ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.5.1 ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
4.5.2 ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੋ।
4.5.3 ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਸੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵੇਗ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੇਂਦ v0 ft/s ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਗੇਂਦ ਦੇ ਵੇਗ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:
ਇਹ ਮਾਡਲ ਮੰਨਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗੇਂਦ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇਕਲੌਤਾ ਬਲ ਗੁਰੂਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਕੇ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਹਮੇਸ਼ਾ ਗਤੀ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਉੱਪਰ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.24)। ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵੇਗ ਅਤੇ ਉਸ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਸਹੀ ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ, ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਵੇਗ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਅਰਥਾਤ, ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਕਾਰਨ ਬਲ ਕੁਝ ਸਥਿਰ k ਗੁਣਾ v ਦੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੱਡੀਆਂ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬੇਸਬਾਲ-ਆਕਾਰ ਦੀਆਂ) ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ, ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਵੇਗ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ v^1.5, ਜਾਂ v^0.9, ਜਾਂ v ਦੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਘਾਤ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.24: ਇੱਕ ਚਲਦੀ ਹੋਈ ਬੇਸਬਾਲ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਲ: ਗੁਰੂਤਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਗਤੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ k>0 ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ FA ਕਾਰਨ ਬਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ FA = -kv ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਅਤੇ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਕਾਰਨ ਬਲ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ, ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਵਸਤੂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ (ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਨਿਯਮ)। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ v(0) = v0 ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ v0 ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਹੈ। ਇਹ g = 9.8 m/s^2 ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। (ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ-ਦਰਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ 1 ਹੈ।) ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਨਾਲ ਹੀ ਇਹਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਰੇਖੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ
ਜਿੱਥੇ a(x), b(x), ਅਤੇ c(x) x ਦੇ ਮਨਮਾਨੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਣਜਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ y, ਵੇਰੀਏਬਲ x 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਅਰਥਾਤ, x ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਅਤੇ y ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ
ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਅਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (y')^4, y^3, ਆਦਿ ਵਰਗੇ ਪਦਾਂ ਕਾਰਨ ਅਰੇਖੀ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਕਾਰਨ, ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.14 ਦੇ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਾਡਾ ਮੁੱਖ ਟੀਚਾ ਇਸ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਹੱਲ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। y' ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 3x^2 - 4 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਵੇਲੇ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਸਮੀਕਰਨ 4.14 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ a(x) ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ p(x) = b(x)/a(x) ਅਤੇ q(x) = c(x)/a(x) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ 4.14 ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.15
ਪਹਿਲੀ-ਕ੍ਰਮ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਪਹਿਲੀ-ਕ੍ਰਮ ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ p(x)p(x) ਅਤੇ q(x)q(x) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
y′=3x−4y
3xy′4y−3=2 (ਇੱਥੇ x≠0)
y=3y′−4x2+5
ਹੱਲ
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 4y4y ਜੋੜੋ: y′+4y=3x. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, p(x)=4p(x)=4 ਅਤੇ q(x)=3x.q(x)=3x.
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 4y−3,4y−3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਤੋਂ 8y8y ਘਟਾਓ: 3xy′4y−3=23xy′=2(4y−3)3xy′=8y−63xy′−8y=−6. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, y′y′ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ 1 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 3x3x ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ: y′−83xy=−2x. (4.17) ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਮੂਲ ਬਿਆਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਮੰਨਿਆ ਸੀ ਕਿ x≠0.x≠0. (ਜੇਕਰ x=0x=0 ਤਾਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ 0=2,0=2 ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਗਲਤ ਬਿਆਨ ਹੈ।) ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, p(x)=−83xp(x)=−83x ਅਤੇ q(x)=−2x.q(x)=−2x.
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਤੋਂ yy ਘਟਾਓ ਅਤੇ 4x2−5:4x2−5 ਜੋੜੋ: 3y′−y=4x2−5. ਅੱਗੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 3:3 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ: y′−13y=43x2−53. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, p(x)=−13p(x)=−13 ਅਤੇ q(x)=43x2−53.q(x)=43x2−53.
