ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.4.1 ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧੇ ਦੇ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਵਾਤਾਵਰਨ ਦੀ ਸਹਿਣ ਸ਼ਕਤੀ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
4.4.2 ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਹੱਲ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4.4.3 ਇੱਕ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅੰਤਰਕਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਘਾਟ ਦੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਮਾਡਲ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਯਥਾਰਥਵਾਦੀ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਕਾਰਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਅੰਤਰਕਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਜਨਸੰਖਿਆ ਗਤੀਸ਼ੀਲਤਾ ਦੇ ਅਧਿਐਨ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਸਹਿਣ ਸ਼ਕਤੀ
ਅੰਤਰਕਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧੇ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਕੁਝ ਚੱਲਾਂ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚੱਲ t.t. ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗੀ। ਸਮੇਂ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਘੰਟੇ, ਦਿਨ, ਹਫ਼ਤੇ, ਮਹੀਨੇ, ਜਾਂ ਸਾਲ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੋਈ ਵੀ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੱਸਿਆ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਨੂੰ ਉਸ ਖਾਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਚੱਲ PP ਜਨਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਜਨਸੰਖਿਆ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜਨਸੰਖਿਆ ਲਈ P(t)P(t) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ P(t)P(t) ਇੱਕ ਵਿਭਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ dPdtdPdt ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਘਾਟ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜਨਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਘਾਟ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ P(t)=P0ert.P(t)=P0ert ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, P(t)P(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਜਨਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, P0t,P0 ਸਮੇਂ t=0 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਨਸੰਖਿਆ (ਜਨਸੰਖਿਆ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ,t=0), ਅਤੇ ਸਥਿਰ r>0r>0 ਨੂੰ ਵਾਧਾ ਦਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.18 P(t)=100e0.03t.P(t)=100e0.03t ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ P0=100P0=100 ਅਤੇ r=0.03.r=0.03.
ਚਿੱਤਰ 4.18: ਜਨਸੰਖਿਆ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਮਾਡਲ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ P(t)=P0ertP(t)=P0ert ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਅੰਤਰਕਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਵਿਆਖਿਆ ਹੈ। ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਧਣ (ਜਾਂ ਘਟਣ) ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਮੌਜੂਦਾ ਜਨਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰਕਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਧਣ ਦੀ ਦਰ ਉਸ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਇਹ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਨੁਪਾਤ ਦਾ ਸਥਿਰ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਸਮਾਂ ਬੀਤਦਾ ਹੈ, ਜਨਸੰਖਿਆ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਸੈਟਿੰਗ ਵਿੱਚ ਅਯਥਾਰਥਵਾਦੀ ਹੈ। ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਾਰਕ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੀ ਵਾਧਾ ਦਰ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਜਨਮ ਦਰ, ਮੌਤ ਦਰ, ਭੋਜਨ ਸਪਲਾਈ, ਸ਼ਿਕਾਰੀ, ਆਦਿ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਵਾਧਾ ਸਥਿਰ rr ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਨਮ ਅਤੇ ਮੌਤ ਦਰਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਪਰ ਹੋਰ ਕਾਰਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ ਸਮੇਂ ਇੱਕ ਸ਼ੁੱਧ (ਜਨਮ ਘਟਾਓ ਮੌਤ) ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਾਧਾ ਦਰ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸਵਾਲ ਇਹ ਪੁੱਛਣਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧਾ ਦਰ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਕੀ ਇਹ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਪਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਜਨਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਥਿਰ-ਅਵਸਥਾ ਜਨਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਨਾਲ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਹਿਣ ਸ਼ਕਤੀ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਜੀਵ ਜਾਂ ਜਾਨਵਰ ਦੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ ਹੀ ਸਰੋਤ ਮੁੱਦਿਆਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਵਧ-ਫੁੱਲ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਵਾਤਾਵਰਣ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਜੀਵ ਦੀ ਸਹਿਣ ਸ਼ਕਤੀ ਨੂੰ ਉਸ ਜੀਵ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਵਾਤਾਵਰਣ ਅਣਮਿੱਥੇ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਬਣਾਈ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਹਿਣ ਸ਼ਕਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਚੱਲ KK ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵਾਧਾ ਦਰ ਨੂੰ ਚੱਲ rr ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਚੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਅੰਤਰਕਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ KK ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਵਾਤਾਵਰਣ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਜੀਵ ਲਈ ਸਹਿਣ ਸ਼ਕਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ rr ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਵਾਧਾ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ P(t)P(t) ਸਮੇਂ t,t ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਇਸ ਜੀਵ ਦੀ ਜਨਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ P0P0 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਨਸੰਖਿਆ (ਸਮੇਂ t=0 'ਤੇ ਜੀਵ ਦੀ ਜਨਸੰਖਿਆ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।t=0)। ਫਿਰ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਅੰਤਰਕਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਮੀਡੀਆ
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਬਾਰੇ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਇਸ ਵੈੱਬਸਾਈਟ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਪੀਅਰੇ ਵਰਹਲਸਟ ਦੁਆਰਾ 1845 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।1845। ਇਸ ਅੰਤਰਕਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ P(t) ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ P(0)=P0P(0)=P0 ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।P(t)।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਨਸੰਖਿਆ ਸਹਿਣ ਸ਼ਕਤੀ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਛੋਟੀ ਹੈ। ਫਿਰ PKPK ਛੋਟਾ ਹੈ, ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ ਮਾਤਰਾ 1,1 ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ rP.rP ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਜੇਕਰ r>0,r>0, ਤਾਂ ਜਨਸੰਖਿਆ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਵਰਗੀ ਲੱਗਦੀ ਹੈ।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਅਨੁਪਾਤ PKPK ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ KK ਸਥਿਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜਨਸੰਖਿਆ ਸਹਿਣ ਸ਼ਕਤੀ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ PKPK 1,1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 1−PK>0.1−PK>0। ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਦਾ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਅਜੇ ਵੀ ਧਨ ਹੈ, ਪਰ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ ਮਾਤਰਾ ਛੋਟੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਵਾਧਾ ਦਰ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ P=KP=K ਤਾਂ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਨਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦੀ।
ਜੇਕਰ ਆਬਾਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ PK>1, ਅਤੇ 1−PK<0। ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਦਾ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਬਾਦੀ ਘਟਦੀ ਹੈ। ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ P>K, ਆਬਾਦੀ ਘਟਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕਦੇ ਵੀ K ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਕਿਉਂਕਿ dPdt ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਆਬਾਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ t ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੇਜ਼ ਲਾਈਨ ਰਾਹੀਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੇਜ਼ ਲਾਈਨ ਇੱਕ ਆਟੋਨੋਮਸ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦੇ ਆਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਮਰੱਥਾ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਫੇਜ਼ ਲਾਈਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.19: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ dPdt=rP(1−PK) ਲਈ ਇੱਕ ਫੇਜ਼ ਲਾਈਨ।
ਇਹ ਫੇਜ਼ ਲਾਈਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ P ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ K ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਬਾਦੀ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਟਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ P 0 ਅਤੇ K ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਬਾਦੀ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.14
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ: ਹਿਰਨ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਚਿੱਤਰ 4.20: (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਰੇਚਲ ਕ੍ਰੇਮਰ, ਫਲਿੱਕਰ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
