Review Exercises
True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.
If limn→∞an=0,limn→∞an=0, then ∑n=1∞an∑n=1∞an converges.
If limn→∞an≠0,limn→∞an≠0, then ∑n=1∞an∑n=1∞an diverges.
If ∑n=1∞|an|∑n=1∞|an| converges, then ∑n=1∞an∑n=1∞an converges.
If ∑n=1∞2nan∑n=1∞2nan converges, then ∑n=1∞(−2)nan∑n=1∞(−2)nan converges.
Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.
a n = 3 + n 2 1 − n a n = 3 + n 2 1 − n
a n = ln ( 1 n ) a n = ln ( 1 n )
a n = ln ( n + 1 ) n + 1 a n = ln ( n + 1 ) n + 1
a n = 2 n + 1 5 n a n = 2 n + 1 5 n
a n = ln ( cos n ) n a n = ln ( cos n ) n
Is the series convergent or divergent?
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 5 n + 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 5 n + 4
∑ n = 1 ∞ ln ( n + 1 n ) ∑ n = 1 ∞ ln ( n + 1 n )
∑ n = 1 ∞ 2 n n 4 ∑ n = 1 ∞ 2 n n 4
∑ n = 1 ∞ e n n ! ∑ n = 1 ∞ e n n !
∑ n = 1 ∞ n − ( n + 1 / n ) ∑ n = 1 ∞ n − ( n + 1 / n )
Is the series convergent or divergent? If convergent, is it absolutely convergent?
∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n n ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n n
∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n n ! 3 n ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n n ! 3 n
∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n n ! n n ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n n ! n n
∑ n = 1 ∞ sin ( n π 2 ) ∑ n = 1 ∞ sin ( n π 2 )
∑ n = 1 ∞ cos ( π n ) e − n ∑ n = 1 ∞ cos ( π n ) e − n
1. ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ
2. ∑ n = 1 ∞ 2 n + 4 7 n ∑ n = 1 ∞ 2 n + 4 7 n
3. ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 2 )
4. ਭਾਰਤ ਦੀ ਇੱਕ ਕਥਾ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਨੇ ਇੱਕ ਰਾਜੇ ਲਈ ਸ਼ਤਰੰਜ ਦੀ ਖੇਡ ਦੀ ਕਾਢ ਕੱਢੀ। ਰਾਜੇ ਨੂੰ ਇਹ ਖੇਡ ਇੰਨੀ ਪਸੰਦ ਆਈ ਕਿ ਉਸ ਨੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਨੂੰ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਮੰਗਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇ ਦਿੱਤੀ। ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਨੇ ਸ਼ਤਰੰਜ ਬੋਰਡ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਘਰ ਲਈ ਚੌਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਦਾਣਾ, ਦੂਜੇ ਘਰ ਲਈ ਦੋ ਦਾਣੇ, ਤੀਜੇ ਘਰ ਲਈ ਚਾਰ ਦਾਣੇ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਮੰਗੇ। ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਦੁਆਰਾ ਮੰਗੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਕੀਮਤ (ਚੌਲਾਂ ਦੇ ਦਾਣਿਆਂ ਵਿੱਚ) ਲਈ ਇੱਕ ਸਟੀਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ 1 ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ 30,000 ਚੌਲਾਂ ਦੇ ਦਾਣੇ ਹਨ, ਅਤੇ 1 ਟਨ ਵਿੱਚ 2000 ਪੌਂਡ ਹਨ, ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਨੇ ਕਿੰਨੇ ਟਨ ਚੌਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ?
5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਘਰੇਲੂ ਮੱਖੀ ਦੇ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਆਬਾਦੀ ਮਾਡਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਨੂੰ ਪੁਨਰਵਰਤੀ ਫਾਰਮੂਲਾ xn+1=bxn,xn+1=bxn ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ xnxn ਪੀੜ੍ਹੀ n,n ਵਿੱਚ ਘਰੇਲੂ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ bb ਅਗਲੀ ਪੀੜ੍ਹੀ ਤੱਕ ਬਚਣ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀ ਘਰੇਲੂ ਮੱਖੀ ਔਸਤ ਸੰਤਾਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ x0.x0 ਮੰਨੋ।
6. ਜੇਕਰ b>1,b>1, b<1,b<1, ਅਤੇ b=1.b=1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ limn→∞xnlimn→∞xn ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
7. bb ਅਤੇ x0.x0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ Sn=∑i=0nxiSn=∑i=0nxi ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਇਹ ਭੌਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ?
8. ਜੇਕਰ b=34b=34 ਅਤੇ x0=100,x0=100 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ S10S10 ਅਤੇ limn→∞Snlimn→∞Sn ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. bb ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਲੜੀ ਕਨਵਰਜ ਅਤੇ ਡਾਈਵਰਜ ਹੋਵੇਗੀ? ਲੜੀ ਕਿਸ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?