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.15
ਸਮੀਕਰਨ (x+3)y′2x−3y−4=5(x+3)y′2x−3y−4=5 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਅਤੇ p(x)p(x) ਅਤੇ q(x).q(x) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਹਿਲੀ-ਕ੍ਰਮ ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੱਲ ਤਕਨੀਕ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਹਿਲੀ-ਕ੍ਰਮ ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਸਮੀਕਰਨ 4.15 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਣਜਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਪਦ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨਾਲ ਅਣਜਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਰੂਲਜ਼ ਸੈਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਉਤਪਾਦ ਨਿਯਮ ਦੀ ਯਾਦ ਦਿਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.16 ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜੇ-ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ μ(x),μ(x) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨ 4.18 ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਉਤਪਾਦ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ:
ਪਦ ਦੁਆਰਾ ਪਦ ਮੇਲਣ ਨਾਲ y=f(x),g(x)=μ(x),y=f(x),g(x)=μ(x), ਅਤੇ g′(x)=μ(x)p(x).g′(x)=μ(x)p(x) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। g(x)=μ(x)g(x)=μ(x) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਣਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ g′(x)=μ(x)p(x)g′(x)=μ(x)p(x) ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣਾ ਇਸ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ μ(x).μ(x) ਲਈ ਇੱਕ ਪਹਿਲੀ-ਕ੍ਰਮ, ਵੱਖ ਕਰਨ ਯੋਗ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ p(x)p(x) ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਇੱਥੇ C2C2 ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ (ਧਨ ਜਾਂ ॠਣ) ਸਥਿਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਪਹਿਲੀ-ਕ੍ਰਮ ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਵਿਧੀ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.16 ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ μ(x).μ(x) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨ 4.20 ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ddx(μ(x)y).ddx(μ(x)y) ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ ਸਮੀਕਰਨ 4.21 ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਨੂੰ x.x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ 4.22 ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਨੂੰ μ(x):μ(x) ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ:
ਕਿਉਂਕਿ μ(x)μ(x) ਪਹਿਲਾਂ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪੂਰੇ ਹੋ ਗਏ ਹਾਂ। ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਸਥਿਰ C:C ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨੋਟ: ਇਹ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਸਥਿਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਅਸੰਗਤ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, p(x)p(x) ਵਾਲਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਮੀਕਰਨ 4.15 ਲਈ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ; ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ CC ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ C=0.C=0 ਚੁਣਿਆ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 4.21 ਦੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਸਥਿਰ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਸਾਡੇ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਰੱਖਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ਸਮੀਕਰਨ 4.15 ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਆਮ ਪਰਿਵਾਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ ਇਸਦੀ ਗਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਪਹਿਲੀ-ਕ੍ਰਮ ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
Put the equation into standard form and identify p(x)p(x) and q(x).q(x).
Calculate the integrating factor μ(x)=e∫p(x)dx.μ(x)=e∫p(x)dx.
Multiply both sides of the differential equation by μ(x).μ(x).
Integrate both sides of the equation obtained in step 3,3, and divide both sides by μ(x).μ(x).
If there is an initial condition, determine the value of C.C.
Example 4.16
Solving a First-order Linear Equation
Find a general solution for the differential equation xy′+3y=4x2−3x.xy′+3y=4x2−3x. Assume x>0.x>0.
Solution
To put this differential equation into standard form, divide both sides by x:x: y′+3xy=4x−3.y′+3xy=4x−3. Therefore p(x)=3xp(x)=3x and q(x)=4x−3.q(x)=4x−3.
The integrating factor is μ(x)=e∫(3/x)dx=e3lnx=x3.μ(x)=e∫(3/x)dx=e3lnx=x3.