ਆਓ ਕੈਂਟੂਕੀ ਰਾਜ ਵਿੱਚ ਸਫੈਦ-ਪੂਛ ਵਾਲੇ ਹਿਰਨ (Odocoileus virginianus) ਦੀ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਕੈਂਟੂਕੀ ਡਿਪਾਰਟਮੈਂਟ ਆਫ ਫਿਸ਼ ਐਂਡ ਵਾਈਲਡਲਾਈਫ ਰਿਸੋਰਸਿਜ਼ (KDFWR) ਰਾਜ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਕਾਰ ਅਤੇ ਮੱਛੀ ਫੜਨ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 2004 ਦੇ ਸ਼ਿਕਾਰ ਸੀਜ਼ਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸਨੇ 900,000 ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਸੀ। ਜੌਹਨਸਨ ਨੋਟ ਕਰਦਾ ਹੈ: "ਇੱਕ ਹਿਰਨ ਆਬਾਦੀ ਜਿਸ ਕੋਲ ਖਾਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਕੁਝ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ਿਕਾਰ ਮਨੁੱਖਾਂ ਜਾਂ ਹੋਰ ਸ਼ਿਕਾਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਹਰ ਤਿੰਨ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ।" (ਜਾਰਜ ਜੌਹਨਸਨ, "ਵਿਸ਼ਾਲ ਹਿਰਨ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਕੋਈ ਆਕਰਸ਼ਕ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ," 12 ਜਨਵਰੀ, 2001, 12, 2001, 9 ਅਪ੍ਰੈਲ, 2015 ਨੂੰ ਪਹੁੰਚਿਆ, http://www.txtwriter.com/onscience/Articles/deerpops.html।) ਇਹ ਨਿਰੀਖਣ r=ln(2)3=0.2311 ਦੀ ਵਾਧਾ ਦਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲਗਭਗ ਵਾਧਾ ਦਰ 23.11% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਹੈ। (ਇਹ ਮੰਨਦਾ ਹੈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਘਾਤਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਵਾਜਬ ਹੈ - ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਲਈ - ਭਰਪੂਰ ਭੋਜਨ ਸਪਲਾਈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਸ਼ਿਕਾਰੀਆਂ ਦੇ ਨਾਲ।) KDFWR ਕੈਂਟੂਕੀ ਵਿੱਚ 32 ਕਾਉਂਟੀਆਂ ਲਈ ਹਿਰਨ ਆਬਾਦੀ ਘਣਤਾ ਦੀ ਵੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਔਸਤ ਲਗਭਗ 27 ਹਿਰਨ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਮੀਲ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਹ ਪੂਰੇ ਰਾਜ (39,732 ਵਰਗ ਮੀਲ) ਲਈ ਹਿਰਨ ਘਣਤਾ ਹੈ। ਸਮਰੱਥਾ K 39,732 ਵਰਗ ਮੀਲ ਗੁਣਾ 27 ਹਿਰਨ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਮੀਲ, ਜਾਂ 1,072,764 ਹਿਰਨ ਹੈ।
ਇਸ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ P0=900,000, K=1,072,764, ਅਤੇ r=0.2311 ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.8 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣਾਓ।
ਭਾਗ a ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, 33 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ? ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜੌਹਨਸਨ ਦੁਆਰਾ ਹਿਰਨ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਦੁੱਗਣੀ ਸਮਾਂ 33 ਸਾਲ ਸੀ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਨ?
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਆਬਾਦੀ 1,200,000 ਹਿਰਨਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਗਈ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰੇਗਾ?
ਹੱਲ
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ dPdt=0.2311P(1−P1,072,764),P(0)=900,000 ਹੈ।
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਆਟੋਨੋਮਸ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਦਮ 1: ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਨਾਲ P=0 ਅਤੇ P=1,072,764 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਆਬਾਦੀ ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲੇਗੀ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਇਹ ਸਮਰੱਥਾ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲੇਗੀ। ਕਦਮ 2: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: dPdt=0.2311P(1,072,764−P1,072,764)dP=0.2311P(1,072,764−P1,072,764)dt। ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ P(1,072,764−P) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ: dPP(1,072,764−P)=0.23111,072,764dt। ਕਦਮ 3: ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ: ∫dPP(1,072,764−P)=∫0.23111,072,764dt11,072,764∫(1P+11,072,764−P)dP=0.2311t1,072,764+C11,072,764(ln|P|−ln|1,072,764−P|)=0.2311t1,072,764+C। ਕਦਮ 4: ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 1,072,764 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਲਈ ਭਾਗ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ln|P1,072,764−P|=0.2311t+C1। ਇੱਥੇ C1=1,072,764C। ਅੱਗੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਘਾਤੰਕ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ: eln|P1,072,764−P|=e0.2311t+C1|P1,072,764−P|=C2e0.2311tP1,072,764−P=C2e0.2311t। ਇੱਥੇ C2=eC1 ਪਰ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: P=C2e0.2311t(1,072,764−P)। P=1,072,764C2e0.2311t−C2Pe0.2311tP+C2Pe0.2311t=1,072,764C2e0.2311tP(1+C2e0.2311t)=1,072,764C2e0.2311tP(t)=1,072,764C2e0.2311t1+C2e0.2311t। ਕਦਮ 5: C2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਕਦਮ ਪਿੱਛੇ ਜਾਣ ਲਈ ਆਸਾਨ ਹੈ ਜਿੱਥੇ C2 ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ P1,072,764−P=C2e0.2311t ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ P(0)=900,000 ਹੈ। P ਨੂੰ 900,000 ਅਤੇ t ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਬਦਲੋ: P1,072,764−P=C2e0.2311t900,0001,072,764−900,000=C2e0.2311(0)900,000172,764=C2C2=25,0004,799≈5.209। ਇਸ ਲਈ P(t)=1,072,764(250004799)e0.2311t1+(250004799)e0.2311t=1,072,764(25000)e0.2311t4799+25000e0.2311t। ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 25,000 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ 'ਤੇ P(t)=1,072,764e0.2311t0.19196+e0.2311t ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.21 ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.21 900,000 ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲ ਹਿਰਨ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਕਰਵ।
ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ 33 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। P(3)=1,072,764e0.2311(3)0.19196+e0.2311(3)≈978,830 ਹਿਰਨ। ਇਹ 900,000 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਦੁੱਗਣੀ ਸਮਾਂ ਇਹ ਧਾਰਨਾ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ ਕਿ ਵਾਧਾ ਦਰ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦੀ, ਪਰ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਆਬਾਦੀ 1,200,000 ਹਿਰਨਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਵੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ dPdt=0.2311P(1−P1,072,764),P(0)=1,200,000 ਹੋਵੇਗੀ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਉਹੀ ਰਹੇਗਾ। P(t)=1,072,764C2e0.2311t1+C2e0.2311t। ਸਥਿਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ P1,072,764−P=C2e0.2311t 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ। t=0 ਅਤੇ P=1,200,000 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਤੁਹਾਨੂੰ C2e0.2311(0)=1,200,0001,072,764−1,200,000C2=−100,00010,603≈−9.431 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ P(t)=1,072,764C2e0.2311t1+C2e0.2311t=1,072,764(−100,00010,603)e0.2311t1+(−100,00010,603)e0.2311t=−107,276,400,000e0.2311t100,000e0.2311t−10,603≈10,117,551e0.2311t9.43129e0.2311t−1। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਚਿੱਤਰ 4.22 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.22 1,200,000 ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲ ਹਿਰਨ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਕਰਵ।
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਆਟੋਨੋਮਸ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਉਦਾਹਰਨ 4.14 ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 1: ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਨਾਲ P=0 ਅਤੇ P=K ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਹੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਜੀਵ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਆਬਾਦੀ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਵਧੇਗੀ। ਦੂਜਾ ਹੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਆਬਾਦੀ ਸਮਰੱਥਾ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲੇਗੀ।
ਕਦਮ 2: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ
ਫਿਰ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ dt ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ P(K−P) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ K ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ:
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰਨ ਲਈ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂਕ ਬਣਾਓ:
ਅਸੀਂ C1=ecC1=ec ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ K,P>0K,P>0 ਅਤੇ P<KP<K, ਇਸ ਲਈ PK–P>0PK–P>0 ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਹਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
P(t),P(t) ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ K−PK−P ਨਾਲ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ PP ਵਾਲੇ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ:
ਅੱਗੇ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ PP ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾਲ ਵੰਡੋ:
ਆਖਰੀ ਕਦਮ C1.C1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਕਿ t=0t=0 ਅਤੇ P0P0 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.9 ਵਿੱਚ PP ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਬਦਲੋ ਅਤੇ C1:C1 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, C1C1 ਦੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.10 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:
ਹੁਣ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ (K−P0)(K−P0) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਜੋਂ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.2
ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ
ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ P0P0 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ, K ਕੈਰੀਅੰਗ ਸਮਰੱਥਾ ਅਤੇ r ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਹੈ। ਸੰਬੰਧਿਤ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ P0,r,P0,r, ਅਤੇ KK ਲਈ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਵਕਰ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ 4.14 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ r=0.2311,K=1,072,764,r=0.2311,K=1,072,764, ਅਤੇ 900,000900,000 ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਇਹ ਹੱਲ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
900,000900,000 ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੰਡਣ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਅਸਲ ਹੱਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਫਿਰ ਤੋਂ ਚਿੱਤਰ 4.23 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 900,000900,000 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਅਤੇ 0.23110.2311 ਦੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤਾਂਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸੁਪਰਇੰਪੋਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ (ਹਰੇ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦੇ ਰਿਹਾ ਹੈ)। ਲਾਲ ਡੈਸ਼ਡ ਲਾਈਨ ਕੈਰੀਅੰਗ ਸਮਰੱਥਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਹਰੀਜੱਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.23: 900,000900,000 ਜੀਵਾਂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਅਤੇ 23.11%23.11% ਦੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਲਈ ਘਾਤਾਂਕ ਬਨਾਮ ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ।
ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਚੱਲਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਲਗਭਗ 2020 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ (1984),(1984), ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਲਗਭਗ ਘਾਤਾਂਕ ਸੀ। ਉਸ ਸਮੇਂ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਲਗਭਗ 23.1%23.1% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਹੁੰਦੀ। ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ ਸਮਾਂ ਬੀਤਦਾ ਹੈ, ਦੋ ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਖ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਧਣ ਨਾਲ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਘਟਦੀ ਹੈ। ਜਿਸ ਸਮੇਂ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਸੀ (2004),(2004), ਇਹ ਕੈਰੀਅੰਗ ਸਮਰੱਥਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਸੀ, ਅਤੇ ਆਬਾਦੀ ਪੱਧਰੀ ਹੋਣੀ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਗਈ ਸੀ।
ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ:
ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ P0≠K,P0≠K, ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਤੇ ertert ਸਮੇਤ ਸਾਰੀ ਮਾਤਰਾ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
t,t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇਕਰ P0>K,P0>K, ਤਾਂ ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਅਨਡਿਫਾਈਂਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਵਤਲ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਅਵਤਲ ਹੇਠਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਹੀ "ਪੱਧਰਾ ਹੋਣਾ" ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਘੱਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਆਬਾਦੀ ਕੈਰੀਅੰਗ ਸਮਰੱਥਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣੀ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.14
ਇੱਕ ਘਾਹ ਦੇ ਮੈਦਾਨ ਵਿੱਚ ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ t=0 ਸਮੇਂ 200200 ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਬਾਅਦ, ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ 4% ਦਾ ਵਾਧਾ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। 200200 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਅਤੇ 0.04 ਦੀ ਵਾਧਾ ਦਰ, 750 ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਨਾਲ,
ਇਸ ਮਾਡਲ ਲਈ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ ਲਿਖੋ।
ਇਸ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਢਲਾਣ ਖੇਤਰ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ 200200 ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
P(t) ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਹੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ: ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਨਾਲ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੁਧਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਜਾਤੀਆਂ ਦੇ ਬਚਾਅ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਆਬਾਦੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ T ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ T ਅਤੇ ਸਮਰੱਥਾ K ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ r, ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਵਾਧਾ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ ਜੀਵ-ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਪ੍ਰਜਾਤੀ ਨੂੰ ਖਤਰੇ ਵਾਲੀ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆਈ ਖੋਜਕਰਤਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਾ ਕਹਿਣਾ ਹੈ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਜਾਤੀ ਦੇ ਬਚਾਅ ਲਈ ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਹੈ: 5000 ਬਾਲਗ। (Catherine Clabby, “A Magic Number,” American Scientist 98(1): 24, doi:10.1511/2010.82.24. accessed April 9, 2015, http://www.americanscientist.org/issues/pub/a-magic-number)। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਵਿੱਚ ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ ਵਜੋਂ T=5000 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮੋਂਟਾਨਾ ਵਿੱਚ ਐਲਕ ਲਈ ਵਾਤਾਵਰਣ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ 25,000 ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 4.12 ਨੂੰ 25,000 ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਅਤੇ 5000 ਦੀ ਥ੍ਰੈਸ਼ਹੋਲਡ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। 18% ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਸ਼ੁੱਧ ਵਾਧਾ ਦਰ ਮੰਨੋ।
ਕਦਮ 1 ਤੋਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਖੇਤਰ ਬਣਾਓ, ਨਾਲ ਹੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀਆਂ ਲਈ ਕਈ ਹੱਲ। ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਥਿਰ ਹੱਲ ਕੀ ਹਨ? ਇਹ ਹੱਲ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਮਾਡਲ (ਭਾਵ, ਇੱਕ ਜੀਵ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ) ਵਿੱਚ ਕਿਸ ਚੀਜ਼ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ?
ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚੁਣੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਰੇਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਸੀਮਤ ਆਬਾਦੀ ਕੀ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀਆਂ ਲਈ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਢਲਾਣ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਭਾਵ, ਤੁਹਾਡੇ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ।)
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਵਿਛੋੜੇ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੱਲ ਨੂੰ t ਦੇ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ। 18,000 ਐਲਕ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਨੂੰ t ਦੇ ਇੱਕ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਜਾਂ ਆਮ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ, r, K, T, ਅਤੇ P0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, P′=CP−P2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਖੇਤਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇਕੁਇਲੀਬ੍ਰੀਆ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਲੱਭੋ।
C = 3
C = 0
C = -3
C=10 ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ P(0)=2 ਲਈ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
C=-10 ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ P(0)=2 ਲਈ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪਾਰਕ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ 200 ਅਤੇ ਵਾਧਾ ਦਰ 2% ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ 50 ਹਿਰਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਕੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ ਡੱਡੂਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਵਾਧਾ ਦਰ 5% ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ 1000 ਡੱਡੂ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਰੱਥਾ 6000 ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਡੱਡੂਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਕੀ ਹੈ?
[T] ਇੱਕ ਪੈਟਰੀ ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 20% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੈਕਟੀਰੀਅਮ ਹੈ ਅਤੇ 11 ਮਿਲੀਅਨ ਸੈੱਲਾਂ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ, ਤਾਂ 500,000 ਸੈੱਲਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
[T] ਇੱਕ ਪਾਰਕ ਵਿੱਚ ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ 10 ਹੈ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 4% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਰੱਥਾ 500 ਹੈ, ਤਾਂ ਆਬਾਦੀ 100 ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਤੱਕ ਕਿਸ ਸਮੇਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
[T] ਦੋ ਬਾਂਦਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟਾਪੂ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। 5 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, 8 ਬਾਂਦਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਅੰਦਾਜ਼ਨ ਸਮਰੱਥਾ 25 ਬਾਂਦਰ ਹੈ। ਬਾਂਦਰਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 16 ਬਾਂਦਰਾਂ ਤੱਕ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
[T] A butterfly sanctuary is built that can hold 20002000 butterflies, and 400400 butterflies are initially moved in. If after 22 months there are now 800800 butterflies, when does the population get to 15001500 butterflies?
The following problems consider the logistic equation with an added term for depletion, either through death or emigration.
[T] The population of trout in a pond is given by P′=0.4P(1−P10000)−400,P′=0.4P(1−P10000)−400, where 400400 trout are caught per year. Use your calculator or computer software to draw a directional field and draw a few sample solutions. What do you expect for the behavior?
In the preceding problem, what are the stabilities of the equilibria 0<P1<P2?0<P1<P2?
[T] For the preceding problem, use software to generate a directional field for the value f=400.f=400. What are the stabilities of the equilibria?
[T] For the preceding problems, use software to generate a directional field for the value f=600.f=600. What are the stabilities of the equilibria?
[T] For the preceding problems, consider the case where a certain number of fish are added to the pond, or f=−200.f=−200. What are the nonnegative equilibria and their stabilities?
It is more likely that the amount of fishing is governed by the current number of fish present, so instead of a constant number of fish being caught, the rate is proportional to the current number of fish present, with proportionality constant k,k, as
P′=0.4P(1−P10000)−kP.P′=0.4P(1−P10000)−kP.
[T] For the previous fishing problem, draw a directional field assuming k=0.1.k=0.1. Draw some solutions that exhibit this behavior. What are the equilibria and what are their stabilities?
[T] Use software or a calculator to draw directional fields for k=0.4.k=0.4. What are the nonnegative equilibria and their stabilities?
[T] Use software or a calculator to draw directional fields for k=0.6.k=0.6. What are the equilibria and their stabilities?
Solve this equation, assuming a value of k=0.05k=0.05 and an initial condition of 20002000 fish.
Solve this equation, assuming a value of k=0.05k=0.05 and an initial condition of 50005000 fish.
