ਇੱਕ ਲੂਣ ਘੋਲ 6 ਲੀਟਰ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸੇ ਦਰ ਨਾਲ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਲੂਣ ਦੀ ਸੰਘਣਤਾ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਟੈਂਕ ਹਰ ਸਮੇਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਕੂਲਿੰਗ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਕੂਲਿੰਗ ਦਾ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਉਸਦੇ ਆਪਣੇ ਤਾਪਮਾਨ ਅਤੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ (ਭਾਵ, ਇਸਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ) ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ T(t) ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ dT/dt ਉਸ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ Ts ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਕੂਲਿੰਗ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ, ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ T0 ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿਸ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਉਹ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦਾਹਰਨ 4.13 ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.13
ਪੀਜ਼ਾ ਨੂੰ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਲਈ ਉਡੀਕਣਾ
ਪੀਜ਼ਾ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬੇਕ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਓਵਨ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਓਵਨ ਵਿੱਚੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵੇਲੇ ਪੀਜ਼ਾ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 200°F ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰਸੋਈ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 75°F ਹੈ, ਅਤੇ 11 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪੀਜ਼ਾ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 190°F ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕੱਟਣ ਅਤੇ ਪਰੋਸਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪੀਜ਼ਾ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 150°F ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੱਕ ਉਡੀਕ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 4.17)। ਸਾਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਹੋਰ ਦੇਰ ਉਡੀਕ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ?
ਚਿੱਤਰ 4.17: ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਤੋਂ, ਜੇਕਰ ਪੀਜ਼ਾ 11 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ 10°F ਠੰਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 150°F ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਹੱਲ
ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ (ਸਰੋਤ ਤਾਪਮਾਨ) 75°F ਹੈ, ਇਸ ਲਈ Ts=75। ਓਵਨ ਵਿੱਚੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵੇਲੇ ਪੀਜ਼ਾ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 200°F ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਤਾਪਮਾਨ ਹੈ (ਭਾਵ, ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ), ਇਸ ਲਈ T0=200। ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 4.4 ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ ਹੋਣ ਯੋਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪੰਜ-ਪੜਾਵੀ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਨਾਲ T=75 ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੀਜ਼ਾ 200°F ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਉਹ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀ ਅਸੀਂ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ dt ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ T−75 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ: dTT−75=kdt।
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰੋ: ∫dTT−75=∫kdtln|T−75|=kt+C।
TT ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਪਹਿਲਾਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਘਾਤਾਂਕ ਲੈ ਕੇ: eln|T−75|=ekt+C|T−75|=C1ektT−75=C1ektT(t)=75+C1ekt।
ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤ T(0)=200 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ C1 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: T(t)=75+C1ektT(0)=75+C1ek(0)200=75+C1C1=125। ਇਸ ਲਈ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ T(t)=75+125ekt ਹੈ। k ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ 11 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪੀਜ਼ਾ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 190°F ਹੈ। ਇਸ ਲਈ T(1)=190। ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ T(t)=75+125ektT(1)=190=75+125ek115=125ek115125=2325=eklnek=ln(2325)k=ln(2325)≈−.08338 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ T(t)=75+125e-.08338t ਹੈ। ਤਾਪਮਾਨ 150°F ਕਦੋਂ ਹੋਵੇਗਾ? t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ T(t)=75+125e−.08338t150=75+125e−.08338t75=125e−.08338t75125=35=e-.08338t-.08338t=ln35t=ln35-.08338≈6.12 ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ 6.12 ਮਿੰਟ (ਪੀਜ਼ਾ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ 200°F ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ) ਹੋਰ ਉਡੀਕ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਸਮਾਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.13
ਕੇਕ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬੇਕ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਓਵਨ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਓਵਨ ਵਿੱਚੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵੇਲੇ ਕੇਕ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 450°F ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰਸੋਈ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 70°F ਹੈ, ਅਤੇ 10 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਕੇਕ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 330°F ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਉਚਿਤ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਲਿਖੋ।
T(t) ਲਈ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਮਰੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ 5°F ਦੇ ਅੰਦਰ ਤਾਪਮਾਨ ਹੋਣ ਤੱਕ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤ y0=0 ਨਾਲ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
d y d t = y + 1
d y d t = y − 1
d y d t = –y + 1
d y d t = − y − 1
Find the general solution to the differential equation.
x 2 y ′ = ( x + 1 ) y x 2 y ′ = ( x + 1 ) y
y ′ = tan ( y ) x y ′ = tan ( y ) x
y ′ = 2 x y 2 y ′ = 2 x y 2
d y d t = y cos ( 3 t + 2 ) d y d t = y cos ( 3 t + 2 )
2 x d y d x = y 2 2 x d y d x = y 2
y ′ = e y x 2 y ′ = e y x 2
( 1 + x ) y ′ = ( x + 2 ) ( y − 1 ) ( 1 + x ) y ′ = ( x + 2 ) ( y − 1 )
d x d t = 3 t 2 ( x 2 + 4 ) d x d t = 3 t 2 ( x 2 + 4 )
t d y d t = 1 − y 2 t d y d t = 1 − y 2
y ′ = e x e y y ′ = e x e y
Find the solution to the initial-value problem.
y ′ = e y − x , y ( 0 ) = 0 y ′ = e y − x , y ( 0 ) = 0
y ′ = y 2 ( x + 1 ) , y ( 0 ) = 2 y ′ = y 2 ( x + 1 ) , y ( 0 ) = 2
d y d x = y 3 x e x 2 , y ( 0 ) = 1 d y d x = y 3 x e x 2 , y ( 0 ) = 1
d y d t = y 2 e x sin ( 3 x ) , y ( 0 ) = 1 d y d t = y 2 e x sin ( 3 x ) , y ( 0 ) = 1
y ′ = x sech 2 y , y ( 0 ) = 0 y ′ = x sech 2 y , y ( 0 ) = 0
y ′ = 2 x y ( 1 + 2 y ) , y ( 0 ) = −1 y ′ = 2 x y ( 1 + 2 y ) , y ( 0 ) = −1
d x d t = ln ( t ) 1 − x 2 , x ( 1 ) = 0 d x d t = ln ( t ) 1 − x 2 , x ( 1 ) = 0
y ′ = 3 x 2 ( y 2 + 4 ) , y ( 0 ) = 0 y ′ = 3 x 2 ( y 2 + 4 ) , y ( 0 ) = 0
y ′ = e y 5 x , y ( 0 ) = ln ( ln ( 5 ) ) y ′ = e y 5 x , y ( 0 ) = ln ( ln ( 5 ) )
y ′ = −2 x tan ( y ) , y ( 0 ) = π 6 y ′ = −2 x tan ( y ) , y ( 0 ) = π 6
For the following problems, use a software program or your calculator to generate the directional fields. Solve explicitly and draw solution curves for several initial conditions. Are there some critical initial conditions that change the behavior of the solution?
[T] y′=1−2yy′=1−2y
y′=y^2x^3
y′=y^3e^x
y′=ey
y′=yln(x)
ਖੂਨ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਦਵਾਈਆਂ y′=cy ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨੁਸਾਰ ਘਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ y ਖੂਨ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਵਿੱਚ ਦਵਾਈ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦਵਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 22 ਘੰਟੇ ਹੈ, ਤਾਂ 66 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਖੁਰਾਕ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਬਾਕੀ ਰਹੇਗਾ?
ਇੱਕ ਮਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਨਾੜੀ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਦਰ rr mg/h ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਦਵਾਈ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਦਵਾਈ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, dd, ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਫ਼ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਦਵਾਈ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਸੀ।
[T] ਜੇਕਰ ਦਵਾਈ ਦੀ ਖੁਰਾਕ 33 mg ਹੈ, ਇਸਨੂੰ c=0.1 mg/h ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਸਾਫ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਸਮੇਂ 11 mg ਖੂਨ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਵਿੱਚ ਰਹਿਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਵਾਈ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 100 ਲੀਟਰ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ 1 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਨਮਕ ਘੁਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। 0.1 kg ਨਮਕ/L ਦਾ ਨਮਕੀਨ ਘੋਲ 22 L/min ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸੇ ਦਰ ਨਾਲ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਨਮਕ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਟੈਂਕ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1000 ਲੀਟਰ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ 10 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਨਮਕ ਘੁਲੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਦੋ ਨਮਕੀਨ ਘੋਲ ਪੰਪ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। 0.2 kg ਨਮਕ/L ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਘੋਲ 20 L/min ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 0.05 kg ਨਮਕ/L ਦਾ ਦੂਜਾ ਘੋਲ 5 L/min ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਟੈਂਕ 25 L/min 'ਤੇ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਟੈਂਕ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਨਮਕ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
[T] ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਦੇ 1 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਨਮਕ ਹੈ।
ਟੋਰਿਸੇਲੀ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਮੋਰੀ ਵਾਲੇ ਪਾਣੀ ਦੇ ਟੈਂਕ ਲਈ ਜਿਸਦਾ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ AHAH ਹੈ ਅਤੇ ਟੈਂਕ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ hh ਹੈ, ਟੈਂਕ ਵਿੱਚੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, dV/dt = -AH√(2gh) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਜਿੱਥੇ g ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ dV/dt = AT dh/dt, ਜਿੱਥੇ AT ਟੈਂਕ ਦਾ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ, 242 ਫੁੱਟ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੇ ਟੈਂਕ ਅਤੇ 2 ਫੁੱਟ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੋਲ ਮੋਰੀ ਨੂੰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ। ਪਾਣੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ 100 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਟੈਂਕ ਨੂੰ ਖਾਲੀ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਦਾ ਤਰਲ ਅਧਾਰ ਫ੍ਰੀਜ਼ਰ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ 200°F ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 0°F ਹੈ। 1 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ, ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਅਧਾਰ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਘੱਟ ਕੇ 140°F ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