Multiplying both sides of the differential equation by μ(x)μ(x) gives us x3y′+x3(3x)y=x3(4x−3)x3y′+3x2y=4x4−3x3ddx(x3y)=4x4−3x3.x3y′+x3(3x)y=x3(4x−3)x3y′+3x2y=4x4−3x3ddx(x3y)=4x4−3x3.
Integrate both sides of the equation. ∫ddx(x3y)dx=∫4x4−3x3dxx3y=4x55−3x44+Cy=4x25−3x4+Cx−3.∫ddx(x3y)dx=∫4x4−3x3dxx3y=4x55−3x44+Cy=4x25−3x4+Cx−3.
There is no initial value, so the problem is complete.
Analysis
You may have noticed the condition that was imposed on the differential equation; namely, x>0.x>0. For any nonzero value of C,C, the general solution is not defined at x=0.x=0. Furthermore, when x<0,x<0, the integrating factor changes. The integrating factor is given by Equation 4.19 as μ(x)=e∫p(x)dx.μ(x)=e∫p(x)dx. For this p(x)p(x) we get
since x<0.x<0. The behavior of the general solution changes at x=0x=0 largely due to the fact that p(x)p(x) is not defined there.
Checkpoint 4.16
Find the general solution to the differential equation (x−2)y′+y=3x2+2x.(x−2)y′+y=3x2+2x. Assume x>2.x>2.
Now we use the same strategy to find the solution to an initial-value problem.
Example 4.17
A First-order Linear Initial-Value Problem
Solve the initial-value problem
Solution
ਇਹ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ p(x)=3 ਅਤੇ q(x)=2x−1 ਹੈ।
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ μ(x)=e∫3dx=e3x ਹੈ।
ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ μ(x) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ e3xy′+3e3xy=(2x−1)e3x ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ dd[ye3x]=(2x−1)e3x ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਕਰੋ: ∫ddx[ye3x]dx=∫(2x−1)e3xdx, ਜਿਸ ਤੋਂ ye3x=e3x(2x−1)3−2e3x9+C ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ y=2x3−59+Ce−3x ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹੁਣ ਆਮ ਹੱਲ ਵਿੱਚ x=0 ਅਤੇ y=3 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: y=23x−59+Ce−3x 3=23(0)−59+Ce−3(0) 3=−59+C C=329। ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ y=23x−59+329e−3x ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.17
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ y′−2y=4x+3, y(0)=−2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੀ ਵਿੱਚ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ; ਦੂਜੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਕਲ ਸਰਕਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਬਹੁਤ ਹਨ, ਪਰ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਨਾਲ ਮੁਕਤ ਪਤਨ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਬਲ ਨੂੰ ਹੋਰ ਕਾਰਕ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਸਤੂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਰੂਪ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.18
ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਵਾਲੀ ਗੇਂਦ
ਇੱਕ ਰੈਕੇਟਬਾਲ ਨੂੰ 22 m/s ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਿੱਧਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰੈਕੇਟਬਾਲ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲਗਭਗ 0.0427 kg ਹੈ। ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਗੇਂਦ 'ਤੇ 0.5v ਦੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਬਲ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ v ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਗੇਂਦ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲੱਭੋ।
ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
ਜੇ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 11 ਮੀਟਰ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਮਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਿੰਨੀ ਉੱਚੀ ਪਹੁੰਚੇਗੀ?