The following problems add in a minimal threshold value for the species to survive, T,T, which changes the differential equation to P′(t)=rP(1−PK)(1−TP).P′(t)=rP(1−PK)(1−TP).
Draw the directional field of the threshold logistic equation, assuming K=10,r=0.1,T=2.K=10,r=0.1,T=2. When does the population survive? When does it go extinct?
For the preceding problem, solve the logistic threshold equation, assuming the initial condition P(0)=P0.P(0)=P0.
Bengal tigers in a conservation park have a carrying capacity of 100100 and need a minimum of 1010 to survive. If they grow in population at a rate of 1%1% per year, with an initial population of 1515 tigers, solve for the number of tigers present.
A forest containing ring-tailed lemurs in Madagascar has the potential to support 50005000 individuals, and the lemur population grows at a rate of 5%5% per year. A minimum of 500500 individuals is needed for the lemurs to survive. Given an initial population of 600600 lemurs, solve for the population of lemurs.
The population of Florida panthers in the southwestern tip of Florida has an estimated carrying capacity of 250250 and grows at a rate of 0.25%0.25% per year and there must be 2525 for the population to survive. With an initial population of 3030 Florida panthers, how many years will it take to get the Florida panthers off the endangered species list (at least 100)?100)?
The following questions consider the Gompertz equation, a modification for logistic growth, which is often used for modeling cancer growth, specifically the number of tumor cells.
The Gompertz equation is given by P(t)′=αln(KP(t))P(t).P(t)′=αln(KP(t))P(t). Draw the directional fields for this equation assuming all parameters are positive, and given that K=1.K=1.
Assume that for a population, K=1000K=1000 and α=0.05.α=0.05. Draw the directional field associated with this differential equation and draw a few solutions. What is the behavior of the population?
Solve the Gompertz equation for generic αα and KK and P(0)=P0.P(0)=P0.
[T] The Gompertz equation has been used to model tumor growth in the human body. Starting from one tumor cell on day 11 and assuming α=0.1α=0.1 and a carrying capacity of 1010 million cells, how long does it take to reach “detection” stage at 55 million cells?
[T] It is estimated that the world human population reached 33 billion people in 19591959 and 66 billion in 1999.1999. Assuming a carrying capacity of 1616 billion humans, write and solve the differential equation for logistic growth, and determine what year the population reached 77 billion.
[T] It is estimated that the world human population reached 33 billion people in 19591959 and 66 billion in 1999.1999. Assuming a carrying capacity of 1616 billion humans, write and solve the differential equation for Gompertz growth, and determine what year the population reached 77 billion. Was logistic growth or Gompertz growth more accurate, considering world population reached 77 billion on October 31,2011?31,2011?
Show that the population grows fastest when it reaches half the carrying capacity for the logistic equation P′=rP(1−PK).P′=rP(1−PK).
When does population increase the fastest in the threshold logistic equation P′(t)=rP(1−PK)(1−TP)?P′(t)=rP(1−PK)(1−TP)?
When does population increase the fastest for the Gompertz equation P(t)′=αln(KP(t))P(t)?P(t)′=αln(KP(t))P(t)?
Below is a table of the populations of whooping cranes in the wild from 1940to2000.1940to2000. The population rebounded from near extinction after conservation efforts began. The following problems consider applying population models to fit the data. Assume a carrying capacity of 10,00010,000 cranes. Fit the data assuming years since 19401940 (so your initial population at time 00 would be 2222 cranes).
row: Year (years since conservation began) | Whooping Crane Population
row: 1940(0)1940(0) | 2222
row: 1950(10)1950(10) | 3131
row: 1960(20)1960(20) | 3636
row: 1970(30)1970(30) | 5757
row: 1980(40)1980(40) | 9191
row: 1990(50)1990(50) | 159159
row: 2000(60)2000(60) | 256256
: Source: https://www.savingcranes.org/images/stories/site_images/conservation/whooping_crane/pdfs/historic_wc_numbers.pdf
Find the equation and parameter rr that best fit the data for the logistic equation.
Find the equation and parameters rr and TT that best fit the data for the threshold logistic equation.
Find the equation and parameter αα that best fit the data for the Gompertz equation.
Graph all three solutions and the data on the same graph. Which model appears to be most accurate?
Using the three equations found in the previous problems, estimate the population in 20102010 (year 7070 after conservation). The real population measured at that time was 437.437. Which model is most accurate?