1. ਮੁੱਖ ਧਾਰਨਾਵਾਂ
2. ਕਿਸੇ ਸੂਤਰ an=f(n) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ (convergence) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ (limits) ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
3. ਜੇਕਰ {an} ਅਤੇ {bn} ਦੋਵੇਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ A ਅਤੇ B ਵੱਲ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ c ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ {can} c·A ਵੱਲ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਲੜੀਆਂ {an±bn} A±B ਵੱਲ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਲੜੀ {an·bn} A·B ਵੱਲ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੜੀ {an/bn} A/B ਵੱਲ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ B≠0 ਹੋਵੇ।
4. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਲੜੀ ਸੀਮਾਬੱਧ (bounded) ਅਤੇ ਮੋਨੋਟੋਨ (monotone) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਹ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਰੀਆਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਮੋਨੋਟੋਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ।
5. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਲੜੀ ਅਸੀਮਾਬੱਧ (unbounded) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਹ ਅਪਸਾਰੀ (diverges) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਪਸਾਰੀ ਲੜੀਆਂ ਅਸੀਮਾਬੱਧ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ।
6. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ {rn} ਉਦੋਂ ਹੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ |r|<1 ਜਾਂ r=1 ਹੋਵੇ।
7. ਅਨੰਤ ਲੜੀ ∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ (partial sums) ਦੀ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੜੀ {Sk} ਜਿੱਥੇ Sk=∑n=1kan=a1+a2+a3+⋯+ak, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਲੜੀ ਉਦੋਂ ਹੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਲੜੀ {Sk} ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
8. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ∑n=1∞arn−1 ਉਦੋਂ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ |r|<1 ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ |r|≥1 ਹੋਵੇ। |r|<1 ਲਈ, ∑n=1∞arn−1=a1−r।
9. ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ∑n=1∞1n=1+12+13+⋯ ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
10. ∑n=1∞[bn−bn+1]=[b1−b2]+[b2−b3]+[b3−b4]+⋯+[bn−bn+1]+⋯ ਰੂਪ ਦੀ ਲੜੀ ਇੱਕ ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਲੜੀ (telescoping series) ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਦਾ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ Sk=b1−bk+1 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਲੜੀ ਉਦੋਂ ਹੀ ਇਕੱਠੀ ਹੋਵੇਗੀ ਜਦੋਂ limk→∞bk+1 ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ∑n=1∞[bn−bn+1]=b1−limk→∞(bk+1)।
11. ਜੇਕਰ limn→∞an≠0, ਤਾਂ ਲੜੀ ∑n=1∞an ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
12. ਜੇਕਰ limn→∞an=0, ਤਾਂ ਲੜੀ ∑n=1∞an ਇਕੱਠੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਅਪਸਾਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
13. ਜੇਕਰ ∑n=1∞an ਧਨ ਪਦ an ਵਾਲੀ ਲੜੀ ਹੋਵੇ ਅਤੇ f ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ, ਘਟਦੀ ਹੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਲਈ ਸਾਰੇ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n ਲਈ f(n)=an ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਤੇ ∫1∞f(x)dx ਜਾਂ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜੇਕਰ ∑n=1∞an ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ N-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਅਨੁਮਾਨ SN ਇੱਕ ਗਲਤੀ RN ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ∫N+1∞f(x)dx<RN<∫N∞f(x)dx।
14. p-ਲੜੀ ∑n=1∞1/np ਉਦੋਂ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ p>1 ਅਤੇ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ p≤1।
15. ਤੁਲਨਾ ਟੈਸਟ (comparison tests) ਧਨ ਪਦ ਵਾਲੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਜਾਂ ਅਪਸਾਰੀ ਹੋਣ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
16. ਤੁਲਨਾ ਟੈਸਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਇੱਕ ਲੜੀ ∑n=1∞an ਦੀ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਜਾਂ p-ਲੜੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
17. ਇੱਕ ਬਦਲਵੀਂ ਲੜੀ ∑n=1∞(−1)n+1bn ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ k ਲਈ bk+1≤bk ਹੋਵੇ ਅਤੇ k→∞ ਜਦੋਂ bk→0, ਤਾਂ ਬਦਲਵੀਂ ਲੜੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
18. ਜੇਕਰ ∑n=1∞|an| ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
19. ਅਨੁਪਾਤ ਟੈਸਟ (ratio test) ਲਈ, ਅਸੀਂ ρ=limn→∞|an+1an| 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ρ<1, ਤਾਂ ਲੜੀ ∑n=1∞an ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ (absolutely) ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ρ>1, ਤਾਂ ਲੜੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ρ=1, ਤਾਂ ਟੈਸਟ ਕੋਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ। ਇਹ ਟੈਸਟ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ।
20. ਰੂਟ ਟੈਸਟ (root test) ਲਈ, ਅਸੀਂ ρ=limn→∞|an|n 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ρ<1, ਤਾਂ ਲੜੀ ∑n=1∞an ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ρ>1, ਤਾਂ ਲੜੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ρ=1, ਤਾਂ ਟੈਸਟ ਕੋਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ। ਰੂਟ ਟੈਸਟ ਘਾਤ (powers) ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ।
21. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਜਾਂ p-ਲੜੀ ਵਰਗੀ ਲੜੀ ਲਈ, ਤੁਲਨਾ ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।