ਹੱਲ
ਪੁੰਜ m=0.0427kg, k=0.5, ਅਤੇ g=9.8m/s2 ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ v0=2 m/s ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ 0.0427dvdt=−0.5v−0.0427(9.8), v0=2 ਹੈ। ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 0.0427 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ dvdt=−11.7096v−9.8, v0=2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਰੇਖੀ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ: ਕਦਮ 1. ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ dvdt+11.7096v=−9.8 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਇਸ ਨਾਲ p(t)=11.7096 ਅਤੇ q(t)=−9.8 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਦਮ 2. ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ μ(t)=e∫11.7096dt=e11.7096t ਹੈ। ਕਦਮ 3. ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ μ(t) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: e11.7096tdvdt+11.7096ve11.7096t=−9.8e11.7096t, ਜਿਸਨੂੰ ddt[ve11.7096t]=−9.8e11.7096t ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਦਮ 4. ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਕਰੋ: ∫ddt[ve11.7096t]dt=∫−9.8e11.7096tdt, ਜਿਸ ਤੋਂ ve11.7096t=−9.811.7096e11.7096t+C ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ v(t)=−0.8369+Ce−11.7096t ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਦਮ 5. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ v0=v(0)=2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: v(t)=−0.8369+Ce−11.7096t v(0)=−0.8369+Ce−11.7096(0) 2=−0.8369+C C=2.8369। ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ v(t)=2.8369e−11.7096t−0.8369 ਹੈ।
ਗੇਂਦ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਗਤੀ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਗਤੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉੱਪਰ ਜਾ ਰਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਜਾ ਰਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਇਹ ਸਿਫਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਉੱਪਰ ਜਾ ਰਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: 2.8369e−11.7096t−0.8369=0 2.8369e−11.7096t=0.8369 e−11.7096t=0.83692.8369≈0.295 ln e−11.7096t=ln0.295≈−1.221 −11.7096t=−1.221 t≈0.104। ਇਸ ਲਈ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 0.104 ਸਕਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ।
ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਗਤੀ ਹੈ, ਭਾਵ, ਜੇ h(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ h′(t)=v(t)। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ v(t) ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: h′(t)=2.8369e−11.7096t−0.8369, h(0)=1। ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ t ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਕਰਨ 'ਤੇ ∫h′(t)dt=∫2.8369e−11.7096t−0.8369dt ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ h(t)=−2.836911.7096e−11.7096t−0.8369t+C ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ h(t)=−0.2423e−11.7096t−0.8369t+C ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: h(t)=−0.2423e−11.7096t−0.8369t+C h(0)=−0.2423e−11.7096(0)−0.8369(0)+C 1=−0.2423+C C=1.2423। ਇਸ ਲਈ h(t)=−0.2423e−11.7096t−0.8369t+1.2423 ਹੈ। 0.104 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਉਚਾਈ h(0.104)=−0.2423e−11.7096t−0.8369t+1.2423≈1.0836 ਮੀਟਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.18
ਇੱਕ ਪੈਨੀ ਦਾ ਭਾਰ 2.5 ਗ੍ਰਾਮ ਹੈ (ਯੂਨਾਈਟਿਡ ਸਟੇਟਸ ਮਿੰਟ, "ਕੋਇਨ ਸਪੈਸੀਫਿਕੇਸ਼ਨਜ਼," ਐਕਸੈਸਡ ਅਪ੍ਰੈਲ 9, 2015, http://www.usmint.gov/about_the_mint/?action=coin_specifications), ਅਤੇ ਐਮਪਾਇਰ ਸਟੇਟ ਬਿਲਡਿੰਗ ਦਾ ਉਪਰਲਾ ਆਬਜ਼ਰਵੇਸ਼ਨ ਡੈੱਕ ਗਲੀ ਤੋਂ 369 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੈਨੀ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਅਤੇ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਸਤੂ ਹੈ, ਪੈਨੀ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਛੋਟਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਵਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ 0.0025v ਦੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਪੈਨੀ ਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਦੇ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਡਿੱਗ ਰਹੇ ਪੈਨੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
v(t) ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪੈਨੀ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵੇਗ ਕੀ ਹੈ (ਭਾਵ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ tt ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਵੇਗ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ)?