[T] ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਦਾ ਤਰਲ ਅਧਾਰ ਫ੍ਰੀਜ਼ਰ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ 210°F ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 20°F ਹੈ। 2 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ, ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਅਧਾਰ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਘੱਟ ਕੇ 170°F ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਕਦੋਂ ਖਾਣ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ? (30°F ਨੂੰ ਖਾਣ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲ ਤਾਪਮਾਨ ਮੰਨੋ।)
[T] ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਸੋਸ਼ਲ ਦਾ ਆਯੋਜਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ। ਬਾਹਰੀ ਤਾਪਮਾਨ 80°F ਹੈ ਅਤੇ ਆਈਸ ਕਰੀਮ 10°F 'ਤੇ ਹੈ। 10 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 10°F ਵਧ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਈਸ ਕਰੀਮ 40°F 'ਤੇ ਪਿਘਲਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਤੁਸੀਂ ਕਿੰਨਾ ਹੋਰ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਅਭਿਆਸ 159—162 ਲਈ, k=-0.125 ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ ਮੰਨੋ ਅਤੇ ਸਮਾਂ t ਨੂੰ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮੰਨੋ।
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 70°C ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੌਫੀ ਦਾ ਕੱਪ ਹੈ ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 20°C ਹੈ। 0.125 ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੀ ਦਰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਸਮੇਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੌਫੀ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
[T] ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 70°C ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੌਫੀ ਦਾ ਕੱਪ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਤੁਸੀਂ ਬਾਹਰ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਜਿੱਥੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 0°C ਹੈ। 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਕੌਫੀ ਕਿੰਨੀ ਠੰਡੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 70°C ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੌਫੀ ਦਾ ਕੱਪ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਸੀਂ ਤੁਰੰਤ 1 ਹਿੱਸਾ ਦੁੱਧ ਅਤੇ 5 ਹਿੱਸੇ ਕੌਫੀ ਪਾਉਂਦੇ ਹੋ। ਦੁੱਧ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ 1°C ਹੈ। ਇਸ ਕੌਫੀ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਨਿਯੰਤਰਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 70°C ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੌਫੀ ਦਾ ਕੱਪ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਤੁਸੀਂ 10 ਮਿੰਟ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦਿੰਦੇ ਹੋ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਾਂਗ 1°C 'ਤੇ ਓਨੀ ਹੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਦੁੱਧ ਪਾਉਂਦੇ ਹੋ। 10 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪਿਛਲੀ ਕੌਫੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਕਿਵੇਂ ਹੈ?
ਆਮ ਸਮੱਸਿਆ y′=ay+b ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ y(0)=c ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਬੁਨਿਆਦੀ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਵਿਆਜ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ। P0 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਅਤੇ r ਦੀ ਵਿਆਜ ਦਰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਵਿਆਜ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
LL ਲੀਟਰ ਵਾਲੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ II ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੌਸ਼ਟਿਕ ਤੱਤ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ ਮੰਨੋ। cc kg/L ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਮੰਨੋ ਜੋ rr L/min ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪੰਪ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਟੈਂਕ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ rr L/min ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪੌਸ਼ਟਿਕ ਤੱਤ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਜੰਗਲ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 22 ਗ੍ਰਾਮ/ਸੈ.ਮੀ.² ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪੱਤੇ ਇਕੱਠੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 90% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਿਘਟਿਤ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੰਗਲ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਨਿਯੰਤਰਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਸਮਾਂ 0 'ਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪੱਤੇ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਕੀ ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮੁੱਲ ਵੱਲ ਵਧਦੀ ਹੈ? ਉਹ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?
ਜੰਗਲ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 44 ਗ੍ਰਾਮ/ਸੈ.ਮੀ.² ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪੱਤੇ ਇਕੱਠੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਪੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 10% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਿਘਟਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੰਗਲ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਨਿਯੰਤਰਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਕੀ ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮੁੱਲ ਵੱਲ ਵਧਦੀ ਹੈ? ਉਹ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?