ਬਿਜਲਈ ਸਰਕਟ
ਬਿਜਲਈ ਬਲ ਦਾ ਸਰੋਤ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਬੈਟਰੀ ਜਾਂ ਜਨਰੇਟਰ) ਇੱਕ ਬੰਦ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕਰੰਟ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਰੰਟ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਰੋਧਕ, ਪ੍ਰੇਰਕ ਅਤੇ ਸੰਡੈਂਸਰ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡਰਾਪ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਰਚੌਫ ਦਾ ਲੂਪ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰੋਧਕਾਂ, ਪ੍ਰੇਰਕਾਂ ਅਤੇ ਸੰਡੈਂਸਰਾਂ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡਰਾਪ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਬੰਦ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਬਿਜਲਈ ਬਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਿੰਨ ਨਤੀਜੇ ਹਨ:
ਇੱਕ ਰੋਧਕ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡਰਾਪ ER=Ri,ER=Ri, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ RR ਅਨੁਪਾਤ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ii ਕਰੰਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪ੍ਰੇਰਕ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡਰਾਪ EL=Li′,EL=Li′, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ LL ਅਨੁਪਾਤ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਕਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ii ਦੁਬਾਰਾ ਕਰੰਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਡੈਂਸਰ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡਰਾਪ EC=1Cq,EC=1Cq, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,
ਜਿੱਥੇ CC ਅਨੁਪਾਤ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸੰਡੈਂਸਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ qq ਸੰਡੈਂਸਰ ਉੱਤੇ ਤਤਕਾਲ ਚਾਰਜ ਹੈ। ii ਅਤੇ qq ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ i=q′.i=q′ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਵੋਲਟੇਜ E,E, ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਵੋਲਟ (V)(V) ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ, ਕਰੰਟ i,i, ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਐਂਪੀਅਰ (A)(A), ਚਾਰਜ q,q, ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਕੁਲੌਂਬ (C)(C), ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ R,R, ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਓਮ (Ω)(Ω), ਪ੍ਰੇਰਕਤਾ L,L, ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਹੈਨਰੀ (H)(H), ਅਤੇ ਸੰਡੈਂਸਤਾ C.C. ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਫੈਰਾਡ (F)(F) ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 4.25 ਵਿੱਚ ਸਰਕਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 4.25: ਇੱਕ ਆਮ ਬਿਜਲਈ ਸਰਕਟ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੋਲਟੇਜ ਜਨਰੇਟਰ (VS),(VS), ਸੰਡੈਂਸਰ (C),(C), ਪ੍ਰੇਰਕ (L),(L), ਅਤੇ ਰੋਧਕ (R).(R) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਇਸ ਸਰਕਟ 'ਤੇ ਕਿਰਚੌਫ ਦਾ ਲੂਪ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ EE ਨੂੰ ਵੋਲਟੇਜ ਜਨਰੇਟਰ ਦੁਆਰਾ ਸਪਲਾਈ ਕੀਤੇ ਬਿਜਲਈ ਬਲ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ
EL,ER,EL,ER, ਅਤੇ ECEC ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜੇ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੰਡੈਂਸਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ i.i. ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ-ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਸਰਕਟ ਨੂੰ ਇੱਕ LR ਸਰਕਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਪ੍ਰੇਰਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਸੰਡੈਂਸਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੋਧਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ L=0,R≠0,L=0,R≠0, ਅਤੇ C≠0.C≠0. ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ 4.23 ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ-ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ RC ਸਰਕਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਸਥਾਪਿਤ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.19
RL ਬਿਜਲਈ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕਰੰਟ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਲੜੀਵਾਰ ਇੱਕ ਬਿਜਲਈ ਬਲ E=50sin20tV,E=50sin20tV, 5Ω,5Ω, ਦਾ ਇੱਕ ਰੋਧਕ, ਅਤੇ 0.4H.0.4H, ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰੇਰਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਕਰੰਟ 0,0, ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ t>0.t>0, 'ਤੇ ਕਰੰਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੋਧਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰੇਰਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਰੋਧਕ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡਰਾਪ ER=Ri=5i.ER=Ri=5i, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਪ੍ਰੇਰਕ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡਰਾਪ EL=Li′=0.4i′.EL=Li′=0.4i′, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਿਜਲਈ ਬਲ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 0.40.4 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ 'ਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਕਰੰਟ 0 ਹੈ, ਇਹ ਨਤੀਜਾ i(0)=0.i(0)=0, ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪੰਜ-ਪੜਾਵੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪੜਾਅ 1. ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ i′+12.5i=125sin20t.i′+12.5i=125sin20t, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਇਹ p(t)=12.5p(t)=12.5 ਅਤੇ q(t)=125sin20t.q(t)=125sin20t, ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪੜਾਅ 2. ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਫੈਕਟਰ μ(t)=e∫12.5dt=e12.5t.μ(t)=e∫12.5dt=e12.5t, ਹੈ।
Step 3. Multiply the differential equation by μ(t):μ(t):
Step 4. Integrate both sides:
Step 5. Solve for CC using the initial condition v(0)=2:v(0)=2:
Therefore the solution to the initial-value problem is i(t)=250sin20t−400cos20t+400e−12.5t89=250sin20t−400cos20t89+400e−12.5t89.i(t)=250sin20t−400cos20t+400e−12.5t89=250sin20t−400cos20t89+400e−12.5t89.
The first term can be rewritten as a single cosine function. First, multiply and divide by 2502+4002=5089:2502+4002=5089:
Next, define φφ to be an acute angle such that cosφ=889.cosφ=889. Then sinφ=589sinφ=589 and
Therefore the solution can be written as
The second term is called the attenuation term, because it disappears rapidly as t grows larger. The phase shift is given by φ,φ, and the amplitude of the steady-state current is given by 508989.508989. The graph of this solution appears in Figure 4.26:
Checkpoint 4.19
A circuit has in series an electromotive force given by E=20sin5tE=20sin5t V, a capacitor with capacitance 0.02F,0.02F, and a resistor of 8Ω.8Ω. If the initial charge is 4C,4C, find the charge at time t>0.t>0.
Are the following differential equations linear? Explain your reasoning.
d y d x = x 2 y + sin x d y d x = x 2 y + sin x
d y d t = t y d y d t = t y
d y d t + y 2 = x d y d t + y 2 = x
y ′ = x 3 + e x y ′ = x 3 + e x
y ′ = y + e y y ′ = y + e y
Write the following first-order differential equations in standard form.
y ′ = x 3 y + sin x y ′ = x 3 y + sin x
y ′ + 3 y − ln x = 0 y ′ + 3 y − ln x = 0
− x y ′ = ( 3 x + 2 ) y + x e x − x y ′ = ( 3 x + 2 ) y + x e x
d y d t = 4 y + t y + tan t d y d t = 4 y + t y + tan t
d y d t = y x ( x + 1 ) d y d t = y x ( x + 1 )
What are the integrating factors for the following differential equations?
y ′ = x y + 3 y ′ = x y + 3
y ′ + e x y = sin x y ′ + e x y = sin x
y ′ = x ln ( x ) y + 3 x y ′ = x ln ( x ) y + 3 x
d y d x = tanh ( x ) y + 1 d y d x = tanh ( x ) y + 1
d y d t + 3 t y = e t y d y d t + 3 t y = e t y
Solve the following differential equations by using integrating factors.
y ′ = 3 y + 2 y ′ = 3 y + 2
y ′ = 2 y − x 2 y ′ = 2 y − x 2
x y ′ = 3 y − 6 x 2 x y ′ = 3 y − 6 x 2
( x + 2 ) y ′ = 3 x + y ( x + 2 ) y ′ = 3 x + y
y ′ = 3 x + x y y ′ = 3 x + x y
x y ′ = x + y x y ′ = x + y
sin ( x ) y ′ = y + 2 x sin ( x ) y ′ = y + 2 x
y ′ = y + e x y ′ = y + e x
x y ′ = 3 y + x 2 x y ′ = 3 y + x 2
y ′ + ln x = y x y ′ + ln x = y x
Solve the following differential equations. Use your calculator to draw a family of solutions. Are there certain initial conditions that change the behavior of the solution?
[T] (x+2)y′=2y−1(x+2)y′=2y−1
[T] y′=3et/3−2yy′=3et/3−2y
[T] xy′+y2=sin(3t)xy′+y2=sin(3t)
[T] xy′=2cosxx−3yxy′=2cosxx−3y
[T] (x+1)y′=3y+x2+2x+1(x+1)y′=3y+x2+2x+1
[T] sin(x)y′+cos(x)y=2xsin(x)y′+cos(x)y=2x
[T] x2+1y′=y+2x2+1y′=y+2
[T] x3y′+2x2y=x+1x3y′+2x2y=x+1
Solve the following initial-value problems by using integrating factors.
y ′ + y = x , y ( 0 ) = 3 y ′ + y = x , y ( 0 ) = 3
y ′ = y + 2 x 2 , y ( 0 ) = 0 y ′ = y + 2 x 2 , y ( 0 ) = 0
x y ′ = y − 3 x 3 , y ( 1 ) = 0 x y ′ = y − 3 x 3 , y ( 1 ) = 0
x 2 y ′ = x y − ln x , y ( 1 ) = 1 x 2 y ′ = x y − ln x , y ( 1 ) = 1
( 1 + x 2 ) y ′ = y − 1 , y ( 0 ) = 0 ( 1 + x 2 ) y ′ = y − 1 , y ( 0 ) = 0
x y ′ = y + 2 x ln x , y ( 1 ) = 5 x y ′ = y + 2 x ln x , y ( 1 ) = 5
( 2 + x ) y ′ = y + 2 + x , y ( 0 ) = 0 ( 2 + x ) y ′ = y + 2 + x , y ( 0 ) = 0
y ' = x y + 2 x e 1 2 x 2 , y ( 0 ) = 2 y ' = x y + 2 x e 1 2 x 2 , y ( 0 ) = 2
x y ′ = y + 2 x , y ( 0 ) = 1 x y ′ = y + 2 x , y ( 0 ) = 1
y ′ = 2 y + x e x , y ( 0 ) = −1 y ′ = 2 y + x e x , y ( 0 ) = −1
A falling object of mass mm can reach terminal velocity when the drag force is proportional to its velocity, with proportionality constant k.k. Set up the differential equation and solve for the velocity given an initial velocity of 0.0.
Using your expression from the preceding problem, what is the terminal velocity? (Hint: Examine the limiting behavior; does the velocity approach a value?)
[T] Using your equation for terminal velocity, solve for the distance fallen. How long does it take to fall 50005000 meters if the mass is 100100 kilograms, the acceleration due to gravity is 9.89.8 m/s2 and the proportionality constant is 4?4?
A more accurate way to describe terminal velocity is that the drag force is proportional to the square of velocity, with a proportionality constant k.k. Set up the differential equation and solve for the velocity.
Using your expression from the preceding problem, what is the terminal velocity? (Hint: Examine the limiting behavior: Does the velocity approach a value?)
[T] Using your equation for terminal velocity, solve for the distance fallen. How long does it take to fall 50005000 meters if the mass is 100100 kilograms, the acceleration due to gravity is 9.8m/s29.8m/s2 and the proportionality constant is 4?4? Does it take more or less time than your initial estimate?
For the following problems, determine how parameter aa affects the solution.
Solve the generic equation y′=ax+y.y′=ax+y. How does varying aa change the behavior?
Solve the generic equation y′=ay+x.y′=ay+x. How does varying aa change the behavior?
Solve the generic equation y′=ax+xy.y′=ax+xy. How does varying aa change the behavior?
Solve the generic equation y′=x+axy.y′=x+axy. How does varying aa change the behavior?
Solve y′−y=ekty′−y=ekt with the initial condition y(0)=0.y(0)=0. As kk approaches 1,1, what happens to your formula?